山東省聊城市2024屆高三年級下冊等級模擬卷（三）數(shù)學(xué)試卷(含答案)

山東省聊城市2024屆高三下學(xué)期等級模擬卷(三)數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1.已知拋物線。：爐=2加5〉0)的焦點R到其準線的距離為2,過R的直線/與C交

于A,3兩點，則的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

1-1OS34

2.設(shè)a=log49,b=log25,C=3,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>a>c^b>c>aa>b>c^c>b>a

3.2,且就>1"是"a<-1，且5<-1"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知圓C與兩坐標軸及直線x+y-2=0都相切，且圓心在第二象限，則圓C的方

程為()

A.(x+0『+(y_@2=0+=2

C.(x—何+(y+可=0D.(x+可+"可=2

5.設(shè)函數(shù)外力的圖象與函數(shù)y=2cos7u,e-的圖象關(guān)于x軸對稱，將/(x)

1

的圖象向右平移;個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)y的圖象與

x-1

y=g(x)的圖象的所有交點的橫坐標之和為()

A.8B.6C.4D.2

普］,且sin2a=—g，則cos［a+；］=()

6.已知

399

A.-lB.-C.—D.--

441616

7.設(shè)正項數(shù)列｛4｝的前n項和S“滿足2S"表示從n個不同元素中任取m

10

個元素的組合數(shù)，則為?=()

k=l

A.512B.1024C.5120D.10240

8.設(shè)函數(shù)/（九）定義域為R,導(dǎo)數(shù)為r（力，若當xNO時，f\x）＞2x-l，且對于任

意的實數(shù)x,/（—%）=/（%）+2x，則不等式/（2x—1）—/（%）＜—5x+2的解集為（）

二、多項選擇題

9.設(shè)方程必_%+1=0的兩根再，/，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是X],乂2，則（）

A.X]-x2的實部為1B.X1,X?關(guān)于x軸對稱

C.|^|=|x2|=1D.+\x2=-1

10.在美國重壓之下，中國芯片異軍突起，當前我們國家生產(chǎn)的最小芯片制程是7納

米.某芯片生產(chǎn)公司生產(chǎn)的芯片的優(yōu)秀率為0.8,現(xiàn)從生產(chǎn)流水線上隨機抽取5件，其

中優(yōu)秀產(chǎn)品的件數(shù)為X.另一隨機變量F?N（4,l）,則（）

A.￡＞（2X+1）=1.6B.￡（X）=￡（y）,D（X）＞D（K）

C.p（X＜4）＞P（Y＞4）D.p（X=外隨左的增大先增大后減小

11.已知圓錐S。（。為底面圓心）的軸截面是面積為1的等腰直角三角形，P是底面

圓周上的一個動點，直線。，人滿足a,6，a1SO,b1SO,設(shè)直線SP與a所成的

角為a,直線SP與人所成的角為0,則（）

A.?的取值范圍為B.該圓錐內(nèi)切球的表面積為02-8后卜

分的取值范圍為：

C.cosacos0,D.COS26Z+COS2/?=1

三、填空題

已知集合人={，，且則實數(shù)。的值為.

12.15,/},8={1,3+2MAIB=AJ

13.兩本相同的圖畫書和兩本不同的音樂書全部分給三個小朋友，每人至少一本，且

兩本圖畫書不分給同一個小朋友，則不同的分法共有種.

22

c：二-谷=13〉。〉0）_

14.已知雙曲線"b-的一個焦點為F,O為坐標原點，點A,3在

雙曲線上運動，以A,3為直徑的圓過點O,且10A+。8M4網(wǎng)叫恒成立，則C

的離心率的取值范圍為.

四、解答題

15.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

bsinfitanA=百asinficosC+s/3bsinCcosA■

(1)求A；

(2)若。在邊3C上，且BD=2OC，b=3,AD=2也,求△ABC的周長.

16.如圖，在正三棱柱ABC-AAG中，AA=2AB=2,點。，E,R分別是棱AC,

CCpG4的中點，點P滿足人？=九鉆+〃"，其中2c[0,1],

(1)當;1=〃=1■時，求證：DP〃平面4匹；

(2)當幾=1時，是否存在點尸使得平面ACP與平面AEP的夾角的余弦值是巫？

5

若存在，指出點P的位置，若不存在，請說明理由.

17.已知函數(shù)〃x)=!?以?+x，g(%)=liu-.

(1)若曲線y=/(x)與y=g(x)有一條斜率為2的公切線，求實數(shù)a的值；

(2)設(shè)函數(shù)從x)=/(x)—(a+l)g(x),討論人⑺的單調(diào)性.

18.今年五一節(jié)期間，聊城百貨大樓有限公司搞促銷活動，下表是該公司5月1號至

10號(日期簡記為1,2,3,……,10)連續(xù)10天的銷售情況：

日期X12345678910

銷售額y(萬

1919.319.62021.222.423.824.62525.4

元)

由上述數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到銷售額和日期的線性回歸方程為y=o.84x+17.45，日

期的方差約為3.02,銷售額的方差約為2.59.

(1)根據(jù)線性回歸方程，分析銷售額隨日期變化趨勢的特征，并計算第4天的殘差;

（2）計算相關(guān)系數(shù)廠，并分析銷售額和日期的相關(guān)程度（精確到0.001）；

（3）該公司為了促銷，擬打算對電視機實行分期付款方式銷售，假設(shè)顧客購買一臺電

視機選擇分期付款的期數(shù)及相應(yīng)的概率和公司獲得的利潤r（單位：元）情況如下

表:

246

P%a2a3

Y400600800

已知火,。2，%成等比數(shù)列.

設(shè)該公司銷售兩臺電視機所獲得的利潤為X（單位：元），當X=1200的概率取得最

大值時，求利潤X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

可3-歹）

參考公式：相關(guān)系數(shù)廠=1T?回歸方程y=桁+a中斜率和截距的最

V1=1z=l

小二乘法估計公式分別為：公=上―----------,a=歹-加.相關(guān)數(shù)據(jù),78218h279.67?

?（%一元I

Z=1

19.已知圓A：（x+l）2+y2=16和點3（1,0），點P是圓上任意一點，線段的垂直平

分線與線段以相交于點。，記點Q的軌跡為曲線C

（1）求曲線C的方程；

（2）點。在直線％=4上運動，過點。動直線/與曲線C相交于點M,N.

（i）若線段MN上一點E,滿足您=嗎，求證：當。的坐標為（4,1）時，點E

EN\m\）

在定直線上；

（ii）過點〃作x軸的垂線，垂足為G,設(shè)直線GN,GD的斜率分別為匕，七，當直

線/過點（1,0）時，是否存在實數(shù)2,使得尤=私?若存在，求出2的值；若不存

在，請說明理由.

參考答案

1.答案：B

解析：根據(jù)題意，拋物線。：爐=2勿5〉0）的焦點R到其準線的距離為2,

即1=2,則拋物線。:爐=今,焦點/（0,1）,

當直線/平行于X軸時，i：y=i,|AB|=4,

當直線/不平行于X軸時，

設(shè)直線/：%=7〃（丁一1）,（mwO）,B（x2,y2）,

聯(lián)立方程組「2:01），得〃72y2-2（7〃2+2）y+〃?2=0,A>0,

X=4y\）

又|AB|=必+%+2=—^+4>4,所以1AB］的最小值為4.

故選：B

解析：因為函數(shù)y=log2X在定義域上單調(diào)遞增,

K/?=log25>log23=log49=?>log22=l,

又C=31-10834=3腕33-1哂4=31OS34=1<1,

4

所以Z?>a>l>c-

故選：A

3.答案：B

解析：若。<-1，且b<-1，根據(jù)不等式的加法和乘法法則可得a+A<-2,且必>1，

即必要性成立;

當a=—3，b=-g,滿足a+A<_2，且">1，但是6=-工〉-1,故充分性不成立,

22

所以％+/?<-2，且">1"是"a<-1，且/?<-1”的必要不充分條件.

故選：B

4.答案：D

解析：由題意設(shè)所求的圓方程為(x-4+(y-b)=/(a<0,b>0)，

阿二網(wǎng)二/b=—a=r

b=-a=垃

則<卜+6-2|,即<2,解得

~l^=rr=A/2

所以圓C的方程為(x+應(yīng)y+(y_0)2=2.

故選：D

5.答案：C

解析：由題意得/>(X)=-2cOS7lx]xe—g'U，貝I

g(x)=-2cos兀(x-g)=-2sin7tx(xe[0,2]).

函數(shù)y=」_的圖象由函數(shù)y=l圖形向右平移1個單位得到.

x-1X

由函數(shù)y=——的圖象與y=g(X)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，在定義域內(nèi)有4個交點.

x-1

所以函數(shù)y=L的圖象與y=g(X)的圖象的所有交點的橫坐標之和為2x2=4

x-1

故選：C.

6.答案：A

解析：因為sin2a=-cosf2cif+j=,所以cos(Za+]]=：,

所以cos1~j-cos2(o+:J=2cos21a+：[-1=§,

2

則cosa+—=一，即cosa+-I=±—,

4J16(4)4

由aw]。,1],則2a由sin2a=-：<0，得2a兀故

兀7兀

aG

29l2

所以T，貝!Jcos[a+()<0,故cos|a+：2

4

故選：A

7.答案：C

解析：由2s,=a；+a“，當〃=1時，2si=a；+%，解得q=l,

當“22時,2s-1=吮+%，則2%=(a；+aj-(如+aa_J,

整理(4+)(%-％T=。，

又數(shù)列｛4｝為正項數(shù)列，則4+/T>0,所以?！耙?。1一1=0,^an-an_^l,

所以數(shù)列｛風(fēng)｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以4=1+(〃-1)x1=〃.

因為mC=m---------=m-----------------=n-----------------------=nC.,

Mm!(n-m)!m-(m-l)!-(n-m)!(m-1)!?[(n-1)-(m-1)]!

101010

10C-1

所以E%。='比￡。=S9=I。x?+C；+C；++C?)=10X29=5120.

k=\k=lk=\

故選：c

8.答案：B

解析：因為/(-%)=/(x)+2x，

設(shè)g(%)=/(1)—/+]，

則g(-x)=/(-x)-x2-x=f[x)+2x-x1-x=g(x),

即g(x)為R上的偶函數(shù)，

又當轉(zhuǎn)0時，f'(x)>2x-l，

則g'(x)=/'(x)-2x+l>0，所以g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，在(-oo,0)上單調(diào)遞減,

因為/(2x-l)-/(x)<3x2-5x+2,

所以/(2x-l)-(2x-l)2+(2x-l)</(x)-x2+x>

即g(2x—l)<g(x)，所以|2%_[<兇，BP(2%-I)2<x2>

解得-<x<l.

3

故選：B

9.答案：BCD

解析：由實系數(shù)一元二次方程求根公式知：

方程f_%+1=0的兩根為%]=工+且4，%2=2-

“2222

則%―%=[工+3i]—■—走i]="，所以國—々的實部為°，故A錯誤;

\2J(22J

藥=\/4，X——鳥,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別是x/L五],

2222122J122J

他們關(guān)于入軸對稱，故B正確;

由％=工+

122

即㈤玉|=L故C正確;

由寸:+#i'得

、、、

f16.叵(1石.化-走】」+烏

玉+不工----------11+—H-----1+

%22~22”22222

(277\7\7

故D正確.

故選：BCD

10.答案：CD

解析：由題意X~5（5,0.8），則E（X）=5xQ8=4,D（X）=5x0.8x0.2=0.8,

所以￡＞（2X+l）=4xO.8=3.2,故選項A錯誤；

X~5（5,0.8），則尸（乂=左）=008仙0.25-3設(shè)當X=左（左21）時概率最大，

則有1P（X=A"P（X=k+l）即Jc＞0.8/-0.25-匕域+1-0.8/+'0.22

、[尸（X=A）2尸（X=Z—1，'[C5-0,8^0.25^＞C^1-0.8AM-0.26^;

解得3.8WkW4.8，由kGZ，所以當X=4時概率最大，

則P（X=0）＜P（X=l）＜P（X=2）＜P（X=3）（P（X=4》P（X=5）,

即P（X=左）隨左的增大先增大后減小，故D選項正確；

又F?N（4,l）,則石⑺=4,D（Y）=1,E（X）=4,又X）=0.8,

所以用X）=￡（N）,D（X）＜D（Y）,故選項B錯誤；

P（X＜4）=l-P（X=5）=l-C5-0.85-0.25-5=0.67232,

XP（y＞4）=0.5-所以P（XW4）＞P（FN4），故選項C正確.

故選：CD

11.答案：BC

解析：如圖：

由題意S^sc?=；x|sqx|Sr)|=gx|SC「=1，所以|sC=|S￡)|=0,

所以|SO|=|oq=|OD|=V^xsin：=l，

如圖,

作出圓錐及其內(nèi)切球的軸截面，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為R,

易知，圓錐內(nèi)切球的半徑R即等于dSCD內(nèi)切圓的半徑.

因為S^SCD=$△℃+S△SOQ+，所以1=++2)，

所以R=」尸=拒一1,故圓錐的內(nèi)切球表面積

1+V2

S=4兀氏2=4兀(后一=(12—80)兀，

故選項B正確；

在圓錐底面上使ABJ_CO,

由于直線。，》滿足a,6a1SO,b±SO,不妨令?！ˋB,b//CD,符合題意，

以。為坐標原點，OA,OD,OS所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標

系，

則S(0,0,l)，4(1,0,0)，3(—1,0,0)，C(0,-l,0)?0(0,1,0)，

設(shè)P(cos仇sin0)，9￡[0,2兀],

所以S尸=(cosasin。,—1)，AB=(-2,0,0)，C0=(O,2,O)，

由異面直線向量夾角公式知：cosa—IcosSP,AB\=^_2^|cos,

cosB=「osSRC”=匡號4=4^sinq,因為夕￡[0,2兀],所以|cose|e[0,1]?

2\22

所以COSO€「旬，所以a/m，故選項A錯誤；

所以cos%+cos2〃=-^-jcos0l+-^-|sin0\=—(cos26*+sin2^^=—>故選項D錯

誤;

血血11

cosacos/3=-^-|cos6||x-^-|sin6)|=—|sin6>xcos=—|sin261|，因為。40,2可，所以

2同0,4可,

所以sin28G[-l,l],所以costzcos夕=/sin2，|e0,：,故選項C正確.

故選：BC

12.答案:3

解析：AiB=A，則BqA，有3+2a=5或3+2a=〃，解得a=l或a=-1或a=3,

其中a=±l時，與集合中元素的互異性矛盾，舍去，

所以實數(shù)。的值為3.

故答案為：3

13.答案：15

解析：不妨記兩本相同的圖書為元素1,1,兩本不同的音樂書為元素3,4,根據(jù)題

意，分類討論：

若分組情況為13,1,4時，此時分配給三個小朋友的方法有A；=6種情況；

若分組情況為14,1,3時，此時分配給三個小朋友的方法有A；=6種情況；

若分組情況為34,1,1時，此時分配給三個小朋友的方法有C；=3種情況；

綜上，不同的分法共有6+6+3=15種.

故答案為：15

14.答案：或0<-1+產(chǎn)

解析：設(shè)4石,%）,5（%2，%），直線AB：y=Ax+m，

因為以A,5為直徑的圓過點。，所以Q4LQB，即。4?05=%%2+乂%二0,

y=kx+m

聯(lián)立爐y2,整理得(/一//)/—2.2%一/加2一片j=0,

彳一屏=1

且△=4左2蘇/+4僅2-4左2)(。2療+。2。2)>0,

2kmeI?-crirr^+b2)

…L"a2kV翦=4—八2，

w2Z?2-a2b2k2

貝’」%%=(何+m)(Ax+m)=Epi+km^x+x)+m2

2x2b1-erk2

-a2(nr+b2)nrb2-aW

所以

xx,+y1,y2,=——2~22、+--25--z2—：2—=0

飛2b-akb-ak

整理得。沖

k2+1b2-a2

Im\ab

即由0(0,0)到直線AB-y=kx+m的距離d

又S△曲=f

^\OA\-\OB|=|AB\-d^

而向+網(wǎng)0/卜網(wǎng).c,

因為|。4+0第0q4|。用。@,即CW,；"2

所以/—3/+l4°nl<"l'

又b>aNA/2<e,

所以05?

故答案為：A/2,

）IF

15.答案：（1）-

3

⑵3用9

解析：（1）因為/?sinBtanA=6asinBcosC+^Z?sinCcosA，

所以sin2BtanA=上sinAsinBcosC+石sinBsinCcosA，因BG（0,TI）,所以sin5W0，

所以sinBtanA=A/3sinAcosC+V3sinCcosA=6sin（A+C）>

因sin（A+C）=sinB,所以tanA=G，因為A￡（0,TI）,所以A=g.

（2）因為5。=2￡>。，所以AD=AB+—3C=AB+—（AC—AB）=—AB+—AC，

33V>33

所以AD?=-AB2+-ABAC+-AC2，BP12=-c2+-x3xcx-+-x9-

9999929

即/+6c-72=0，解得c=6,或c=-12（舍），

由余弦定理，Ma2=36+9-2x6x3x-=27-所以。=3指，

2

所以△ABC的周長為+3+6=36+9?

16.答案：（1）證明見解析

（2）存在，點P為5月的中點

解析：（1）當;1=〃=!■時，AP=gAB+；A4,，故點尸是AB】的中點，

連接DP,因為點。是AC的中點，P是A片的中點，所以。P〃C片,

因為點E,R分別是Cq,G片的中點，所以ER〃C3],所以DP〃所,

因為DP.平面A&7，叱匚平面4與7，所以95〃平面4所.

c,B\

(2)存在，點尸為8月的中點.

當;1=1時，AP=AB+JuAAl＞即440,1],所以點P在棱期上，

取A?的中點。1，連接DB,則

在正三棱柱ABC-A與G中，平面ABC,△ABC是正三角形，所以￡)5J_AC，

以。為坐標原點，DA,L)B,所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,

如下圖所示：

qLB]

X

則A1；,O,O1,BO,^-,C

)，ag'。'？]，40,與,2,c1—：,。，[,E]—g,O,l],

I2J

從而F—■-,—^-,2,A.F

=,o|,A￡=(T，O，T)，

I44JI44J

AP=f--,^,J,AC=

=(-1,0,0),

I22J

設(shè)平面ME/的法向量是77Z=(%，%，zJ，

r—X,—Z,—0

,m-A.E=0

由《，即《3百，令A(yù)為=1得加二(1,G,_1).

mA^F=0-—Xj~0

設(shè)平面ACP的法向量是〃=（%2，%*2），

—x?—0

.n-AC=0口口

由<，即<1V3令Z2=石，得〃=(0,-2//,V3).

n-AP=0---%2-----%+RZ?—0

令I(lǐng)cos加川—此回卜2島—國2包+6岳,得

<COStTl,rl\—.nr=—〔——--------〔----=------------------=----------，IXT

卜磯川Jl+3+lxj4〃2+3/xj4—+35

（2〃+1）2=4儲+3，

解得〃=g,所以存在點P使得平面ACP與平面4E尸的夾角的余弦值是巫,

此時點P為的中點.

17.答案：（1）---

2+21n2

（2）答案見解析

解析：（1）由g（x）=lnr得g1x）=L設(shè)公切線與曲線g（x）=hu的切點坐標為

伉皿），

由已知得工=2,解得/=工

/°2

所以公切線方程為y-ln；=2(x—￡|,即y=2x—l—ln2,

由］〃")=5"八二得工--x+l+ln2=0，

2

y=2x-l-ln2

由已知得A=l—4x^Qx(l+ln2)=0,解得Q=--.

2I)2+21n2

（2）由已知力（冗）=［依2+x—+。），則

〃(X)=QX+］，+1(QX+Q+1)(X—1)

JCx

當日寸,改+〃+1>0,令得%>1,令"(X)<。得0<xvl,

這時，妝力在(L+oo)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減；

當時,辦+〃+1<0,令得令"(x)<0得%>1,

這時，砍耳在(1,+00)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增；

當_］<a<0時,令“(%)=0得x=l或x=_^^〉0，+=="+1,

①當〃=-；時，，這時/z(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減；

②當一!<4<0時，1〈一令”(x)>0，得

2aa

令//(%)<0得0<x<l或%>一^^，

這時，丸(“在(o,i)和，與±+s］上單調(diào)遞減，在答］上單調(diào)遞增；

③當一1<〃<一工時，］>，+1,令得，+1<小<1,

2aa

令"(x)<0得0<%<一^^或%>1，

這時，從可在，-一］和(1,+00)上單調(diào)遞減，在-,1］上單調(diào)遞增；

綜上，當aw-1時，丸(“在(1,+00)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增；

當—1<。<一；時，〃⑴在和(1,+8)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;

當。=-；時，/z(x)在上單調(diào)遞減；

當_；<a<0時，妝”在(0,1)和「誓,+”上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當。之0時，網(wǎng)可在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減.

18.答案：(1)日期每增加一天，銷售額約增加0.84萬元，第4天的殘差為-0.81

(2)0.907,銷售額和日期的相關(guān)程度較強

(3)分布列見解析，1200

解析：（1）根據(jù)線性回歸方程y=o.84x+17.45，日期每增加一天，銷售額約增加

0.84萬元，

把％=4代入回歸直線方程，得9=0.84x4+17.45=20.81,

因為20-20.81=-0.81，所以第4天的殘差為-0.81；

（2）由

1010

-可（y-歹）之（可-可2

_—i=l乂i=l_________________

LyfwW.、/、

悔xf小F2（x,F5T）

IOHo

之4一寸之（%一寸

____________i=l________________________J=1_____________

JZ-io（^-#Ew（x-y）2A恪a（/“y）

J78218

得r二B----=0.84x?0.907，

?。▂-9）259

0.907比較接近于1,故銷售額和日期的相關(guān)程度較強.

（3）由%,%,%成等比數(shù)列,得且％+4+%=1，

1

%=

設(shè)其公比為q,則4-+l+q=1-所以Ll+q'

g）

q

由題意可得X的值分別為800,1000,1200,1400,1600,

則P（X=800）=d，P（x=iooo）=201a2,尸（X=1200）=a；+2o1a,=3@，

P（X=1400）=2a2%，P（X=1600）=代，

又P（X=1200"=3W3x.]=1

取得最大值的條件工=q即q=1,

-F1+q

H）

止匕時4=。2=。3二;,

故X分布列為:

X8001000120014001600

122

P

993