廣東省深圳市福田區(qū)2024屆九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2024?2025學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.如圖所示的物體有兩個緊靠在一起的圓柱體組成，它的主視圖是（）

2.拋擲一枚勻稱的骰子，所得的點數(shù)能被3整除的概率為（）

A.B.[C.-yD.-7*

2345

3.己知x=2是一元二次方程x2+mx-2=0的一個解，則m的值是（）

A.1B.-1C.-3D.0或-1

4.依次連接菱形的四邊中點得到的四邊形肯定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.三角形

5.在RtZVXBC中，ZC=90°,a=4,b=3,則sinA的值是（）

A.B.C.4D.J

5534

6.假如兩個相像多邊形的周長比為L5,則它們的面積比為（）

A.1：2.5B,1：5C.1：25D.1：遙

7.把拋物線丫=（x+l）2向下平移2個單位，再向右平移1個單位，所得到的拋

物線是（）

A.y=（x+2）2+2B.y=（x+2）2-2C.y=x2+2D.y=x2-2

8.在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m和y=-mx2+2x+2（m是常數(shù)，且mWO）

的圖象可能是（）

9.如圖,Ii〃l2〃b，直線a,b與11，L,I3分別相交于點A、B、C和點D、E、F,

-vAB_2

：DE=4,則DF的長是（)

6

10.如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔40亞海里的A處，它沿

正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30。方向上的B處，則海輪

行駛的路程AB為（）海里.

C.40+20V3D.80

11.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列推斷中錯娛的是（)

y

A.圖象的對稱軸是直線x=l

B.當(dāng)x>l時，y隨x的增大而減小

C.一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是-1,3

D.當(dāng)-l<x<3時，y<0

12.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE±AC,垂足為點F,連接DF,

下面四個結(jié)論：①△AEFs/\CAB；②CF=2AF；③DF=DC；?tanZCAD=—,其中

2

正確的結(jié)論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

13.拋物線y=x2-2x+l的頂點坐標(biāo)是,

14.計算：11-tan60°|-(-sin30°)-2+tan45°=.

15.如圖，。是坐標(biāo)原點，菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為(-3,4),頂點C在

x軸的負半軸上，函數(shù)y=K(xVO)的圖象經(jīng)過頂點B,則k的值為.

x

16.如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點0,NACB的角平分線分別

交AB、BD于M、N兩點，若AM=4,則線段ON的長為.

D

三、解答題（共52分）

17.解方程：（x+3）2=2x+6.

18.（6分）晚上，小亮在廣場乘涼，圖中線段AB表示站立在廣場上的小亮，

線段P0表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈

（1）請你在圖中畫出小亮在照明燈P照耀下的影子BC（請俁留作圖痕跡，并把

影子描成粗線）；

（2）假如小亮的身高AB=1.6m,測得小亮影長BC=2cm,小亮與燈桿的距離

B0=13m,懇求出燈桿的高P0.

19.（7分）某商場為了吸引顧客，設(shè)計了一種促銷活動：在一個不透亮的箱子

里放有4個相同的小球,球上分別標(biāo)有“0元〃、“10元〃、〃20元〃和“30元〃的字樣.規(guī)

定：顧客在本商場同一日內(nèi)，每消費滿200元，就可以在箱子里先后摸出兩個球

（第一次摸出后不放回），商場依據(jù)兩小球所標(biāo)金額的和返還相應(yīng)價格的購物券,

可以重新在本商場消費，某顧客剛好消費200元.

（1）該顧客至少可得到一元購物券，至多可得到一元購物券；

（2）請你用畫樹狀圖或列表的方法，求出該顧客所獲得購物券的金額不低于30

元的概率.

20.（8分）如圖，在aABC中，AB=AC,D為邊BC上一點，以AB,BD為鄰邊

作口ABDE,連接AD,EC.

（1）求證：△ADC^^ECD；

（2）若BD=CD,求證：四邊形ADCE是矩形.

21.（8分）某商場試銷一種商品，成本為每件100元，一段時間后，發(fā)覺銷售

量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：

銷售單價x...130135140145

（元）

銷售量y（件）…240230220210

（1）請依據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)商場所獲利潤為w元，將商品銷售單價定為多少時，才能使所獲利潤最

大？最大利潤是多少？

22.（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（a,-1）在直線

上，AB〃y軸，且點B的縱坐標(biāo)為1,雙曲線y』經(jīng)過點B.

x

（1）求a的值及雙曲線盧口的解析式；

x

（2）經(jīng)過點B的直線與雙曲線y=亞的另一個交點為點C,且4ABC的面積為4.

①求直線BC的解析式；

②過點B作BD〃x軸交直線y=-*-之于點D,點P是直線BC上的一個動點.若

將4BDP以它的一邊為對稱軸進行翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形

為正方形，干脆寫出全部滿意條件的點P的坐標(biāo).

23.（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，線段AD=6,

二次函數(shù)y=-?3x+4與y軸交于A點，與x軸分別交于B點、E點(B點在

/b

E點的左側(cè))

(1)分別求A、B、E點的坐標(biāo)；

(2)連接AE、0D,請推斷AAOE與AAOD是否相像并說明理由；

(3)若點M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點F,使以A、C、F、

M為頂點的四邊形為菱形？若存在，干脆寫出F點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理

由.

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市福田區(qū)九年級（上）期末數(shù)

學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.如圖所示的物體有兩個緊靠在一起的圓柱體組成，它的主視圖是（）

【考點】簡潔組合體的三視圖.

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，留意全部的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視

圖中.

【解答】解：主視圖是從正面看，圓柱從正面看是長方形，兩個圓柱，看到兩個

長方形.

故選A.

【點評】此題主要考查了三視圖的學(xué)問，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

2.拋擲一枚勻稱的骰子，所得的點數(shù)能被3整除的概率為（）

A1D1「1C1

A.-2B.-3C.-4D."5

【考點】概率公式.

【分析】依據(jù)概率公式可得.

【解答】解：拋擲一枚骰子有1、2、3、4、5、6種可能，

其中所得的點數(shù)能被3整除的有3、6這兩種，

，所得的點數(shù)能被3整除的概率為各,，

63

故選：B.

【點評】此題主要考查了概率公式，要嫻熟駕馭隨機事務(wù)A的概率P（A）;事務(wù)

A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)+全部可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

3.已知x=2是一元二次方程x2+mx-2=0的一個解，則m的值是（）

A.1B.-1C.-3D.0或-1

【考點】一元二次方程的解.

【分析】依據(jù)一元二次方程的解的對應(yīng)，把x=2代入一元二次方程得到關(guān)于m

的一次方程，然后解一次方程即可.

【解答】解：把x=2代入x2+mx-2=0得4+2m-2=0.

解得m=-1.

故選B.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知

數(shù)的值是一元二次方程的解.

4.依次連接菱形的四邊中點得到的四邊形肯定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.三角形

【考點】中點四邊形.

【分析】作出圖形，依據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半判

定出四邊形EFGH是平行四邊形，再依據(jù)菱形的對角線相互垂直可得EFJ_FG,然

后依據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形推斷.

【解答】解：如圖，???E、F分別是AB、BC的中點，

???EF〃AC且EF=￡AC,

同理，GH〃AC且GH=^AC,

???EF〃GH且EF=GH,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

???四邊形ABCD是菱形，

AAC1BD,

又依據(jù)三角形的中位線定理，EF//AC,FG//BD,

AEF1FG,

???平行四邊形EFGH是矩形.

【點評】本題主要考查了三角形的中位線定理，菱形的性質(zhì)，以及矩形的判定，

連接四邊形的中點得到的四邊形的形態(tài)主要與原四邊形的對角線的關(guān)系有關(guān)，原

四邊形的對角線相等，則得到的四邊形是菱形，原四邊形對角線相互垂直，則得

到的四邊形是矩形，連接隨意四邊形的四條邊的中點得到的四邊形都是平行四邊

形.

5.在RtZVXBC中，ZC=90°,a=4,b=3,則sinA的值是（）

AAB2cAD1

【考點】銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】先由勾股定理求出斜邊c的長，再依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義干脆解答即

可.

【解答】解：???RtZ\ABC中，ZC=90°,a=4,b=3,

?*-c=7a2+b2=V5?

??Aa4

..smA=—=—.

c5

故選A.

【點評】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，比較簡潔.

6.假如兩個相像多邊形的周長比為L5,則它們的面積比為（）

A.1：2.5B.1：5C.1：25D.1：臟

【考點】相像多邊形的性質(zhì).

【分析】依據(jù)相像多邊形對應(yīng)邊之比，周長之比等于相像比，而面積之比等于相

像比的平方計算.

【解答】解：相像多邊形的周長的比是1：5,

周長的比等于相像比，因而相像比是1：5,

面積的比是相像比的平方，因而它們的面積比為1：25；

故選C.

【點評】本題考查相像多邊形的性質(zhì)；熟記相像多邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

7.把拋物線懺（x+1）2向下平移2個單位，再向右平移1個單位，所得到的拋

物線是（）

A.y=（x+2）2+2B.y=（x+2）2-2C.y=x2+2D.y=x2-2

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【分析】先寫出平移前的拋物線的頂點坐標(biāo)，然后依據(jù)向下平移縱坐標(biāo)減，向右

平移橫坐標(biāo)加求出平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)，再利用頂點式解析式寫出即可.

【解答】解：拋物線y=（x+1）2的頂點坐標(biāo)為（-1,0）,

???向下平移2個單位，

???縱坐標(biāo)變?yōu)?2,

???向右平移1個單位，

，橫坐標(biāo)變?yōu)?1+1=0,

，平移后的拋物線頂點坐標(biāo)為（U,-2）,

???所得到的拋物線是y=x2-2.

故選D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點的改變確定函數(shù)圖象的

改變求解更加簡便，且簡潔理解.

8.在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)丫=0^+01和丫=-11^2+2乂+2（171是常數(shù)，且mWO）

的圖象可能是（）

D.

【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象.

【分析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過的象限的問題，關(guān)鍵是

m的正負的確定，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)aVO時,

開口向下.對稱軸為乂=-微，與y軸的交點坐標(biāo)為（0,c）.

【解答】解：解法一：逐項分析

A、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知mVO,即函數(shù)y=-mx2+2x+2開口方向朝上，與

圖象不符，故A選項錯誤；

B、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知mVO,對稱軸為x=V0,則對

稱軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象不符，故B選項錯誤；

C、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m>0,即函數(shù)y=-mx2+2x+2開口方向朝下，與

圖象不符，故C選項錯誤；

D、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知mVO,即函數(shù)y=?mx2+2x+2開口方向朝上，對

稱軸為x=-上=—則對稱軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象相符，故D選

2a勿m

項正確；

解法二：系統(tǒng)分析

當(dāng)二次函數(shù)開口向下時，-mVO,m>0,

一次函數(shù)圖象過一、二、三象限.

當(dāng)二次函數(shù)開口向上時，-m>0,m<0,

o1

對稱軸x=——=—<0?

ZIDID

這時二次函數(shù)圖象的對稱軸在y軸左側(cè)，

一次函數(shù)圖象過二、三，四象限.

故選：D.

【點評】主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及分析實力和讀圖實力,

要駕馭它們的性質(zhì)才能敏捷解題.

9.如圖，k〃l2〃b,直線a,b與h，h,I3分別相交于點A、B、C和點D、E、F,

若普哈DE=4,則DF的長是（）

DC3

【考點】平行線分線段成比例.

【分析】利用平行線分線段成比例定理列出比例式，求出EF,結(jié)合圖形計算即

可.

【解答】解：??,|1〃12〃13,

，登=瞿=￡,又DE=4,

EFBC3

AEF=6,

ADF=DE+EF=10,

故選：C.

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，敏捷運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔405海里的A處，它沿

正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30。方向上的B處，則海輪

行駛的路程AB為（）海里.

北

I

A.40+40%B.8073C.40+2073D.80

【考點】解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題.

【分析】首先由題意可得：PA=40&海里，ZA=45°,ZB=30°,然后分別在Rt

△PAC中與RtZXPBC中，利用三角函數(shù)的學(xué)問分別求得AC與BC的長，繼而求得

答案.

【解答】解：依據(jù)題意得:PA=40&海里，ZA=45°,ZB=30°,

??,在RtZXPAC中，AC二PC二PA?cos450=40&X^=40（海里），

2

毀

在RSPBC中，BC=7^fzF=—=40^（海里）'

3

AAB=C+BC=40+40V3（海里）.

故選A.

【點評】此題考查了方向角問題，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

11.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列推斷中錯送的是（）

A.圖象的對稱軸是直線x=l

B.當(dāng)x>l時，y隨x的增大而減小

C.一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是-1,3

D.當(dāng)?1VXV3時，y<0

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】依據(jù)二次函數(shù)的圖象與X軸的交點為（-1,0）,〔3,0）可求出拋物

線的對稱軸，再依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各選項進行逐一推斷即可.

【解答】解：,??二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為（-1,0）,（3,0）,

???拋物線的對稱軸直線為：X=±廿=1,故A正確；

??,拋物線開口向下，對稱軸為x=l,

???當(dāng)x>l時，y隨X的增大而減小，故B正確；

???二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為（-1,0）,（3,0）,

，一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是-1,3,故C正確；

???當(dāng)-1VXV3時，拋物線在x軸的上方，

，當(dāng)?1VXV3時，y>0,故D錯誤.

故選：D.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，能利用數(shù)形結(jié)合求出拋物線的對稱軸及

當(dāng)-1VXV3時y的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵.

12.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE1AC,垂足為點F,連接DF,

下面四個結(jié)論：①△AEFs/\CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tanNCAD=返，其中

2

正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】相像三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形.

【分析】①正確.只要證明/EAC二NACB,NABC=NAFE=90唧可；

②正確.由AD〃BC,推出△AEFs^CBF,推出罌=萼，由AE=&XD=4BC,推出

DVvrZz

cFl,即CF=2AF；

③正確.只要證明DM垂直平分CF,即可證明；

④正確.設(shè)AE=a,AB=b,則AD=2a,由△BAESAADC,有邑孕，即b=J^a,

ab

可得tanZCAD=-^.=^-=^；

AD2a2

【解答】解：如圖，過D作DM〃BE交AC于N,

???四邊形ABCD是矩形，

AAD//BC,ZABC=90°,AD=BC,

???BE_LAC于點F,

/.ZEAC=ZACB,ZABC=ZAFE=90°,

AAAEF^ACAB,故①正確；

VAD//BC,

.?.△AEFs/XCBF,

,AE.AF

**BC-CF，

VAE=-i-AD=^-BC,

,AF一I1,

?廿2，

ACF=2AF,故②正確；

VDE//BM,BE/7DM,

，四邊形BMDE是平行四邊形，

ABM=DE=-i-BC,

乙

ABM=CM,

ACN=NF,

???BE_LAC于點F,DM//BE,

ADN±CF,

ADM垂直平分CF,

ADF=DC,故③正確；

設(shè)AE=a,AB=b,貝ljAD=2a,

由△BAES^ADC,有旦孕，即b=V2a，

ab

???tanNCAD=^="辱故④正確；

AD2a2

故選D.

【點評】本題主要考查了相像三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形面積的計

算以及解直角三角形的綜合應(yīng)用，正確的作出協(xié)助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)

鍵.解題時留意：相像三角形的對應(yīng)邊成比例

二、填空題

13.拋物線y=x2-2x+l的頂點坐標(biāo)是（1,0）.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】用配方法將拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，確定頂點坐標(biāo)即可.

【解答】解：Vy=x2-2x+l=（x-1）2,

???拋物線頂點坐標(biāo)為（1,0）.

故答案為：（1,0）.

【點評】本題考查了拋物線解析式與頂點坐標(biāo)的關(guān)系，求頂點坐標(biāo)可用配方法,

也可以用頂點坐標(biāo)公式.

14.計算：11-tan60°|-（-sin30°）2+tan450=V3-4.

【考點】實數(shù)的運算；負整數(shù)指數(shù)累；特別角的三角函數(shù)值.

【分析】干脆利用肯定值的性質(zhì)結(jié)合負整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)化簡進而得出答案.

]

【解答】解：原式二遭T-/_1^2+1

=V3-1-4+1

=V3-4.

故答案為：V3-4.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

15.如圖，。是坐標(biāo)原點，菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為(?3,4),頂點C在

x軸的負半軸上，函數(shù)尸K(xVO)的圖象經(jīng)過頂點B,則k的值為-32.

x

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；菱形的性質(zhì).

【分析】依據(jù)點C的坐標(biāo)以及菱形的性質(zhì)求出點B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法

求出k的值即可.

【解答】解：??工(-3,4),

OC={3W=5,

ACB=OC=5,

則點B的橫坐標(biāo)為-3-5=-8,

故B的坐標(biāo)為：(-8,4),

將點B的坐標(biāo)代入y=K得，4;七，

解得：k=-32.

故答案是：?32.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題

的關(guān)鍵是依據(jù)菱形的性質(zhì)求出點B的坐標(biāo).

16.如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點。，NACB的角平分線分別

交AB、BD于M、N兩點，若AM=4,則線段ON的長為2.

D

AKf

【考點】正方形的性質(zhì).

【分析】作MH±AC于H,如圖，依據(jù)正方形的性質(zhì)得NMAH=45。，貝IQAMH

為等腰直角三角形，再求出AH,MH,MB,CH/CO,然后證明△CONs/\CHM,

再利用相像比可計算出ON.

【解答】解：作MH_LAC于H,如圖，

??,四邊形ABCD為正方形，

.".ZMAH=45°,

為等腰直角三角形，

.??AH:MH亭AM#x4二2亞，

VCM平分NACB,

ARM=MH=2V2?

，AB=4+2亞，

/.AC=V2AB=4V2+4,

???OC=5AC=亞+2,CH=AC-AH=4揚4-2亞=2加+4,

VBD1AC,

AON/7MH,

AACON^ACHM,

.ON0C口nONV2+2

,?麗節(jié)T12V2=2V2+4,

AON=2,

【點評】本題考查了相像三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相像時，應(yīng)留

意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，

找尋相像三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相像三角形.也考查了角平分線

的性質(zhì)和正方形的性質(zhì).

三、解答題（共52分）

17.解方程：（x+3）2=2X+6.

【考點】解一元二次方程■因式分解法.

【分析】先變形得到（x+3）2-2（x+3）=0,然后利用因式分解法解方程.

【解答】解：（x+3）2-2（x+3）=0,

（x+3）（x+3-2）=0,

x+3=0或x+3-2=0,

所以

X1=-3,x2=-1.

【點評】本題考查了解一元二次方程■因式分解法：先把方程的右邊化為0,再

把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有

可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，

把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.

18.晚上，小亮在廣場乘涼，圖中線段AB表示站立在廣場上的小亮，線段PO

表示直立在廣場上的燈桿，點P表示照明燈

（1）請你在圖中畫出小亮在照明燈P照耀下的影子BC（請俁留作圖痕跡，并把

影子描成粗線）；

（2）假如小亮的身高AB=1.6m,測得小亮影長BC=2cm,小亮與燈桿的距離

BO=13m,懇求出燈桿的高PO.

【考點】相像三角形的應(yīng)用；中心投影.

【分析】（1）干脆依據(jù)題意得出影子BC的位置；

（2）依據(jù)題意得出△POCs/xABC,進而利用相像三角形的性質(zhì)得出PO的長.

【解答】解：（1）如圖所示：BC即為所求；

（2）由題意可得：PO±OC,AB±OC,

.\ZPOC=ZABC=90o,且NOCP二NBCA,

/.△POC^AABC,

.pg_oc

??同一而，

XVAB=1.6,BC=2,OB=13,

?.?-P-O-=-1-3-+-2?

1.62

解得：PO=12,

答：燈桿的高PO為12m.

【點評】此題主要考查了相像三角形的應(yīng)用，正確得出△POCs/\ABC是解題關(guān)

鍵.

19.某商場為了吸引顧客，設(shè)計了一種促銷活動：在一個不透亮的箱子里放有4

個相同的小球，球上分別標(biāo)有“0元上〃10元"、"20元"和“30元〃的字樣,規(guī)定：

顧客在本商場同一日內(nèi)，每消費滿200元，就可以在箱子里先后摸出兩個球（第

一次摸出后不放回），商場依據(jù)兩小球所標(biāo)金額的利返還相應(yīng)價格的購物券，可

以重新在本商場消費，某顧客剛好消費200元.

（1）該顧客至少可得到10元購物券,至多可得到50元購物券:

（2）請你用畫樹狀圖或列表的方法，求出該顧客所獲得購物券的金額不低于30

元的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】（1）假如摸到0元和10元的時候,得到的購物券是最少,一共10元.假

如摸到20元和30元的時候，得到的購物券最多，一共是50元；

（2）列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出全部可能的結(jié)果，適合于兩

步完成的事務(wù).

【解答】解：（1）10,50；

（2）解法一（樹狀圖）：

5AAAA

第二次102030020300103001020

和102030103040203050304050

從上圖可以看出，共有12種可能結(jié)果,其中大于或等于30元共有8種可能結(jié)果,

因此P（不低于30元）=磊=!；

JLO

解法二（列表法）：

其次次0102030

第一次

0--102030

1010-一3040

202030--50

30304050--

（以下過程同“解法一〃）

【點評】本題主要考查概率學(xué)問.解決本題的關(guān)鍵是弄清題意，滿200元可以摸

兩次，但摸出一個后不放回，概率在改變.用到的學(xué)問點為：概率二所求狀況數(shù)

與總狀況數(shù)之比.

20.如圖，在AABC中，AB=AC.D為邊BC上一點，以AB,BD為鄰邊作口ABDE.

連接AD,EC.

（1）求證：△ADCgZ\ECD；

（2）若BD二CD,求證：四邊形ADCE是矩形.

【考點】矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊

形的性質(zhì).

【分析】（1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的

判定定理SAS可以證得aADC2△ECD；

（2）利用等腰三角形的“三合一〃性質(zhì)推知AD1BC,即NADC=90。；由平行四邊

形的判定定理（對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）證得四邊形ADCE是平

行四邊形，所以有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

【解答】證明：（1）???四邊形ABDE是平行四邊形（己知），

；?AB〃DE,AB二DE（平行四邊形的對邊平行且相等）；

AZB=ZEDC（兩直線平行，同位角相等）；

又???AB=AC（已知），

AAC=DE（等量代換）,ZB=ZACB（等邊對等角），

AZEDC=ZACD（等量代換）；

VffiAADC^nAECD中，

rAC=ED

<ZACD=ZEDC,

DC二CD（公共邊）

AAADC^AECD（SAS）；

（2）???四邊形ABDE是平行四邊形（己知），

.??BD〃AE,BD=AE（平行四邊形的對邊平行且相等），

AAE/7CD；

又,.?BD=CD,

??.AE=CD（等量代換），

???四邊形ADCE是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；

在AABC中，AB=AC,BD=CD,

AAD1BC（等腰三角形的〃三合一〃性質(zhì)），

.*.ZADC=90°,

."ADCE是矩形.

【點評】本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定以及矩形

的判定.留意：矩形的判定定理是〃有一個角是直角的'平行四邊形'是矩形〃，而

不是“有一個角是直角的‘四邊形'是矩形〃.

21.某商場試銷一種商品，成本為每件100元，一段時間后，發(fā)覺銷售量y（件）

與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：

銷售單價X...130135140145...

（元）

銷售量y（件）…240230220210...

（1）請依據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)商場所獲利潤為w元，將商品銷售單價定為多少時，才能使所獲利潤最

大？最大利潤是多少？

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】（1）依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以推斷出y與x的函數(shù)關(guān)系，從而可以解答

本題；

（2）依據(jù)題意可以得到w與x的函數(shù)關(guān)系，然后化為頂點式，從而可以解答本

題.

【解答】解：（1）由表格可知y與x成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式

為y=kx+b,

ri30k+b=240

1135k+b=230，

解得,

lb=500

即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x+500；

（2）由題意可得，

w=（x-100）（-2X+500）=-2（x-175）2+11250,

???當(dāng)x=175時,w取得最大值,此時w=11250,

即將商品銷售單價定為175元時，才能使所獲利潤最大，最大利潤是11250元.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題須要

的條件.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（a,-J）在直線y=?氏一2上，

AB〃y軸，且點B的縱坐標(biāo)為1,雙曲線y=@經(jīng)過點B.

x

（1）求a的值及雙曲線y:四的解析式；

x

（2）經(jīng)過點B的直線與雙曲線丫二：的另一個交點為點C,且aABC的面積為卷.

①求直線BC的解析式；

②過點B作BD〃x軸交直線y=-于點D,點P是直線BC上的一個動點.若

將4BDP以它的一邊為對稱軸進行翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形

為正方形，干脆寫出全部滿意條件的點P的坐標(biāo).

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【分析】（1）依據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得到-反a-（J,解得a=2,

則A（2,-】），再確定點B的坐標(biāo)為（2,1）,然后把B點坐標(biāo)代入y=&中

求出m的值即可得到反比例函數(shù)的解析式；

（2）①設(shè)C（t,|）,依據(jù)三角形面積公式得到打（2-t）X（崢W

解得t=-1,則點C的坐標(biāo)為（-1,-2）,再利用待定系數(shù)法求直線BC的解

析式；

②先確定D（-1,1）,依據(jù)直線BC解析式的特征可得直線BC與x軸的夾角為

45°,而BD〃x軸，于是得至ljNDBC=45°,依據(jù)正方形的判定方法，只有4PBD為

等腰直角三角形時，以它的一邊為對稱軸進行翻折，翻折前后的兩個三角形所組

成的四邊形為正方形，分類探討：若NBPD=90。，則點P在BD的垂直平分線上,

易得此時P-2）；若NBDP=90°,利用PD〃y軸，易得此時P（-1,-2）.

【解答】解：(l)?9A(a,一￡)在直線y=?'x-￡上,

乙乙乙

???-fa-1=|,解得a=2,

則A(2,-1)，

???AB〃y軸,且點B的縱坐標(biāo)為1,

???點B的坐標(biāo)為(2,1).

???雙曲線y=&經(jīng)過點B(2,1),

x

Am=2Xl=2,

?,?反比例函數(shù)的解析式為y，；

(2)①設(shè)C(t,y),

7

VA(2,U)，B(2,1),

???4><(2-t)X(l+《)昭■,

解得t…,

???點C的坐標(biāo)為(-1,-2),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

把B(2,1),C(-1,-2)代入得12k:?J

[-k+b=-2

k=l

解得k-

b=-1

J直線BC的解析式為y=x-1；

②當(dāng)y=l時，x=1,解得x=-1,貝I」D(-1,1),

???直線BCy=x-1為直線y=x向下平移1個單位得到，

J直線BC與x軸的夾角為45°,

而BD〃x軸,

.*.ZDBC=45\

當(dāng)4PBD為等腰直角三角形時，以它的一邊為對稱軸進行翻折，翻折前后的兩個

三角形所組成的四邊形為正方形，

若NBPD=90。，則點P在BD的垂直平分線上，P點的橫坐標(biāo)為之，當(dāng)xj時，y=x

-1=-此時p（春,-2），

若NBDP=90。，則PD〃y軸，P點的橫坐標(biāo)為-1,當(dāng)x=-l時，y=x-1=-2,此

時P（-1,-2）,

綜上所述，滿意條件的P點坐標(biāo)為（-1,-2）或（2，.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函

數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交

點，方程組無解，則兩者無交點.也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和正方形的

判定方法.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，線段AD=6,二

次函數(shù)y=--裊+4與y軸交于A點，與X軸分別交于B點、E點（B點在E

點的左側(cè)）

（1）分別求A、B、E點的坐標(biāo)；

（2）連接AE、0D,請推斷4A0E與4A0D是否相像并說明理由；

（3）若點M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點F,使以A、C、F、

M為頂點的四邊形為菱形？若存在，干脆寫出F點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理

由.

仁

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】（1）分別將x=0和y=0代入可求得A、B、E點的坐標(biāo)；

（2）依據(jù)坐標(biāo)求出A0和0E的長，將兩個直角三角形對應(yīng)小直角邊計算比值為