山東省泰安市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)高考模擬（（三模））數(shù)學(xué)試題含答案

山東省泰安市2024屆高三下學(xué)期高考模擬（（三模））數(shù)學(xué)試題

2024年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫清楚，將條

形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工

整、筆跡清楚.

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在革

稿紙、試卷上答題無效.

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

cin

1.若tancz=2,則一-~巴―的值為（)

cos2?-sin-a

44

C..D.-

97

2.已知函數(shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)工?0時(shí)，/（x）=-x5-3x+a-l,則/（—a）的值為

（）

A.lB.2C.3D.4

3.已知圓臺(tái)QU的母線長(zhǎng)為%下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長(zhǎng)為16,則該圓臺(tái)的

表面積為（）

A.241B.257rC.26兀D.27萬

4.已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，q=—21,S7=S15,則S"的最小值為（）

A.-99B.-100C.-110D.-121

22

5.已知尸（c,0）為雙曲線C:會(huì)—方=1（。＞0,》＞0）的右焦點(diǎn)，直線x=c與。的兩條漸近線分別

交于A,8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，△。鉆是面積為4的直角三角形，則C的方程為（）

222222

22ixyxyxy

A.x—y=IB.----------=IC.----------=lD.----------=I

224442

bsinB（c-a\smC

6.在△AABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為o,b,c,且-------a=^——--------,延長(zhǎng)BC

sinAsinA

至點(diǎn)。，使得5C=CD,若AD=26，AB=2,貝Ua=()

A.lB.V3C.2D.3

7.盒中有4個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球，第一次在盒中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后

放回，第二次在盒中也隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回.設(shè)事件人="兩次均未摸出紅球”，事件3=

“兩次均未摸出白球"，事件C=”第一次摸出的兩個(gè)球中有紅球"，事件"第二次摸出的兩個(gè)球中有

白球”，則（）

A.A與8相互獨(dú)立B.A與C相互獨(dú)立

C.8與C相互獨(dú)立D.C與。相互獨(dú)立

8.在三棱錐?！狝BC中，AB=2,AD=BD,AC±BC,tanZADB=—,E為AB的中點(diǎn)，且直

3

線DE與平面ABC所成角的余弦值為巫，則三棱錐O-A5c的外接球的表面積為（）

4

A.24兀B.367rC.404D.48萬

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員某日隨機(jī)抽取了100個(gè)該配件的質(zhì)量指標(biāo)值（單位：

分）作為一個(gè)樣本，得到如下所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（）

A.771=0.030B.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75

C.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)小于其平均數(shù)D.樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為85

10.已知Z滿足|z+/—八=忖，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則（）

C.|z|的最小值為苧的最小值為:

A.x-y-l=0B.x+y+l=0

11.己知函數(shù)/（x）=cos]0x+（■卜0〉0）,則（）

IT

A.若〃x)的圖像向右平移i個(gè)單位長(zhǎng)度后與/(%)的圖像重合，則①的最小值為1

B.若/(x)的圖像向左平移7個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=sinox的圖像，則。的最小值為5

C.若函數(shù)〃(x)|的最小正周期為?，則勿=4

TT

D.當(dāng)0=1時(shí)，若/(x)的圖像向右平移I個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(;c)的圖像，則方程

|g(x)|+4^=l有無窮多個(gè)解

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

.r\

12.已知集合A=---W0>,B=|x|log2x^(21,若5口(a4),則a的取值范圍是.

%一2

,、［x2+2x,x^0,/、

13.已知函數(shù)/(%)={若曲線y=與直線丁=利恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則〃的取值范

In(1—

圍是.

14.已知拋物線C:/=8x,點(diǎn)尸在C的準(zhǔn)線上，過C的焦點(diǎn)廠的直線與C相交于A,3兩點(diǎn)，貝明

的最小值為；若△ABP為等邊三角形，貝.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知函數(shù)"%)=

⑴討論/(x)的最值;

(2)若a=l,且上~求ke左3-的x取值范圍.

x

16.（15分）如圖，在四棱錐尸一A3CD中，AB=BC=DC=DA=AP=PD,PC=PB=42AB.

p.

E

一

（1）證明：平面平面ABC。；

9J7PF

（2）在棱PC上是否存在點(diǎn)E,使得平面AEB與平面5CE夾角的正弦值為二一？若存在，求——的

7EC

值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

17.（15分）2024年7月26日至8月11日將在法國(guó)巴黎舉行夏季奧運(yùn)會(huì).為了普及奧運(yùn)知識(shí)，河大學(xué)舉

辦了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽.

（1）初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對(duì)則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對(duì)其中4道題，記

小王在初賽中答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽

的概率；

（2）M大學(xué)為鼓勵(lì)大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績(jī)，對(duì)進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì).獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如

下：已進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎(jiǎng)3次，中獎(jiǎng)1次獎(jiǎng)勵(lì)120元，中獎(jiǎng)2次獎(jiǎng)勵(lì)180元，中獎(jiǎng)3次

獎(jiǎng)勵(lì)360元，若3次均未中獎(jiǎng)，則只獎(jiǎng)勵(lì)60元.假定每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率均為p[o<p<[；且每次是

否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.

（i）記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎(jiǎng)1次的概率為/■（0），求/■（〃）的極大值；

（ii）M大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎(jiǎng)金的期望值不小于1120

元，試求此時(shí)p的取值范圍.

18.（17分）已知月的其中兩個(gè)頂點(diǎn)為片（一1,0），鳥（1,0），點(diǎn)。為△尸耳心的重心，邊尸耳，

尸月上的兩條中線的長(zhǎng)度之和為30,記點(diǎn)。的軌跡為曲線C.

（1）求。的方程；

（2）過點(diǎn)F2作斜率存在且不為0的直線4與C相交于A,8兩點(diǎn)，過原點(diǎn)。且與直線4垂直的直線右與

C相交于舷，N兩點(diǎn)，記四邊形4WBN的面積為S,求毆（的取值范圍.

S

19.（17分）對(duì)于機(jī)N*,swN,，不是10的整數(shù)倍，且加二人10"則稱加為s級(jí)十全十美數(shù).已知

數(shù)列｛%｝滿足：%=8,%=4。，4+2=54+i-6ati.

(1)若｛。向一也｝為等比數(shù)列，求左；

(2)求在%,a?,a3,??-,%024中，3級(jí)十全十美數(shù)的個(gè)數(shù).

數(shù)學(xué)

一、選擇題

■sinla2sincrcos?2tantz44?

l.A【解析】----------=—；---------=---------=——=——.故選A項(xiàng).

cos2tz—sin~tzcos-tz-2sinal-2tan-a1-87

2.D【解析】由題得/(O)=a—1=0,解得a=l,所以當(dāng)尤＞0時(shí)，f(x)=-x5-3x,所以

/(-?)=-/(?)=-/(1)=-(-1-3)=4.故選D項(xiàng).

3.C【解析】設(shè)上底面圓的半徑為廣，則下底面圓的半徑是分，故軸截面周長(zhǎng)為16=4+4+2廠+6廠，

解得r=l,所以上、下底面圓的面積分別為乃，971,圓臺(tái)側(cè)面積5側(cè)="(1+3)*4=16?，所以圓臺(tái)的

表面積為萬+9萬+16萬二26萬.故選C項(xiàng).

4.D【解析】設(shè)｛4｝的公差為d,則S7=7%+苧4=酬5=15q+”/d,又q=—21,解得

nx(n—l｝0、

d=2,所以。==2〃-23,Sn=-21n-\----——-x2=n~-22n,當(dāng)“W11時(shí)，an＜Q,當(dāng)

時(shí)，＞0,所以當(dāng)〃=11時(shí)，S,取得的最小值%=112—22x11=—121.故選D項(xiàng).

5.B【解析】因?yàn)殂@為直角三角形，由雙曲線的對(duì)稱性知Q4,05,且|。4|=|0同，所以C的漸

近線方程為y=±x,即a=b,又鉆的面積為4,所以gx2cxc=4,解得c=2,又

22

人2=。2=4,所以a=b=e,故C的方程為土—匕=1.故選B項(xiàng).

22

bsinB(c—tzlsinC/、

6.C【解析】由--------a=^——1------,得bsin5=QsinA+(c—〃)sinC,由正弦定理得

sinAsinA

/=4+(C-Q)C,BPa1+C1-b1=ac,所以cos5=〃+°———==—,又。＜B＜兀，所以

'7laclac2

71

B=—,如圖,

3

可知30=2。，又AD=2瓜AB=2,所以在ZVlBr)中，由余弦定理得

Qjr

AZ52=4+（2〃）一2x2x2〃xcos§=4+4/—4〃=12,解得a=2（負(fù)值舍去）.故選C項(xiàng).

C七1c2c21

7.D【解析】依題意得P（A）=22」，P（0二F!=，P（AB）=0wP（A）P網(wǎng)，故A

C氾36v7C?36v7v7v7

項(xiàng)錯(cuò)誤;叩）=y4P（AC）=?⑷P（c），故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

Pg仔=^^P（B）P（C）,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；P（D）=C2+^2=|,

2222c?_（）（）故

P（CD）=C2c+C2c2c+C2c2c+C2c2c25=PCPD,D項(xiàng)正確.故選D項(xiàng).

C氾

8.B【解析】如圖，設(shè)球心為。，△ABD的外接圓圓心為尸，連接OE,OA,EF,OF,FA,

因?yàn)镹ACB=90。，E為AB的中點(diǎn)，AB=2,所以EA=EB=1,E為△ABC的外心，由

AD=BD,/為血的外心，得。,F,E三點(diǎn)共線，且環(huán)，A3,由題意得平面A3C,

故直線DE與平面ABC所成角為NOEE的余角，所以sin/OER=?,所以

4

EFJ6

cosZOEF=-在△ABD中，AB=2,ZADB=30°,由正弦定理得

OE4

2/-------------廠

FA=FB=FD=----------=2,EF=』FA—E^=6，M\^OE=———=2^2,所以在

2sin30°cosNOEF

□△OEA中，OA=y/OE2+EAi=3,所以球。的表面積S=4小。4?=36萬.故選B項(xiàng).

二、選擇題

9.ACD【解析】由題意知（0.010+0.015+m+0.035+0.010）xl0=l,解得加=0.030,故A項(xiàng)正

確；樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5,故B項(xiàng)錯(cuò)

誤；樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)是四土也=75<76.5,故C項(xiàng)正確；前3組的頻率之和為

2

(0.010+0.015+0.035)X10=0.60,前4組的頻率之和為0.60+0.030x10=0.90,故第75百分位數(shù)位

于第4組，設(shè)其為則(7—80)x0.030+0.60=0.75,解得［=85,即第75百分位數(shù)為85,故D項(xiàng)正

確.故選ACD項(xiàng).

10.AC【解析】設(shè)z=x+)i(x,yeR),貝ij,一1+(丁+l)i|=卜+,所以

^(x-1)2+(y+l)2=y/x2+y2,整理得x-y-l=0,故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；由前面知z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌

—y—1=0,則忖的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離d,則/=Y2,故C項(xiàng)正確,

跡為直線x

A/12+122

D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC項(xiàng).

H.BC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?/p>

r(7l\(0)71萬)(7C\

fX--------COSG)\X----H---=COSCOX------1---COSG)XH---,所以------，keZ,

I4；[I4」I44jI4)4

即0=—8左，keZ,又G>0,所以g的最小值為8,故A項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?/p>

//乃)「/乃[乃](0)71

tx-\?一=cosa>\x-\■一H?一=cosa)x-\-----1--=sincox,所以——+—=——+2k/r,

I4；LI4；4jI44)442

上eZ,即。=—3+8左，左eZ,又。>0,所以。的最小值為-3+8=5,故B項(xiàng)正確.對(duì)于C項(xiàng)，因

為函數(shù)〃(刈的最小正周期是“X)的最小正周期的一半，所以/'(x)的最小正周期為g，所以

=解得0=4,故C項(xiàng)正確.對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)0=1時(shí)，/(x)=cosL+^j,所以

7C7171

g(x)=FX--COSX-------H——=COSX,方程

I44

|g(x)|+疝Tcosx|+=1.令cos%=/,則M+；=l,re[-1,0)(0,1],當(dāng)

cos|x|cosx

ic_i+J5_i_x/5

/■￡1一1,0)時(shí)，一/+-=1,BPt+/—1=0,所以，=---(舍)或，=--—(舍)；當(dāng)/￡(0,1]

時(shí)，t+-=l,即/—.+1=0,無解.綜上，=l無解，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選BC項(xiàng).

tg(|x|)

三、填空題

12.[l,+oo)【解析】由得一2Wx<2,所以A={x|—2Wx<2},則

=2或x22},由log2xNa,得光22°,又3口(aA),所以2a>2,解得a.l.

13.[-1,2)【解析】當(dāng)時(shí)，/(x)=f+2x,/,(x)=2x+2,則/■'(0)=2；當(dāng)0<x<l時(shí),

/(x)=ln(l-x),f'(x)=--—,則廣(0)=—1.作出/(x)的圖像,如圖，易知。的取值范圍是

[-L2).

14.824【解析】由已知得萬（2,0）,設(shè)直線AB的方程為％=沖+2,4（%,%），弦

x=my+2,、

AB的中點(diǎn)〃（無0，%），聯(lián)立1,消去x并整理得V—8my—16=0,則X+%=8m，

J=8x,

2

yxy2--16,所以％+w=7篦(必+%)+4=8加之+4,且%=4冽，x0=4m+2,

26

|AB|=x1+A2+4=8m+8,故當(dāng)機(jī)=0時(shí)，=8?若aA尸為等邊三角形，貝卜篦，0,直線

必^的方程為丁一4機(jī)=一”?（九一4療—2）,所以點(diǎn)P（-2,8m+44），又“（4〃，+2,4〃,，

\PM\=^-\AB\,所以（4療+4/+（4m+4加）2=|（84+8）2,解得加？=2,貝IJ|AB|=24.

四、解答題

15.解：⑴由題知的定義域?yàn)椋?,+oo）,f^x）=a--=――

XX

當(dāng)〃>0時(shí)，令=得％=工，

當(dāng))時(shí)，/,(%)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe[：,+8]時(shí)，/,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

故當(dāng)％=:時(shí)，/(x)取得極小值，也是最小值，且最小值為/[B]=l+lna，

無最大值.

ke"—Yke"—x

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，由~^x-lnx^——-

XX

士一-E/D?r\21ar.7\-rA—A111A

整理得％eNf+x-xinx,即左三-------------.

ex

人,/、x2+x-xlnx、(2x+l—Inx—l)e*—(Y+x—xlnx)e*(x-lnx)(l-x)

令〃(%)=一——，貝匕'(x)=^------------------------------

e(eJex

由⑴知，當(dāng)Q=1時(shí)，/(x)=x—Inx的最小值為〃1)=1>0,

即jr-ln%>0恒成立，

所以當(dāng)工?0,1)時(shí),〃(力>0,妝可單調(diào)遞增；

當(dāng)XW(l,+8)時(shí)，/(%)v0,/z(x)單調(diào)遞減.

22

故當(dāng)％=1時(shí)，/z(x)取得最大值力⑴二一，即ZN—,

ee

故左的取值范圍為二,+8

e

16.(1)證明：因?yàn)榻?笈。=。。=/14=”=尸￡),PC=PB=yJlAB,

222

所以92+。。2=?。2,AP+AB=PB,

所以DCLPD,ABLAP,又AB=BC=DC=DA,

所以四邊形ABCD為菱形，所以AB〃OC,DC±AP,

又AP,POu平面PAD,APPD=P,所以O(shè)C,平面PAD,

又。Cu平面A3CD,所以平面平面ABC。.

(2)解：由(1)得。C,平面R4D,

因?yàn)镈Au平面R4D,所以O(shè)CLZM,故四邊形ABC。為正方形.

不妨設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,A。的中點(diǎn)為。，連接PO.

因?yàn)椤鱇4D為等邊三角形，所以「OLAD,又尸Ou平面R4D,平面上4。|平面ABCO=AD,平

面平面ABC。，所以尸平面ABCD.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,DC,。尸的方向分別為九，y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

2fipj^

假設(shè)存在點(diǎn)E,使得平面AEB與平面3CE夾角的正弦值為二-,且——=A（2>0）,E（x0,y0,z0）,

7EC

PE

由一=2,得PE=2EC,即

EC

解得5=—高%=至，z°=E，所以￡—2226)

°2+12+11+2，1+2，1+2)'

"-1-2226)

所以AB=(O,2,O),BC=(-2,0,0),PB=(1,2,-73),BE=

、1+2'1+/T1+"

設(shè)平面AEB的法向量為〃=（玉,%,zj,

n-AB=2yx=0,

則《可取〃二

n.BE=(T-2.)7-2%+后(Ao,i+

二0,

1+2

設(shè)平面BCE的法向量為加=（w，%，Z2）,

m-BC=-2x,=0,//-\

則《..2,可取機(jī)=0,6,2,

m-PB=x2+2y2-v3z2=0,

n-m|2+42|

貝！Jcos(n,m

m

n||近義,3+(1+2/1)

解得4=1或2=—2(舍去),

7J7PF

所以在棱PC上存在點(diǎn)E,使得平面AEB與平面3CE夾角的正弦值為二一，且一=1.

7EC

17.解:(1)X的可能取值為0,1,2,

則P(X=0)=E^」，p(x=l)=^l=—,p(X=2)=E^=±,

'，或15'，或15'，或5

記事件A：小王已經(jīng)答對(duì)一題，事件8：小王未進(jìn)入決賽,

仍未進(jìn)入決賽的概率P(B|A)==言=|.

則小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下,

(2)(i)f(p)=C1p(l-pY=3p3-6p2+3p[0<P<~

則廣(p)=3(3p—l)(p—1),

令/'(P)=°，解得P=g或7=1(舍)，

當(dāng)時(shí)，f'(p)>0,當(dāng)pc(；,：)時(shí)，f\p)<0,所以/'(p)在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，在

區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)p=；時(shí)，/(0)有極大值，且/(夕)的極大值為=

(ii)由題可設(shè)每名進(jìn)入決賽的大學(xué)生獲得的獎(jiǎng)金為隨機(jī)變量丫，則Y的可能取值為60,120,180,

360,p(y=60)=(i—plp(y=i20)=c；p(i—夕『，p(y=iso)=^2(1-/7),

P(y=360)=/?3,

所以E(y)=60(l—°)3+12℃；夕(1—py+180C；p2(i—夕)+360p3=60(2p3+3/7+l),

所以9E(y)21120,即540(2p3+37+1)>1120,

°29

整理得2P3+3p-5yN0,

i?9

經(jīng)觀察可知p=耳是方程2P3+3〃—方=0的根,

故2P3+3p.||=2"斗|卜?Vj2/+|p+割

??9?91

因?yàn)?P~+§P+>0恒成立，所以由2P3+3p—5y20,得P

3「13、

又p<4,所以p的取值范圍為

18.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)。為△尸耳鳥的重心，耳心的邊PG上的兩條中線長(zhǎng)度之和為3后,

21—,—

所以|。周+|Q局=§x3拒=2班>|單訃

故由橢圓的定義可知曲線C是以片（—1,0）,鳥（1,0）為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長(zhǎng)軸的端點(diǎn)）.

設(shè)a,》，c分別為該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距，

所以a=、/5,c—1,所以6=1,

所以c的方程為5+丁=1卜片±0'

（2）設(shè)直線4的方程為丁=左（兀一1）（左中0）,B（x2,y2）.

y=左(》-1)，

聯(lián)立《整理得(2左2+1卜2_必2工+2k2—2=0,

[V萬+y2=L,

2

2k-2|AB|=J1+左之.J(X]+%—=

貝1X.+X^=—5——X|X,=—-——

1-2k2+1j2k2+1

設(shè)"(%,%