高考數(shù)學(理)第一輪復習學案平面向量的數(shù)量積與平面向量應用

平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例[知識能否憶起]一、兩個向量的夾角1．定義已知兩個非零向量a和b，作SKIPIF1<0＝a，SKIPIF1<0＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．2．范圍向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°，a與b同向時，夾角θ＝0°；a與b反向時，夾角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作a⊥b.二、平面向量數(shù)量積1．已知兩個非零向量a與b，則數(shù)量|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．規(guī)定0·a＝0.當a⊥b時，θ＝90°，這時a·b＝0.2．a(chǎn)·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．三、向量數(shù)量積的性質(zhì)1．如果e是單位向量，則a·e＝e·a.2．a(chǎn)⊥b?a·b＝0.3．a(chǎn)·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a).4．cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(θ為a與b的夾角)5．|a·b|≤|a||b|.四、數(shù)量積的運算律1．交換律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．對λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．五、數(shù)量積的坐標運算設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則：1．a(chǎn)·b＝a1b1＋a2b2.2．a(chǎn)⊥b?a1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)).4．cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2))).(θ為a與b的夾角)[小題能否全取]1．已知向量a，b和實數(shù)λ，下列選項中錯誤的是()A．|a|＝eq\r(a·a) B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|解析：選B|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有a與b共線時，才有|a·b|＝|a||b|，可知B是錯誤的．2．已知|a|＝4，|b|＝3，a與b的夾角為120°，則b在a方向上的投影為()A．2 B.eq\f(3,2)C．－2 D．－eq\f(3,2)解析：選D|b|cosθ＝3cos120°＝－eq\f(3,2).3．(2012·重慶高考)設x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝()A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．2eq\r(5)D．10解析：選B∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，∴x＝2.∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(5＋5)＝eq\r(10).4．已知向量a和向量b的夾角為30°，|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝________.解析：a·b＝2×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.答案：35．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，則向量a與b的夾角θ＝________.解析：∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3.∴cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(3,1×6)＝eq\f(1,2).∴向量a與b的夾角為eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)1.對兩向量夾角的理解(1)兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點不同，應通過移動，使其起點相同，再觀察夾角．(2)兩向量夾角的范圍為[0，π]，特別當兩向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向時，其夾角為π.(3)在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時，一定要注意兩向量夾角的范圍．2．向量運算與數(shù)量運算的區(qū)別(1)若a，b∈R，且a·b＝0，則有a＝0或b＝0，但a·b＝0卻不能得出a＝0或b＝0.(2)若a，b，c∈R，且a≠0，則由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0卻不能推出b＝c.(3)若a，b，c∈R，則a(bc)＝(ab)c(結(jié)合律)成立，但對于向量a，b，c，而(a·b)·c與a·(b·c)一般是不相等的，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的．(4)若a，b∈R，則|a·b|＝|a|·|b|，但對于向量a，b，卻有|a·b|≤|a||b|，等號當且僅當a∥b時成立．平面向量數(shù)量積的運算典題導入[例1](1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝()A．6 B．5C．4 D．3(2)(2012·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝________.[自主解答](1)8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，所以(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝30.即18＋3x＝30，解得x＝4.(2)如圖所示，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋MC→＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)·(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)＝SKIPIF1<02－SKIPIF1<02＝|SKIPIF1<0|2－|SKIPIF1<0|2＝9－25＝－16.[答案](1)C(2)－16由題悟法平面向量數(shù)量積問題的類型及求法(1)已知向量a，b的模及夾角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cosθ求解；(2)已知向量a，b的坐標，利用數(shù)量積的坐標形式求解．以題試法1．(1)(2012·天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.設點P，Q滿足SKIPIF1<0＝λSKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝(1－λ)SKIPIF1<0，λ∈R.若SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝－2，則λ＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D．2解析：選B由題意可知SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝(1－λ)SKIPIF1<0－SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝λSKIPIF1<0－SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝0，故SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝－(1－λ)SKIPIF1<02－λSKIPIF1<02＝－2.又|SKIPIF1<0|＝1，|SKIPIF1<0|＝2，代入上式解得λ＝eq\f(2,3).(2)(2011·江西高考)已知兩個單位向量e1，e2的夾角為eq\f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________.解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq\o\al(2,1)－2e1·e2－8eeq\o\al(2,2).又因為e1，e2為單位向量，夾角為eq\f(π,3)，所以b1·b2＝3－2×eq\f(1,2)－8＝3－1－8＝－6.答案：－6兩平面向量的夾角與垂直典題導入[例2](1)(2012·福州質(zhì)檢)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為120°，a＋b＋c＝0，則a與c的夾角為()A．150° B．90°C．60° D．30°(2)(2011·新課標全國卷)已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________.[自主解答](1)∵a·b＝1×2×cos120°＝－1，c＝－a－b，∴a·c＝a·(－a－b)＝－a·a－a·b＝－1＋1＝0，∴a⊥c.∴a與c的夾角為90°.(2)∵a與b是不共線的單位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b與a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0.即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ為a與b的夾角)．∴(k－1)(1＋cosθ)＝0.又a與b不共線，∴cosθ≠－1.∴k＝1.[答案](1)B(2)1若本例(1)條件變?yōu)榉橇阆蛄縜，b，c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，試求a與b的夾角．解：設|a|＝m(m>0)，a，b的夾角為θ，由題設知(a＋b)2＝c2，即2m2＋2m2cosθ＝m2，得cosθ＝－eq\f(1,2).又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a，b的夾角為120°.由題悟法1．求兩非零向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角就是鈍角．2．當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系．以題試法2．(1)設向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，則a⊥(a－b)的一個充分不必要條件是()A．x＝0或2B．x＝2C．x＝1D．x＝±2(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，向量d如圖所示，則()A．存在λ>0，使得向量c與向量d垂直B．存在λ>0，使得向量c與向量d夾角為60°C．存在λ<0，使得向量c與向量d夾角為30°D．存在λ>0，使得向量c與向量d共線解析：(1)選Ba＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝(2x－2，－2)，故a⊥(a－b)?2(x－1)2－2＝0?x＝0或2，故x＝2是a⊥(a－b)的一個充分不必要條件．(2)選D由圖可知d＝4a＋3b＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(3,4)b))，故D正確；對于A，由圖知若向量c與向量d垂直，則有λ<0；對于B，若λ>0，則由圖觀察得向量c與向量d夾角小于60°；對于C，若λ<0，則向量c與向量d夾角大于30°.平面向量的模典題導入[例3]設向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝eq\r(3)，a·(a－b)＝0，則|2a＋b|＝()A．2 B．2eq\r(3)C．4 D．4eq\r(3)[自主解答]由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝eq\r(3)，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.故(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，故|2a＋b|＝2eq\r(3).[答案]B由題悟法利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)則|a|＝eq\r(x2＋y2).以題試法3．(2012·聊城質(zhì)檢)已知向量a＝(sinx,1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(1,2))).(1)當a⊥b時，求|a＋b|的值；(2)求函數(shù)f(x)＝a·(b－a)的最小正周期．解：(1)由已知得a·b＝0，|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(sin2x＋1＋cos2x＋\f(1,4))＝eq\f(3,2).(2)∵f(x)＝a·b－a2＝sinxcosx－eq\f(1,2)－sin2x－1＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1－cos2x,2)－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))－2，∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π.平面向量數(shù)量積的綜合應用典題導入[例4](2012·太原模擬)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－eq\r(3)sin2x)，b＝(cosx,1)(x∈R)．(1)求f(x)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f(A)＝－1，a＝eq\r(7)，SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝3，求邊長b和c的值(b>c)．[自主解答](1)由題意知，f(x)＝2cos2x－eq\r(3)sin2x＝1＋cos2x－eq\r(3)sin2x＝1＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴f(x)的最小正周期T＝π，∵y＝cosx在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上單調(diào)遞減，∴令2kπ≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋π，得kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3).∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))，k∈Z.(2)∵f(A)＝1＋2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,3)))＝－1，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,3)))＝－1.又eq\f(π,3)<2A＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，∴2A＋eq\f(π,3)＝π.∴A＝eq\f(π,3).∵SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝3，即bc＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5，又b>c，∴b＝3，c＝2.由題悟法向量與其它知識結(jié)合，題目新穎而精巧，既符合考查知識的“交匯處”的命題要求，又加強了對雙基覆蓋面的考查，特別是通過向量坐標表示的運算，利用解決平行、垂直、夾角和距離等問題的同時，把問題轉(zhuǎn)化為新的函數(shù)、三角或幾何問題．以題試法4．(1)(2012·朔州調(diào)研)質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為()A．2eq\r(7) B．2eq\r(5)C．2 D．6(2)若M為△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)·(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－2SKIPIF1<0)＝0，則△ABC為()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形解析：(1)選A由已知條件F1＋F2＋F3＝0，則F3＝－F1－F2，F(xiàn)eq\o\al(2,3)＝Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2|F1||F2|cos60°＝28.因此，|F3|＝2eq\r(7).(2)選B由(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)·(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0－2SKIPIF1<0)＝0，可知SKIPIF1<0·(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)＝0，設BC的中點為D，則SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝0.所以SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0.又D為BC的中點，故△ABC為等腰三角形1．(2012·豫東、豫北十校階段性測試)若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，則|a＋b|＝()A.eq\r(10) B.eq\f(\r(10),2)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)解析：選C依題意得，－(x＋1)－2×1＝0，得x＝－3，故a＋b＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a＋b|＝eq\r(－12＋12)＝eq\r(2).2．(2012·山西省考前適應性訓練)已知向量a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為()A.eq\r(13) B.eq\f(\r(13),5)C.eq\r(65) D.eq\f(\r(65),5)解析：選D依題意得，向量a在b方向上的投影為eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(2×－4＋3×7,\r(－42＋72))＝eq\f(\r(65),5).3．已知A，B，C為平面上不共線的三點，若向量SKIPIF1<0＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·SKIPIF1<0＝2，則n·SKIPIF1<0等于()A．－2 B．2C．0 D．2或－2解析：選Bn·SKIPIF1<0＝n·(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)＝n·SKIPIF1<0＋n·SKIPIF1<0＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.4．(2012·湖南高考)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝1，則BC＝()A.eq\r(3) B.eq\r(7)C．2eq\r(2) D.eq\r(23)解析：選A∵SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝1，且AB＝2，∴1＝|SKIPIF1<0||SKIPIF1<0|cos(π－B)，∴|SKIPIF1<0|cosB＝－eq\f(1,2).在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即9＝4＋BC2－2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).∴BC＝eq\r(3).5．已知非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝eq\f(2\r(3),3)|a|，則a＋b與a－b的夾角θ為()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：選B將|a＋b|＝|a－b|兩邊同時平方得a·b＝0；將|a－b|＝eq\f(2\r(3),3)|a|兩邊同時平方得b2＝eq\f(1,3)a2，所以cosθ＝eq\f(a＋b·a－b,|a＋b|·|a－b|)＝eq\f(a2－b2,\f(4,3)a2)＝eq\f(1,2).6．如圖，在△ABC中，AD⊥AB，SKIPIF1<0＝eq\r(3)SKIPIF1<0，|SKIPIF1<0|＝1，則SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝()A．2eq\r(3) B．3eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)解析：選D建系如圖．設B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，SKIPIF1<0＝(xC－xB，yC)，SKIPIF1<0＝(－xB,1)，∵SKIPIF1<0＝eq\r(3)SKIPIF1<0，∴xC－xB＝－eq\r(3)xB?xC＝(1－eq\r(3))·xB，yC＝eq\r(3)，SKIPIF1<0＝((1－eq\r(3))xB，eq\r(3))，SKIPIF1<0＝(0,1)，SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝eq\r(3).7．(2013·“江南十?！甭?lián)考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，則a與b的夾角是________．解析：設向量a，b的夾角為θ.由(a＋b)⊥a得(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b＝0，∵|a|＝2，∴a·b＝－4，∴|a|·|b|·cosθ＝－4，又|b|＝4，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，即θ＝eq\f(2π,3).∴向量a，b的夾角為eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)8．(2012·新課標全國卷)已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq\r(10)，則|b|＝________.解析：∵a，b的夾角為45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|·cos45°＝eq\f(\r(2),2)|b|，∴|2a－b|2＝4－4×eq\f(\r(2),2)|b|＋|b|2＝10.∴|b|＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)9．(2012·大連模擬)已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，則向量SKIPIF1<0的模為________．解析：∵a∥b，∴x＝4.∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4.∴向量SKIPIF1<0＝(－8,8)，∴|SKIPIF1<0|＝8eq\r(2).答案：8eq\r(2)10．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a與b的夾角是45°.(1)求b；(2)若c與b同向，且a與c－a垂直，求c.解：(1)∵a·b＝2n－2，|a|＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(n2＋4)，∴cos45°＝eq\f(2n－2,\r(5)·\r(n2＋4))＝eq\f(\r(2),2)，∴3n2－16n－12＝0(n>1)．∴n＝6或n＝－eq\f(2,3)(舍)．∴b＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.又∵c與b同向，故可設c＝λb(λ>0)．∵(c－a)·a＝0，∴λb·a－|a|2＝0.∴λ＝eq\f(|a|2,b·a)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).∴c＝eq\f(1,2)b＝(－1,3)．11．已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°.(1)計算：①|(zhì)a＋b|，②|4a－2b|；(2)當k為何值時，(a＋2b)⊥(ka－b)?解：由已知得，a·b＝4×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16.(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4eq\r(3).②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16eq\r(3).(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7時，a＋2b與ka－b垂直．12．設在平面上有兩個向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)求證：向量a＋b與a－b垂直；(2)當向量eq\r(3)a＋b與a－eq\r(3)b的模相等時，求α的大小．解：(1)證明：因為(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(3,4)))＝0，所以a＋b與a－b垂直．(2)由|eq\r(3)a＋b|＝|a－eq\r(3)b|，兩邊平方得3|a|2＋2eq\r(3)a·b＋|b|2＝|a|2－2eq\r(3)a·b＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋4eq\r(3)a·b＝0.而|a|＝|b|，所以a·b＝0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×cosα＋eq\f(\r(3),2)×sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，所以α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z.又0°≤α＜360°，則α＝30°或α＝210°.1．已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥bB．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b|D．a(chǎn)＋b＝a－b解析：選B因為|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.2．(2012·山東實驗中學四診)△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0，且|SKIPIF1<0|＝|SKIPIF1<0|，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向上的射影為() A.eq\f(3,2) B.eq\f(\r(3),2)C．3 D．－eq\f(\r(3),2)解析：選A由已知條件可以知道，△ABC的外接圓的圓心在線段BC的中點O處，因此△ABC是直角三角形，且∠A＝eq\f(π,2).又|SKIPIF1<0|＝|SKIPIF1<0|，所以∠C＝eq\f(π,3)，∠B＝eq\f(π,6)，AB＝eq\r(3)，AC＝1，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的射影|SKIPIF1<0|coseq\f(π,6)＝eq\f(3,2).3．已知SKIPIF1<0＝(6,1)，SKIPIF1<0＝(x，y)，SKIPIF1<0＝(－2，－3)．(1)若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，求x與y之間的關(guān)系式；(2)在(1)條件下，若SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，求x，y的值及四邊形ABCD的面積．解：(1)∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝(x＋4，y－2)，∴SKIPIF1<0＝－SKIPIF1<0＝(－x－4,2－y)．又∵SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0且SKIPIF1<0＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.①(2)由于SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝(x＋6，y＋1)，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝(x－2，y－3)，又SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②聯(lián)立①②化簡，得y2－2y－3＝0.解得y＝3或y＝－1.故當y＝3時，x＝－6，此時SKIPIF1<0＝(0,4)，SKIPIF1<0＝(－8,0)，所以SABCD＝eq\f(1,2)|SKIPIF1<0|·|SKIPIF1<0|＝16；當y＝－1時，x＝2，此時SKIPIF1<0＝(8,0)，SKIPIF1<0＝(0，－4)，∴SABCD＝eq\f(1,2)|SKIPIF1<0|·|SKIPIF1<0|＝16.1．△ABC中，AB邊的高為CD，若SKIPIF1<0＝a，SKIPIF1<0＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則SKIPIF1<0＝()A.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b B.eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)bC.eq\f(3,5)a－eq\f(3,5)b D.eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b解析：選D如圖，∵a·b＝0，∴a⊥b，∴∠ACB＝90°，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(5).又CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，∴AD＝eq\f(4\r(5),5).∴SKIPIF1<0＝eq\f(4,5)SKIPIF1<0＝eq\f(4,5)(a－b)＝eq\f(4,5)a－eq\f(4,5)b.2．(2012·鄭州質(zhì)檢)若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，則9x＋3y的最小值為()A．12 B．2eq\r(3)C．3eq\r(2) D．6解析：選D依題意得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2,9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x×3y)＝2eq\r(32x＋y)＝2eq\r(32)＝6，當且僅當2x＝y(tǒng)＝1時取等號，因此9x＋3y的最小值是6.3．(2012·山西省四校聯(lián)考)在△OAB(O為原點)中，SKIPIF1<0＝(2cosα，2sinα)，SKIPIF1<0＝(5c