計數(shù)原理講義-2024屆高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)沖刺

2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺之計數(shù)原理

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

【知識梳理】

1、一般地，有如下分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中

有陽種不同的方法，在第2類方案中有幾種不同的方法，那么完成這件事共有

N=7"+〃種不同的方法.

2、一般地，有如下分步乘法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中

有加種不同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法，那么完成這件事共有

N=種不同的方法.

3、一般地，我們有：幾元集合A={4,a2,}的不同子集有2"個.

【針對性訓(xùn)練】

1.從A地到3地要經(jīng)過C地，已知從A地到C地有三條路，從C地到3地有四條路，則

從A地到8地不同的走法種數(shù)是（）

A.7B.9C.12D.16

2.給一些書編號，準(zhǔn)備用3個字符，其中首字符用A,B,后兩個字符用a,b,c（允

許重復(fù)），則不同編號的書共有（）

A.8本B.9本C.12本D.18本

3.在如圖1所示的電路中，只合上一個開關(guān)可以接通電路，有一種不同的方法；在

如圖2所示的電路中，合上兩個開關(guān)可以接通電路，有一種不同的方法.

圖1圖2

4.有不同的語文書9本，不同的數(shù)學(xué)書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學(xué)

科的書2本，則不同的選法有（）種.

A.21B.315C.143D.153

5.（多選）下列說法中正確的有（）

A.4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有4?種報名方法

B.4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有34種報名方法

C.4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍（每項冠軍只允許一人獲得），共有43種可

能結(jié)果

D.4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍（每項冠軍只允許一人獲得），共有34種可

能結(jié)果

6.如圖所示，某地有南北街道5條，東西街道6條，一郵電員從該地東北角的郵局A出

發(fā)，送信到西南角的5地，且經(jīng)過C地，要求所走的路程最短，共有多少種不同的走法？

7.立德幼兒園王老師和李老師給小朋友發(fā)水果.王老師的果籃有草莓，蘋果，芒果3種水

果.李老師的果籃里有蘋果，櫻桃，香蕉，卿猴桃4種水果.小華可以在兩個老師的果籃

里分別選一個水果.小華拿到兩種不同的水果的情況有（）

A.6種B.7種C.11種D.12種

8.某校教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，一學(xué)生由一層到五層的走法有（）

A.10種B.2,種C.5?種D.24種

9.用0,1,2,3,9十個數(shù)字可組成多少個不同的.

（1）三位數(shù)？

(2)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

(3)小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？

10.某電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告、兩個不同的宣傳廣告、一個

公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個

宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？

二.排列與組合

【知識梳理】

4、一般地，從九個不同元素中取出加(加《〃)個元素，并按照一定的順序排成一列，

叫做從〃個不同元素中取出帆個元素的一個排列.

5、我們把從九個不同元素中取出加(加＜〃)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從九

個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示.

6、排列數(shù)公式：/￡="("一1)("-2).(77-m+1),其中n&N*,并且加＜〃.特

別地，我們把九個不同元素全部取出的一個排列，叫做〃個元素的一個全排列.這時排

列數(shù)公式中m=〃，即有="(〃-1)(”-2)xx3x2xl.也就是說，將〃個不同的元

素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到九的連乘積.正整數(shù)1至IJ〃的連乘積，叫做"的

階乘，用加表示.于是，九個元素的全排列數(shù)公式可以寫成當(dāng)=加.另外，我們規(guī)定，

0!=1.

7、排列數(shù)公式還可以寫成=—J,它還有另一個變形A：=.

8、一般地，從幾個不同元素中取出加(加＜〃)個元素作為一組，叫做從〃個不同元素

中取出m個元素的一個組合.

9、從九個不同元素中取出加（加＜"）個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從幾個不同

元素中取出機個元素的組合數(shù)，用符號表示.

10、根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有

因此，組合數(shù)公式：丁=里=〃（〃-1）（〃-2）6-〃z+1）,這里加，n?N*,

"A：m\

并且加＜〃.

n、因為些=-兒nI，所以上面的組合數(shù)公式可以寫成c；=nI.另外，我們

規(guī)定《=1.

12、常見排列組合變形公式:

rrj1

⑴(2)C：=C；m;

⑶―1⑷筌-號="鏟與3

【針對性訓(xùn)練】

11.從甲、乙、丙三人中選出兩人并站成一排的所有站法為（）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲，丙乙

D.甲乙，甲丙，乙丙

12.下列問題中，是排列問題的為（）

A.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組

B.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項活動

C.從a,b,c,d中選出3個字母

D.從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)

13.下列各式中等于〃！的是（）

A.娼B.A：+IC.C：D.端

14.從5人中選派2人去參加某個會議，則不同的選派方法的種數(shù)為（）

A.9B.10C.20D.25

15.計算2露+3&的值是（）

A.72B.102C.5070D.5100

16.兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏三局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人

輸贏局次的不同視為不同情形）共有（）

A.10種B.15種C.20種D.30種

17.在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則下列說法正確的是（）

A.恰好取到一件次品有C；C：7不同取法

B.至少取到一件次品有C；C：7不同取法

C.兩名顧客恰好一人買到一件次品一人買到一件正品有反不同取法

D.把取出的產(chǎn)品送到檢驗機構(gòu)檢查能檢驗出有次品的有不同種方式

18.從1,2,3,4,7,9中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到多

少個對數(shù)值？

19.如圖，一環(huán)形花壇分成A,B,C,。四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊

里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（)

A.96B.84C.60D.48

20.用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓,

且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是（）

A.12B.24C.30D.36

三.二項式定理

【知識梳理】

13、二項式定理：（a+”'=C；a"+C"”++Cy-kbk++C?",nwN*.右

邊的多項式叫做（。+與"的二項展開式，其中各項的系數(shù)G（左=0,1,2,n）

叫做二項式系數(shù).式中的叫做二項展開式的通項，用，+i表示，即通項為展開

kk

式的第4+1項:Tk+l=Cy-b.

14、二項式系數(shù)有以下性質(zhì)：

（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等；這一性質(zhì)可以直接由

C：=得到.直線r=］將函數(shù)/（廠）=C：的圖象分成對稱的兩部分，它是圖象的對

稱軸.

（2）增減性與最大值：因為。：=如工(n—k)(n—k+l)n—%+1

*即

（左一1）!左k

1nk-I-1V1-I-1

/=,所以當(dāng)。>1時,即左<匕時，C隨人的增加而增大；由

Cnkk2

對稱性知，當(dāng)左〉歲時，C：隨左的增加而減小.當(dāng)〃是偶數(shù)時，中間的一項取得

n-\n+1

最大值；當(dāng)九是奇數(shù)時，中間的兩項C/與c/相等，且同時取得最大值.

（3）各二項式系數(shù)的和：若令二項式的a=l,b=l,得

2"=C：+C：+C；++C；.這就是說，（。+6）"的展開式的各二項式系數(shù)的和等于

2".

（4）奇數(shù)項和偶數(shù)項：奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.

15、楊輝三角的特征：三角形的兩個腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上

的兩個數(shù)相加.楊輝三角的第九行的第r個數(shù)可以表示為Cl,第九行就是（a+與”的展

開式的二項式系數(shù).把上述特征用公式表示，有C：=C：［；+C：_i.

【針對性訓(xùn)練】

21.（1-2x）6的展開式的第3項為（）

A.-120B.-120x2C.60D.60x2

22.二項式（x+l）"（〃eN*）的展開式中/項的系數(shù)為15,則〃=（）

A.4B.5C.6D.7

23.若（1+3了）"（“€/）的展開式中，第三項的二項式系數(shù)為6,則第四項的系數(shù)為（）

A.4B.27C.36D.108

24.（l+x+f）（l-x尸的展開式中含丁的項為（）

A.-85B.175C.一85fD.175%3

25.（尤+匕）（x+y）5的展開式中丁）？的系數(shù)為（）

X

A.5B.10C.15D.20

26.在3+勾”的展開式中，第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，則〃=（）

A.6B.7C.8D.9

27.已知二項式（如,-A"的展開式中各項的二項式系數(shù)和為512,且展開式中的常數(shù)項為

X

27C；，則。=（）

A.1B.2C.3D.4

28.在二項式（浮-gx）"的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的第4項

為（）

1235—7

A.7x6B.-7x3C.—x3D.--x1

84

29.（6+工）9的展開式中的常數(shù)項為—.

X

30.右(2+X)"=Cl。+q(1+X)+4(1+X)2+...+"17(1+%)"，則

%+%+/+/+—+%6=?

2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺之計數(shù)原理

參考答案與試題解析

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

1.從A地到3地要經(jīng)過C地，已知從A地到C地有三條路，從C地到3地有四條路，則

從A地到B地不同的走法種數(shù)是（）

A.7B.9C.12D.16

【考點】03：計數(shù)原理的應(yīng)用

【專題】11：計算題；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；50：排列組合；65：數(shù)學(xué)運算；

49：綜合法

【分析】根據(jù)題意，依次分析從A到C和從C到3的走法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得

答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從A地到3地要經(jīng)過C地，已知從A地到C地有三條路，則從A

到C有3種不同的走法，

從C地到3地有四條路，則從C到3有4種不同的走法，

則從A地到3地不同的走法種數(shù)有3x4=12種；

故選：C.

【點評】本題考查分步計數(shù)原理的應(yīng)用，注意分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理的不同，屬于基

礎(chǔ)題.

2.給一些書編號，準(zhǔn)備用3個字符，其中首字符用A,B,后兩個字符用a,6,c（允

許重復(fù)），則不同編號的書共有（）

A.8本B.9本C.12本D.18本

【考點】D2：分步乘法計數(shù)原理

【專題】11：計算題

【分析】首先確定首字符，不重復(fù)，然后再確定第二和第三個字符，允許重復(fù)，最后利用分

布乘法原理求值.

【解答】解：分兩步：

第一步：選定首字符，有2種可能；

第二步：選后兩個字符，又分兩小步：第二字符，有3種可能，第三個字符，也有3種可

能，

所以利用乘法原理，最終就有2x3x3=18種不同的組合情況，也就是說可以編18本書.

故選：D.

【點評】本題考查了分步乘法原理，解答的關(guān)鍵是明確首字符不重復(fù)，后兩個字符允許重

復(fù)，是基礎(chǔ)題也是易錯題.

3.在如圖1所示的電路中，只合上一個開關(guān)可以接通電路，有5種不同的方法;在

如圖2所示的電路中，合上兩個開關(guān)可以接通電路，有一種不同的方法.

【答案】5；6.

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算

【分析】利用計數(shù)原理，求解結(jié)果即可.

【解答】解：如圖1所示的電路中，只合上一個開關(guān)可以接通電路，有5種不同的方法；

在如圖2所示的電路中，合上兩個開關(guān)可以接通電路，有3x2=6種不同的方法.

故答案為：5；6.

【點評】本題考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

4.有不同的語文書9本，不同的數(shù)學(xué)書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學(xué)

科的書2本，則不同的選法有（）種.

A.21B.315C.143D.153

【考點】03：計數(shù)原理的應(yīng)用

【專題】50：排列組合

【分析】根據(jù)題意，從中選出不屬于同一學(xué)科的書2本，包括3種情況：①一本語文、一本

數(shù)學(xué)，②一本語文、一本英語，③一本數(shù)學(xué)、一本英語，分別計算各種情況下對的取法

數(shù)目，再由分類計數(shù)原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從中選出不屬于同一學(xué)科的書2本，包括3種情況：

①一本語文、一本數(shù)學(xué)，有9x7=63種取法，

②一本語文、一本英語，有9x5=45種取法，

③一本數(shù)學(xué)、一本英語，有7x5=35種取法，

則不同的選法有63+45+35=143種；

故選：C.

【點評】本題考查分類計數(shù)原理的運用，是簡單的題目；解題時需要注意準(zhǔn)確計算即可.

5.（多選）下列說法中正確的有（）

A.4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有4?種報名方法

B.4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有34種報名方法

C.4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍（每項冠軍只允許一人獲得），共有43種可

能結(jié)果

D.4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍（每項冠軍只允許一人獲得），共有34種可

能結(jié)果

【答案】BC

【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算

【分析】利用計算原理，轉(zhuǎn)化求解判斷選項的正誤即可.

【解答】解：對于A、B,4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，每人都

有3種選擇，共有34種報名方法，所以A錯誤；3正確；

對于C、D,4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍（每項冠軍只允許一人獲得），每個

冠軍有4種可能，共有43種可能結(jié)果，所以C正確，。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查計數(shù)原理以及排列組合的簡單應(yīng)用，是中檔題.

6.如圖所示，某地有南北街道5條，東西街道6條，一郵電員從該地東北角的郵局A出

發(fā)，送信到西南角的3地，且經(jīng)過C地，要求所走的路程最短，共有多少種不同的走法？

B

【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；排列組合

【分析】根據(jù)題意，從A經(jīng)C到5的最短路程，只能向左、向下運動，將原問題轉(zhuǎn)化為排

列、組合問題，分別討論計算從A到C與從C到3的最短路程的情況數(shù)目，由分類計數(shù)原

理，計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，從A經(jīng)C到3的最短路程，只能向左、向下運動；

從A到C,最短的路程需要向下走3次，向左走2次，即從5次中任取2次向左，剩下3

次向下，有點=10種情況,

從C到3,最短的路程需要向下走2次，向左走2次，即從4次中任取2次向左，剩下2

次向下，有C：=6種情況，

則從A經(jīng)C到3的最短路程，共有10x6=60種.

【點評】本題考查排列、組合的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵將圓問題轉(zhuǎn)化為排列、組合問題，由分步

計數(shù)原理計算得到答案.

7.立德幼兒園王老師和李老師給小朋友發(fā)水果.王老師的果籃有草莓，蘋果，芒果3種水

果.李老師的果籃里有蘋果，櫻桃，香蕉，舜猴桃4種水果.小華可以在兩個老師的果籃

里分別選一個水果.小華拿到兩種不同的水果的情況有（）

A.6種B.7種C.11種D.12種

【答案】C

【考點】分類加法計數(shù)原理

【專題】分類討論；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算

【分析】分兩種情況：①小華拿到的水果里沒有蘋果，②小華拿到的水果里有蘋果，再結(jié)合

分步乘法和分類加法計數(shù)原理，得解.

【解答】解：分兩種情況：

①小華拿到的水果里沒有蘋果，則在王老師的果籃里有2種選法，在李老師的果籃里有3

種選法，共有2x3=6種選法；

②小華拿到的水果里有蘋果，再分蘋果來自王老師還是李老師的果籃，共有l(wèi)x3+2xl=5

種選法，

由分類加法計數(shù)原理知，共有6+5=11種選法.

故選：C.

【點評】本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用，熟練掌握分步乘法和分類加法計數(shù)原理是解題的關(guān)鍵，

考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.某校教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，一學(xué)生由一層到五層的走法有()

A.10種B.2、種C.52種D.2,種

【答案】D

【考點】分步乘法計數(shù)原理

【專題】計算題

【分析】通過層與層之間的走法，利用分步計數(shù)原理求解一層到五層的走法.

【解答】解：共分4步：■層到二層2種，二層到三層2種，三層到四層2種，四層到五

層2種,一共2"=16種.

故選：D.

【點評】本題主要考查分步計數(shù)原理的應(yīng)用，理解好題意，從一層到五層共分四步.

9.用0,1,2,3,9十個數(shù)字可組成多少個不同的.

(1)三位數(shù)？

(2)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

(3)小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？

【答案】(1)900個.

(2)648個.

(3)379個.

【考點】分類加法計數(shù)原理

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算

【分析】分別根據(jù)分步計數(shù)原理可求出(1),(2),根據(jù)分類計數(shù)原理可可求出(5).

【解答】解：(1)百位不能為0,有9種選法，十位和個位各有10種選法，

故有9x10x10=900種，.

(2)百位上的數(shù)字有9種選法，

十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法，

個位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個數(shù)字中選取，

所以共有9x9x8=648個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

(3)滿足條件的一位自然數(shù)有10個，

兩位自然數(shù)有9x9=81個，

三位自然數(shù)有4x9x8=288個，

由加法計數(shù)原理知共有10+81+288=379個小于500且無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).

【點評】本題考查排列組合以及簡單計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.某電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告、兩個不同的宣傳廣告、一個

公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個

宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？

【考點】D3：計數(shù)原理的應(yīng)用

【專題】11：計算題；5（9：排列組合

【分析】首先排列3個商業(yè)廣告，有國種結(jié)果，再在三個商業(yè)廣告形成的四個空中排列三

個元素，注意最后一個位置一定要有廣告共有種結(jié)果，根據(jù)乘法原理得到結(jié)果.

【解答】解：由題意知，這里是元素不相鄰的問題，

首先排列3個商業(yè)廣告，有禺=6種結(jié)果，

再在三個商業(yè)廣告形成的四個空中排列三個元素，注意最后一個位置一定要有廣告，

共有小=18種結(jié)果，

根據(jù)分步計數(shù)原理知共有6x18=108種結(jié)果，

【點評】本題考查分步計數(shù)原理，注意題目中對于元素要不同的限制條件，一是有不相鄰，

二是有一個位置不能是一種元素，并且還不能空著，注意這幾種不同要求要同時滿足.

二.排列與組合

11.從甲、乙、丙三人中選出兩人并站成一排的所有站法為（）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲，丙乙

D.甲乙，甲丙，乙丙

【答案】C

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；邏輯推理

【分析】利用排列組合的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法列舉如下：

甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙，共6種，

故C正確，

故選：C.

【點評】本題考查了排列組合的簡單計數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.

12.下列問題中，是排列問題的為()

A.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組

B.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項活動

C.從a,b,c,d中選出3個字母

D.從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成?個兩位數(shù)

【答案】AD

【考點】排列及排列數(shù)公式

【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)抽象

【分析】根據(jù)排列組合定義分析即可.

【解答】解：A中3名同學(xué)不同，參加興趣小組科目也不同，可知是排列問題，對；

3中從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人只參加一項活動，可知和選人順序無關(guān)，.13錯；

C中從a,b,c,d中選出3個字母沒說干啥，可知選字母與順序無關(guān)，錯；

。中從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，可知選出的兩位數(shù)在

十位還是個位結(jié)果是不同的是排列問題，。對.

故選：AD.

【點評】本題考查排列組合定義，考查數(shù)學(xué)抽象能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.下列各式中等于〃！的是()

A.娼B.心C.喝二;D.端

【答案】C

【考點】排列及排列數(shù)公式

【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；數(shù)學(xué)運算

【分析】根據(jù)排列數(shù)的公式，進(jìn)行化簡，逐一判斷即可.

【解答】解：^=(?-l)x(n-2)x...x2xl=(n-l)!,故A錯誤；

A^+1=(n+1)xz?x(n-1)x...x3x2=(?+1)!,故3錯誤;

研：二；=〃x(w-l)x(〃-2)x...x2xl=〃！，故C正確;

砍：=（〃+l）x〃x（〃-l）x...x3x2xl=（〃+l）!,故Z）錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了排列數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

14.從5人中選派2人去參加某個會議，則不同的選派方法的種數(shù)為（）

A.9B.10C.20D.25

【答案】B

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算

【分析】利用排列組合知識求解.

【解答】解：由題意可知，不同的選派方法的種數(shù)為C；=10,

故選：B.

【點評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題.

15.計算2露+3號的值是（）

A.72B.102C.5070D.5100

【考點】D5：組合及組合數(shù)公式；ZM：排列及排列數(shù)公式

【專題】11：計算題；49：綜合法；35：轉(zhuǎn)化思想；50：排列組合

【分析】利用排列以及組合數(shù)公式求解即可.

【解答】解：2C：+3&=2x23+3x5x4=102.

2x1

故選：B.

【點評】本題考查排列數(shù)以及組合式公式的應(yīng)用，是基本知識的考查.

16.兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏三局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人

輸贏局次的不同視為不同情形）共有（）

A.10種B.15種C.20種D.30種

【答案】C

【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用；排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】計算題

【分析】根據(jù)分類計數(shù)原理，所有可能情形可分為三類，在每一類中可利用組合數(shù)公式計

數(shù)，最后三類求和即可得結(jié)果

【解答】解：第一類：三局為止，共有2種情形；

第二類：四局為止，共有2xC；=6種情形；

第三類：五局為止，共有2xC：=12種情形；

故所有可能出現(xiàn)的情形共有2+6+12=20種情形

故選：C.

【點評】本題主要考查了分類和分步計數(shù)原理的運用，組合數(shù)公式的運用，分類討論的思想

方法，屬基礎(chǔ)題

17.在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則下列說法正確的是（）

A.恰好取到一件次品有C；C%不同取法

B.至少取到一件次品有C；C：7不同取法

C.兩名顧客恰好一人買到一件次品一人買到一件正品有息不同取法

D.把取出的產(chǎn)品送到檢驗機構(gòu)檢查能檢驗出有次品的有不同種方式

【答案】AC

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運算

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，綜合即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A：在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取2件，

恰好取到1件次品包含的基本事件個數(shù)為GC%,A正確，

對于B：至少取到1件次品包括兩種情況：

只抽到一件次品，抽到兩件次品，

所以共有至少取到一件次品有C；-C*7+Cl-Cl,3錯誤，

對于C：兩名顧客恰好一人買到一件次品一人買到一件正品有7M不同取法，C正

確，

對于。：有次品即可，所以把取出的產(chǎn)品送到檢驗機構(gòu)檢查能檢驗出有次品的有

C^C^+Cf-Cl，Z）錯誤，

故選：AC.

【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.從1,2,3,4,7,9中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到多

少個對數(shù)值？

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】分類討論；定義法；排列組合；數(shù)據(jù)分析

【分析】根據(jù)對數(shù)的定義，分別討論真數(shù)為1時，以及排除對數(shù)值相同的兩個對數(shù)值即可.

【解答】解：若真數(shù)為1,此時對數(shù)值為0,此時有一個，

2,3,4,7,9,任取兩個不同的數(shù)有若=20個對數(shù)值，其中l(wèi)og；=log；=2,

log；=logg=1,log；=log；,log；=log；,對數(shù)重復(fù)4個，

故總共有1+20-4=17個不同的對數(shù)值.

【點評】本題主要考查簡單的計數(shù)問題，對應(yīng)要進(jìn)行分類討論，去掉重復(fù)的是解決本題的關(guān)

鍵.比較基礎(chǔ).

19.如圖，一環(huán)形花壇分成A,B,C,。四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊

【答案】B

【考點】等可能事件和等可能事件的概率

【專題】壓軸題

【分析】這道題比起前幾年出的高考題要簡單些，只要分類清楚沒有問題，分為三類：分別

種兩種花、三種花、四種花，分這三類來列出結(jié)果.

【解答】解：分三類：種兩種花有種種法；

種三種花有2禺種種法；

種四種花有用種種法.

共有式+2A：+￡=84.

故選：B.

【點評】本題也可以這樣解：按。順序種花，可分A、C同色與不同色有

4x3x(lx3+2x2)=84.

20.用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓，

且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是()

(XXDCXDO

A.12B.24C.30D.36

【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題

【專題】50：排列組合

【分析】先涂前三個圓，再涂后三個圓.若涂前三個圓用3種顏色，求出不同的涂法種

數(shù).若涂前三個圓用2種顏色，再求出涂法種數(shù)，把這兩類涂法的種數(shù)相加，即得所

求.

【解答】解：先涂前三個圓，再涂后三個圓.

因為每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，

分兩類，

第一類，前三個圓用3種顏色，后三個圓也用3種顏色，

若涂前三個圓用3種顏色，有用=6種方法；則涂后三個圓也用3種顏色，有C；C；=4種方

法，

此時，故不同的涂法有6x4=24種.

第二類，前三個圓用2種顏色，后三個圓也用2種顏色，

若涂前三個圓用2種顏色，則涂后三個圓也用2種顏色，共有C；C；=6種方法.

綜上可得，所有的涂法共有24+6=30種.

故選：C.

【點評】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

三.二項式定理

21.(1-2x)6的展開式的第3項為()

A.-120B.-120x2C.60D.60x2

【答案】D

【考點】二項式定理

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算

【分析】由題意，利用二項式展開式的通項公式，求出(l-2x)6的展開式的第3項.

【解答】解：(l-2x)6的展開式的第3項為4=*?(-24=60f,

故選：D.

【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

22.二項式(x+1)"(〃eN*)的展開式中犬項的系數(shù)為15,則〃=()

A.4B.5C.6D.7

【考點】DA：二項式定理

【專題】34：方程思想；40：定義法；5P：二項式定理

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，列出方程求出〃的值.

【解答】解：二項式(x+l)"(aeN*)的展開式中/項的系數(shù)為15,

C；=15,

即"("1)=15,

2

解得〃=6或，=一5(不合題意，舍去),

n的值是6.

故選：C.

【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

23.若(1+3幻"("€乂)的展開式中，第三項的二項式系數(shù)為6,則第四項的系數(shù)為()

A.4B.27C.36D.108

【答案】D

【考點】二項式定理

【專題】方程思想；分析法；計算題；二項式定理；數(shù)學(xué)運算

【分析】利用C；=6求出〃，再利用展開式求出第四項.

【解答】解：展開式的第左+1項為幾|=C>(3x)\

因為第三項的二項式系數(shù)為6,所以C；=6,解得〃=4.

所以第四項為C[(3無彳=108/.

故選：D.

【點評】本題考查二項式定理的展開式，屬于基礎(chǔ)題.

24.(l+x+x2)(i_x)i。的展開式中含丁的項為()

A.-85B.175C.-85x3D.175?

【答案】C

【考點】二項式定理

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算

【分析】將條件式子變形為(1-W°+尤(1-無尸+人(1-方。,求出(1-x尸的展開式，進(jìn)一步

計算可得含有丁的項.

【解答】解：(1+X+X2)(1-X)10=(1-X)10+%(1-X)10+X2(1-%)10,

210

又(1-方°=Go+C；O(T)+Cf0(-x)++C1(T)9+C；：(―x),

3333

所以含%的項為1X(-x)+x?C*(-尤)2+尤2,c10(-%)=(-120+45-10)%=-85%.

故選：C.

【點評】本題考查了二項式定理中求指定項的問題，屬于基礎(chǔ)題.

2

25.(x+上)(x+y)5的展開式中的系數(shù)為()

x

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

【考點】二項式定理

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項式定理；數(shù)學(xué)運算

【分析】先把條件整理轉(zhuǎn)化為求(/+>2)(x+丫彳展開式中//的系數(shù)，再結(jié)合二項式的展開

式的特點即可求解.

【解答】解：因為(X+L)(尤+y)5="+—+爐；

XX

要求展開式中X3/的系數(shù)即為求(X2+/)(%+y)5展開式中X4/的系數(shù)；

324

（丁+丁2）（芯+?。?展開式含了4,3的項為:%2.窗/,y+y..y=15%/；

2

故（彳+*）。+〉）5的展開式中V了3的系數(shù)為15；

X

故選：C.

【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，

屬基礎(chǔ)題.

26.在（4+切”的展開式中，第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，則〃=（）

A.6B.7C.8D.9

【考點】ZM：二項式定理

【專題】11：計算題；38：對應(yīng)思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5P：二項式定理

【分析】直接由題意得到C：=C；,再由組合數(shù)公式的性質(zhì)得到〃值.

【解答】解：由（。+6）”的展開式中，第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，

得C：=C；,即“=1+5=6.

故選：A.

【點評】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

27.已知二項