2023-2024學年高二數(shù)學2019選擇性試題4.1數(shù)列

4.1數(shù)列一、單選題1．已知數(shù)列的前項和，且對任意，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列為遞減數(shù)列，結(jié)合與的關系即可求解.【詳解】因為，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，當時，，故可知當時，單調(diào)遞減，故為遞減數(shù)列，只需滿足，因為,所以,解得，.故選:.2．已知數(shù)列的前項和,那么它的通項公式（

）A．n B．2n C．2n＋1 D．n＋1【答案】B【分析】根據(jù)即可求．【詳解】，,當時，，.故選：B.3．已知數(shù)列滿足，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)遞推公式逐項求值發(fā)現(xiàn)周期性，結(jié)合周期性求值.【詳解】由得，所以數(shù)列的周期為3，所以．故選：B4．在數(shù)列中，，（，），則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前4項，推導出為周期數(shù)列，從而得到的值【詳解】，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，，故選：A5．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意變形為，再轉(zhuǎn)化為與，與的關系，推導出數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，即可計算出結(jié)果.【詳解】由題意得，所以，所以，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，所以，所以．故選：C6．已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，即可猜想數(shù)列的奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減，且奇數(shù)項小于偶數(shù)項，再證明即可，從而可得答案.【詳解】因為，所以，，因為指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以，所以，由此可猜想數(shù)列的奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減，且奇數(shù)項小于偶數(shù)項，因為，當時，，所以，所以（），因為，所以，所以，進而可得，以此類推可得且，因為當時，，，所以，所以，所以（），由，得，即，由，得，以此類推單調(diào)遞減，所以，所以，故選：A.7．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．1 C．4043 D．4044【答案】A【分析】由遞推式得到，從而得到，由此再結(jié)合即可求得的值.【詳解】由得，兩式相加得，即，故，所以.故選：A．8．已知數(shù)列的前項和，則這個數(shù)列的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】已知和求通項公式：進行計算.【詳解】當時，當時，故選：C二、多選題9．已知數(shù)列的通項公式為，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)通項公式即可作出判斷.【詳解】對于A，6是偶數(shù)，則，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，，，D錯誤.故選：BC.10．下列數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用驗證各選項即可.【詳解】因為選項A：，所以，不是單調(diào)遞增數(shù)列；選項B：，所以是單調(diào)遞增數(shù)列；選項C：，所以，不是單調(diào)遞增數(shù)列；選項D：，所以是單調(diào)遞增數(shù)列；故選：BD11．意大利數(shù)學家列昂納多?斐波那契提出的“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，在現(xiàn)代生物及化學等領域有著廣泛的應用，它可以表述為數(shù)列滿足.若此數(shù)列各項被3除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列，記的前項和為，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)數(shù)列可得出數(shù)列是以8為周期的周期數(shù)列，依次分析即可判斷.【詳解】數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，被3除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列，數(shù)列為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，觀察可得數(shù)列是以8為周期的周期數(shù)列，故，A正確；且，故，B正確；，C正確；則的前2022項和為，D錯誤.故選：ABC12．已知是的前項和，，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．是以為周期的周期數(shù)列【答案】AC【分析】推導出，利用數(shù)列的周期性可判斷各選項的正誤.【詳解】因為，，則，，，以此類推可知，對任意的，，D選項正確；，A選項錯誤；，B選項正確；，C選項錯誤.故選：AC.三、填空題13．如下表定義函數(shù)：x1234554312對于數(shù)列，，，，3，4，…，則的值是______.【答案】5【分析】先根據(jù)求出前幾項，得出周期，利用周期性求解.【詳解】根據(jù)題意，，，，所以周期為4，而，所以.故答案為：514．數(shù)列滿足，，則______．【答案】【分析】利用累乘法求得正確答案.【詳解】，也符合上式，所以.故答案為：15．已知數(shù)列前項和滿足，則________.【答案】【分析】先利用對數(shù)運算得到，進而利用求出答案.【詳解】因為，所以，當時，，當時，，因為，故，故答案為：16．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2n，則_____．【答案】2【分析】根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵Sn＝2n，∴，，∴，故答案為：2．四、解答題17．已知是數(shù)列的前n項和，(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前10項和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求，利用和可求通項公式；（2）先求，根據(jù)的取值逐個求解，然后求和可得答案.（1）∵；∵，∴兩式相減可得，又，∴.（2）由（1）知：，所以當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時，所以數(shù)列的前10項和為．18．已知數(shù)列滿足，求的通項公式．【答案】.【分析】利用項與前項和的關系即得.【詳解】對任意的，，當時，則，當時，由，可得，上述兩個等式作差可得，，滿足，因此，對任意的，.19．寫出下列數(shù)列的前10項，并作出它們的圖象．(1)當自變量依次取1，2，3，…時，函數(shù)的值構成的數(shù)列；(2)數(shù)列的通項公式為．【答案】(1)3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，圖見解析(2)2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，圖見解析【分析】（1）將自變量依次取值代入函數(shù)解析式可得各項的值，然后描點作圖即可；（2）分n是奇數(shù)還是偶數(shù)代入相應通項公式計算可得各項的值，然后描點作圖即可.（1）依次將的值代入函數(shù)，可得數(shù)列的前10項依次為：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，圖象如下：（2）∵，∴數(shù)列的前10項依次為2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，圖象如下：20．已知數(shù)列的前n項和為．求數(shù)列的通項公式.【答案】【分析】根據(jù)求出時的通項，由此求數(shù)列的通項公式.【詳解】由得：，相減得，當時，也滿足上式，∴．所以數(shù)列的通項公式為.21．寫出下列數(shù)列的一個通項公式．(1)，，，，…；(2)，，，，…；【答案】(1)（答案不唯一）(2)（答案不唯一）.【分析】（1）（2）根據(jù)數(shù)列前幾項找到規(guī)律，從而得到數(shù)列的符合題意的一個通項公式.【詳解】（1）解：由，，，，…，可知奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，分子均為，且分母為序號與其后一個數(shù)之積，故該數(shù)列的通項公式可以為（答案不唯一）.（2）解：由，，，，…，可得該數(shù)列的一個通項公式為（答案不唯一）.22．函數(shù)的定義域為，若，滿足，則稱為的不動點.已知函數(shù).（1）試判斷不動點的個數(shù)，并給予證明；（2）若“”是真命題，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）3個，證明見解析；（2）.【分析】（1）分、、三種情況，利用構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可得答案；（2）解法1：轉(zhuǎn)化為成立，解不等式組，再由可得答案；解法2：轉(zhuǎn)化為成立，等價于，使成立，構造函數(shù)，并利用函數(shù)的單調(diào)性，由可得答案.【詳解】（1），若，則，所以，由得，即，因為在是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在是單調(diào)遞增的，，所以在內(nèi)存在唯一零點；若，則，所以，由得解得；若，則，所以，由得；因為在是單調(diào)遞增的，，所以在內(nèi)有唯一零點；綜上所述，有3個不動點.（2）由（1）可知，當，若“”是真命題，就是，