江西省南昌市2024屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

江西省南昌市2024屆高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知向量白=(1，2)力=(-2,3),則()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算即可.

【詳解】由題意得，a2=1x(—2)+2x3=4.

故選：B.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+l=(2+i)z,則|?|=()

A.；B.—C.1D.V2

22

【答案】B

【解析】

【分析】借助復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與模長定義計(jì)算即可得.

11-i1-i

【詳解】由題意可得2=工=不=丁，

1+1不+、—、2

故選：B.

3.已知集合4=｛%也談。｝,8=｛也工2卜則“九eA”是“xeB”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】解集合中的不等式，得到這兩個(gè)集合，由集合的包含關(guān)系，判斷條件的充分性和必要性.

【詳解】不等式lnx<0解得0<xWl,則4=(0,1]；

不等式2、<2解得xWl，則5=(-8/].

(0』口S，l],

所以“xeA”是“xeB”的充分不必要條件.

故選：A

——2x%〈0

4.已知/(x)=,(\八，則不等式/(x)<2的解集是()

|^log2(x+l),x>0

A.(-oo,2)B.(-oo,3)C.[0,3)D,(3,+oo)

【答案】B

【解析】

[分析]分別在x<0,x>0條件下化簡(jiǎn)不等式求其解可得結(jié)論.

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，不等式/(幻<2可化為—必―2%<2，

所以％2+2X+2>0，可得X<0；

當(dāng)xN0時(shí)，不等式/(%)<2可化為log2(%+1)<2,

所以1+1<4,且x+l>0,

所以0W九<3,

所以不等式/(x)<2的解集是(一甩3),

故選：B.

5.在三棱錐A—BCD中，AB1平面BCD,AB=5BC=BD=CD=2,E，產(chǎn)分別為AC,

CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.AF-BE是異面直線，AF±BEB.AF-BE是相交直線，AF±BE

C.AF>3E是異面直線，A尸與3E不垂直D.AF>3E是相交直線，■與跳不垂直

【答案】A

【解析】

【分析】先用定理判斷轉(zhuǎn)，班是異面直線，再證明座與■垂直，連接卸乙即可得到平面

ABF,取A廠的中點(diǎn)Q,連接3Q,EQ,從而得到EQLAP、BQLAF,即可證明"J_平面

BEQ,從而得解.

【詳解】顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面ACD外一點(diǎn)3與平面ACD內(nèi)一點(diǎn)E直線助與平面

ACD內(nèi)不經(jīng)過E點(diǎn)的直線AF是異面直線.

下面證明助與A尸垂直：

證明：因?yàn)锳31平面BCD,CDu平面5C。，

所以AB_LCD,

因?yàn)锽C=BD=CD,戶分別為CD的中點(diǎn)，連接卸，

所以5尸，CD,

因?yàn)锳BBF=B,AB,BFu平面AB尸，

所以CD,平面AB/，

如圖：取A廠的中點(diǎn)Q,連接3Q,EQ,

因?yàn)镸u平面尸，所以CDLAE,

又因?yàn)镋Q〃C￡>,所以EQJ_Ab,

因?yàn)?。=班>=。0=2,

所以BF=x2==AB，

2

又因?yàn)?。為AF的中點(diǎn)，所以

因?yàn)?。小石。=。，30,EQu平面3EQ,

所以"，平面3EQ,

又因?yàn)?Eu平面3EQ，所以A尸，5E.

故選：A.

6.已知2cos2xH---Icos-cos3x=-,貝！Jsin

124

77

C.D.

88

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦的和角公式化簡(jiǎn)得cos[x+1）=。，再根據(jù)二倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.

【詳解】由已知知:

化簡(jiǎn)得cos]2x+^|-jcoslx71+sinl2x+^|-jsinlx71

1212

￡

4

.兀E兀1

令t—x—，貝=%—，cost——，

664

所以sin仁—2%卜sin=sin--2t=cos

(21

=2cos2/■—1=2xf—1=——.

⑷8

故選：D

22

7.己知雙曲線C：，—忘=1（。〉0力〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,工，雙曲線的右支上有一點(diǎn)AA4與

TT

雙曲線的左支交于8,線段A8的中點(diǎn)為股，且滿足A8，若/月4耳=耳，則雙曲線C的離心

率為（）

A.73B.75C.76D.V7

【答案】D

【解析】

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)、雙曲線的定義結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知線段A8的中點(diǎn)為M,且滿足貝『AB|=|B6|,

故△A3E為等腰三角形,

jr

又瑪=§,則△AB鳥為正三角形，

根據(jù)雙曲線定義知|時(shí)|—|然|=2a=|然|—|AB|=忸叫,

設(shè)|AB|=x,貝!|忸閭一忸耳|=2anx=4a,

在4A月月中，由余弦定理知cos60=(x+2?+x=52-—#2=\e=近,

2x(x+2a)48a22

故選：D

8.校足球社團(tuán)為學(xué)校足球比賽設(shè)計(jì)了一個(gè)獎(jiǎng)杯，如圖，獎(jiǎng)杯的設(shè)計(jì)思路是將側(cè)棱長為6的正三棱錐

尸—A5C的三個(gè)側(cè)面沿AB,BC,AC展開得到面《A3,鳥3。,鳥AC,使得平面《A3,63C,居AC均與

平面ABC垂直，再將球。放到上面使得42,鳥三個(gè)點(diǎn)在球。的表面上，若獎(jiǎng)杯的總高度為6&，且

AB=4,則球。的表面積為(

140兀100K98兀32兀

A.------B.-------C.-----D.——

3993

【答案】C

【解析】

【分析】由獎(jiǎng)杯的總高度為6直，結(jié)合題意，可將其拆解為多段，得到60=R+OQ+QQ,結(jié)合題目所

給條件，運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可得球。的半徑，結(jié)合球的表面積公式即可得解.

【詳解】如圖：連接《鳥、P『3、3,

取AB、BC、AC中點(diǎn)。、E、F,連接P*、P3F,

由已知側(cè)棱長為6的正三棱錐P-ABC,

即6A=耳8=￡3==鳥。=jA=6,又因?yàn)锳B=4,

所以耳。=4E=公F=,62—22=40，

因?yàn)槠矫娓飞剑跙C,《AC均與平面ABC垂直，

設(shè)A，P2,4三點(diǎn)所在的圓為圓Q,底面ABC的中心為。-

則QOi=4^/2,又因?yàn)楠?jiǎng)杯總高度為6應(yīng)，

設(shè)球半徑為R,球心。到圓。面的距離為d，

則OQ=d=6&—4&—R,即d=2行一R，

如圖，易知.RP2P3沿J)EF，

因?yàn)镈E=DF=EF=gAB=2,

所以《鳥鳥是邊長為2的等邊三角形，

設(shè).《鳥鳥的外接圓半徑為「，

則直角。中，代=*+簫,

2

即R=〔下

9871

所以4;很=4TIx

13⑸

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助獎(jiǎng)杯的總高度為6虛，得到6上=尺+。。+。0,從而可由

題目所給條件逐步計(jì)算出球。的半徑，即可得解.

二、選擇題:本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.為了解中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)，甲、乙兩校課題組分別隨機(jī)抽取了本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)

查，得到如下兩個(gè)表格：

不喜愛足球運(yùn)

喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

動(dòng)

男性15520

女性81220

合計(jì)231740

甲校樣本

喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男性7030100

女性4555100

合計(jì)11585200

乙校樣本

（參考公式及數(shù)據(jù)：/=中喘累=a+.

a0.10.010.001

%2.7066.63510,828

則下列判斷中正確的是()

A.樣本中，甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例

B.樣本中，甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例

C.根據(jù)甲校樣本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

D.根據(jù)乙校樣本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)

【答案】AD

【解析】

【分析】對(duì)AB,根據(jù)甲乙兩校男女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例大小判斷即可；對(duì)CD,根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的性

質(zhì)判斷即可.

153

【詳解】對(duì)A,甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例一=—,乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例

204

_7_0___7__3

100—104,

即甲校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例高于乙校男學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例，故A正確；

824592

對(duì)B,甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例一=一,乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例——=一〉一，

205100205

即甲校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例低于乙校女學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)的比例，故B錯(cuò)誤；

40x(15x12-5x8)2

對(duì)C,甲校中力2?5.013<6.635，

20x20x23x17

所以根據(jù)甲校樣本沒有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，故C錯(cuò)誤;

200x(70x55-30x45)2

對(duì)D,乙校中/-12.788>6.635

-115x85x100x100-

所以根據(jù)乙校樣本有99%的把握認(rèn)為中學(xué)生喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，故D正確;

故選：AD

10.已知/(x)=x+acosx(a。0),則下列說法中正確的是()

A./(x)在R上可能單調(diào)遞減

B.若f(x)在R上單調(diào)遞增,則l,0)U(0」］

是/(X)的一個(gè)對(duì)稱中心

D./⑺所有的對(duì)稱中心在同一條直線上

【答案】BCD

【解析】

【分析】對(duì)A：計(jì)算導(dǎo)數(shù)，可得當(dāng)a<—1或a>l時(shí)，/'（x）WO不恒成立；對(duì)B：計(jì)算導(dǎo)數(shù)，令/''（x"。

計(jì)算即可得；對(duì)C：驗(yàn)證/（4）+/（?！?兀是否成立即可得；對(duì)D：可得"了）關(guān)于

'（2左+1）兀（24+1）兀'

--1―,左eZ對(duì)稱，即可得解.

（22J

【詳解】/（x）=x+acosx（awO）,則/'（x）=l-asinx,

對(duì)A：當(dāng)ae[—l,O）u（0,1]時(shí),/'（x）"恒成立，"X）單調(diào)遞增，

當(dāng)a<—1或a>l時(shí)，/'（力<0不恒成立，/（%）不可能單調(diào)遞減，

綜上，/（九）在R上不可能單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：若/（尤）在R上單調(diào)遞增，則/'（x）=l—asinxNO恒成立，

所以ae[—1,0）。（0』，故B正確;

對(duì)C：因?yàn)?兀-x）=x+acosx+兀一x+acos（兀-x）=7i,

所以/（x）關(guān)于對(duì)稱，故C正確；

因?yàn)?（x）+/（（2k+l）7r-x）=x+acosx+（2k+l）7r-x+acos（（2^+l）7i:-x）

=（2左+1）兀，左eZ,

,、1（2左+1）兀（24+1）兀'

所以/（%）關(guān)于1―尸一，1~尸一，左eZ對(duì)稱，

（22J

所以/（%）所有的對(duì)稱中心在直線y=x上，故D正確.

故選：BCD.

11.已知|AB|=4,M為AB上一點(diǎn)，且滿足AM=3MB.動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|=2|。0|,D為線段上

一點(diǎn)，滿足|cq=|/）M|,則下列說法中正確的是（）

A.若CM±AB,則。為線段BC的中點(diǎn)

B.當(dāng)AC=3時(shí)，A3。的面積為其

4

C.點(diǎn)。到A3的距離之和的最大值為5

D.NMCB的正切值的最大值為且

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)A,利用等腰三角形的兩底角相等，以及直角三角形的性質(zhì)即可判斷；對(duì)B,根據(jù)余弦定理可得

cosA=—,進(jìn)而可得sinA,結(jié)合三角形面積公式求解即可；對(duì)C,先證明忸。=2,然后根據(jù)兩點(diǎn)之間

811

線段最短可證明|以|+|￡碼＜5,再給出取等的例子即可；對(duì)D,用余弦定理證明COS2NMCB2W，再得

到tan/MCBK且，最后給出一個(gè)取等的例子即可.

3

【詳解】對(duì)A,若CM±AB,則NCMB=90。，從而NMCB+NCW=90。.再由=閭知

ZDCM^ZDMC.

故NDBM=Z.CBM=90°-ZMCB=90°-ZDCM=90°-ZDMC=NCMB-ZDMC=ZDMB,這得到

\DM\=\DB\

所以|8|=］。閘=|。到，從而O為線段8C的中點(diǎn)，故A正確;

33”-圖

對(duì)B,當(dāng)MC=3時(shí)，=—,貝|7，又一e（0,兀）,

2cosA-

2x3x38

故sinA=Jl—[g]=半，故S至。=gx|AC|x|A3|xsinA=45，故B錯(cuò)誤;

對(duì)C,由于|AC|=2|QW|,故從而|CB—=—故

(CB-AB^=4(CB-MB『.

這表明（CB—AB）?=4（CB—MB）?=41c5—,即

煙2+網(wǎng)L2CRAB=4煙?+；網(wǎng)-2CRAB,化簡(jiǎn)即為3畫？=；網(wǎng)?

所以|CB『=；|AB1=；-42=4,故|CB|=2.

由于A3=4MB,故AM=3M3=?A3,從而,叫=高4q=3.再由忸。|=2,知

|ZM|+|DB|=|Z^+|CB|-|CZ^=|ZM|+2-|CD|=|Z14|+2-|DM|=|ZM|-|DM|+2<|7Uf|+2=3+2=5.

13

當(dāng)點(diǎn)C在同一條直線上順次排列，且|A〃|=3,|北倒=1,忸0=3，=5時(shí)，驗(yàn)證知

點(diǎn)A,B,C,D,M滿足全部條件，且此時(shí)有|。川+|￡碼=（|+1"6|+忸。|）+忸必=3+1+g+g=5.

所以點(diǎn)。到A3的距離之和的最大值為5,故C正確；

對(duì)D,一方面由于忸c|=2,==i^\MB\<\BC\,從而NMCB<NCMB.

所以ZMCB<ZCMB<ZCMB+ZCBM=180°-ZMCB,即ZMCB<90°.

\CMf+\CB2-\MBf

所以cosNMC3=

2CMCB

_|CM2+4-l

一_4CM\"

_|CM|2+3

—41cM

_|CAf|2-2V3|CAf|+3+273|CAf|

-4\CM\

4\CM\

>2s/3\CM\_y/3

4\CM\-V

,3

所以cos2/MCB?—.

4

3

由0VNMCB<90°,及cos?9/MCBN—,可知

4

八…sinZMCBsin2ZMCB1-cos2ZMCB

tanZMCB=---------=J----------=J-----、----

cosZMCBVcos2ZMCBVcos2ZMCB

E

另一方面，如上圖所示，考慮一個(gè)邊長為4的正三角形ABE，分別設(shè)ABBE的中點(diǎn)為RC,再分別設(shè)

的中點(diǎn)為

則|AC|=2g,\CM\=s/3,\CD\=\DM\=1,\AM\=3,|MB|=1,CM上MB.

\MB\J3

所以A,&C,D,M滿足全部條件，且此時(shí)tanZMCB=伺"=-y.

綜上，tanNMCB的最大值是正，故D正確.

3

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，在D選項(xiàng)中，需要先用余弦定理考慮cosNMCB的下界，再

相應(yīng)地推出tanNMCB的上界，進(jìn)而得到tanNMCB的最大值.

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，4c,若asin3=2》cosA,貝hanA=.

【答案】2

【解析】

ciAq

【分析】先由條件期由5=2〃85人說明1@114存在，再結(jié)合正弦定理——二:即可求出tanA.

sin3b

2/?cos/AnsinRwin/An

【詳解】由asin3=2bcosA知cosA=----------=——>0,故tanA存在.再由正弦定理—

2b2bsinBb

口”-…，sinA2匕sinA2bsinA2b-a-

即可得到tanA=-------=----------=----------=-------=2.

cosA2bcosAasinBa-b

故答案為：2.

13.一次知識(shí)競(jìng)賽中，共有A,&C,D,E五個(gè)題，參賽人每次從中抽出一個(gè)題回答（抽后不放回）.已知參

賽人甲A題答對(duì)的概率為，5題答對(duì)的概率為:，C2E題答對(duì)的概率均%,則甲前3個(gè)題全答對(duì)

的概率為.

37

【答案】—

320

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知，甲抽中的前三題按題型概率不同有四種組合，可用組合數(shù)依次計(jì)算每種組合的概

率，然后根據(jù)每種組合中每題是否答對(duì)為獨(dú)立事件，P（ABC）=P（A>P（5>P（C）,可依次計(jì)算每種組合

下全部答對(duì)的概率，最后相加即可.

【詳解】甲抽中前三題按題型概率不同有四種組合:

抽中A3,剩余一題為三題中的任意一題，且全部答對(duì)，則概率為:

C；xC：xC；x3xlxl=^_

1C；442320

抽中C,D,E,且全部答對(duì)，則概率為:

1

214

抽中A,剩余兩題為中的任意兩題，且全部答對(duì)，則概率為:

CjxClJl|23__9_

月=?X4-160

C52

抽中8,剩余兩題為CRE中的任意兩題，且全部答對(duì)，則概率為:

C；04160

37

所以甲前3個(gè)題全答對(duì)的概率為「=《+6+6+2=而

37

故答案為：----

320

14.如圖，有一張較大的矩形紙片ABC。,&分別為AB,CO的中點(diǎn)，點(diǎn)P在。&上，|OP|=2.將矩

形按圖示方式折疊，使直線A8（被折起的部分）經(jīng)過尸點(diǎn)，記AB上與尸點(diǎn)重合的點(diǎn)為折痕為/.過

點(diǎn)M再折一條與8c平行的折痕加，并與折痕/交于點(diǎn)Q,按上述方法多次折疊，。點(diǎn)的軌跡形成曲線

E.曲線E在。點(diǎn)處的切線與AB交于點(diǎn)N，則VPQN的面積的最小值為.

【解析】

【分析】先根據(jù)題意得出。的軌跡是以尸為焦點(diǎn)、直線為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而得出曲線E的方程，然

后建立坐標(biāo)系求出點(diǎn)。處的切線方程進(jìn)而求出點(diǎn)N,從而求出SPQN=SMQN=^\MN\\MQ\,再利用導(dǎo)數(shù)

工具研究其最值問題即可求解.

【詳解】連接尸。，由題PQ與關(guān)于/對(duì)稱，|PQ|=M0|,

所以。在以尸為焦點(diǎn)、直線為準(zhǔn)線的拋物線上，

如圖，以P。中點(diǎn)G為原點(diǎn)，過G與平行的直線為x軸，與A2垂直的直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)

系，

則P（o,l）,直線AB：y=—l,所以拋物線方程為：x2=4y,即y=亍，

尤/1

則丁=—,由上可設(shè)Q（。＜0）,則拋物線在。點(diǎn)處切線斜率為左=-a,

2142

所以拋物線在。點(diǎn)處切線方程為y-，=a）,

則令y=—1,n5—1)’

a22a2

所以由題意|MN|==4+—I—，

2a2a

[11

3

SP°N=SM°N=5|MN||M05+―x—+1=—a+—+—=|z/(tz)|(4Z<0),

///ci卜i,J-o/a

311

所以H'(a)=—a2H-----Y=g(〃)(〃<。)，

162a

3?

故g'(a)=—Q—可<。對(duì)”<0恒成立，

8a

所以a<0時(shí)H'(a)單調(diào)遞減，又當(dāng)q=—平時(shí)，H'(a)=0,

故a<—平時(shí)，H'(a)〉0；—竽<a<0時(shí)，H'(a)<Q,

所以a<—半時(shí)，H(a)單調(diào)遞增；一半<0<0時(shí)，H(a)單調(diào)遞減,

所以半］=_殍，則的⑷之手，

所以VPQN的面積的最小值為更，

9

故答案為：生巨

9

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：將求VPQN面積轉(zhuǎn)化成求△M0N面積是解決VPQN面積最值的關(guān)鍵.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛a“｝的前”項(xiàng)和為S“，且滿足弓=1,g=3,a“+a“+2=總”+「

(1)當(dāng)k=2時(shí)，求S"；

⑵若左=g,設(shè)d=。用一24,求也｝的通項(xiàng)公式.

【答案】(1)100(2)%=

【解析】

【分析】(1)由等差數(shù)列定義得出｛%｝為等差數(shù)列，由已知求出公差，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可得解；

(2)由定義證明數(shù)列也,｝是等比數(shù)列，由此即可得解.

【小問1詳解】

當(dāng)左=2時(shí)，有?！?4+2=2a”+「

即氏+2—??+1=4+1-%，所以｛4｝為等差數(shù)列，

因?yàn)?。?1,%=3,所以d=%—4=2,

所以S］o=lxlO+^^x2=lOO.

【小問2詳解】

由已知，an+2=Tan+x-an,

所以％+2—2azi+i=|an+l-an=^(an+l-2an),即bn+l=^bn,

且4=%-2%=1,所以也｝是以1為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列，

所以“展成

16.一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時(shí)，生產(chǎn)的電阻阻值X(單位:Q)服從正態(tài)分布N(1000,52).

(1)生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)電阻中抽取2只，求這兩只電阻的阻值在區(qū)間(995,1000］和

(1005,1010］內(nèi)各一只的概率；(精確到0.001)

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)，從服從正態(tài)分布N(〃,b2)的總體中抽取容量為九的樣本，則這個(gè)樣本的平均數(shù)

’2\

服從正態(tài)分布N〃，——?某時(shí)刻，質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上抽取5只電阻，測(cè)得阻值分別為：1000,1007,

In

1012,1013,1013(單位：Q).你認(rèn)為這時(shí)生產(chǎn)線生產(chǎn)正常嗎？說明理由.(參考數(shù)據(jù)：若

X~N(〃,cf2),則P(〃-cr<XW/z+cr卜0.6826,P(4-2b<XW〃+2。卜0.9544,

P(〃-3cr<XW〃+3o■卜0.9974.)

【答案】(1)0.093

(2)不正常，理由見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)分別求電阻阻值在(995,1000］和在(1005,1010］的概率，再結(jié)合概率公式

求結(jié)論，

(2)根據(jù)3cr原則判斷即可.

【小問1詳解】

電阻阻值X服從正態(tài)分布N(1000,5?).

所以〃=1000,b=5.

所以生產(chǎn)正常時(shí)，從這條生產(chǎn)線生產(chǎn)的電阻中抽取1只，則這只電阻阻值在(995,1000］和在(1005,1010］

的概率分別為

4=P(995<X<1000)=。(〃—b<X—b<X<〃+cr)m0.3413,

g=P(1005<XM1010)=P(〃+b<XVM+2b)=g(P(〃-2b<XM〃+2b)-尸(〃-b<XM〃+b))a0.1359.

因此這兩只電阻的阻值在區(qū)間(995,1000］和(1005,1010］內(nèi)各一只的概率

P=2A2^2x0,3413x0.1359=0.09276534工0.093；

【小問2詳解】

生產(chǎn)正常時(shí)，這5個(gè)樣本的平均數(shù)服從正態(tài)分布N1000,1-,即N(1000,(、后)，，

記cr=6，計(jì)算可得1=1009，

而1009〉1000+3百，即無>〃+3b,

因?yàn)樵谝淮螌?shí)驗(yàn)中，小概率事件發(fā)生了，因此認(rèn)為這時(shí)生產(chǎn)線生產(chǎn)不正常.

17.已知橢圓C:g+(=1(?！?〉0)經(jīng)過點(diǎn)石11,?。齈為橢圓C的右頂點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，一OPE

的面積為且.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)。(—1,0)作直線/與橢圓C交于A,B,A關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為C,若|54|=|5C|,求直線

AB的斜率.

【答案】（1）—+/=1；

4-

⑵±2.

【解析】

【分析】（1）由.OPE的面積為#,求出。=2,又因?yàn)槭?,曰］在橢圓C上，求解橢圓的方程即可；

（2）畫圖分析，因?yàn)閨朋|=|5。|,。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)ALO3,設(shè)出直線的方程％=沖一1,聯(lián)立方

程組，利用韋達(dá)定理求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)镺PE的面積為也，

2

則有!義小且=走，解得4=2,

222

又因?yàn)镋卜當(dāng)］在橢圓C上，則:+）=1，解得匕=1，

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+：/=1；

4-

【小問2詳解】

如圖：

因?yàn)?5Al=|5C|,。為AC的中點(diǎn)，所以Q4_LO3,設(shè)4(%,%),5(%,%)，

設(shè)直線的方程x=/ny-1,并與橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立，可得〈,，

x=my-1

消去X得(m2+4)y2-2my-3=0,

.Im-3

則有X+%=FTP%%=FT7’

m+4m+4

因?yàn)镼4_LOB,則有。4.OB=0，則王超+%%=。，

即(4+1)%%一加(％+%)+1=0，

、-32m._

/m°+11x-------mx-------bl=O,

'7m+4m+4

1—4相之1

即.一加二o,解得加=±;,

m+42

所以直線AB的斜率為±2.

18.已知/(%)=〃，一九"(九〉0,4〉0且Qw1).

(1)當(dāng)〃=e時(shí)，求證：/⑺在(e,+8)上單調(diào)遞增；

-2

e、

(2)設(shè)〃>e,已知Vxw另1口凡+8,有不等式/(%)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；

(2)(e,e2]

【解析】

【分析】(1)/⑺在(e,+8)上單調(diào)遞增，即/'(x)20在(e,+s)上恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)求最值的方法證

明.

(2)不等式/(x)?0恒成立，即皿〈生處,通過構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求最值的方法，求不等式恒成立時(shí)

xa

實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【小問1詳解】

當(dāng)a=e時(shí)，/(x)=eA-xe,

則_e/T=e(e1—/-i),

令/'(x)>0,則上>尸,兩邊取對(duì)數(shù)得x—l>(e—l)lnx.

p_1e_11

設(shè)g(x)=%—1一(e—1)Inx(x>e),則g'(%)=1----->1-----=->0,

%ee

所以g(x)在(e,+8)單調(diào)遞增，

所以xc(e,+oo)時(shí)g(x)>g(e)=0,即x￡(e,+8)時(shí)，x-l>(e-l)lnx,

所以xe(e,+8)時(shí)eJ-'>恒成立，即(九)>0,

所以在(e,+co)上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

法一：

/(x)>0,即優(yōu)兩邊取對(duì)數(shù)得：xlnaNalnx,即皿<@處.

xa

設(shè)立(x)=皿，則問題即為：當(dāng)X2三Ina時(shí)，/z(x)<”(a)恒成立.

x2

2

只需尤2—eIna時(shí)，/i(x)x〈人(。).

21m

令〃(x)=o得％=e,

當(dāng)0<x<e時(shí)，/z'(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增；當(dāng)％>e時(shí)，h\x)<0,/z(x)單調(diào)遞減.

又因?yàn)閍〉e,則與go〉口〉e,所以x2土Ina時(shí)，久了)單調(diào)遞減,

222

1e

所以x2—Ina時(shí)，h(x)max=h—Ina<h(a),

212J

e22

所以一lna>a,即lna?fa.

2e2

乙f乙

設(shè)"(%)=lnx——?x(x>e),貝！J。(%)=-----3，

e7xe

當(dāng)e<x<(■時(shí)，0(x)>O,。(無)單調(diào)遞增；當(dāng)■時(shí)，(p{x)<0,°(x)單調(diào)遞減,

e2e

所以。(％)max=。VeTn?-->lne-l=0,

I2J2e2

22

當(dāng)％二e時(shí)，6?(c)—Ine—z~*e=l—>0,x->+8時(shí)，(p(心<0,

ee

'e2、

所以。(%)的圖象與％軸有1個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這個(gè)交點(diǎn)為玉Xj>—,

因?yàn)椤悴?)=0,所以Xi=e?；

所以當(dāng)%>e時(shí)，0(x)N0=e<x4e2,

2

即當(dāng)時(shí)，不等式=?q=e<〃0e9,

e

2

所以當(dāng)不等式/(x)20在光2e。(〃〉e)恒成立時(shí)，eva<e?.

即實(shí)數(shù)0的取值范圍為(de?].

法二：/W>0,即優(yōu)兩邊取對(duì)數(shù)得：xlna>?lnx,即比〈生4.

xa

設(shè)/z(x)=皿,/z'(x)=l—如X,令〃(x)=0得％=e,

XX

當(dāng)X>e時(shí)，hf(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.

PP

又因?yàn)閍〉e,所以—Ina"—〉e,以乃在(e,+<?)單調(diào)遞減,

22

]nxInn、「2

由一<——，則〃<x在—\na^恒成立，即Jlna,

xa|_2J2

上式等價(jià)于@q22=坐，即M。)》/?(')，

aee

由/z(x)在(e,+8)單調(diào)遞減，所以evaV/.

即實(shí)數(shù)0的取值范圍為(e,e2].

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為

不等式恒成立問題，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

單調(diào)性、極(最)值問題處理.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用

技巧.

19.如圖所示，用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面，得到的幾何體稱之為“斜

截圓柱圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱”，是底面圓。的直徑，AB=2BC=2,橢圓所在平面垂

直于平面A8CD,且與底面所成二面角為45°，圖一中，點(diǎn)尸是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在底面上的投影為點(diǎn)

圖二中，橢圓上的點(diǎn)E&=1,2,3,,〃)在底面上的投影分別為耳，且耳均在直徑A8的同一側(cè).

DD

圖一圖二

(1)當(dāng)NAO6=1時(shí)，求心的長度；

(2)(i)當(dāng)〃=6時(shí)，若圖二中，點(diǎn)耳，工，…，入將半圓均分成7等份，求

(4內(nèi)―2>(馬耳—2).(野「2)；

(ii)證明:人耳.用耳+耳&￡&+…+工t工￡居+工3田。<2兀?

3

【答案】(1)-；

2

(2)(i)-；(ii)證明見解析

8

【解析】

【分析】(1)過CD中點(diǎn)M作與該斜截圓柱的底面平行的平面圓G",利用二面角得到以=小，在俯視

27T

圖中求出〃V,即得P/,代入6=々-,即得尸<；

7T2兀3兀

(2)(i)利用(1)推出的公式尸4=2+cos9,依次代入夕=—,—,一，求得

(4片