上海市理工大附中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題含解析

上海市理工大附中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．從四件正品、兩件次品中隨機(jī)取出兩件，記“至少有一件次品”為事件，則的對(duì)立事件是（）A．至多有一件次品 B．兩件全是正品 C．兩件全是次品 D．至多有一件正品2．把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人,則事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是()A．對(duì)立事件B．互斥但不對(duì)立事件C．不可能事件D．必然事件3．已知是不共線的非零向量，，，，則四邊形是（）A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．菱形4．已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則A． B． C． D．115．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．直線在軸上的截距為（）A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．37．《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等？意思是：今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍．若蒲、莞長(zhǎng)度相等，則所需時(shí)間為（）（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天8．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（）A．3 B．11 C．38 D．1239．要得到函數(shù)y＝cos的圖象，只需將函數(shù)y＝cos2的圖象()A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等比數(shù)列中,若,則__________.12．若，則的取值范圍是________.13．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為_(kāi)_________．14．下圖中的幾何體是由兩個(gè)有共同底面的圓錐組成．已知兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)分別為P、Q，高分別為2、1，底面半徑為1．A為底面圓周上的定點(diǎn)，B為底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)（不與A重合）．下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐體積的最大值為；②直線PB與平面PAQ所成角的最大值為；③當(dāng)直線BQ與AP所成角最小時(shí)，其正弦值為；④直線BQ與AP所成角的最大值為；其中正確的結(jié)論有___________.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）15．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，（且），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.16．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若的面積為，則的最大值為_(kāi)_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)（不在y軸上)．（1）若直線的斜率為3，求的長(zhǎng)度；（2）設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值，并求出該定值；（3）設(shè)的中點(diǎn)為，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．18．已知圓與直線相切（1）若直線與圓交于兩點(diǎn)，求（2）已知，設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，證明：為定值19．設(shè)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足，，．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)數(shù)列，試問(wèn)是否存在正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．已知不等式.（1）當(dāng)時(shí)，求此不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．設(shè)等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q(q為正整數(shù)),且滿(mǎn)足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列{}滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;(2)試確定的值，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列：(3)當(dāng){}為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)是，在與之間插入個(gè)2,得到一個(gè)新數(shù)列{}，設(shè)是數(shù)列{}的前項(xiàng)和，試求滿(mǎn)足的所有正整數(shù).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)對(duì)立事件的概念，選出正確選項(xiàng).【詳解】從四件正品、兩件次品中隨機(jī)取出兩件，“至少有一件次品”的對(duì)立事件為兩件全是正品.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)立事件的理解，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】試題分析：把黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，但除了事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”還有“丙分得紅牌”，所以這兩者不是對(duì)立事件，答案為B.考點(diǎn)：互斥與對(duì)立事件.3、A【解析】

本題首先可以根據(jù)向量的運(yùn)算得出，然后根據(jù)以及向量平行的相關(guān)性質(zhì)即可得出四邊形的形狀．【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，是不共線的非零向量，所以且，所以四邊形是梯形，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的相關(guān)性質(zhì)來(lái)判斷四邊形的形狀，考查向量的運(yùn)算以及向量平行的相關(guān)性質(zhì)，如果一組對(duì)邊平行且不相等，那么四邊形是梯形；如果對(duì)邊平行且相等，那么四邊形是平行四邊形；相鄰兩邊長(zhǎng)度相等的平行四邊形是菱形；相鄰兩邊垂直的平行四邊形是矩形，是簡(jiǎn)單題．4、C【解析】

由題意易得數(shù)列的公比代入求和公式計(jì)算可得．【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，，則，解得，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的公比是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．5、C【解析】試題分析：選項(xiàng)A中，條件應(yīng)為；選項(xiàng)B中當(dāng)時(shí)不成立；選項(xiàng)D中，結(jié)論應(yīng)為；C正確．考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)．6、B【解析】

令,求出值則是截距?！驹斀狻恐本€方程化為斜截式為：，時(shí)，，所以，在軸上的截距為－3?！军c(diǎn)睛】軸上的截距：即令,求出值；同理軸上的截距：即令,求出值7、A【解析】

設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．．【詳解】設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項(xiàng)和為An．莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn．則An，Bn，由題意可得：，化為：2n7，解得2n＝3，2n＝1（舍去）．∴n12.3．∴估計(jì)2.3日蒲、莞長(zhǎng)度相等，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式在實(shí)際中的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8、B【解析】試題分析：通過(guò)框圖的要求；將第一次循環(huán)的結(jié)果寫(xiě)出，通過(guò)判斷框；再將第二次循環(huán)的結(jié)果寫(xiě)出，通過(guò)判斷框；輸出結(jié)果．解；經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到a=12+2=3經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到a=32+2=11不滿(mǎn)足判斷框的條件，執(zhí)行輸出11故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)常采用將前幾次循環(huán)的結(jié)果寫(xiě)出找規(guī)律．9、B【解析】∵，∴要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位．選B．10、A【解析】

再遞推一步，兩個(gè)等式相減，得到一個(gè)等式，進(jìn)行合理變形，可以得到一個(gè)等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出，選出答案即可.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減化簡(jiǎn)得：，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此有，所以，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了已知數(shù)列遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題，考查了等比數(shù)列的判斷以及通項(xiàng)公式，正確的遞推和等式的合理變形是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、80【解析】

由即可求出【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以即故答案為：80【點(diǎn)睛】本題考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，較簡(jiǎn)單12、【解析】

利用反函數(shù)的運(yùn)算法則，定義及其性質(zhì)，求解即可．【詳解】由，得所以，又因?yàn)椋?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查反余弦函數(shù)的運(yùn)算法則，反函數(shù)的定義域，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13、.【解析】分析：由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對(duì)齊王的下等馬，田忌的上等馬對(duì)齊王的下等馬，田忌的上等馬對(duì)齊王的中等馬，結(jié)合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.14、①③【解析】

由①可知只需求點(diǎn)A到面的最大值對(duì)于②，求直線PB與平面PAQ所成角的最大值，可轉(zhuǎn)化為到軸截面距離的最大值問(wèn)題進(jìn)行求解對(duì)于③④，可采用建系法進(jìn)行分析【詳解】選項(xiàng)①如圖所示，當(dāng)時(shí)，四棱錐體積最大，選項(xiàng)②中，線PB與平面PAQ所成角最大值的正弦值為，所以選項(xiàng)③和④，如圖所示：以垂直于方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸，方向?yàn)閦軸，其中設(shè),.,設(shè)直線BQ與AP所成角為，，當(dāng)時(shí)，取到最大值，，此時(shí)，由于，，，所以取不到答案選①、③【點(diǎn)睛】幾何體的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題需要結(jié)合動(dòng)態(tài)圖形和立體幾何基本知識(shí)進(jìn)行求解，需找臨界點(diǎn)是正確解題的關(guān)鍵，遇到難以把握的最值問(wèn)題，可采用建系法進(jìn)行求解.15、【解析】

利用累加法和裂項(xiàng)求和得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的累加法，裂項(xiàng)求和法，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式和方法的靈活運(yùn)用.16、【解析】

先求得的值，再利用兩角和差的三角公式和正弦函數(shù)的最大值，求得的最大值．【詳解】中，若的面積為，，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要兩角和差的三角公式的應(yīng)用和正弦函數(shù)的最大值，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解析】

（1）求出圓心O到直線的距離，已知半徑通過(guò)勾股定理即可算出弦長(zhǎng)的一半，即可算出弦長(zhǎng)。（2）設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立圓的方程通過(guò)韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可。（3）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)，得，表示出，的關(guān)系，再聯(lián)立直線和圓的方程得到，與k的關(guān)系，代入可解出k，最后再通過(guò)有兩個(gè)交點(diǎn)判斷即可求出k值?！驹斀狻浚?）由直線的斜率為3，可得直線的方程為所以圓心到直線的距離為所以（2）直線的方程為，代入圓可得方程設(shè)，則所以為定值，定值為0（3）設(shè)點(diǎn)，由，可得：，即，化得：由（*）及直線的方程可得：，代入上式可得：，可化為：求得：又由（*）解得：所以不符合題意，所以不存在符合條件的直線.【點(diǎn)睛】此題考查圓錐曲線，一般采用設(shè)而不求通過(guò)韋達(dá)定理表示，將需要求解的量用斜率k表示，起到消元的作用，計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，屬于較難題目。18、（1）4；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】

（1）利用直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求出半徑，從而得到圓的方程；根據(jù)直線被圓截得弦長(zhǎng)的求解方法可求得結(jié)果；（2）設(shè)，則，利用兩點(diǎn)間距離公式表示出，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，圓心到直線的距離：圓與直線相切圓方程為：圓心到直線的距離：，（2）證明：設(shè)，則即為定值【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用、直線被圓截得弦長(zhǎng)的求解、兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用、定值問(wèn)題的求解.解決定值問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠用變量表示出所求量，通過(guò)化簡(jiǎn)、消元整理出結(jié)果.19、(1)；.(2)(3)存在，或者，【解析】

（1）令，得，故，代入等式得到，計(jì)算得到.（2）利用錯(cuò)位相減法得到前N項(xiàng)和.（3），假設(shè)存在正整數(shù)，，使成等差數(shù)列，則，解得或者.【詳解】（1）令，得，所以將代入，得所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即.（2）兩式相減得到化簡(jiǎn)得到.（3），假設(shè)存在正整數(shù)，，使成等差數(shù)列則，即，因?yàn)椋瑸檎麛?shù)，所以存在或者，使得成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法，綜合性大，技巧性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20、（1）；（2）【解析】

（1）不等式為，解得（2）不等式的解集非空，則，求解即可【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，解得，故不等式的解集為；（2）不等式的解集非空，則，即，解得，或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】二次函數(shù)，二次方程，一元二次不等式三個(gè)二次的相互轉(zhuǎn)換是解決一元二次不等式問(wèn)題的常用方法，數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問(wèn)題的基本思想．21、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由已知可求出的值，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由已知可求，從而可依次寫(xiě)出，，若數(shù)列為等差數(shù)列，則有