2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題含答案 (二)

1.拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(▲).

2.在等比數(shù)列｛%｝中，q+〃x=82,44_2=81,且前1項(xiàng)和1=121,%=(▲).

A.4B.5C.6D.7

3.已知相，及表示兩條不同直線，。表示平面，則(▲).

A.若mlIa,nila,貝！JB.若租_La,〃ua,則帆_L〃

C.若相_La,m±72,則〃〃0D.若m//a,mVn,貝！J〃_La

4.有5輛車(chē)停放6個(gè)并排車(chē)位，貨車(chē)甲車(chē)體較寬，?？繒r(shí)需要占兩個(gè)車(chē)位，并且乙車(chē)不與貨車(chē)甲相鄰?fù)７?

則共有(▲)種停放方法.

A.72B.144C.108D.96

5.已知ZkABC的邊的中點(diǎn)為。，點(diǎn)石在ZiABC所在平面內(nèi)，且CD=3CE-2cA，若

AC=xAB+yBE,貝1」%+丁=(▲).

A.5B.7C.9D.11

22

6.函數(shù))=/(%)的圖象為橢圓C:5+*=l(a>6>0)x軸上方的部分，若"ST),/(s),/(s+f)成

ab

等比數(shù)列，則,(

A.線段(不包B.橢圓一部分

C.雙曲線一部D.線段(不包含端點(diǎn))和雙曲線一部分

713兀

7.已知工￡0,—，sinx+cosx=—?jiǎng)ttanx(▲).

_454

A.3B.-3c._J5D.2

8.雙曲線C：W—1=1(?！?］〉0)的左、右焦點(diǎn)分別是《，F(xiàn)2,離心率為邁，點(diǎn)尸(西,乂)是C的

a2b22

右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)工作/耳里的平分線的垂線，垂足是|"。|=拒，若C上一點(diǎn)T滿

足月T?2T=5,則T到C的兩條漸近線距離之和為(▲).

A.20B.2y/3C.2百D.276

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)馬*2是關(guān)于X的方程/+桁+1=0(-2<6<2,beR)的兩根，貝|(▲).

A.zx-z2B.-ER

Z2

C.\^\=\z2\=lD.若〃=1,則z；=z；=l

10.若函數(shù)/(%)=2$1112%.10825111%+2?052%.108285%,則(▲).

IT

A.7(x)的最小正周期為兀B.7(x)的圖象關(guān)于直線x=:對(duì)稱(chēng)

仁小)的最小值為一1D.〃x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2E,：+2屋左eZ

11.設(shè)。為常數(shù)，/(0)=；，/(x+y)=/(x)/(a—y)+/(y)/(a—尤)，則(▲).

A./(a)=1B.了(無(wú))=］恒成立

C./(尤+y)=2/(x)/(y)D.滿足條件的〃無(wú))不止一個(gè)

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.集合A={xeR|a——3x+2=0,aeR},若A中元素至多有1個(gè)，則a的取值范圍是▲.

13.己知圓錐的母線長(zhǎng)為2,則當(dāng)圓錐的母線與底面所成角的余弦值為▲時(shí),圓錐的體積最大，最

大值為▲.

38

14.函數(shù)/(%)=—^—-+-一a—-(xeR)的最小值▲.

2sinx+13cosx+2

四'解答題：本題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明'證

明過(guò)程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

13

設(shè)/(x)=alnx+---------x+1,曲線y=/(x)在點(diǎn)處取得極值.

2x2

(1)求a；

(2)求函數(shù)/(無(wú))的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.(本小題滿分15分)

袋中裝有5個(gè)乒乓球，其中2個(gè)舊球，現(xiàn)在無(wú)放回地每次取一球檢驗(yàn).

(1)若直到取到新球?yàn)橹?，求抽取次?shù)X的概率分布及其均值；

(2)若將題設(shè)中的“無(wú)放回”改為“有放回”，求檢驗(yàn)5次取到新球個(gè)數(shù)X的均值.

17.(本小題滿分15分)

如圖，在三棱柱A5C—4與￡中，AC=BB、=2BC=2,NCBB、=2NCAB=個(gè),且平面ABC，平面

4cleA

(1)證明：平面A5C，平面AC4；

(2)設(shè)點(diǎn)P為直線BC的中點(diǎn)，求直線AP與平面ACB1所成角的正弦值.

18.(本小題滿分17分)

己知拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)為F,若AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線E上，且滿足FA+FB+FC=O>

則稱(chēng)該三角形為“核心三角形”.

(1)設(shè)“核心三角形ABC'的一邊AB所在直線的斜率為2,求直線AB的方程；

(2)已知△A5C是“核心三角形”，證明：△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于2.

19.(本小題滿分17分)

對(duì)于給定的正整數(shù)"，記集合R"={a|c=a，無(wú)2，三,…,％),尤」eR,j=l,2,3,…，川,其中元素。稱(chēng)為一

個(gè)〃維向量.特別地，0=(0,0,…,0)稱(chēng)為零向量.

n

設(shè)左eR,d=(al,a2,---,an)eR,￡=(4也,…,b“)eR”,定義加法和數(shù)乘：ka={kal,ka2,---,kaj,

tz+￡=(q+4，阻+b2,---,an+b).

對(duì)一組向量％,%(swN+，s..2),若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)勺，k2,ks,使得

左％+m4+…+耳％=0,則稱(chēng)這組向量線性相關(guān).否則，稱(chēng)為線性無(wú)關(guān).

(1)對(duì)〃=3,判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由.

①a=(1,1,1),夕=(2,2,2)；

②a=(1,1,1),0—(2,2,2),(5,1,4)；

③a=(1,1,0),￡=(1,0,1),/=(0,1,1),=(1,1,1).

(2)已知tz,0,7線性無(wú)關(guān)，判斷a+￡,p+Y，a+z是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由.

(3)已知功(〃?..2)個(gè)向量%,?2,....%；線性相關(guān)，但其中任意m-1個(gè)都線性無(wú)關(guān)，證明：

①如果存在等式左內(nèi)…=。(勺eR"=l,2,3,…,附，則這些系數(shù)匕，k2,左加或者

全為零，或者全不為零；

②如果兩個(gè)等式勺%+k2a2+---+kmam=0,4%+I2a2+-??+/?,?,?=0(左eR,lte7?,z=1,2,3,?-?,//!)同

時(shí)成立，其中#0,則:=不"-=廣

"1%

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

題號(hào)12345678

答案DBBADAAA

二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)得0分.

題號(hào)91011

答案ACDBCDABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

題號(hào)1213①13②14

答案…9瓜16649

a=0或a.l------71

8~32713

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）

-1Q[Q

(1)f(x)=ainx-\---------x+1,則廣(%)=@----Y——

2^-2x2%2

又，/\1)=0,故可得〃—2=0,解得a=2；

(2)由⑴可知，/(x)=21nx+---x+1,r(x)=_(3xT),T),

2x22x2

令ra）=。，解得Xj=g,x2=i,

又函數(shù)定義域?yàn)椋ā?+8）,故可得了（X）在區(qū)間（0,g）和（1,+8）單調(diào)遞減，在區(qū)間（g』）單調(diào)遞增.

故/（X）的極大值為/（I）=0,fM的極小值為/（1）=2-21n3.

16.(15分)

39x339x1x31

(1)X的可能取值為1,2,3,P(X=1)=—,P(X=2)=——=一，P(X=3)=----------=—,

55x4105x4x310

故抽取次數(shù)X的概率分布為:

X123

331

P

51010

3313

￡(X)=lx—+2x——+3x——=

510102

（2）每次檢驗(yàn)取到新球的概率均為I，故X?815,|],所以E（X）=5*|=3.

17.（15分）

（1）證明：因?yàn)锳C=23C=2,所以3c=1,因

7T7T

為2NC4B=—,所以NCAB=—.在

36

2

sinB，所

以sin6=l,BPAB±BC.又

因?yàn)槠矫鍭B。，平面4GCB，平面ABCc平面與GCS=6C,ABu平面ABC,

所以A3,平面及GCB

又5]Cu平面用GCB，所以A3,用C,

TT

在.耳3。中，B1B=2,BC=1,ZCBB.=-,

3

所以4c2=BB2+BC2_2bb.3C.cosg=3,即4C=JL

所以BjCLBC.

而AB_L4C,ABu平面ABC,5Cu平面ABC,ABcBC=B,

所以4。，平面ABC.

又51Cu平面所以平面平面ACB].

（2）在平面ABC中過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線CE,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA,CE,CB]所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。（0,0,0）,5（；,芯,0）,4（2,0,0）,耳（0,0,百），

所以尸（；,亨,0）,4（|，-*，君），

所以4尸=（_*,更，一石），

44

平面ACB,的一個(gè)法向量為n=（0,1,0）,

設(shè)直線AP與平面ACB,所成的角為a,

則直線A.P與平面ACB,所成角的正弦值為：

3追

|吊尸."|_百

n>=_=3

sin?=|cos<AP-\=^^\l25+^7+315-

V16+16+

18.（17分）

（1）解：設(shè)直線AB的方程為y=2x+/,與3?=4x聯(lián)立得/—2y+2/=0,A=4—8/>0,得/<g，

設(shè)A（%,%）,B?,%），。（七，%），則%+%=2,%%=2r,

所以玉+W=/（%+%—2r）=1-/,

由題意知戶（1,。），因?yàn)镋4+FB+尸C=o，E4=（X]-1,%）,FB=（X2-l,y2），F(xiàn)C=（x3-l,y3）,

所以（％+々+三一3,%+%+%）=（°，°）>

所以｛%+々+鼻=3,%+%+%=°，，

所以優(yōu)=2+/,%=-2,,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2+t,-2）,代入拋物線E的方程得：4=4（2+力，解得/=—匕

滿足條件/<1，

2

所以直線AB的方程為2x—y—1=0.

（2）證明：設(shè)直線BC的方程為％=陽(yáng)+",與/=4x聯(lián)立得丁—4〃少—4〃=0,

2

A=16（m+n）>0,所以〃>—4，y2+y3=4m,y2y3=-4n,

所以％2+%3=機(jī)（%+%）+2〃=4m2+2n.

+x2

由⑴知｛菁+%23=3,%+%+%=°，，所以｛%=3-4m-2n,yi=-4m.,

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3-4m2-2n,-4m）.

3

又點(diǎn)A在拋物線｝?=4%上，所以16療=4（3-4加2-2〃），所以〃二3-4/，

又所以療<二，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)3-4>-2〃=4/v2,

2

同理可證，B,C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)也小于2.

所以ABC三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)均小于2.

19.（17分）

（1）解：對(duì)于①，設(shè)勺。+%2〃=0,則可得匕+2左2=0,所以％方線性相關(guān)；

對(duì)于②，kxa+k2/3+k3y=0,則可得｛匕+2左2+5左3=。尢+2&+女3=。勺+2女2+4左3=。，所以左I+2%2=0,

左3