河北省石家莊市趙縣2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河北省石家莊市趙縣2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列根式是最簡二次根式的（）

A.Jo.5B.C.—y/3D.a

2.下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.也,4,75C.1,V3）2D.y/2,,A/6,8

3.若式子岳二7在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x*2B.x>2C.x<2D.

4.下列計算不正確的是（）

A.375-75=275B.72x73=V6

cgW

D.^3+A/6=J3+6=M-3

5.在下列命題中，正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是平行四邊形B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

6.如圖，平行四邊形N38中，若NB=2NA,則/C的度數(shù)為（）

A.60°B.120°C.72°D.36°

7.如圖，有一個繩索拉直的木馬秋干，繩索的長度為5米，若將它往水平方向向前推

進(jìn)3米（即?！?3米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，則此時木馬上升的高度為（）

試卷第1頁，共6頁

A.1米B.亞米

C.2米D.4米

8.如圖，在ciNBCD中，ABVAC,若4B=4,AC=6,則3。的長是（）

D

A.11B.10C.9D.8

9.實數(shù)a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡正-府城的結(jié)果是（）

—1-------1---'-->

b0a

A.2aB.2bC.-2bD.0

10.如圖，在一個長為20m,寬為16m的矩形草地上放著一根長方體木塊，已知該木塊的

較長邊和場地寬/。平行，橫截面是邊長為2m的正方形，一只螞蟻從點A處爬過木塊到達(dá)

點C處需要走的最短路程是（）m.

A.85/13B.4741C.27185D.27233

II.如圖，在Rta/BC中，//=90。1為邊8。上一動點，PEL4B于E,尸尸_L/C于尸，

動點P從點B出發(fā)，沿著3c勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是（）

試卷第2頁，共6頁

A

F

C

A.一直增大B.一直減小C.先減小后增大D.先增大后減少

12.如果正整數(shù)。、b、。滿足符式/+〃=。2,那么正整數(shù)、/,、c叫做勾股數(shù)，某同學(xué)將

自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為()

abc

345

8610

15817

241026

.....................

X65

A.47B.62C.79D.98

二、填空題

13.若最簡二次根式-1與五工？能合并,則j3x+6=.

14.若x=0+l，則代數(shù)式/-2x+2的值為.

15.如圖，矩形NBCD的對角線NC和m相交于點O,過點。的直線分別交和3C于點

E、F,AB=2,BC=3,則圖中陰影部分的面積為.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點/(TO)、8(2,2)、C(O,3),在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點D,

試卷第3頁，共6頁

使得以aB,c,。四點組成的四邊形為平行四邊形，請寫出。點坐標(biāo)

三、解答題

17.(1)計算：3—加+亞—陰；

18.一個三角形的三邊長分別為5、代，!痂，々叵.

V524\5

⑴求它的周長(要求結(jié)果化簡)；

⑵請你給出一個適當(dāng)?shù)膞的值，使它的周長為整數(shù)，并求出此時三角形的周長.

19.定義：如圖，點M、N把線段48分割成W、MN、NB,若以/M、MN,A?為邊的

三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段的勾股分割點.

1111

AMNB

(1)已知M、N把線段分割成/M、MN、NB,若/朋'=2,MN=4,BN=2也,則點M、

N是線段N8的勾股分割點嗎？請說明理由.

(2)已知點M、N是線段48的勾股分割點，且為直角邊，若A8=12,AM=5,求BN

的長.

20.如圖，在四邊形48co中，65=90°,AB=BC=2,AD=1,CD=3.

(1)求NTU8的度數(shù)；

(2)求四邊形ABCD的面積.

21.閱讀下面的材料，解答后面所給出的問題：兩個含二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的

積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式.例如：及與八、6+1與

V2-1.

(1)請你寫出兩個二次根式，使它們互為有理化因式：,這樣化簡一個分母含有二次

根式的式子時，采用分母、分子同乘分母的有理化因式的方法就可以了.

試卷第4頁，共6頁

亞網(wǎng)8+@6+2

例如:-=V6+2.

6-6(百-亞乂6+五)3-2

(2)請仿照上述方法化簡：

⑶比較13與7a

T的大小.

22.如圖所示，在平行四邊形N8CL)中，//8C的平分線交/。于點E,/BCD的平分線

交/。于點R交BE于點G.

(1)若/昉G=32。，求/FEG的度數(shù)；

(2)求證：AF=DE.

23.如圖所示,菱形ABCD的對角線3。相交于點。，過點。作。石〃NC,且DE=工/C,

2

連接CE,OE,連接NE交QD于點尸.

(1)求證：OE=CD；

(2)若菱形/3C。的邊長為8,AABC=60°,求NE的長.

24.如圖，我把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

(1)性質(zhì)探究：如圖1.已知四邊形ABCD中，ACXBD,垂足為O,求證：AB2+CD2=

AD2+BC2.

(2)解決問題：已知AB=5,BC=4,分別以AABC的邊BC和AB向外作等腰RtzXBCQ

和等腰RtAABP.

①如圖2,當(dāng)/ACB=90。，連接PQ,求PQ；

②如圖3,當(dāng)NACBM0。，點M、N分別是AC、AP中點連接MN.若MN=2?,貝USAABC

試卷第5頁，共6頁

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念，逐一判斷選項，即可.

【詳解】解：A、限=[=巫，故本選項不符合題意，

V22

B、￡=斗,故本選項不符合題意，

C、-百是最簡二次根式，故本選項符合題意，

D、&=2也,故本選項不符合題意.

故選:C.

【點睛】本題主要考查最簡二次根式，掌握最簡二次根式的定義：“根號內(nèi)不含分母，不含

平方因式的二次根式，叫做最簡二次根式”，是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】利用勾股定理的逆定理，判定選項中的值能否組成直角三角形即可.

【詳解】解：；2?+3?=13,42,

故A選項中不能組成直角三角形，錯誤；

?.[可+(間2=7片回，

故B選項中不能組成直角三角形，錯誤；

?"+(92=4=22,

故C選項中能組成直角三角形，正確；

V(V2)2+(V6)2=8^82,

故D選項中不能組成直角三角形，錯誤.

故選：C.

【點睛】本題主要考查的是勾股定理的逆定理，掌握定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

3.B

【分析】根據(jù)二次根式里面被開方數(shù)2x-4引0即可求解.

【詳解】解：由題意知：被開方數(shù)2x-4N0,

解得：x>2,

故選：B.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，必須保證被開方數(shù)大于等于0.

答案第1頁，共16頁

4.D

【詳解】根據(jù)二次根式的加減法，合并同類二次根式，可知3布-正=26，故正確；

根據(jù)二次根式的乘法，可知行x退=的，故正確；

根據(jù)二次根式的性質(zhì)和化簡，由分母有理化可得5=字，故正確；

根據(jù)二次根式的加減，可知百與而不是同類二次根式，故不正確.

故選D.

5.C

【分析】本題考查命題及平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定，根據(jù)判定定理逐個判斷

即可得到答案

【詳解】解：由題意可得，

對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，故A不正確，不符合題意，

有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故B不正確，不符合題意，

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故C正確，符合題意，

對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故D不正確，不符合題意，

故選：C.

6.A

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可求解.

【詳解】解：：四邊形/BCD是平行四邊形

AB//CD,AD//BC,

//+Z8=180°,NC+NB=180°,

/A=NC,

"：ZB=2N4,

3/3=180°,

NC=NA=60°,

故選：A.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.A

【分析】如圖（見解析），過點C作于點R先利用勾股定理求出NF的長，再根

答案第2頁，共16頁

據(jù)線段的和差即可得.

【詳解】如圖，過點C作CF//B于點F,則。b=?！?3米，

由題意得：/C=/B=5米，

在用A/C尸中，由勾股定理得：/L=J/C2一C-2=J52一理=4（米）,

貝|]8/=/3-瞪=5-4=1（米）,

即木馬上升的高度為1米，

故選：A.

【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、線段的和差，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.

8.B

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可知NO=3,在次△NB。中利用勾股定理可得30=5,則

20=230=10.

【詳解】解：：四邊形是平行四邊形，

：.BD=1B0,AO=OC=3.

在必△A8O中，利用勾股定理可得：^。:打+不=5

：.BD=2BO=10.

故選B.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理.解題的技巧是平行四邊形轉(zhuǎn)化為三

角形問題解決.

9.B

【分析】利用數(shù)軸得出6<0<。，回>同，進(jìn)而利用二次根式的性質(zhì)化簡求出即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：b<O<a,H>|a|,

a-b>0,

答案第3頁，共16頁

則-1(a-b)2

=a+6—(q—b)

=a+b—a+b

=2b

故選：B.

【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握二次根式的化簡方法是關(guān)鍵.

10.A

【分析】本題考查勾股定理解決最短距離問題，將長方體木塊拉伸，結(jié)合兩點間距離及勾股

定求解即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，如圖所示，

AB=20+2x2=24m，

'■最短路程是：4C=7242+162=V832=8、厄m，

故選：A.

11.C

【分析】連接/P,先判斷出四邊形NF/也是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得跖=/尸，

再根據(jù)垂線段最短可得/尸，8C時，線段E尸的值最小，即可判斷出動點尸從點8出發(fā)，沿

著BC勻速向終點C運動，線段EF的值大小變化情況.

【詳解】如圖，連接/尸.

,?NA=90°,PE1AB,PFVAC

答案第4頁，共16頁

二四邊形NFPE是矩形，

/.EF=4P,

由垂線段最短可得/尸_L3C時，4?最短，則線段EF的值最小，

動點P從點B出發(fā)，沿著3C勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是先減小

后增大.

故選：C.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出/尸，8c時,

線段EF的值最小是解題的關(guān)鍵.

12.C

【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到。=2〃，b=n2-l,c=n2+l，進(jìn)而得出x+V的值.

【詳解】解：由題可得，3=22-1,4=2x2,5=22+1,……

a-2n,b=n2-1<c=n2+1>（“22且〃為正整數(shù)）

.,.當(dāng)c=〃?+i=65時，

解得：〃=8,

:.x=16,y=63,

:.x+y=79,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

13.372

【分析】根據(jù)題意可得岳二I與而I是同類二次根式，并且被開方數(shù)相同，進(jìn)而可得方

程，再解即可.

【詳解】解：由題意得：2x-l=x+3,

解得：x=4,

出義4+6=加=3逐.

故答案為：372?

【點睛】此題主要考查了同類二次根式，關(guān)鍵是掌握把幾個二次根式化為最簡二次根式后，

如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式.

14.3

答案第5頁，共16頁

【分析】將/-2x+2變形為(尤-1丫+1,整體代入即可得出結(jié)果

【詳解】?.-x=V2+b

**?X?-2x+2=x?-2x+1+1

=(x-1)2+1

=(行+1-1『+1

=2+1

=3.

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，將x?-2x+2變形為+l是解題得關(guān)鍵.

15.3

【分析】矩形的對角線相等且互相平分，所以過交點的好把矩形分成面積相等的兩部分，

通過面積的等量代換可求出解.

【詳解】解：???矩形Z8CD的對角線/C和2。相交于點。，

四邊形/8EE里面的空白三角形的面積和四邊形EDC/中陰影三角形的面積相等.

求陰影部分的面積可看成求四邊形/2PE的面積.

陰影部分的面積為：(2X3”2=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，矩形的對角線相等且互相平分，過交點的線段把矩形分成面

積相等的兩部分.

16.(3,5),(-3,1),(1,-1)

【分析】需要分類討論：以48為邊的平行四邊形和以為對角線的平行四邊形.

【詳解】解：①當(dāng)A8為邊且43、NC為鄰邊時：如圖

答案第6頁，共16頁

因為點/(TO)、3(2,2),

所以點A先向右平移3個單位，再向上平移2個單位得點8,

相應(yīng)的點C先向右平移3個單位，再向上平移2個單位得點。,

\。(3,5)；

②當(dāng)為邊且43、40為鄰邊時：如圖

因為點3(2,2)、C(0,3),

所以點8先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得點C,

答案第7頁，共16頁

相應(yīng)的點A先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得點D,

???^(-1,0),

因為點5(2,2)、C(0,3),

所以點C先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得點B,

相應(yīng)的點A先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得點D,

???^(-1,0),

故答案為:(3,5),(-3,1),(1,-1).

【點睛】本題考查平行四邊形的判定及點的平移問題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出對應(yīng)圖形，利用

數(shù)形結(jié)合思想解決.

17.(1)-41;(2)2A/3+276-4

【分析】本題考查二次根式的運算.

(1)先化簡二次根式，再運算即可；

(2)先去括號，再進(jìn)行二次根式的運算即可.

【詳解】解：(1)原式=36-2后+逐-36

答案第8頁，共16頁

=—V2;

⑵原式=3-2+2石-(3-2〃+2)

=1+2癢5+2々

=2百+2#-4.

18.（1）—J5x

（2）當(dāng)x=10時，這個三角形的周長是25（答案不唯一）

【分析】（1）把三角形的三邊長相加，即為三角形的周長.運用二次根式的加減運算，先化

為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，選擇一個符合題意的x的值即可.

【詳解】（1）解：一個三角形的三邊長分別為為5、日，!同，

V524V5

這個三角形的周長是:

5J-+-VW把

N5245

=4Sx+y[5x+,

2

=—y[5x,

2

這個三角形的周長是：/

（2）當(dāng)x=20時，這個三角形的周長是:

-V57=-V5x20=-xl0=25.

222

.?.當(dāng)x=10時，這個三角形的周長是25（答案不唯一）.

【點睛】本題考查二次根式的應(yīng)用.解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)與運算法則.

19.（1）點M、N是線段的勾股分割點，理由見解析

^12...37

⑵亍或了

【分析】（1）由N"=2,MN=4,BN=2拒,可得/M?+8解=MV?,根據(jù)勾股定理逆

定理得出以/M、MN、沏為邊的三角形是一個直角三角形，再根據(jù)線段勾股分割點的定義

答案第9頁，共16頁

即可判斷；

(2)設(shè)BN=x,則MN=4B-/M-3N=7-x,分兩種情形①當(dāng)兒W為斜邊時，依題意

AM2+BN2^MN2,②當(dāng)3N為斜邊時，AM1+MN2=BN1,分別列出方程即可解決

問題.

【詳解】(1)煎M、N是線段的勾股分割點，理由如下：

AM=2,MN=4,BN=2也

：.AM2+BN2=22+(273)2=4+12=16,M2V2=42=16

/?AM-+BN2=MN2

.?.以MN、A?為邊的三角形是直角三角形

...點M、N是線段AB的勾股分割點；

(2)設(shè)3N=x(尤＞0)

；4B=12,AM=5

:.MN=AB-AM-BN=\2-5-x=1-x

丁點M、N是線段45的勾股分割點，且NM為直角邊

①若兒W為斜邊，貝UAM2+BN2=MN2

即52+X2=(7-X)2,

12

解得：x=—

②若8N為斜邊，貝!|AM2+MN2=BN2

即52+(7-X『=/,

37

解得：%=y

綜上所述，3N的長為1節(jié)2或苦37.

【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是理解新定義，學(xué)會分類討論，注意

不能漏解，屬于中考?？碱}型.

20.(1)135°；

⑵2+夜.

【分析】(1)由￡)5=90°,AB=BC=2,可得/"C=/8C4=45。，AC=2五,進(jìn)而由

答案第10頁，共16頁

勾股定理的逆定理可得A/CO為直角三角形，利用角的和差關(guān)系即可求出；

（2）由四邊形/BCD的面積=+計算即可求解；

本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，四邊形的面積，利用勾股定理的

逆定理得出是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：VDS=90°,AB=BC=2,

：.ZBAC=ZBCA=45°,/。=百方=2日

AD=\,CD=3,

AAD2+AC2^l2=9,0）2=32=9,

AD2+AC2=CD2,

ANCZ）為直角三角形，ACAD=90°,

NDAB=ACAD+ABAC=90°+45°=135°；

（2）解:四邊形.8的面積二邑…邑…”四人會=2^2.

21.⑴G+l與G-1（答案不唯一）

0、V15+V6

（）-3-

11

⑶

【分析】本題考查二次根式的化簡運算，掌握分母有理化的規(guī)則是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)定義，寫出符合題意的兩個二次根式即可；

（2）按照定義進(jìn)行化簡即可；

（3）先化簡兩個式子，再比較大小即可.

【詳解】（1）解：6+1與追-1互為有理化因式（答案不唯一）

（V3+l）（^-l）=3-l=2

G+1與6-1互為有理化因式

故答案為：6+1與6-1（答案不唯一）；

（2）百?（?+五）

V5-V2-（V5-72）（^5+72）

答案第11頁，共16頁

V15+V6

5-2-

_V15+V6.

=?

3

/、1A/3+1A/S+11y/5+口

.V3-1(V3-1)(A/3+1)2'石_6―(有-5(班+6-2'

-y/3+1y/5+y/3

--------<-----------

22

.]]

,,工]_p

22.(1)/F￡G=58°；

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NEGQ90。，再根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理，即可得到/FEG的度數(shù)；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得：AB=CD,AD//BC,根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線的定義

求出NABE=N4EB,推出/3=4E,同理求出。尸=C￡>,證明4B=D9即可.

【詳解】(1)解：???四邊形是平行四邊形，

ZABC+ZBCD=ISO°,

又〈BE平分/ABC,CF平分NBCD,

：.ZGBC+ZGCB=-CZABC+ZBCD)=-xl80°=90°,

22

NEG尸=90°,

又：ZEFG=32°,

：.NFEG=90°-32°=58。；

(2)證明：?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

：.AB=CD,AD//BC,

：.NAEB=/EBC,

?；BE平分NABC,

：.NABE=/CBE,

：./ABE=NAEB,

：.AB=AE,

同理可得：DF=CD,

答案第12頁，共16頁

：.AE=DF,即AF+EF=DE+EF,

：.AF=DE.

【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識

的運用，能綜合運用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

23.⑴見詳解

(2)4A/7

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理.

(1)先證四邊形OCE。是平行四邊形，再證四邊形OCED是矩形即可；

(2)由菱形N3CD的邊長為8,N/8C=60?？傻谩?C是等邊三角形，再求得NC,。。的長,

可得CE的長，最后用勾股定理求/E即可.

【詳解】(1)證明：???四邊形/BCD是菱形

ACLBD,AO=CO=-AC

2

ZDOC=90°

???DE=-AC

2

DE=OC

DE//AC

即DE//OC

四邊形OCED是平行四邊形

QZDOC=90°

???四邊形0cm是矩形

OE=CD；

(2)?.,菱形/BCD的邊長為8,ZABC=60°

:.AABC是等邊三角形

AC=8,ZABO=30°

:.AO=-AC=4

2

BO7&-42