27.3 位似 提升訓練（解析版）

27.3位似提升訓練1．如圖，在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，將擴大到原來的2倍，得到．若點A的坐標為，則點的坐標為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)以原點O為位似中心，將擴大到原來的2倍，即可得出對應點的坐標應乘以，即可得出點的坐標．【詳解】根據(jù)以原點O為位似中心的圖形的坐標特點得出，對應點的坐標應乘以，∵點A的坐標是，∴點的坐標為或．故選C．【點睛】本題考查利用位似求坐標．掌握位似比與相似比的關系以及位似圖形對應點的坐標與位似比的關系是解決問題的關鍵．2．在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，把縮小為原來的，得到，則點的對應點的坐標是（）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】以原點為位似中心，把縮小為原來的，即位似比是，根據(jù)位似的性質即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，位似比是，且位似比是的三角形有兩個，，∴①乘以得，；②乘以得，，故選：．【點睛】本題主要考查位似的性質，理解和掌握位似的性質是解題的關鍵．3．在平面直角坐標系中，已知點，.若與關于點O位似，且，則點的坐標為（）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】由與關于點O位似，且，得到與的相似比為1：2，由點E的坐標為，即可得到答案．【詳解】解：∵與關于點O位似，且，∴與的相似比為1：2，∵點E的坐標為，∴點的坐標為或，即或，故選：A【點睛】此題考查了位似，根據(jù)位似得到與的相似比為1：2，是解題的關鍵．4．如圖，在平面直角坐標系中，等邊與等邊是以原點為位似中心的位似圖形，且相似比為，點A、B、D在x軸上，若等邊的邊長為12，則點C的坐標為_________．【答案】【分析】作CF⊥AB于F，根據(jù)位似圖形的性質得到BC∥DE，根據(jù)相似三角形的性質求出OA、AB，根據(jù)等邊三角形的性質計算，得到答案．【詳解】解：作CF⊥AB于F，∵等邊△ABC與等邊△BDE是以原點為位似中心的位似圖形，∴BC∥DE，∴△OBC∽△ODE，∴，∵△ABC與△BDE的相似比為，等邊△BDE邊長為12，∴解得，BC=4，OB=6，∴OA=2，AB=BC=4，∵CA=CB，CF⊥AB，∴AF=2，由勾股定理得，∴OF=OA+AF=2+2=4，∴點C的坐標為故答案為：．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質、等邊三角形的性質、掌握位似變換的概念、相似三角形的性質是解題的關鍵．5．如圖，在直角坐標系中，矩形與矩形位似，矩形的邊在y軸上，點B的坐標為，矩形的兩邊都在坐標軸上，且點F的坐標為，則矩形與的位似中心的坐標是___________．【答案】或【分析】根據(jù)題意得到點P為位似中心，根據(jù)相似三角形的性質，然后分兩種情況進行分析，進而得到答案．【詳解】解：連接交y軸于點P，∵B和F是對應點，∴點P為位似中心，由題意得，，，，∵，∴∽，∴，即，解得：，∴，∴位似中心的坐標是；連接，，并延長，交點為點P，如圖所示：則點P為位似中心，由題意得：，，∵，∴∽，∴，即，∴，∴，∵點C為：，點E為：，∴點P的坐標為：；故答案為：或．【點睛】本題考查的是位似圖形的概念和性質，掌握位似圖形的概念、相似三角形的性質是解題的關鍵．6．如圖，在平面直角坐標系中，正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，點，，在x軸上，延長交射線與點，以為邊作正方形；延長，交射線與點，以為邊作正方形；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若，則正方形的面積為_______．【答案】【分析】已知正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，可先證明△OA1B1∽△OA2B2，求出正方形A1B1C1A2的邊長1=20，正方形A2B2C2A3的邊長為21=2；同理可證明△OA2B2∽△OA3B3，求出正方形A3B3C3A4的邊長為4=22......由此可歸納出規(guī)律：正方形AnBnCnDn+1的邊長為2n－1．在正方形A2021B2021C2021A2022中，n=2021，將n的值代入2n－1即可求出該正方形的邊長，根據(jù)正方形面積公式，即可求出該正方形的面積．【詳解】解：∵正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，∴，∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴，∴△OA1B1∽△OA2B2，∴，∵，∴，∴，∴正方形A1B1C1A2的邊長1=20，∵△OA1B1∽△OA2B2，∴，∴，∴正方形A2B2C2A3的邊長為21=2；同理可證△OA2B2∽△OA3B3，∴，∵四邊形A2B2C2A3是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴正方形A3B3C3A4的邊長為4=22，綜上，可歸納出規(guī)律：正方形AnBnCnDn+1的邊長為2n－1．∴正方形A2021B2021C2021A2022的邊長為：，∴正方形A2021B2021C2021A2022的面積為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了位似變換、相似三角形的判定與性質、正方形的性質和面積以及圖形類找規(guī)律，正確找出規(guī)律是解題的關鍵．7．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，四邊形ABCD為矩形，AB=a，BC=b，點P在矩形ABCD的對角線AC上，Rt△PEF的兩條直角邊PE，PF分別交BC，DC于點M，N，當PM⊥BC，PN⊥CD時，

=（用含a，b的代數(shù)式表示）．（2）拓展探究在（1）中，固定點P，使△PEF繞點P旋轉，如圖2，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．（3）問題解決如圖3，四邊形ABCD為正方形，AB=BC=a，點P在對角線AC上，M，N分別在BC，CD上，PM⊥PN，當AP=nPC時，（n是正實數(shù)），直接寫出四邊形PMCN的面積是（用含n，a的代數(shù)式表示）【答案】(1);(2)見解析;(3)【詳解】分析：（1）先判斷出△PMC∽△ABC，得出，再判斷出四邊形CNPM是矩形，即可得出結論；（2）先過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根據(jù)相似三角形的性質以及平行線分線段成比例定理進行推導計算即可；（3）先判定△PMC∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例進行求解，再計算其面積；詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∵PM⊥BC，∴△PMC∽△ABC∴∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，∴四邊形CNPM是矩形，∴CM=PN，∴，故答案為；（2）如圖3，過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，則∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN∴由PG∥AB，PH∥AD可得，,∵AB=a，BC=b∴，即,∴，故答案為；（3）∵PM⊥BC，AB⊥BC∴△PMC∽△ABC∴當AP=nPC時（n是正實數(shù)），∴PM=