福建省晉江市2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)5月期中考試數(shù)學(xué)試題

福建省晉江市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中

考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.下列關(guān)于幾何體特征的判斷正確的是()

A,一個(gè)斜棱柱的側(cè)面不可能是矩形

B.底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐

C.有一個(gè)面是”(〃>3,”eN)邊形的棱錐一定是正棱錐

D.平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的矩形

2.如圖，矩形ngCD的長(zhǎng)為4c川，寬為2cm,0是4的的中點(diǎn)，它是水平放置的一個(gè)平

A.10cmB.]6V5cmC.20cmD.g+cm

3.已知圓柱母線長(zhǎng)等于2,過母線作截面，截面的最大周長(zhǎng)等于8,則該圓柱的體積等于

()

A?兀B.2兀C4兀口.8兀

4.如圖，點(diǎn)4，B,°均在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格上，則萬?(就-2萬卜

()

試卷第11頁，共33頁

A.TOB.一而C.癡D.10

5-已知A/8C中'CA=3'CB=5,C=120o）則sinB=（）

A.宏1B.mC.—D.—

14141414

6.已知在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4,z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Zjl,百），Z2（3,a））若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第

一象限，㈤的取值范圍為（）

A.[3,2A/3）B.艮6）C.（2后6）D.艮36）

7.四邊形”8為梯形，且?2OC"Da=|D4|=2,〃/8=工，點(diǎn)尸是四邊形

3

/BCD內(nèi)及其邊界上的點(diǎn).若（后_而）.（而+說）=_4，則點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)度是（）

A.0B.26C.4萬D.16%

8.如圖，將正四棱臺(tái)切割成九個(gè)部分，其中一個(gè)部分為長(zhǎng)方體，四個(gè)部分為直三棱柱，四

個(gè)部分為四棱錐.已知每個(gè)直三棱柱的體積為3,每個(gè)四棱錐的體積為1,則該正四棱臺(tái)的

體積為（）

試卷第21頁，共33頁

A.16B.22C.26D.28

二、多選題

9.已知向量方=（一5j,詼=（加+4,”），下列結(jié)論正確的是（）

A.若方=05，貝I機(jī)+9n=0

B.若方_L①，貝！1〃-5加為定值

C.若森//麗，則機(jī)-57?為定值

D.若通與函互為相反向量，則?與"互為相反數(shù)

10.設(shè)Z]/2是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若Z]=.，則Z[=ZzB.若[Z]-Z2|=k+Z2卜則Z「Z2=0

c.若㈤=㈤，則Z]￡=Z2.D.若㈤=團(tuán)，則Z；=z：

11.莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星，是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非常有趣、

優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系（在如圖所示的正五角星中，多邊形

'88E為正五邊形，二=3二匚0618）.則（）

AP2

試卷第31頁，共33頁

A

B.ES-RQ=PA

D而一元=浮而

三、填空題

12.已知復(fù)數(shù)z滿足以下條件：①復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限；②復(fù)數(shù)的模為

5；③復(fù)數(shù)的實(shí)部大于虛部，則復(fù)數(shù)z可以是_____.（填寫一個(gè)答案即可）

13.如圖，圓錐的底面半徑為1,母線M=3,點(diǎn)&為0的中點(diǎn)，一螞蟻?zhàn)渣c(diǎn)A出發(fā)，沿

圓錐的側(cè)面爬行至點(diǎn)B，則最短路徑等于

D

14.球冠是指一個(gè)球面被平面所截得的曲面，截得的圓面是底，垂直于圓面的直徑被截得

的部分是高.如圖，已知球的半徑為20cm,球冠的高為10cm,現(xiàn)有3根長(zhǎng)度相等的支柱

SP，SQ，SR用于支撐球冠，立于水平的桌面上.若NPSQ=NPSR=2QSR=a,為使穩(wěn)

試卷第41頁，共33頁

固支撐球冠，則應(yīng)滿足cosa=

四、解答題

15.已知復(fù)數(shù)。=_1+且,

22

(1)求證：①2=而；

(2)化簡(jiǎn)：CD+CD2+g+①4+…+①10;

⑶若①是方程x2+"x+g=o(p,q￡R)的一個(gè)根，求2+9的值.

16.在中，角/,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知在且=您巨+巴C

beabac

⑴求4

(2)若°=追，求AABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

17.如圖，圓錐尸0的底面半徑和高均為6cm,過尸。上一點(diǎn)Q作平行于底面的截面，以該

截面為底面挖去一個(gè)圓柱OQ.設(shè)圓柱的底面半徑為R,母線長(zhǎng)為/.

試卷第51頁，共33頁

(1)求及與/的關(guān)系式；

(2)求圓柱OO1的側(cè)面積的最大值；

(3)記圓柱oq的側(cè)面積為鳥，圓錐的側(cè)面積為邑.若耳=2亞S,，求圓柱OQ的體積?

18.在平面四邊形/BCD中，ZABC=6QO,//℃=120。，點(diǎn)3,。在直線4C的兩側(cè)，

AB=1,BC=2.

⑴求/A4C；

(2)求與A/C￡)的面積之和的最大值.

19.如圖，已知。是邊長(zhǎng)為1的正的外心，R,p2,L，1為3c邊上的"+1等分

點(diǎn)，0J0，，L0〃為/C邊上的"+1等分點(diǎn)，L［，L,L，4為48邊上的〃+1等分點(diǎn).

⑴當(dāng)”=2024時(shí)，求甌+麗+蘢一..+西;+國(guó)的值;

試卷第61頁，共33頁

⑵當(dāng)〃_4時(shí)，

①求方+亞+力?布1的值（用含/，后的式子表示）；

②若M={加|加=麗?邁+麗;.西+OLk?麗1Wi,j,k<4,iJ左eN},分別求集合“中

最大元素與最小元素的值.

試卷第71頁，共33頁

參考答案：

1.c

【分析】根據(jù)直棱柱、正棱錐、棱錐的分類，以及平行六面體的幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判定,

即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，斜棱柱的側(cè)面中，可以有的側(cè)面是矩形，所以A不正確；

對(duì)于B中，根據(jù)正棱錐的定義，底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影為底面多邊形的中心

的棱錐是正棱錐，所以B不正確；

對(duì)于C中，根據(jù)棱錐的分類，可得有一個(gè)面是“邊形的棱錐一定是"棱錐，所以C正確；

對(duì)于D中，平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的平行四邊形，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.C

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法還原出原圖并求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而求周長(zhǎng).

【詳解】由斜二測(cè)畫法知：與x軸平行或在x軸上的線段其長(zhǎng)度不變、與橫軸平行的性質(zhì)

不變；

與了軸平行或在了軸上的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?，且與V軸平行的性質(zhì)不變.

還原出原圖形如圖所示的平行四邊形，

cm,

其中AB==4cm,QC=1O<C<=2x272=472

BC=siOB2+OC2=6Cm,所以原圖形的周長(zhǎng)為2x(4+6)=20cm.

故選：C

3.B

【分析】根據(jù)已知條件知當(dāng)截面的周長(zhǎng)最大時(shí)，截面為圓柱的軸截面，結(jié)合已知條件求出

答案第11頁，共22頁

圓柱的半徑，利用圓柱的體積公式即可求解.

【詳解】當(dāng)過母線作截面，截面的周長(zhǎng)最大時(shí)，此時(shí)截面為軸截面.

設(shè)圓柱的底面半徑為〃，則

因?yàn)檫^母線作截面，截面的最大周長(zhǎng)等于8,

所以2x（2+2r）=8,解得廠=1?

所以該圓柱的體積為71k22￡無.

故選：B.

4.A

【分析】根據(jù)給定的條件，求出|而正前|，進(jìn)而判斷三角形形狀，再利用數(shù)量積的

運(yùn)算律計(jì)算即得.

2222

【詳解】依題意，?|=|1=Vl+3=s/w,\AC|=>/4+2=245,

顯然|比「+|方『=|就『，即/N3C=90。，

所以方.（衣^兩二方.證_方_函=福（就-確=存灰-宿=T0.

【分析】利用余弦定理求出”，再利用正弦定理求解即得

2222

【詳解】在AABC中,由余弦定理得AB=y/AC+BC-2ACBCcosC=V3+5+3x5=7'

答案第21頁，共22頁

3

由正弦定理得.DACsinCXT3，L

sinB=-------=-----=---

AB714

故選：A

6.B

【分析】利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，結(jié)合已知求出。的范圍，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求出范圍

即得.

［詳解］依題意，4=1+//2=3+泊，貝產(chǎn)必2=(1+/)(3+而)=3-64+,+3班,，

ziz23—6a>0—3\/3<a<V3

由對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，得Q+3G〉?！獾茫?/p>

所以㈤=J/+9e［3,6).

故選：B

7.B

【分析】由向量投影定義得，向量正在向量而上的投影為2,即動(dòng)點(diǎn)P在過點(diǎn)。且垂直

于4八的直線上.證明女八?4八后，可得點(diǎn)9的軌跡為線段pc，即可得到答案；

AUDL)_LAU廠DL)

【詳解】(^-DP).(J^+BA)=(AP+PD).(JPB+BA)

=ADPA=-APAb=-4'即萬?布=4?

設(shè)向量N與通的夾角為0,則萬.石=|Q||Z51cos0=4，

因?yàn)閨萬?=2，所以|N|COSO=2，

由向量投影定義得，向量不在向量右上的投影為2,

答案第31頁，共22頁

即動(dòng)點(diǎn)P在過點(diǎn)n且垂直于4r）的直線上.

.\BAD.冗AD=2AB=2DC=2AD=4

在中，/DAB=—,,,

3

由余弦定理得成）2二/方+4爐_24g./Deos600=12，所以BD=26；

BD2+AD2AB2J所以8。山小

因?yàn)槭撬倪呅蜛BCD內(nèi)及其邊界上的點(diǎn)，所以點(diǎn)尸的軌跡為線段BD-

所以點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)度為2G.

故選：B.

/^x\

A-----------------*B

8.D

【分析】設(shè)三棱柱的高為。，四棱錐的底面邊長(zhǎng)為仇棱臺(tái)的高為〃，依題意列方程組可解

得°%=12,然后可得棱臺(tái)體積.

【詳解】由正四棱臺(tái)性質(zhì)可知，四棱錐的底面為正方形，

設(shè)三棱柱的高為。，四棱錐的底面邊長(zhǎng)為6,棱臺(tái)的高為〃，

1,,,a2b2h2=a2hb2h=3a2h=?,6a%=12

-bh2=l

由題知;，可得，解得，

—bha=3

12

所以棱臺(tái)的體積-=/〃+4x1+4x3=28-

故選：D

9.ABD

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

答案第41頁，共22頁

【詳解】因?yàn)榇鍯D=(m+4,n)>

若方=函，則/+4=巧，解得『=-9,所以"+9"=。，八正確;

[n=1]〃=1

若方_L3，則-5(優(yōu)+4)+〃=0，即"-5機(jī)=20，B正確；

若加//而，則S=即加+5"=-4,c不正確；

-51

若”與CD互為相反向量，貝“〃?+4=5,解得(心=1,即‘"與"互為相反數(shù)，D正確.

[〃=一1=-1

故選：ABD

10.AC

【分析】根據(jù)舉例說明即可判斷ABD；設(shè)4=a+6i,z2=c+diS”,deR)，結(jié)合復(fù)數(shù)的

模和乘法運(yùn)算即可判斷C.

【詳解】A：若z_￡，則z,,z,互為共軌復(fù)數(shù)，故[-z，故A正確；

B：右Z]=l,Z2=i，貝如-z21=H+Z2卜而之邑二iw°'故B錯(cuò)誤；

C：設(shè)馬二。+歷/2=c+"i(a,仇G。￡R)'

若匕卜㈤，則'/+/=行+/,即/+/="+磨，

2222

又Z]句=(a+bi)(a-bi)=a+b,z2z2=(c+di)(c-di)=c+d，

故——故c正確;

^z1z1=z2z2

D：若Z]=l,Z2=i，則㈤=㈤,而z：=lW2；=-l，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.AD

【分析】利用正五角星的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.

答案第51頁，共22頁

【詳解】對(duì)于A,CQ+TP=PA+TP=TA=DS>A正確；

對(duì)于B,~^S-JQ=JC-RQ=QC=^PA'B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,Jf+RS=SD+RS=RD=W-QR=^-QR>C錯(cuò)誤;

g2?

對(duì)于D，BP-TS=TE-TS=SE=^SRS=^^-RS>D正確?

\ST\2

故選：AD

12.4+4（答案不唯一符合題意均可）

【分析】根據(jù)題目要求寫出一個(gè)復(fù)數(shù)即可.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z="+"（“/eR）滿足題意，則卜>6>°,

[a2+b2=25

所以復(fù)數(shù)Z可以是4+3i，

故答案為：4+3i（答案不唯一符合題意均可）

13.9

2

【分析】在圓錐側(cè)面展開圖中，求出線段/A即可.

AD

【詳解】依題意，圓錐底面圓周長(zhǎng)為2兀，沿母線”剪開將圓錐側(cè)面展開，如圖,

圓弧.長(zhǎng)為2兀，而"=3,則"年

答案第61頁，共22頁

由余弦定理得AB=^JsA2+SB2-ISA-SBcosy3=^32+(-^-2x13x-^<(--)=；，

所以最短路徑等于豆I.

2

故答案為：hH

2

14.-I/-0-125

8

【分析】記SP,SQ,SR與球冠底面的交點(diǎn)分別為4及C，由球冠性質(zhì)可知，當(dāng)S在球

冠的高上，且4瓦。在底面圓周上時(shí)最穩(wěn)固.將問題轉(zhuǎn)化為正三棱錐的外接球問題,

結(jié)合已知求出正三棱錐S_/8C的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，再由余弦定理可得.

【詳解】記SP，SQ,S7?與球冠底面的交點(diǎn)分別為4瓦C，

易知，當(dāng)S在球冠的高上，且48,C在底面圓周上時(shí)最穩(wěn)固.

記球冠底面的圓心為0,球心為o，

由題知,05=10,所以00,=20-10=10，

所以。'/=。'8=，202-1()2=10百'

27r

易知AAOB=AAOC=/CO'B=—,

3

27r

所以/笈=04+O'B2-2O'AO'Bcos—=900,

3

又SA=SB=yJo'S2+O'B2=20'

答案第71頁，共22頁

SA2+SB--AB-400+400-9001

cosa=---------------------=---------------------=—

ISA-SB2x20x208

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于對(duì)球的性質(zhì)和正三棱錐性質(zhì)的理解，結(jié)合空間想

象將問題轉(zhuǎn)化為正三棱錐的外接球問題，然后可解.

15.（1）證明見解析;

(2)-1+—1

22

(3)2.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算及共軟復(fù)數(shù)計(jì)算即得.

（2）結(jié)合（1）可得1+°+/=0,再分組計(jì)算即可.

（3）利用（1）及復(fù)數(shù)相等即可計(jì)算得解.

【詳解】（1）由。=一工+在「得蘇=（一工+也=石，

切222222

所以02=而,

（2）由（1）知,療=」_3i，則1+①+〃=0,

22

以①+Ct）2+CiX'+04+…+G+fl??（1+①+①,）_|_①'（］+①+①2）+①+①+①2）

答案第81頁，共22頁

G)依題意，o2+p0+q=0,gp_l_V3i+(_l+2^i)+0,

2222

,11、,百百、.八p,qeR11八p=q=i

(----p+Q)+(--—+—^)1=0----p+q=^

即，而

2222，貝I22,解得

V3V3n

22

所以p+q=2-

-TT

16.

⑵(2后3碼

【分析】(根據(jù)正弦定理即可求得角；

1)z4A

(2)利用三角函數(shù)求值域求周長(zhǎng)的取值范圍.

■、辛々刀、/1\2cos/cos5cosC

【詳角軍】(1)???---------=-------+--------，

beabac

2acosA=ccosB+bcosC，

由正弦定理得：

2sinAcosA=sinCcosB+sinSeos2=sinZ，

又sin4w0,所以as4=；,46(0,兀)，

71

所以/=§.

b_c_a_A/3_

(2)由正弦定理得：sinBsinCsin/百，

T

答案第91頁，共22頁

-IT

所以6+c=2sin5+2sinC=2sin5+2sin(5+§)

=2sin5+sin5+百cosB=2^3sin(5+—),

6

???Be(0片)，,3+MCH),

3666

所以sin(2+工)所以6+ce(G，2G],

所以周長(zhǎng)“+6+ce(2G，36].

17.(1)火+/=6

(2)1871

(3)16TT

【分析】（1）作出圓錐的軸截面，根據(jù)三角形的性質(zhì)可得答案；

（2）利用圓柱的側(cè)面積公式及基本不等式可求答案；

（3）先表示出圓柱和圓錐的側(cè)面積，利用兩者關(guān)系得出七「結(jié)合體積公式可得答案.

【詳解】（1）作出圓錐的軸截面，如圖，

因?yàn)镻O=CM=6，所以乙4=45。，所以圖中又OB=R'所以R+/=6,

（2）圓柱。Q的側(cè)面積為s=2兀雙枕兀］等：=

答案第101頁，共22頁

當(dāng)且僅當(dāng)R=/=3時(shí)，等號(hào)成立，即圓柱oq的側(cè)面積的最大值為18兀-

（3）由題意，圓柱OQ的側(cè)面積為S］=2兀R/，

圓錐P4的底面半徑為火，母線長(zhǎng)為同，側(cè)面積為邑=松（?曲］曉,

因?yàn)槎?2打$2，所以2n卻2區(qū)5R2,解得/=2R，

因?yàn)槌?/=6，所以尺=2，/口4；

圓柱OO］的體積為v=nR6h='

18.⑴90。

（2）1

【分析】（1）在“3C中，利用余弦定理求/c，結(jié)合勾股定理分析運(yùn)算；

（2）設(shè)NC/O=O,利用正弦定理和面積公式用。表示面積，結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算.

【詳解】⑴在“3C中，由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=l+4-2xlx2x-=3,

2

即/c=5

因?yàn)锳B2+NC2=302，所以/"C=90°?

（2）設(shè)=則

一ACD4DAC

在中，由正弦定理

sinZACDsinZADC

答案第111頁，共22頁

AC-sinn^ACD

可得4。=

sinZADC

2

因?yàn)锳NC。的面積

S“DAD<i4CsinS^ADH|臉sin專RinZJSjssin拿葩多輸n□，

AABD的面積

夕

SE陵>1ain

—I*J曰/\ABD—/S.A.CDV7777工口、,Hn_____

可得與的1l面積N和S承3O

由nsinZJSosH2sin掌f3E^cos

因?yàn)閑e（0，T，貝”乎?28€（0,行）

可知當(dāng)注2。=—,即。=卷時(shí)，,取到最大值1,

3212

即△N8D與ANC。的面積之和的最大值為L(zhǎng)

答案第121頁，共22頁

,

10136

19.(1)-3-

(2)@ZzAzl,②最大值為一工，最小值為-11.

102550

【分析】(1)根據(jù)民,,C共線，將城用加治表示，求和后再求模長(zhǎng);

(2)(i)根據(jù)數(shù)量積定義計(jì)算；

(ii)將配.也+須.西+西.誣用ij發(fā)表示，依次視為ij,后的函數(shù)討論單調(diào)求最值.

【詳解】(1)由。為等邊一比外接圓的圓心，得近+礪+慶=0，且

當(dāng)”=2024時(shí)一2024一1一2023

OR=-^—OB+-------OC,OP=OB+

12025202522025

12024

OB+OC,

20252025

田破+...+g=(膽+堊+...+112+.?.+陋林

)06+(--------1--------

122024202520252025202520252025

UUILLLJUBJ

=101203+10120。'

答案第131頁，共22頁

UUHWBTWDTUUffllTUMTHUTUDUIHTmW

所以|oc+oq+o巳+…+0鳥024+081=1101305+10130。|=1013Q|=巧".

(2)①由O為等邊△/BC外接圓的圓心，得NO45=/CMC=30°，

則〈日苞^=1500，(成益5=150。，又〃=4，則分別為的5等分點(diǎn)，又

AC=AB=1^

于是

所以厲.皿+方?布=網(wǎng).應(yīng)gsl5（T+網(wǎng)?跖卜OS150。

②恒阻=（無+函.灰+抽）=力+雙甲+雙?運(yùn)+函用

=-+—X—cosl50°+—x^cosl50°+---x^cos60°

3353555

1G5-zV3V3/'V35-zj11+5,一)

----------------X-----------X---------------------x—X-----------1------------x—X—二

3352352552650

同理可得：西西=+啾紇西.麗=4+號(hào)

因此戈.西:+殂?西+西?戈=-g+5?+尸式；,+/+龍),

令S=_J_+5(i+j+k)(ij+