江蘇中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講練：題型四 幾何圖形中的線(xiàn)段最值問(wèn)題

針對(duì)演練1.如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若點(diǎn)M,N分別是線(xiàn)段AC,AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是()A.10B.8C.5D.62.如圖，直線(xiàn)l與半徑為4的⊙Ｏ相切于點(diǎn)Ａ，Ｐ是⊙Ｏ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)Ａ重合），過(guò)點(diǎn)Ｐ作ＰＢ⊥l垂足為Ｂ，連接ＰＡ.設(shè)ＰＡ＝x，ＰＢ＝y(tǒng)，則（x-y）的最大值是.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y=x2-2x+2上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對(duì)角線(xiàn)作矩形ABCD，連接BD，則對(duì)角線(xiàn)BD的最小值為.4.如圖，已知⊙O的直徑AB＝6，E、F為AB的三等分點(diǎn),M，N為上兩點(diǎn)，且∠MEB=∠NFB=60°，則EM+FN＝.5.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE＝1，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，AF=2,P為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF+PE的最小值為.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4），直線(xiàn)y=x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是直線(xiàn)AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM長(zhǎng)的最小值為.7.如圖,∠AOB=30°，點(diǎn)M，N分別在邊OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，點(diǎn)P,Q分別在邊OB，OA上，則MP+PQ+QN的最小值是.已知點(diǎn)D與點(diǎn)A（8，0），B（0，6），C(a，-a)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則CD長(zhǎng)的最小值為.【答案】針對(duì)演練B【解析】如解圖，作B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接BB′，交AC于點(diǎn)E,連接AB′，過(guò)點(diǎn)B′作B′N(xiāo)⊥AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M,連接MB,此時(shí)BM+NM=B′N(xiāo)最小，∵AB=10,BC=5,在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=,∵S△ABC＝AB·BC＝AC·BE,∴BE=，∵BB′＝2BE,∴BB′＝4，∵B′N(xiāo)⊥AB，BC⊥AB,BE⊥AC,∴∠ANB′＝∠ABC=∠AEB=∠AEB′＝90°，∴∠BB′N(xiāo)+∠NBB′＝∠BAC+∠NBB′=90°，∴∠BB′N(xiāo)＝∠BAC,∴△ABC∽△B′N(xiāo)B,∴，即,∴NB′＝8，即BM+MN的最小值為8.2.2【解析】如解圖，作直徑AC，連接CP，則∠CPA=90°，∵AB是切線(xiàn)，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，∴△APC∽△PBA，∴，∵PA=x，PB=y，半徑為4，∴，∴y=x2，∴x-y=x-x2=-x2+x=-（x-4）2+2，當(dāng)x=4時(shí)，x-y有最大值且最大值是2.3.1【解析】本題考查拋物線(xiàn)性質(zhì)和矩形性質(zhì).由拋物線(xiàn)y=x2-2x+2=(x-1)2+1得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1），∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC，∴當(dāng)BD最小時(shí)AC最小.∵點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y=x2-2x+2上，∴當(dāng)點(diǎn)A是拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,1）時(shí)，AC最小為1，∴BD的最小值為1.4.【解析】如解圖，延長(zhǎng)ME交⊙O于G，∵E、F為AB的三等分點(diǎn)，∠MEB=∠NFB=60°，∴由圓的對(duì)稱(chēng)性得FN=EG，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MG于點(diǎn)H，連接MO，∵⊙O的直徑AB=6，∴OE＝OA-AE＝×6-×6＝3-2＝1，OM=×6＝3，∵∠MEB＝60°，∴OH=OE·sin60°=1×=，在Rt△MOH中，MH＝，根據(jù)垂徑定理，MG＝2MH=2×，即EM+FN=ME＋GE＝MG＝.【解析】如解圖，作F點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′,則F′在AD的中點(diǎn)處，可知PF=PF′，連接EF′,EF′與AC交于點(diǎn)P,此時(shí)PF+PE的值最小，即：EF′=PF+PE，過(guò)E點(diǎn)作EM⊥AD于點(diǎn)M,因?yàn)锳M=BE=1，EM=AB=4，所以MF′=1，在Rt△EMF′中，EF′2＝EM2+MF′2=42+12=17,即EF′=，所以EF′=PF+PE=.6.【解析】本題考查了直角坐標(biāo)系中垂線(xiàn)段最短的問(wèn)題，定點(diǎn)P到定直線(xiàn)的距離最短，則PM⊥AB，由此可得，∠BPM+∠PBA=∠PBA+∠OAB=90°，∴∠BPM=∠OAB.對(duì)于直線(xiàn)y=x-3，令x=0，則y=-3，令y=0，則x=4，∴OA=4，OB=3，由勾股定理可得AB=5，cos∠OAB=cos∠BPM=，∵PB=7，∴PM=7×=.7.【解析】如解圖，作點(diǎn)M關(guān)于ON對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接M′N(xiāo)′分別交ON、OA于點(diǎn)P、Q，此時(shí)MP+PQ+NQ的值最小.由對(duì)稱(chēng)性質(zhì)知，M′P=MP，N′Q=NQ，∴MP+PQ+NQ=M′N(xiāo)′.連接ON′、OM′，則∠M′OP=∠MOP=∠N′OQ=30°，∴∠N′OM′=90°，又∵ON′=ON=3，OM′=OM=1,∴M′N(xiāo)′=，∴MP+PQ+QN的最小值是.8.【解析】有兩種情況：①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB=CD==10；②CD是平行四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AO于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AO于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DF于點(diǎn)N，則∠BND=∠DFA=∠CMA=∠QFA=90°，∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，∵四邊形ACBD是平行四邊形，∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，∴∠BDF=∠FQA，∴∠DBN=∠CAM，在△DBN和△CAM中，，∴△DBN≌