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專題18導(dǎo)數(shù)恒成立與有解問(wèn)題
一、【知識(shí)梳理】
【方法技巧】
1.分離參數(shù)法解決恒(能)成立問(wèn)題的策略
(D分離變量.構(gòu)造函數(shù),直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.
(2)恒成立0432f(x)max;
aS廣(X)恒成立OaW廣(x)min;
a^f{x)能成立=己2廣(x)min;
aWF(X)能成立f{x)max.
2.根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,此類問(wèn)題關(guān)鍵是對(duì)
參數(shù)分類討論,在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值,并判斷是否滿足題意,若不滿足題意,只
需找一個(gè)值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.
3.含參不等式能成立問(wèn)題(有解問(wèn)題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題解決,常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化有:
⑴必3X2^N,/*(Xl)>g(X2)=F(X)min>g(x)min.
⑵XfXlGM,弋X2WN,/(^1)>^(^2)min><g(^)max.
(3月矛1£憶3X2GN,_f(xi)>g(E)Q_f(x)max>g(x)min.
⑷三荀£憶YXzRN,f(^1)>g(X2)max>^(A)max.
4.在解決不等式恒(能)成立,求參數(shù)的取值范圍這一類問(wèn)題時(shí),最常用的方法是分離參數(shù)法,
轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值,但在求最值時(shí)如果出現(xiàn)“也'型的代數(shù)式,就設(shè)法求其最值.“也'型
的代數(shù)式,是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問(wèn)題,解決此類問(wèn)題的有效方法就是利用洛必達(dá)法則.
洛必達(dá)法則
法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件
(1)lim_f(x)=O及l(fā)img(x)=0;
x--ax-*-a
⑵在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi),f(x)與g(x)可導(dǎo)且H(x)W0;
一
(3)lim/〉那么lim:;=lim,}=A.
Lag(A)x-ag^X)x-ag(㈤
法則2若函數(shù)Ax)和g(x)滿足下列條件
(1)lim/*(分=8及l(fā)img{x}=00.
x-axfa
⑵在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi),Ax)與g(x)可導(dǎo)且g,(x)N0;
/\f'(x)F”/f'(x)
(3)lim/)、=/,那么lim:/([A)=lini
x-ag(A)x-a雙切x-ag(切
二、【題型歸類】
【題型一】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍
【典例1]已知函數(shù)廣(x)=/+a^—x.
⑴當(dāng)d=l時(shí),討論Ax)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x20時(shí),求a的取值范圍.
【典例2]已知函數(shù)F(x)=l+lnx.
X
(1)若函數(shù)F(x)在區(qū)間(a,a+J上存在極值,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)如果當(dāng)時(shí),不等式F(x)—七》。恒成立,求實(shí)數(shù)次的取值范圍.
X十1
【典例3]已知函數(shù)f{x)=(才一2)/—?&^+乃才(@£1?).
(1)當(dāng)a=0時(shí),求曲線尸廣(x)在點(diǎn)(0,F(0))處的切線方程;
(2)當(dāng)x22時(shí),_f(x)20恒成立,求己的取值范圍.
【題型二】分類討論法求參數(shù)范圍
【典例1】已知函數(shù)/'(x)=lnx—ax,aGR.
(1)求函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間;
⑵若不等式/'(*)+@<0在xG(l,+8)上恒成立,求a的取值范圍.
【典例2】已知函數(shù)/1(x)=(x+a—l)e*,g{x)+ax,其中a為常數(shù).
⑴當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,丹0))處的切線方程;
(2)若對(duì)任意的xd[0,+8),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【典例3】已知函數(shù)f(x)=ae*T—lnx+lna.
(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線尸/"(x)在點(diǎn)(1,/1(I))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
(2)若/求a的取值范圍.
【題型三】等價(jià)轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍
【典例1】已知函數(shù)=e,T—ax+lnx(adR).
⑴若函數(shù)/"(x)在x=l處的切線與直線3x~y=0平行,求a的值;
(2)若不等式/1(x)\lnx—a+1對(duì)一切xG[1,+8)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【典例2】已知函數(shù)『(x)=—a_/+lnx(aGR).
⑴討論f(x)的單調(diào)性;
⑵若存在XG(1,+8),fg-a,求a的取值范圍.
【典例3】已知函數(shù)f(x)—(a+2)x+alnx.
⑴當(dāng)a〉2時(shí),求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在xG[l,+8),使f(x)〈a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【題型四】雙變量的恒(能)成立問(wèn)題
【典例1】設(shè)/'(x)=:+xlnx,g{x)=x—x—Z.
(1)如果存在荀,x2e[0,2],使得g(xj-g(就》〃成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)助
⑵如果對(duì)于任意的s,te1,2,都有f(s)》g(t)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【典例2】已知函數(shù)/U)=公二曰(xdR),a為正實(shí)數(shù).
e
⑴求函數(shù)廣(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若\/荀,^2e[0,4],不等式|F(M—廣(加|<1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【典例3】設(shè)f{x)=xex,g(x)=^x+x.
⑴令尸(x)=f(x)+g(x),求尸(x)的最小值;
⑵若任意xi,^2—L+8),且矛1>如有力"(xi)—f(x2)]>g(xj—gG)恒成立,求實(shí)
數(shù)力的取值范圍.
【題型五】洛必達(dá)法則
【典例1】已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+l).若對(duì)任意x〉0都有F(x)>ax成立,求實(shí)數(shù)a
的取值范圍.
【典例2】已知函數(shù)f(x)=x(e“-1)-ax(aeR).
(1)若f(x)在x=-1處有極值,求a的值.
(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)》O,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】已知x=*3為函數(shù)f(x)=x"lnx的極值點(diǎn).
(1)求a的值;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)二,若對(duì)VxP(O'+8),皿GR,使得廣⑸-久加川,求發(fā)的取值范
圍.
【訓(xùn)練二】已知函數(shù)f(x)=e"一工
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,H0))處切線的斜率為1,求『(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式/1(x)》e"lnx—ax"對(duì)xG(0,e]恒成立,求a的取值范圍.
1——O
【訓(xùn)練三】設(shè)函數(shù)F(x)=—LV+ax—lnx(a£R).
⑴當(dāng)a=l時(shí),求函數(shù)Ax)的極值;
(2)若對(duì)任意(4,5)及任意為,[1,2],恒有‘/力+ln2>|f(若—f(xj|成立,求實(shí)
數(shù)R的取值范圍.
1p
【訓(xùn)練四】設(shè)函數(shù)F(x)=-一-7,g(x)=a(x?—D—Inx(aGR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
xe
(1)證明:當(dāng)x〉l時(shí),廣(入)>0;
⑵討論g(x)的單調(diào)性;
(3)若不等式_f(x)〈g(x)對(duì)(1,+8)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【訓(xùn)練五】f{x)=xe",g(x)=^x+x.
(1)令尸(x)=f(x)+g(x),求尸(x)的最小值;
⑵若任意X1,苞£[-1,+8),且荀>如有力"(X1)—F(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立,求實(shí)
數(shù)力的取值范圍.
【訓(xùn)練六】F(x)=xe",g(x)+x.
⑴令b(x)=f(x)+g(x),求F{x}的最小值;
(2)若任意xi,—+°°),且為〉xz,有血f(xi)—f(x2)]>g(xi)一雇范)恒成立,求實(shí)
數(shù)0的取值范圍.
四、【強(qiáng)化測(cè)試】
【解答題】
1,已知函數(shù)/1(x)=(x+l)ln(x+l).若對(duì)任意x>0都有f(x)>ax成立,求實(shí)數(shù)a的取值
范圍.
2.設(shè)函數(shù)_f(x)xlnx—(2a—l)x+a—l(a£R).若對(duì)任意的[1,+°°),F(x)20
恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
3.已知aER,f(x)=alnx+x—4x,g(x)=(a—2)x,若存在照£e,使得f(x。Wg(Ab)
成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
4.已知函數(shù)廣(x)=萬(wàn)一E+l)x+血nx+如f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).
⑴討論Ax)的單調(diào)性;
(2)若xf(x)—f(x)》O恒成立,求加的取值范圍.
5.已知函數(shù)/'(x)=x(底"一1).
(1)當(dāng)0=1時(shí),求函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(l))處的切線方程;
(2)當(dāng)x〉0時(shí),Z(jr)^x-2x,求實(shí)數(shù)勿的取值范圍.
6.設(shè)函數(shù)/1(x)=x°—(a+2)x+alnx(aeR).
(1)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)21恒成立,求a的取值范圍.
7.設(shè)函數(shù)_f(x)=lnx+-(a為常數(shù)).
x
(1)討論函數(shù)/'(x)的單調(diào)性;
(2)不等式f(x)21在xd(0,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
8.已知函數(shù)F(x)=xlnx(x〉0).
(1)求函數(shù)『(x)的極值;
(2)若存在xe(0,+8),使得f(x)W?成立,求實(shí)數(shù)0的最小值.
2
9.已知函數(shù)_f(x)=£+(a+l)x—Inx,g{x)=x+x+2a+l.
⑴若F(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
⑵當(dāng)x£[l,e]時(shí),『(><g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
10.已知函數(shù)F(x)=lnx,g(x)=x—1.
(1)求函數(shù)y=f^的圖象在x=l處的切線方程;
⑵若不等式Ax)Wag(x)對(duì)任意的x£(l,+8)均成立,求實(shí)數(shù)乃的取值范圍.
Inx
11.已知函數(shù)廣(x)=ax—e”(a£R),g(x)=--.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)3^e(0,+8),使不等式f(x)Wg(x)—e'成立,求a的取值范圍.
12.設(shè)函數(shù)F(x)=lnx—ax(a〉O).
(1)判斷/"(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)f(x)〈O在(0,+8)
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