函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題特訓(xùn)-2024高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)壓軸題（解析版）

專題13函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題特訓(xùn)(5年高考+3年模擬)

―最新模擬精練

1.(2024?廣東廣州?一模)已知函數(shù)/'(x)=cosx+尤sinx,xe(-7i,兀).

(1)求/(尤)的單調(diào)區(qū)間和極小值；

(2)證明：當(dāng)xe[0,兀)時(shí)，2/(x)<e'+e-\

【答案】⑴遞增區(qū)間為(-私-]),(0,$,遞減區(qū)間為(-宗0),《㈤，極小值為1;

⑵證明見解析.

【分析】

(1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間及極值.

(2)根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合基本不等式推理即得.

【詳解】(1)函數(shù)/(%)=cos%+xsinx,xe(-7i,7i),求導(dǎo)得了'(%)=-sinx+sin%+xcosx=xcosx,

jrjr

當(dāng)一兀<%<-5時(shí)，/(x)>0"(%)單調(diào)遞增；當(dāng)一5<%<。時(shí)，/(%)<o,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)0<%苦時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)￡<%<兀時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

所以/(X)的遞增區(qū)間為(-兀,-5，(0弓)；遞減區(qū)間為(-，0),(，兀)，”X)的極小值為"0)=1.

(2)當(dāng)xe[0,兀)時(shí)，令F⑶=e*+―-2(cosx+xsinx),

求導(dǎo)得F'(x)=ex-e~x-2.xcosx>ex-e*A-2x,

xxxxx

令0(x)=e-e--2x,求導(dǎo)得"(x)=e+e^-2>2-Je-e--2=0，

函數(shù)以尤)在[0,兀)上單調(diào)遞增，則0(x)之0(0)=0,尸(x)20,/。)在[0㈤上單調(diào)遞增，

因此尸⑺。尸(0)=。所以"(x)?e'+eT.

2.(2024?河南?一模)已知函數(shù)”無)=勿11%一元2+。(4€卬.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)["

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【分析】

（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分和。>0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性;

（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果可知。>0且/（x）V,再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可證明.

【詳解】⑴根據(jù)條件貝！J/'（x）=g-2x（x>0）

X

當(dāng)aVO時(shí)，尸（“<。在定義域（0,+動(dòng)內(nèi)恒成立，因此/（X）在（0,+時(shí)遞減;

當(dāng)°>0時(shí)，由掰^）>0,解得0<x<字；/'（“<0,解得x>與

因此：當(dāng)aVO時(shí)，〃x）的單調(diào)減區(qū)間為（0,+8）,無增區(qū)間；

〃>0時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為］字,+8）增區(qū)間為［。,呼J；

注：區(qū)間端點(diǎn)苫=叵處可以是閉的

2

（2）若“X）有兩個(gè)零點(diǎn)，有（1）可知。>0且/（尤）《/［容）

則必有/警=aln容一［浮+。>0

/7?

BPln-+l>0,解得

2e

又因/（J=--T<°，/（4〃）=<2In4a-16a2+a=Q（ln4Q-16a+l）

（8、1i-4r

即g（。=ln^-4r+ll［=4q〉一Jngr（t）=--4=----,

當(dāng),J|,+j時(shí)，g‘⑺<0恒成立，即g⑺在（|,+：|單調(diào)遞減，

（QAQ3232

可得_=ln-----+I=ln8——<0,

eee

也即得g（r）<0在，e［g，+co：恒成立，

從而可得〃x）在,'於,4。區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，若/（無）有兩個(gè)零點(diǎn)實(shí)數(shù)a的范圍為（I，+8）

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3.(23-24高二下?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)了(幻=三+(。-2)/+(1-2?！?1(。€1i).

(I)若曲線y=〃尤)在(2,7(2))處的切線斜率為-1,求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若函數(shù)f(x)在(0,+8)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)且對(duì)于任意x>0均有/(X)20,求。的取值范圍.

【答案】⑴(l，g);

(2)：W。W1

【分析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出“，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

(2)由(1)的信息求出函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)合已知可得再求出極小值即可得解.

【詳解】(1)函數(shù)/(%)=兀'+(〃-2)/+(1-2〃)x+l的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得廣(%)=3%2+2(。一2)%+(1-2。),

由曲線>=/(%)在(2"(2))處的切線斜率為—1,得1(2)=5+2Q=—1,解得々=—3,

f\x)=3x2-10x+7=(3x-7)(x-1),由/''(尤)<0,解得

7

所以函數(shù)“%)的單調(diào)遞減區(qū)間是(lq).

(2)由(1)得，/z(x)=(3x+2^-l)(x-l),由廣(乃=。，得冗=1-￡9^/71或％=1,

顯然V1-2/7,1是函數(shù)/W的變號(hào)零點(diǎn)，即石1-9也/7」是函數(shù)八%)的極值點(diǎn)，

由函數(shù)"X)在(0,+◎內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，得上色4。，解得a2；；

當(dāng)0<x<l時(shí)，f'(x)<0,Ax)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時(shí)，八x)>0,了⑴單調(diào)遞增，

因此函數(shù)"X)在(0,+8)上有最小值/(1)=1-。，由對(duì)于任意x>0均有/(x)NO,得/(1)20,

即解得aVI,于是:WaWl,

所以。的取值范圍是;WaWl

4.(2024?安徽合肥?一模)已知函數(shù)當(dāng)x=l時(shí)，"力有極大值?

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，證明：

1+X

【答案】(l)a=l力=0

⑵證明見解析

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【分析】

(1)根據(jù)題中條件列出方程組，解出驗(yàn)證即可；

(2)變形不等式，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性證明即可.

【詳解】⑴函數(shù)"X)的定義域?yàn)?F,+"),且廣(X)—：*

因?yàn)閤=l時(shí)，“X)有極大值；，

所以I'e,解得a=l,6=0,

廣⑴=。

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)。=1*=。時(shí)，〃X)在x=l時(shí)有極大值：，

所以〃=1,〃=0；

(2)由(1)知，/(x)=4>

當(dāng)x>0時(shí)，要證〃x)<4，即證5<白，即證：e>x+i.

設(shè)g(x)=e"—元一1,貝ljg[x)=e*-l,

因?yàn)閤>0,所以g，(x)=e"-l>0,

所以g(x)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(O)=O,即e*-x-1>0,即e，>龍+1,

故當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<-^.

1+X

2

5.(23-24高三下?內(nèi)蒙古赤峰?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=lnx+(-q.

(1)若a=l,求曲線y=在。"(功處的切線方程；

⑵若天?0,+8),/(力之0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1"+>-2=0

(2)?<ln2+l

【分析】

(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

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(2)xe(O,+8),〃x絲O恒成立，即%?0,+8),"耳120,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)〃x)的最小值即可.

【詳解】(Q若“=1,則〃x)=lnx+：-L,=故〃1)="⑴=T,

所以曲線y=/(x)在(1,〃1))處的切線方程為丫-1=一(》一1),即尤+y-2=0；

(2)x?0,+8),/(x)N0恒成立,即xw(O,+鑿)J(x)1rfli20,

又尸(x)=「/?(x>2),

當(dāng)0<x<2時(shí)，/r(x)<0,當(dāng)x>2時(shí)，/1x)>0,

所以函數(shù)/'(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+力)上單調(diào)遞增，

所以〃x)m1n=〃2)=ln2+l--

所以ln2+l—所以a41n2+L

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造

的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放

縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

6.(2024?四川成都?二模)己知函數(shù)/(x)=(x+a)lnx的導(dǎo)函數(shù)為尸(x).

(1)當(dāng)“=1時(shí)，求尸(x)的最小值；

⑵若/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(1)2

(2)(0,e-2)

【分析】

(1)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解，

(2)求導(dǎo)，分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解.

【詳解】(1)

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當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(x+l)lnx,XG(0,+OO),/z(x)=lnx+-+l,

令函數(shù)W=lnX+'+l,XG(0,H-OO),則有/(%)='--y=

XXXX

當(dāng)X￡(O,1)時(shí)，M犬)為減函數(shù)；當(dāng)％￡(l,+co)時(shí)，/ir(x)>0,力⑺為增函數(shù),

所以以也向=川1)=2,即以G)的最小值為2；

因?yàn)閤?0,+oo),W/r(x)=lnx+—+1,

令g(x)=7'(x)，有g(shù)'(x)=L一3=上；，

XXX

①當(dāng)aWO時(shí)，因?yàn)閤-a>0,所以g'(x)>0,即r(x)在(0,+力上為增函數(shù)，

所以至多存在一個(gè)修?0,”)，使得:(同=0,故〃x)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

②當(dāng)a>0時(shí)，解g,x)=O,得x=。，

故當(dāng)xe(O,a)時(shí),g/(x)<0,1(無)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)x?a,+°o),g'(x)>0,

/'(X)為增函數(shù)，所以r(x)1rfti=7'(a)=lna+2,

(回).當(dāng)lna+220,即心e.時(shí)，f'(x)>f\x)^n>Q,〃x)在(0,+少)上為增函數(shù),

故不存在極值點(diǎn)，

(回).當(dāng)lna+2v0,即Ovave"時(shí)，

2/2>299

又因?yàn)椤?‘二二山式"*---Fl=21n?—ln2dFl,

21212aa

又由第(1)問知lnx+」+lN2,故21na+2》2,所以尸23-ln2>0,

xaI2J

又因?yàn)?>。，又/")=a+l>0,

所在為%?a，l)使得((x)=。，

且〃x)在(0,為)，(孫+oo)上為增函數(shù)，在(%,超)上為減函數(shù)，

所以不，巧分別是丫="%)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，

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綜上所述，。的取值范圍為(OW).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?/p>

題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)

值問題處理.

2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論

和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這

種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

7.(23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知函數(shù)g(x)=x3+/+6xg,beR)有極值，與函數(shù)〃x)=(x+a)e”

的極值點(diǎn)相同，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴直接寫出當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)“X)在x=l處的切線方程；

(2)通過計(jì)算用a表示b；

7

⑶當(dāng)a>0時(shí)，若函數(shù)*尤)=〃%)—g⑺的最小值為"(a),證明：

［答案］(l)y=3ex_e

(2)Z?=-a2-4a-3,("一萬］

⑶證明過程見解析

【分析】⑴將a=1代入解析式得/(x)=(X+1廣，求導(dǎo)得尸(x)=(x+2)e*,分別求得"1)=2e和(⑴=3e,

利用點(diǎn)斜式求得切線的方程；

(2)推導(dǎo)出了'(x)=(x+a+l)e3令八尤)=0,得x=—a—1,求出g'(x)=3d+2辦+b,從而可得，(一。-1)=0,

由此即可求解；

(3)尸(x)=/(x)_g(尤)=(x+a)e*—(A3+依2+6尤)，求得

尸'(x)=(尤)一g'(尤)=(x+a+l)e*—(3f+2依+匕)=(尤+°+1乂1—3x+a+3),令力(x)=e"—3x+a+3,則

//(x)=e*-3,令〃(x)=0,得到x=ln3,Zz(ln3)=6-31n3+c為〃(x)最小值，推導(dǎo)出廠(一。一1)為尸(x)的最

小值，從而證得結(jié)果.

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【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(x+l)e\/,(x)=(x+2)e\

從而〃l)=2e,/")=3e,

所以函數(shù)〃x)在x=l處的切線方程為y=3ex-e；

(2)因?yàn)闊o)=(x+a+l)e",令尸(x)=0,得x=-a-l,

當(dāng)一時(shí),r(x)＜o(jì),/(X)單調(diào)遞減,

當(dāng)彳＞一4一1時(shí)，/^X)＞0,/(無)單調(diào)遞增，

故彳=-4-1是函數(shù)〃尤)的極小值點(diǎn)；

又因?yàn)間,mhBx2+2ax+b,

所以g'(-a-1)=3(a+1)~—2a(a+1)+6,

整理得6=-4-4a-3,

又當(dāng)6=—a2—4a—3時(shí)，g'(x)=3x2+2ax-(a+l)(a+3)=(x+a+l)(3x-a-3),

若要使得函數(shù)g(x)=x3+ax2+bx(a,beR)有極值，

則還需一a—lw等，即aw—T，

_

綜上所述，b=—a2-4a—3_j；

(3)因?yàn)槭?%)=/(%)—g(x)=(x+a)e"—(%3+av2+區(qū))，且由(？)可知且，(%)=(%+〃+1)(3無一〃一3),

所以尸(%)=/'(%)-g'(x)=(%+Q+l)e，一(X+〃+1)(3%—〃一3)=(%+〃+D(e*-3x+a+3),

令力(x)=e"—3無+a+3,則/(％)=e"-3,

令〃(x)=0,得到尤=ln3,

當(dāng)尤＜ln3時(shí)，”(x)v。,網(wǎng)%)單調(diào)遞減,

當(dāng)力＞如3時(shí),人(力單調(diào)遞增，

所以〃(力.=介(1113)=1一3九+〃+3=3(2—1113)+々＞〃＞0,

所以

從而令尸'(犬)=0,得X=-〃一1,

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當(dāng)-1時(shí)，F(xiàn),(x)<0,〃尤)單調(diào)遞減，

當(dāng)彳>一。一1時(shí)，F(xiàn)(x)>0,/(無)單調(diào)遞增，

a-12

所以A/(°)=尸(x)1nhi=F(-a-l)=一片°7—[(-a—I]+a(—。-+6(-q—1)]=-e--(a+l)(o+2),

令/'=—<2—1,貝Ur<—1,記〃z(f)=—e'一?(1—r),r<—1,

貝！]7”(f)――e'+3/—2t,t<—1,

因?yàn)?lt;-ef<0,3產(chǎn)一2/>5,

所以加⑺>0,祖(/)單調(diào)遞增，

177

所以機(jī)=gpM(a)<--.

8.(2024■福建漳州■一模)已知函數(shù)〃x)=alnx-x+a,aeR且a#0.

⑴證明：曲線y=〃龍)在點(diǎn)。，/⑴)處的切線方程過坐標(biāo)原點(diǎn).

⑵討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性.

【答案】⑴證明見解析

(2)答案見解析

【分析】

(1)先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得f(無)在(1,/。))處的切線方程，從而得證；

(2)分類討論aWO與a>0,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=aln尤一無+a(x>0),所以f(x)=@-1=生，

貝i]/(l)=alnl_l+a=〃_l,f(I)=a-l,

所以f(x)在(I"⑴)處的切線方程為:y-3-l)=(a-l)(x-l),

當(dāng)％=0時(shí)，y-(a-l)=(?-1)(0-1)=-(6/-1),故y=0,

所以曲線>=/(尤)在點(diǎn)(L〃1))處切線的方程過坐標(biāo)原點(diǎn).

(2)由(1)得/(尤)=@一1=匕，

XX

當(dāng)〃W0時(shí)，a-x<Q,則/故“%)單調(diào)遞減；

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當(dāng)〃>0時(shí)，令—食)=。貝!)X=〃，

當(dāng)0<x<〃時(shí)，//(x)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，f(x)<0,〃犬)單調(diào)遞減；

綜上：當(dāng)時(shí)，/(九)在(。,+00)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/(%)在(0,。)上單調(diào)遞增，在3收)上單調(diào)遞減.

3

9.(2024?安徽黃山?一模)已知函數(shù)〃元)=y2-4辦+”21nx在尤=1處取得極大值.

(1)求。的值；

(2)求“X)在區(qū)間1,e上的最大值.

【答案】⑴3

【分析】

(1)求導(dǎo)，然后令ra)=o求出x,代入》=1驗(yàn)證是否符合題意即可；

(2)求導(dǎo)，確定函數(shù)在區(qū)間-,e上的單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值.

e_

【詳解】(1)由已知［(x)=3x-4a+且=3/-4"+/=(3x-a)(X-a)

XXX

令r(x)=o得』或了=與，

當(dāng)“=1時(shí)，令/(x)>0得0c或x>l,令r(x)<0得g<x<l,

故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)/'(X)在x=；處取極大值，在X=1處取極小值，與函數(shù)/(X)在X=1處取得極大值不符;

當(dāng)■|=1,即“=3時(shí)，令r(x)>。得。<彳<1或》>3,令/'(x)<0得l<x<3,

故函數(shù)”X)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)“X)在X=1處取極大值，在x=3處取極小值，符合題意；

所以4=3;

(2)由(1)得/'(司二^/—管工+叼皿，尸(元)=3(.DU3),”1,e

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令/'(x)>0,得:<x<l,函數(shù)單調(diào)遞增，

令/'(x)<0,得l<x<e,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

371

所以八同皿*=41)=5-12一萬?

10.(23-24高三下?陜西安康?階段練習(xí))記函數(shù)”力的導(dǎo)函數(shù)為數(shù)為),尸(X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(X),設(shè)。是

外”的定義域的子集，若在區(qū)間。上尸(x)40,則稱〃尤)在。上是"凸函數(shù)".已知函數(shù)〃x)=asinxr2.

(1)若〃x)在0,|上為"凸函數(shù)〃，求”的取值范圍；

⑵若a=2,判斷g(x)=〃x)+l在區(qū)間(0,兀)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)［一2,內(nèi))

(2)1個(gè)

【分析】

7T

(1)根據(jù)"凸函數(shù)"定義對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由不等式-asinx-24。在0,萬恒成立即可求得。的取值范圍；

(2)易知g(x)=2sinx-/+l,由導(dǎo)函數(shù)求得其在(0,兀)上的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可知零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1

個(gè).

【詳解】(1)由〃x)=asinx—/可得其定義域?yàn)镽,且尸(x)=acosx—2尤，

所以/'"(%)=-asinx-2,

若〃x)在0段上為"凸函數(shù)"可得/(x)=-asinx-2W0在0,1恒成立，

當(dāng)。20時(shí)，顯然符合題意；

7T

當(dāng)時(shí)，需滿足一asin,—2W0,可得一2Wa<0；

綜上可得a的取值范圍為［-2,+8)；

(2)若〃=2,可得g(x)=2sinx—九2+1,所以短(九)=2cosx—2%,

令/I(X)=2COSJV-2X,則//(九)=-2sinx-2；

易知"(X)=-2sinX-2Vo在區(qū)間(0,兀)上恒成立，

第11頁共47頁

因此可得人（九）=g'（%）=2cos2%在（0,兀）上單調(diào)遞減；

顯然gH=2cos￡-2x￡=若一4>。，gd=2cos：_2x：=V^_]<0；

根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得存在x。e"使得g'（x0）=2cosx0-2x0=0,

因此可知當(dāng)Xu?,%）時(shí),g,（x）>0,即g（x）在（0,與）上為單調(diào)遞增；

當(dāng)無€伉,兀）時(shí),g[x）<0,即g（尤）在（七,兀）上為單調(diào)遞減；

Xg（0）=2sin0-02+l=l,顯然在（O,x。）上g（x）不存在零點(diǎn)；

而g（兀）=2sin兀-兀2+1=1-7?<0,結(jié)合單調(diào)性可得在小,兀）上g⑺存在一個(gè)零點(diǎn)；

綜上可知，g（x）=〃尤）+1在區(qū)間（0㈤上僅有1個(gè)零點(diǎn).

11.（23-24高三下?江蘇南通?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=alnxr+l,其中aeR.

⑴若曲線y=/（x）在x=i處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求。；

（2）求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間.

【答案】⑴1

（2）答案見解析

【分析】

（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義及截距的定義計(jì)算即可得；

（2）借助導(dǎo)數(shù)分類討論即可得.

【詳解】（1）貝=/（l）=?lnl-l+l=0,

X1

故曲線y=〃x）在X=1處的切線為y-o=（aT）（尤一1），

即y=（a-l）x-（a-1）,

當(dāng)awl時(shí)，令x=0,有y=—（a—l）,

令y=。，有%=1,故一（。-1）=1,即a=0,

此時(shí)〃無）=-%+1,無切線，故不符合要求，故舍去；

當(dāng)a=l時(shí)，此時(shí)切線為>=。，符合要求，故a=l

第12頁共47頁

/、「，(、Q—x+a八

(2)f(x)=1=--------,x>0,

XX

則當(dāng)aWO時(shí)，/(x)=E^V0在(O,+s)上恒成立，

故〃尤)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，令尸(x)=0,貝［|x=a,

當(dāng)xe(0,4)時(shí)，制x)>0,當(dāng)xe(a,+co)時(shí)，/,(x)<0,

故〃尤)在(0,“)上單調(diào)遞增，在(a,內(nèi))上單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，〃尤)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

當(dāng)a>0時(shí)，/(尤)在(O,a)上單調(diào)遞增，在(a,內(nèi))上單調(diào)遞減.

12.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=a(x+a)-Inx(aeR)

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>31nfl+2

【答案】⑴答案見解析

(2)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得尸(x),然后分與。>0討論，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由(1)可得的最小值為了(1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f-21nx-l(x>0),轉(zhuǎn)化為乳龍)的

最小值大于等于零，即可證明.

【詳解】(1)

依題意x>。，/'(尤)=〃，

當(dāng)a?0時(shí)，/'(九)<0,

當(dāng)a>0時(shí)，由/?x)>0得無>：,由/'(x)<0得0<x<：,

即當(dāng)a40時(shí)函數(shù)在(。,+8)是減函數(shù)；

第13頁共47頁

當(dāng)a>0時(shí)在(。,￡|是減函數(shù)，〃x)在，+，|是減函數(shù)；

(2)

由(1)知當(dāng)。>0時(shí)，的最小值為=1+/+lna,

1+a?+Inci—(3Ina+2)=—2Ina—1,

設(shè)g(x)=X2-21nx-l(x>0),

貝Ug(x)=2x——=----------,

XX

回函數(shù)g(x)在(0,1)是減函數(shù)，在。,+°°)是減函數(shù)，

即g(x)的最小值為g⑴=f—21nl—1=0,即g(x)Ng(l)=0,

0g(a)>O,即的最小值/[￡|=l+a2+lna231na+2,

E/(x)>31na+2.

13.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知°>0,函數(shù)“x)=ox-xe，證明〃x)存在唯一的極值點(diǎn).

【答案】證明見解析

【分析】

求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x+l)e"判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性作出函數(shù)圖象，即可判斷求解了(盼的

單調(diào)性，進(jìn)而可求.

【詳解】

令/'(x)=a-(尤+l)e*=0,貝ija=(x+l)e*,

令g(x)=(x+l)e，,則g'(x)=(x+2)e*,

當(dāng)xe(-oo,-2)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)xe(-2,+oo)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x--8時(shí)，g(x)<0,g(-l)=0,當(dāng)x-+8時(shí)，g(x)>0,

畫出g(x)大致圖像如下：

第14頁共47頁

所以當(dāng)。>0時(shí)，y=a與y=g(x)僅有一個(gè)交點(diǎn)，令g(力2)=。，貝S.fXrn)=a-g(m)=0,

當(dāng)xe(—o,附時(shí)，a>g(x),則/'(x)>0,單調(diào)遞增，

當(dāng)無?機(jī),+功時(shí)，a<g(x),則/'(x)<0,單調(diào)遞減，

x=m為/(%)的極大值點(diǎn),故f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；

14.(23-24高三下?上海?開學(xué)考試)已知函數(shù)

⑴討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性和極值；

⑵記曲線c：y=〃x)在x=0處的切線為/,求證：/與C有且僅有1個(gè)公共點(diǎn).

【答案】①答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算證明即可.

【詳解】(1)因?yàn)椤ㄓ?=^^,則尸⑺」-1,

ee

4/^)>0,得令/'(x)<0,得或X>竽；

則“X)在［匕*，上卓］上單調(diào)遞增，在匕盧］，［上?，+］上單調(diào)遞減.

I22JI27I27

從而“X)的極小值、極大值分別為

第15頁共47頁

由⑴可知/'(0)=1,〃0)=0,所以曲線c：y=/(x)在x=0處的切線的方程為：y=x；

2

令〃x)=x,即X+X=X,得x=0或x+l=e",

ex

當(dāng)尤=0時(shí)，y=0,此時(shí)，/與C有公共點(diǎn)(0,0),

當(dāng)時(shí)x+l=e*，設(shè)g(x)=e'-xT=/(x)=e*-l,

當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)n>in=g(°)=°，

EPg(%)=eA-x-l>0^er>x+l,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，

所以由尤+l=yox=0,即y=o,此時(shí)/與C有公共點(diǎn)，

綜上所述：/與C有唯一公共點(diǎn).

15.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知二次函數(shù)/(耳=爐-2(0-1卜+4

⑴若了⑺為偶函數(shù)，求/⑺在[T,2]上的值域；

(2)當(dāng)xe[l,2]時(shí)，/(*)>辦恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)[4,20]

(2)a<2

【分析】(1)利用偶函數(shù)的定義求出。，再利用二次函數(shù)求出值域即可得;

(2)變形給定不等式，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最小值即可得解.

【詳解】(1)

函數(shù)〃無)定義域?yàn)镽，由人龍)是偶函數(shù)，得+〃尤)=0,

即(--2(a-1)(-x)+4--2(a-l)x+4]=0,

整理得4(a-l)x=0,而x不恒為0,

因此a=l,函數(shù)/(尤)=V+4,

當(dāng)尤e[-4,2]時(shí)，/(x)在(T,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，

于是AM疝n=〃°)=4,又/1)=20，42)=8,則y(x)1mx=20，

第16頁共47頁

所以Ax)在［T2］上的值域是［4,20］；

(2)

不等式>QOx?-2(。一1卜+4>ox<=>3ox<x?+2x+4,

依題意，Vxe［l,2］,3a<x+-+2,而對(duì)勾函數(shù)y=x+4在(1,2)上單調(diào)遞減，

XX

當(dāng)x=2時(shí)，/。=4,

即當(dāng)x=2時(shí)，|x+—+2|=6,則3“<6,解得a<2,

I%Jmin

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是。<2.

16.(2024?江蘇南通?二模)設(shè)函數(shù)/(x)=sin(0x+e)(0>O,O<e<7r).已知〃無)的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間

的距離為，且

(1)若〃尤)在區(qū)間(0,m)上有最大值無最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑵設(shè)/為曲線y=/Q)在x=處的切線，證明：/與曲線y=/(x)有唯一的公共點(diǎn).

O

【答案］⑴五<,工五

⑵證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)周期以及/(1)=-g可求解/(x)=sin(2x+3,進(jìn)而根據(jù)整體法即可求解，

(2)求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)8(*)=2,+0-而12天+。，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的

單調(diào)性，即可求解.

【詳解】(1)由題意可得周期T=@=2xg,故。=2,

CD2

,,無、.(無)11

/(--)=sin--+(5l=-cos^=--=>cos(5=-,

由于°€(0,兀)，故e=g,

故〃x)=sin(2x+|J,

當(dāng)xe(O,m)時(shí)，2x+］e［5,2m+1^,

第17頁共47頁

由于〃尤)在區(qū)間(。,加)上有最大值無最小值，故5＜2加+々4￥，解得已＜加4號(hào),

71/7兀

故一<m<——

1212

(2)/(x)=2cosf2x+y

故直線/方程為＞=21+巳

令g(x)=21x+^]-sin[2x+1J,則g,(x)=2-2cos^2x+-|j>0,

故g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又g,E[=°，

因此g(x)有唯一的的零點(diǎn)

故/與曲線y=/(x)有唯一的交點(diǎn)，得證.

17.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模)已知函數(shù)/(x)=(x-2)e*-x2+2x+3

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵令g(x)=/'(x)，求g(x)在X=ln2處的切線/的方程，并證明g(x)的圖象在直線/的上方.

【答案】①增區(qū)間是(-通比2)和(1,+8)1⑺的減區(qū)間是(ln2,l)

(2)y=(21n2-2)(x-ln2),證明見解析

【分析】

(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可得其單調(diào)區(qū)間；

(2)利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可求得切線/的方程，構(gòu)造函數(shù)Mx)=g(x)-(21n2—2)(x—ln2),求出其最值可

證明人(力20恒成立即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)

“X)的定義域?yàn)镽,

則/'(尤)=(無一1"工―2x+2=(x—l乂e*—2),xeR

當(dāng)無＞1或x＜ln2時(shí)，((司＞04(力在(1,包)上單調(diào)遞增；

第18頁共47頁

當(dāng)In2c<1時(shí)，r(x)<O,/(x)在(ln2,l)上單調(diào)遞減；

所以〃尤)的增區(qū)間是(—Un2)和(l,+8)J(x)的減區(qū)間是(ln2,l).

(2)

由(1)知g(x)=F'(x)=(xT)(e"-2),xeR,

則§'(x)=xe*-2,xeR,

又g'(ln2)=ln2eln2-2=21n2-2,g(ln2)=(ln2-l)(eln2-2)=0,

所以g(x)在x=ln2處的切線方程/為y=(21n2-2)(x-ln2)

令=g(x)-(21n2_2)(x-ln2)=(x_f)(e*_2)_(21n2_2)(x-ln2),xeR,

則〃'(x)=xex—21n2,xeR,

令〃(zx)=h'(x)=%er-21n2,xeR,可得加(x)=(x+1)e*,xeR

當(dāng)x>-l時(shí)，加(x)>O,/z'(x)在(T+oo)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x<-1時(shí)，加在(Y°,-1)上單調(diào)遞減；

所以當(dāng)x=-l時(shí)，力'(力取得最小值“⑴=—T-21n2<0,

當(dāng)x趨近于-8時(shí)，/(x)趨近于0,又/l)=e—21nZAOM'OZblnZeSZ—ZlnZuO；

故當(dāng)x>ln2時(shí)，〃'(》)>。,/2(%)在(1112,+00)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x<ln2時(shí)，"(尤)<0,〃(x)在(-jln2)上單調(diào)遞減；

因此當(dāng)x=ln2時(shí),囚x)取得最小值/z(ln2)=0,

即h(x)>/?(ln2)=。恒成立，所以g(x)“21n2-2)(x-ln2)恒成立

所以g(x)的圖象在直線/的上方.

18.(2024?浙江金華?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=(cosx-l)e-1

⑴求函數(shù)在x=0處的切線方程；

(2)當(dāng)xe(O,兀)時(shí),求函數(shù)的最小值.

【答案】(i)y=o

第19頁共47頁

【分析】

(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程；

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)在(0,兀)上的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)由〃x)=(cosx—1)。

得r⑴=(一sinx)e「(：osx-l)e'-sinx-cosx+1

(1)2

所以〃0)=0,尸(0)=0,

函數(shù)/(X)在x=o處的切線方程y=o

當(dāng)0<丁<二時(shí)，—<x+—<~,則-04-夜sin[x+工]<一1,

2444I4)

所以y=-sinx-cosx+l=-V5sin[x+：j+l<0,所以/

所以〃x)在0個(gè)單調(diào)遞減；

當(dāng)工<尤<兀時(shí)，—<x+—<—,貝lj-l<0sin(x+巴]41,

2444V4J

止匕時(shí)y=-sinx-cosx+l=-0sin[x+：)+l>O,

所以〃尤)在看冗單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=]時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值；

所以當(dāng)x?0㈤時(shí)，函數(shù)“X)的最小值為/[J=-e^

19.(2024?四川成都?二模)記5“(元)=尤+尤2+/++X"-2(XWR,〃CN*).

⑴當(dāng)x=2時(shí)，、(2)為數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和，求｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵記當(dāng)期(%)是S2024(x)的導(dǎo)函數(shù)，求S￡(2).

第20頁共47頁

▼由冷、..[0,n=l,

【答案】⑴凡

[2,n>l.

⑵％24⑵=2023x22024+1

【分析】

[5,,n=1

(1)由S”與?！钡年P(guān)系凡={、。求解即可.

IS"-5"T，〃N2

(2)先求導(dǎo)，再根據(jù)錯(cuò)位相減求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)”=1時(shí)，0(=5](2)=0.

2zn

當(dāng)“22時(shí)，a?=S?(2)-S?_1(2)=(2+2+2"-2)-(2+2+2"-'-2)=2.

又當(dāng)〃=1時(shí)，1=0不滿足上式，

所以"[0,，，心n=l

(2)$2024(x)=X+X?+x，++x~°~4-2,

22023

.-.S^24(X)=1+2X+3X++2O24%.

S；必⑵=1+2x2+3x22++2O24X22023①

2S；o24(2)=2+2x2?+3x23+-+2O24x22024@

220232024

①-②得，-S；024(2)=1+1X2+1X2++1X2-2024X2

i_Q2024

=—-----2024x22024=-2023x22024-1.

1-2

2024

.?.S^024(2)=2023X2+1.

20.(23-24高三下?四川雅安?開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=x(lnx—a)+lnx+a.

(1)若a=l,當(dāng)x>l時(shí)，證明：/(x)>0.

(2)若。<2,證明:〃尤)恰有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

第21頁共47頁

【分析】

(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得用勾>0,即可得到“X)在。,內(nèi))上單調(diào)遞增，再由〃x)>〃l)=O,即可證

明；

(2)根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnAa+—+/,求導(dǎo)可得g'(x)>0,即g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，再

結(jié)合g(l)=O,即可證明.

【詳解】(1)

證明：因?yàn)?=1,所以/'(x)=xlnx-x+lnx+l,f'[x)=\nx+—.

當(dāng)x>l時(shí)，制x)>0,則〃x)在。,包)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>l時(shí)，，(龍)>/(1)=0.

(2)

1Inxa

/(x)=x(inx-a)+\nx+a=xInx-ciH-----1—

xx

令g(x)=ln%_Q+^^+@,貝|g1%)」十1—Inxax+l-\nx-a

ix—A

令/?(無)=x+l-lnx-17,貝！|〃(尤)=]——=---.

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，〃(x)<0,從尤)在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x?l,+8)時(shí),〃⑺>0,無⑺在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以/?(x)2/z(l)=2-a>0,所以g'(x)=x

則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)間(l)=o,所以g(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則f(元)恰有一個(gè)零點(diǎn).

第22頁共47頁

真題實(shí)戰(zhàn)演練

1.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論了(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，J(x)<-1,求。的取值范圍；

111,,八

(3)設(shè)〃eN",證明：「+/,++/,>ln(w+l).

V1+1V22+2-Jn2+n

【答案】⑴的減區(qū)間為(F,0),增區(qū)間為(0,y).

⑵*

⑶見解析

【分析】(1)求出尸(力，討論其符號(hào)后可得f(x)的單調(diào)性.

(2)設(shè)Mx)=xem-ex+l,求出先討論a>g時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就0<a?g結(jié)合放縮法

討論”⑺符號(hào)，最后就aW0結(jié)合放縮法討論網(wǎng)%)的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.

(3)由(2)可得21nf<一；對(duì)任意的"1恒成立，從而可得ln(〃+l)-ln1

n</2一對(duì)任意的HGN*恒成立,

7n+n

結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(x-l)e\貝1」1(力=朧，,

當(dāng)％<0時(shí)，yr(x)<o,當(dāng)％>o時(shí)，

故〃力的減區(qū)間為(-8,0)，增區(qū)間為(0,+。).

(2)設(shè)/z(x)=xe依一e*+l,則,(0)=0,

又“(%)=(1+依)產(chǎn)—e",設(shè)g(x)=(l+ax)e以—e*,

則短(%)=(2〃+〃2X)產(chǎn)一/,

若*,貝/(0)=2。-1>0,

因?yàn)間'(x)為連續(xù)不間斷函數(shù)，

故存在飛e(0,+°o),使得Vxe(O,%),總有g(shù)'(x)>0,

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故g(x)在(0,%)為增函數(shù),故g(x)>g(o)=o,

故無(x)在(0,飛)為增函數(shù),故/i(x)>M0)=。，與題設(shè)矛盾?

若0<a4；,貝I"/(x)=(1+依)——/=U"。+狗一

下證：對(duì)任意x>0,總有l(wèi)n(l+x)<x成立,

證明：設(shè)S(x)=ln(l+x)—x,故S'(x)=^----1=-——<0,

故S(x)在(0,+功上為減函數(shù),故s(x)<s(o)=o即ln(l+x)<x成立.

由上述不等式有em+，n(l+ar)-ex<eai+ar-ex=e2av-e*<0，

故h'(x)<?？偝闪?，即力⑴在(0,+s)上為減函數(shù)，

所以/z(x)<M0)=0.

當(dāng)aVO時(shí)，有//(x)=e"、一e"+6zxe"‘<1—1+0=0,

所以/z(x)在(0,+oo)上為減函數(shù)，所以<〃(0)=0.

綜上，a~^,'

(3)取。=g，則Vx>。，總有xe3_e,+l<0成立，

令/則》>1，/=e=x=21nr,

故2rhn<〃_i即2int<r-；對(duì)任意的r>i恒成立.

所以對(duì)任意的"cN*,有21%尸<、尸一、工,

VnVnVn+1

整理得到：ln(n+l)-lnn</1,

7rl+n

故/]:+pJ_^++,>In2-In1+In3-In2++ln(n+l)-lnn

Vl2+1A/22+2\ln2+n

=ln(n+l),

故不等式成立.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的