2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019單元復(fù)習(xí)試題單元復(fù)習(xí)09平面向量提高題

單元復(fù)習(xí)09平面向量一、單選題1．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同；②已知向量，則四點(diǎn)必在一直線上；③若，則；④共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由平面向量的概念對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，【解析】對(duì)于A，單位向量的方向不確定，故起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)不一定相同，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，向量，則四點(diǎn)共線或，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，當(dāng)時(shí)，不一定平行，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若三點(diǎn)共線，則，此時(shí)起點(diǎn)不同，終點(diǎn)相同，故D錯(cuò)誤，故選：A2．如圖所示，已知在中，是邊上的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意得，再由，即可得到答案.【解析】由于是邊上的中點(diǎn)，則..故選：B.3．關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的相關(guān)定義，判斷選項(xiàng).【解析】A.由平面向量的定義可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A錯(cuò)誤；B.兩個(gè)向量是相反向量，則兩個(gè)向量平行，故B正確；C.向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；D.當(dāng)向量時(shí)，與不一定平行，故D錯(cuò)誤；故選：B4．若平面上的三個(gè)力作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知，與的夾角為，則力的大小為（

）．A．7 B． C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)三力平衡得到，然后通過平方將向量式數(shù)量化得到，代入數(shù)據(jù)即可得到答案.【解析】根據(jù)三力平衡得，即，兩邊同平方得，即即,解得故選：D.5．設(shè)向量均為單位向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】將兩邊平方轉(zhuǎn)化為，從而得到與之間的關(guān)系.【解析】若，則，所以，，所以，滿足充分性；若，兩邊平方得，所以，滿足必要性．故選：B．6．在平行四邊形中，，，.對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F.設(shè)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可證明，則，根據(jù)向量的分解、模長和數(shù)量積的運(yùn)算，即可判斷正誤.【解析】解：對(duì)于A，取OB的中點(diǎn)G，連接CG，則且，即，則，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，，則，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D選項(xiàng)正確；故選：C.7．已知向量，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積為正數(shù)且兩向量不同向即可根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求解.【解析】由題意得，，若與的夾角是銳角，則與不共線，且它們數(shù)量積為正值，即，且，解得，且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選:A8．設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若，，且，則稱調(diào)和分割.已知點(diǎn)，調(diào)和分割點(diǎn)，，則下面說法正確的是（

）A．可能是線段的中點(diǎn)B．可能是線段的中點(diǎn)C．可能同時(shí)在線段上D．不可能同時(shí)在線段上【答案】D【分析】先根據(jù)題目定義，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，推出之間的關(guān)系，然后四個(gè)選項(xiàng)每個(gè)代入驗(yàn)證，用排除法解決.【解析】根據(jù)題意可知，，即，，得，，即，得，根據(jù)，得.線段的方程是，.若C是線段的中點(diǎn)，則，代入，得，此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說法不成立；同理選項(xiàng)B的說法也不成立；若同時(shí)在線段上，則，，此時(shí)，，，與矛盾，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)同時(shí)不在線段上時(shí)，若，，則，與矛盾，若，，則是負(fù)值，與矛盾，若，，則，，此時(shí)，與矛盾，若，，則，，此時(shí)，與矛盾，故選項(xiàng)D的說法成立.故選：D.二、多選題9．下列說法中正確的是（

）A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線C．零向量的長度為0 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等【答案】ACD【分析】利用零向量的定義及性質(zhì)判斷選項(xiàng)A和選項(xiàng)C，利用共線向量的定義判斷選項(xiàng)B，利用相等向量的定義判斷選項(xiàng)D.【解析】解：零向量與任一向量平行，零向量的方向不確定，但模確定為0，故A與C都是正確的；根據(jù)共線向量的定義，方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)橄蛄肯嗟鹊亩x是長度相等且方向相同的向量，所以方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等，故D正確．故選：ACD．10．已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．向量與的夾角為 D．向量在上的投影向量為【答案】BD【分析】根據(jù)向量模長的坐標(biāo)計(jì)算即可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B,由夾角公式可判斷C，由投影向量的求解公式可判斷D.【解析】，所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，，，，故C錯(cuò)誤；向量在上的投影向量為，故D正確．故選：BD11．在△ABC中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．若，則是等腰三角形D．若則是銳角三角形【答案】ABD【分析】由向量減法法判斷A項(xiàng)錯(cuò)誤；利用數(shù)量積公式判斷B項(xiàng)錯(cuò)誤；將已知化簡利用三線合一得到是等腰三角形判斷C項(xiàng)正確；D項(xiàng)得到是銳角，不能得到是銳角三角形，判斷D項(xiàng)正確.【解析】由向量減法法則可得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)中點(diǎn)為，，則，因?yàn)?所以由三線合一得，所以是等腰三角形，故C項(xiàng)正確；可以得到是銳角，不能得到是銳角三角形，故D項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABD.12．已知向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則的值為B．若則的值為C．若，則與的夾角為銳角D．若，則【答案】AB【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、向量的模的坐標(biāo)表示及向量共線的坐標(biāo)表示一一判斷即可；【解析】解：對(duì)于A：若，則，解得，故A正確；對(duì)于B：若，則，解得，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)與同向，此時(shí)與的夾角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，即，即，解得，當(dāng)時(shí)，，，顯然，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤；故選：AB三、填空題13．已知，，，則與的夾角是___________.【答案】【分析】根據(jù)平面向量的模和數(shù)量積計(jì)算，即可直接得出結(jié)果.【解析】，因?yàn)?，所以，與的夾角是.故答案為：.14．若平面向量?滿足條件：?，則向量在向量的方向上的數(shù)量投影為___________.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量投影的知識(shí)求得正確答案.【解析】向量在向量的方向上的數(shù)量投影為.故答案為：15．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東2.一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250的碼頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行的速度大小是___________.【答案】【分析】由已知條件求解直角三角形，根據(jù)向量的平行四邊形法則，結(jié)合向量的模長公式，即可求解小貨船航行速度的大小.【解析】由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：因?yàn)橐粭l東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東，，在中，有，所以，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為．故答案為：16．在中，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)是線段上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且滿足，則_________．【答案】8【分析】用、表示出、，從而得到，再根據(jù)，，三點(diǎn)共線，得到，解得即可.【解析】解：因?yàn)?，，所以，，即，，因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，故，解得．故答案為：四、解答題17．已知與的夾角為．(1)求的值；(2)設(shè)，求的夾角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可以得到答案；（2）計(jì)算即可.【解析】（1）由已知，得：，∴，∴；（2）∵，，∴，由（1）得：，∴，∵，∴.18．已知D為等邊所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，且線段BC上存在點(diǎn)E，使得．(1)試確定點(diǎn)E的位置，并說明理由；(2)求的值．【答案】(1)E為靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，理由見解析(2)【分析】（1）用平面向量的線性關(guān)系找出點(diǎn)所在的位置；（2）用向量分別表示出向量利用向量數(shù)量積公式計(jì)算.【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，從而，故點(diǎn)E為靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)．（2）因?yàn)?，所以，，?9．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量，，．(1)若，且，求向量的坐標(biāo)；(2)若，且，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)共線的坐標(biāo)表示可得，又根據(jù)得，解方程組即可求出答案；（2）由（1）得，由此得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．(1)解：（1）∵，又，∴，∴，①又∵，∴，②由①②得，解得，當(dāng)t＝1時(shí)，（舍去），當(dāng)t＝－1時(shí)，，∴，∴．(2)解：（2）由（1）可知，，，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，．20．某公園有三個(gè)警衛(wèi)室A?B?C，互相之間均有直道相連，千米，千米，千米，保安甲沿CB從警衛(wèi)室C出發(fā)前往警衛(wèi)室B，同時(shí)保安乙沿BA從警衛(wèi)室B出發(fā)前往警衛(wèi)室A，甲的速度為2千米/小時(shí)，乙的速度為1千米/小時(shí).(1)保安甲從C出發(fā)1.5小時(shí)后達(dá)點(diǎn)D，若，求實(shí)數(shù)x?y的值；(2)若甲乙兩人通過對(duì)講機(jī)聯(lián)系，對(duì)講機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離不超過2千米，試問有多長時(shí)間兩人不能通話？【答案】(1)(2)兩人約有小時(shí)不能通話【分析】（1）先根據(jù)勾股定理確定這是一個(gè)直角三角形，然后可以建立平面直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算可以計(jì)算出實(shí)數(shù)x?y的值；（2）表示出點(diǎn)的坐標(biāo)之后可以把坐標(biāo)表示，立出不等式解不等式即可.【解析】（1）因?yàn)?，所以，因此建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)保安甲從C出發(fā)小時(shí)后達(dá)點(diǎn)D，所以有，設(shè)，由，即，當(dāng)時(shí)，，由；（2）設(shè)保安乙從B出發(fā)小時(shí)后達(dá)點(diǎn)E，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為，于是有，因?yàn)閷?duì)講機(jī)在公園內(nèi)的最大通話距離超過2千米，兩人不能通話，所以有，所以解之：或，又所以兩人約有小時(shí)不能通話.一、單選題1．若為任一非零向量，的模為1，給出下列各式：①；②﹔③；④.其中正確的是（

）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③【答案】B【分析】根據(jù)向量的定義、向量的模、平行向量的定義判斷．【解析】對(duì)于①，的大小不能確定；對(duì)于②，兩個(gè)非零向量的方向不確定；對(duì)于④，向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，只有③正確．故選：B．2．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在線段上，且（），若（，）且，則（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】方法1：由可得，由代入可反解得，最后根據(jù)且即可求得的值.方法2：建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.【解析】方法1：在平行四邊形中，因?yàn)?，所以，所以，又∵，∴，∴，又∵，∴，，（平面向量基本定理的?yīng)用）又∵，∴，解得，故選：B.方法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，∵則，又∵，設(shè)，則即：∴，，，又∵，∴∴∴由②得，將其代入①得，故選：B.3．已知三角形外接圓的半徑為1為圓心，且，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得三角形是以角為直角的直角三角形，解直角三角形求出相應(yīng)的邊，利用數(shù)量積幾何意義計(jì)算得答案．【解析】因?yàn)槿切瓮饨訄A的半徑為1為圓心，為的中點(diǎn)，故是直角三角形，為直角．又，,,故選:A.4．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最小值為1 D．的最大值為2【答案】D【分析】首先根據(jù)向量的幾何意義判斷點(diǎn)的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合，以及向量數(shù)量積的幾何意義，判斷選項(xiàng).【解析】由，可得點(diǎn)A的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，根據(jù)向量減法的幾何意義，由，可得點(diǎn)B的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓，如圖所示．當(dāng)點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)位置時(shí)，取最小值0，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)B在直線與圓A的交點(diǎn)位置且不是原點(diǎn)時(shí)，取最大值2，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當(dāng)點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn)位置時(shí)，在方向上的投影取最小值0，此時(shí)取最小值0，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)點(diǎn)B在直線與圓A的交點(diǎn)位置且不是原點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影取最大值2，此時(shí)取最大值2，D選項(xiàng)正確．故選:D5．如圖，在中，O為線段BC上一點(diǎn)，且，G為線段AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的直線分別交直線AB，AC于D，E兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的幾何表示及向量共線可得，然后利用基本不等式即得.【解析】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)镚為線段AO的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)镈、G、E三點(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故選：C.6．八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2中的正八邊形，其中，給出下列結(jié)論：①與的夾角為；②；③；④向量在向量上的投影向量為（其中是與同向的單位向量）.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用正八邊形的特征，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及投影向量的定義逐一分析各個(gè)命題即可求解.【解析】對(duì)于①，因?yàn)榘诉呅螢檎诉呅?，所以，所以與的夾角為，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，顯然不成立，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，所以，，所以，③正確；對(duì)于④，，向量在向量上的投影向量為，④正確，故選：B.7．已知是單位向量，向量滿足，且，其中x、，且，則下列結(jié)論中，①；②；③存在x、y，使得；④當(dāng)取最小值時(shí)，.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算可判斷①；由題可得，進(jìn)而得可判斷②；結(jié)合基本不等式求得可判斷③；結(jié)合條件可得到，同時(shí)平方即得可判斷④.【解析】由可得，即，①正確；又且，則，即，所以，又，則，同理，則，即，②錯(cuò)誤；由知至少一正，若一正一負(fù)，則，顯然不滿足，故均為正，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則存在x，y，使得，③正確；當(dāng)取最小值2時(shí)，，由可得，則，即，則，④正確.所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3.故選：C.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于由結(jié)合得到，進(jìn)而得，再結(jié)合基本不等式求得，最后由平方即可求解.8．點(diǎn)O是平面α上一定點(diǎn)，A，B，C是平面α上的三個(gè)頂點(diǎn)，，分別是邊，的對(duì)角.有以下五個(gè)命題：①動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)P滿足，則，的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)的外心、內(nèi)心、重心、垂心分別是三邊中垂線的交點(diǎn)、角平分線的交點(diǎn)、中線的交點(diǎn)、高的交點(diǎn)，這些幾何特征與向量建立聯(lián)系，進(jìn)而判斷每個(gè)命題的正誤．【解析】①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P滿足時(shí)，則點(diǎn)P是的重心，所以①不正確；②顯然在的角平分線上，而與的平分線所在向量共線，所以的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)P集合中，因此②正確；③變形為，而，表示點(diǎn)A到邊的距離，設(shè)為，所以，而表示邊的中線向量，所以表示邊的中線向量，因此的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中，所以③正確；④當(dāng)時(shí)，的垂心與點(diǎn)A重合，但顯然此時(shí)垂心點(diǎn)P不滿足公式，所以④不正確；正確答案序號(hào)為②③．故選：C二、多選題9．下列敘述中錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則與的方向相同或相反C．若，，則D．對(duì)任一非零向量，是一個(gè)單位向量【答案】ABC【分析】根據(jù)向量不能比較大小可判斷A；根據(jù)共線向量的定義可判斷B；當(dāng)時(shí)可判斷C；根據(jù)單位向量的定義可判斷D，進(jìn)而可得答案.【解析】對(duì)于A，因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以向量不能比較大小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，零向量與任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，則對(duì)于非零向量，必有，但與的方向不一定相同或相反，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則零向量與任意向量平行，所以對(duì)任意向量與，均有，，故此時(shí)與不一定平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由單位向量的定義可得，對(duì)任一非零向量，其單位向量為，故D正確.故選：ABC.10．已知向量，，則（

）A．與的夾角余弦值為B．C．向量在向量上的投影向量的模為D．若，則【答案】ACD【分析】對(duì)于A：由已知得，根據(jù)向量夾角的計(jì)算公式計(jì)算可判斷；對(duì)于B：由已知得，由此可判斷；對(duì)于C：由已知得向量在向量上的投影，從而可判斷；對(duì)于D：由，可判斷.【解析】解：對(duì)于A：因?yàn)橄蛄浚?，所以，所以與的夾角余弦值為，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，故B不正確；對(duì)于C：向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量的模為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，所以，故D正確，故選：ACD.11．設(shè)均為單位向量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)有恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件求得的夾角以及數(shù)量積，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可判斷和選擇.【解析】對(duì)：設(shè)的夾角為，，兩邊平方可得：，即對(duì)任意的恒成立，故可得：，即，則，又，故，故錯(cuò)誤；對(duì)：，故正確；對(duì)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故錯(cuò)誤；對(duì)：，對(duì)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故的最小值為，故正確.故選：.12．對(duì)于，其外心為O，內(nèi)心為P，垂心為H，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．向量與共線 D．【答案】BC【分析】由為外心，則，僅當(dāng)時(shí)，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，可得判定B正確；由，得到與垂直，再由，可判定C正確；連接，設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，分別證得和，，得到P是的垂心，可判定D錯(cuò)誤.故選：BC.【解析】對(duì)于A中，因?yàn)闉橥庑?，則，僅當(dāng)時(shí)，才有，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，又由，所以，所以B正確；對(duì)于C中，由，即與垂直，又由，所以與共線，所以C正確；對(duì)于D中，如圖所示，為的外接圓，連接，設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，則，又由，所以，即，所以與共線，因?yàn)闉榈耐饨訄A的圓心，所以，所以，同理得，所以P是的垂心，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.13．如圖，延長正方形ABCD的邊CD至點(diǎn)E，使得DE=CD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周后回到點(diǎn)A，若，則下列判斷正確的是（

）A．滿足λ+μ=2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn)B．滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)C．滿足λ+μ=3的點(diǎn)P有且只有一個(gè)D．λ+μ=的的點(diǎn)P有且只有一個(gè)【答案】C【分析】建立坐標(biāo)系，討論，，，四種情況，依次求出的范圍，再判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得出結(jié)果.【解析】如圖建系，取，∵，∴，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有且，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有且，則，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有且，則，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有且，則，∴，∴，綜上，，選項(xiàng)A，取，滿足，此時(shí)，因此點(diǎn)不一定是的中點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)取點(diǎn)或的中點(diǎn)時(shí)，均滿足，此時(shí)點(diǎn)有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)取點(diǎn)時(shí)，且，解得，為，故C正確；選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，均可能滿足，此時(shí)點(diǎn)有三個(gè)，故D錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中所給條件，利用建系的方法，討論的位置，根據(jù)，確定的范圍，即可求解.（向量用坐標(biāo)表示后，向量的計(jì)算和證明都?xì)w結(jié)為數(shù)的運(yùn)算，這使問題大大簡化）14．已知O，N，P，I在△ABC所在的平面內(nèi)，則下列說法正確的是（

）A．若，則O是△ABC的外心B．若，則P是△ABC的垂心C．若，則N是△ABC的重心D．若，則I是△ABC的垂心【答案】ABCD【分析】根據(jù)三角形外心、垂心、重心和內(nèi)心的定義，結(jié)合平面向量的運(yùn)算即可求得答案.【解析】對(duì)A，根據(jù)外心的定義，易知A正確；對(duì)B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正確；對(duì)C，記AB、BC、CA的中點(diǎn)為D、E、F，由題意，則，同理可得：，則N是重心，故C正確；對(duì)D，由題意，，則I是垂心，故D正確故選：ABCD.三、填空題15．在三角形ABC中，若，且，則_______【答案】1【分析】根據(jù)，即可得出，從而可求出x，y，進(jìn)而得出【解析】，又，，故答案為：1．16．如圖，在矩形中，，分別為線段，的中點(diǎn)，若，，則的值為___________.【答案】##【分析】利用向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理即可求解.【解析】因?yàn)椋謩e為線段，的中點(diǎn)，所以,,,所以,所以，解得，所以，所以的值為.故答案為：.四、解答題17．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，如果，，.(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定的值，使和共線；(3)若與不共線，試求的取值范圍.【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【分析】（1）要證明A，B，D三點(diǎn)共線，只需證明向量與共線；（2）兩向量與（）共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)，使.由此列方程組可解；（3）知兩向量不共線，求參數(shù).可先求兩向量共線時(shí)的參數(shù)值，實(shí)數(shù)集中去除這些值，即為不共線的參數(shù)值或范圍.（1）證明：因?yàn)椋耘c共線.因?yàn)榕c有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.（2）因?yàn)榕c共線，所以存在實(shí)數(shù)，使.因?yàn)?，不共線，所以所以.（3）假設(shè)與共線，則存在實(shí)數(shù)m，使.因?yàn)?，不共線，所以所以.因?yàn)榕c不共線，所以.18．已知向量.(1)求與平行的單位向量；(2)設(shè)，若存在，使得成立，求k的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）待定系數(shù)法設(shè)坐標(biāo)后列方程組求解（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，轉(zhuǎn)化為方程有解問題（1）設(shè)，根據(jù)題意得解得或或.（2）..，.問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程在內(nèi)有解.令，①當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)，方程在內(nèi)無解.②當(dāng)，即時(shí)，由，解得或.③當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)，由得.解得.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.19．如圖，在中，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足.(1)若，用向量表示；(2)若，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，.（2）由（1）可知，所以因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍?20．在梯形中，，，P，Q分別為線段BC和CD上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求與的數(shù)量積；(2)若，求；(3)若，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算求得與的數(shù)量積.（2）利用平方的方法求得.（3）求得的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值.（1）.（2），，所以.（3）,.，設(shè)，，所以遞減；遞增，，所以在上的最大值為.即的最大值為.21．已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)（其中a，b為常數(shù)，且），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).如圖所示，設(shè)點(diǎn)是線段的n等分點(diǎn)，其中，(1)當(dāng)時(shí)，求的值（用含a，b的式子表示）；(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值.（說明：可能用到的計(jì)算公式：.）【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而推出，代入題中的等式即可；（2）當(dāng)a=b=1，n=10時(shí)，，，進(jìn)而得到，從而得，列出i的取值即可得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.(1)由題意得，，所以，事實(shí)上，對(duì)任意正整數(shù)m，n，且m+n=2022，有，，所以所以當(dāng)時(shí)，.(2)當(dāng)a=b=1，n=10時(shí)，，同理當(dāng)i=6，7，8，9時(shí)，，當(dāng)i=7時(shí)，上式有最小值當(dāng)i=5時(shí)，當(dāng)i=1，2，3，4時(shí)，，當(dāng)i=3時(shí)，上式有最小值綜上，的最小值是.一、單選題1．（2021·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，為非零向量，則“向量，的夾角為180°”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】判斷命題“若向量，的夾角為180°，則”和命題“若，則向量，的夾角為180°”的真假即可得解.【解析】因向量，為非零向量，則當(dāng)向量，的夾角為180°時(shí)，與方向相反，即成立，當(dāng)時(shí)，與方向相同或者方向相反，即向量，的夾角為0°或者180°，可以不為180°，所以“向量，的夾角為180°”是“”的充分不必要條件.故選：A2．（2021·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列有關(guān)四邊形的形狀判斷錯(cuò)誤的是（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為梯形C．若，且，則四邊形為菱形D．若，且，則四邊形為正方形【答案】D【分析】根據(jù)向量共線、相等的知識(shí)確定正確答案.【解析】A選項(xiàng)，，則，所以四邊形為平行四邊形，A正確.B選項(xiàng)，，則，所以四邊形為梯形，B正確.C選項(xiàng)，，則，四邊形是平行四邊形；由于，所以四邊形是菱形，C正確.D選項(xiàng)，，則，所以四邊形為平行四邊形；由于，所以四邊形為菱形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D3．（2022·上海普陀·統(tǒng)考一模）設(shè)，若向量、、滿足，且，則滿足條件的k的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，利用平面向量的數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【解析】由，得，所以，又，所以，即，得，又，所以，所以k的取值可以是2.故選：B.4．（2022·陜西安康·統(tǒng)考一模）已知O是內(nèi)一點(diǎn)，，若與的面積之比為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由確定點(diǎn)的位置，再利用與的面積之比列方程來求得的值.【解析】由得，設(shè)，則.由于，所以A，B，D三點(diǎn)共線，如圖所示，∵與反向共線，，∴，∴，∴.故選：D5．（2021·浙江金華·統(tǒng)考三模）半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，已知，記，則（

）A．若m+n=3，則M的最小值為3B．若m+n=3，則有唯一C點(diǎn)使M取最小值C．若m·n=3，則M的最小值為3D．若m·n=3，則有唯一C點(diǎn)使M取最小值【答案】A【分析】設(shè)，以為原點(diǎn)，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，可解決此題．【解析】：設(shè)，如圖：以為原點(diǎn)，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．①若，取，，則，，，，，,，此時(shí)，、兩點(diǎn)重合，所以正確；取，，則，當(dāng)時(shí)取最小值，此時(shí)、兩點(diǎn)重合，所以點(diǎn)不唯一，故B錯(cuò)誤；②若，取，則，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；取，時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，點(diǎn)不唯一，故D錯(cuò)誤.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算的意義和模的意義，涉及與圓有關(guān)的最值問題，關(guān)鍵是題目中的參數(shù)較多，故而應(yīng)當(dāng)想到直接解決困難較大，應(yīng)用特值排除的方法解決較為方便，這是在解決一些選擇題是常常需要用到的思想方法.二、多選題6．（2022·浙江嘉興·?？寄M預(yù)測）設(shè)是兩個(gè)非零向量，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．在方向上的投影向量為 D．【答案】ABC【分析】利用平面向量的垂直關(guān)系，然后對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【解析】因?yàn)椋?，所以，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋?，即有，所以，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以在方向上的投影向量為，所以選項(xiàng)C正確；由向量數(shù)量積的定義可知，，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.7．（2021·全國·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．若為平面向量，，則B．若為平面向量，，則C．若，，則在方向上的投影為D．在中，M是AB的中點(diǎn)，＝3，BN與CM交于點(diǎn)P，＝+，則λ＝2μ【答案】CD【分析】利用向量共線的概念判斷A、B，；利用向量數(shù)量積的定義可判斷C；利用向量共線的推論即可判斷D.【解析】A，若，則與任意向量共線，所以與不一定平行，故A錯(cuò)誤；B，若，則，，當(dāng)共面時(shí)，，若不共面時(shí)，與不平行，故B錯(cuò)誤；C，若，則，所以，在方向上的投影為，故C正確；D，，設(shè),則，設(shè)，則，即，①