大聯(lián)考2023屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2022~2023學(xué)年度高三年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回．4．本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別解二次不等式和對(duì)數(shù)不等式，求得集合，進(jìn)而利用交集的定義求得.【詳解】A，則.故選：B2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，結(jié)合i的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算求得復(fù)數(shù)，可得答案.【詳解】由可得，則復(fù)數(shù)的虛部是1,故選;D3.已知函數(shù)，則其圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)值的變化情況分析判斷.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除AC，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以排除D，故選：B4.已知角終邊所在直線的斜率為，則（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再根據(jù)二次齊次式化簡(jiǎn)代入即可求解.【詳解】由三角函數(shù)定義得，所以．故選：D5.在三棱錐中，，且，，則該三棱錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，，求出為等邊三角形，，由余弦定理得到，從而由勾股定理逆定理得到，，結(jié)合三角形面積公式得到，，作出輔助線，得到，從而求出該三棱錐的表面積.【詳解】因?yàn)?，，，所以為等邊三角形，，在中，利用余弦定理得：，解得：，同理可得：，因?yàn)椋晒垂啥ɡ砟娑ɡ砜傻?，，所以，，取的中點(diǎn)，連接，則，因，所以，由勾股定理得：，故，所以四棱錐的表面積.故選：A6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的單調(diào)性可得，解不等式可求得；根據(jù)和所處的范圍，可知和關(guān)于對(duì)稱，由此可解得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，解得：，即，，，則由得：，解得：故選：C.7.已知橢圓C：的離心率為，直線l：交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在橢圓C上（與點(diǎn)A，B不重合）．若直線AD，BD的斜率分別為，，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨假設(shè)，，則可求，將B，D代入橢圓，然后兩式進(jìn)行相減可得，整理出，代入之后再結(jié)合基本不等式即可求出答案【詳解】解：設(shè)，，則．∵點(diǎn)B，D都在橢圓C上，∴兩式相減，得．∴，即．∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”．故選：B．8.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)與變形，，，進(jìn)而構(gòu)造與，利用導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，從而得到，，得到結(jié)果.【詳解】易知，，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，故，所以設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，所以，即，所以，綜上，.故選：B【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題中對(duì)與變形，均用含的式子來(lái)進(jìn)行表達(dá)，從而達(dá)到構(gòu)造出適當(dāng)函數(shù)的目的.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在長(zhǎng)方體中，已知，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.異面直線與所成的角為C.二面角的余弦值為D.四面體的體積為【答案】ACD【解析】【分析】證明平面即可判斷A；根據(jù)，與不垂直判斷B；由為二面角的平面角計(jì)算判斷C；利用長(zhǎng)方體的體積減去4個(gè)三棱錐的體積即可得答案.【詳解】解：因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，，所以，四邊形為正方形，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；由長(zhǎng)方體的性質(zhì)易知，因?yàn)?，所以與不垂直，故與不垂直，所以B不正確；設(shè)與交于，連接，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知，故為等腰三角形，所以，由于，所以為二面角的平面角，在中，，所以，所以，故C正確：四面體的體積為，所以D正確，故選：ACD．10.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為，其中，點(diǎn)P為圓C的圓心，則下列說(shuō)法正確的是（）A.原點(diǎn)O在圓C上B.直線與圓C有公共點(diǎn)C.圓C與圓相內(nèi)切D.直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若，則，【答案】ABC【解析】【分析】圓C是動(dòng)圓，半徑為2，其圓心在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓周上，根據(jù)以上性質(zhì)，再根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)的幾何意義，不難判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于A，由的坐標(biāo)滿足圓C的方程，故A正確；對(duì)于B，由原點(diǎn)O既在圓C上，也在直線上，可得直線與圓C有公共點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由，可知圓C與圓相內(nèi)切，故C正確；對(duì)于D，若，則三角形ABP為等腰直角三角形，可得圓P到直線的距離為，有，有，聯(lián)立方程，解得或，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為偶數(shù)”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.事件A和事件B互為對(duì)立事件C. D.事件A和事件B相互獨(dú)立【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的定義以及條件概率對(duì)有關(guān)選項(xiàng)作相應(yīng)的分析和計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件B第一次向下的數(shù)字為偶數(shù)，第二次向下的數(shù)字為奇數(shù)，就可以使得兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)，可知事件A和事件B不是對(duì)立事件，可得B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，可得，可得C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得，可知事件A和事件B相互獨(dú)立，可得D正確；故選：CD.12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.對(duì)于數(shù)列及數(shù)列，若，下列說(shuō)法正確的是（）A.存在數(shù)列，使得與都為等比數(shù)列B.存在數(shù)列，使得與都為等差數(shù)列C.存在數(shù)列，使得為等比數(shù)列，且為等差數(shù)列D.存在數(shù)列，使得等差數(shù)列，且為等比數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】利用奇偶性得到，然后利用等差等比數(shù)列的定義和特殊值的思路判斷即可.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，令，則，，又為奇函數(shù)，所以，所以，若為等比數(shù)列，由，可知公比，設(shè)，則，所以不為定值，且為定值，設(shè)，則，所以也不為定值，即A錯(cuò)誤，C正確；若為等差數(shù)列，由，可知公差，所以可取，即，此時(shí)令，則，解得，此時(shí)，，，滿足為等差數(shù)列，即B正確；令，則，解得，此時(shí)，，，，滿足為等比數(shù)列，即D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得的值，即可得向量，從而可求.【詳解】解：由，得，解得，則，可得.故答案為：.14.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以隨機(jī)變量所對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?，所以，所以，故答案為?5.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），則______．【答案】【解析】【分析】求出直線AB的方程及點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，再利用拋物線定義計(jì)算作答.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為：，直線AB的方程為：，由消去y并整理得：，解得，，依題意，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，由拋物線定義得：.故答案為：16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，均有．當(dāng)時(shí)，．若的值域?yàn)?，則的取值范圍為_(kāi)_____．（可參考的不等式結(jié)論：恒成立）【答案】【解析】【分析】要使的值域?yàn)?，只要時(shí)，在上有解且恒成立即可．【詳解】，，，易知當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)顯然的值域不為，不符題意，又，所以不等式在內(nèi)有解，且恒成立，即在內(nèi)有解，且恒成立，設(shè)，則，綜上，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，設(shè)，則，易知，即，綜上．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是理解在上值域是連續(xù)的且趨于無(wú)窮大，只需要在上存在函數(shù)值且恒成立即可，接下來(lái)只要分參即可求得．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）若，求；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式可得，即得A，從而求得答案;（2）由余弦定理結(jié)合可推得，利用向量表示出，結(jié)合可求得，利用三角形面積公式即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由根據(jù)正弦定理得：，即，故，，，因?yàn)?，所以，所以，且，所以，故若，則；【小問(wèn)2詳解】在中，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，即，解得（舍去?因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，所以的面積.18.如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是菱形，是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，先證平面，得，再由，得，即可得到平面（2）連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出面，面的法向量，求得法向量的余弦值，即可得二面角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，平面，所?因?yàn)?，即，所?又，平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平?設(shè)，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量是，則，取，可得.設(shè)平面的法向量是，則，取，可得所以，因此，二面角的正弦值是.19.通過(guò)核酸檢測(cè)可以初步判定被檢測(cè)者是否感染新冠病毒，檢測(cè)方式分為單檢和混檢，單檢是將一個(gè)人的采集拭子放入一個(gè)采樣管中單獨(dú)檢測(cè)：混檢是將多個(gè)人的采集拭子放入一個(gè)采樣管中合為一個(gè)樣本進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，再對(duì)這多個(gè)人重新采集單管拭子，逐一進(jìn)行檢測(cè)，以確定當(dāng)中的陽(yáng)性樣本．混檢按一個(gè)采樣管中放入的采集拭子個(gè)數(shù)可具體分為“3合1”混檢，“5合1”混檢，“10合1”混檢等．調(diào)查研究顯示，在群體總陽(yáng)性率較低（低于0.1%）時(shí)，混檢能較大幅度地提高檢測(cè)效力、降低檢測(cè)成本．根據(jù)流行病學(xué)調(diào)查結(jié)果顯示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率為．若對(duì)該城市全體居民進(jìn)行一輪核酸檢測(cè)，記每一組n位居民采用“n合1”（）混檢方式共需檢測(cè)X次．（1）求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知當(dāng)時(shí)，．若，采用“n合1”混檢時(shí)，請(qǐng)估計(jì)當(dāng)n為何值時(shí)，這一輪核酸檢測(cè)中每位居民檢測(cè)的次數(shù)最少？【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題干條件分情況和求概率,寫出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可;(2)由(1)的數(shù)學(xué)期望得出每位居民檢測(cè)的次數(shù),再應(yīng)用基本不等式求出核酸檢測(cè)中每位居民檢測(cè)的最少次數(shù),取等條件可求n.【小問(wèn)1詳解】X的取值為1和，，，隨機(jī)變量X的分布列為：X1P可得；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知每位居民檢測(cè)的次數(shù)約為，又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故當(dāng)時(shí)，采用“100合1”，這一輪核酸檢測(cè)中每位居民檢測(cè)的次數(shù)最少．20.在數(shù)列，中，已知，，且，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用，得到，得到是以8為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，先求出，，再根據(jù)條件得到是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2，從而求出，利用分組求和和等比數(shù)列求和公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】證明：由題意可知，，則，且，所以數(shù)列是以8為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，所以，所以，又，所以，又，即是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2，所以，即，所以，即.21.已知函數(shù)，其中為非零實(shí)數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，得，分、、三種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)并確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)由題意可得，則有，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，只需故即可.【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，①當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)遞增；②當(dāng)即時(shí)，令，得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，，舍去.則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，由（1）知當(dāng)時(shí)，，所以且，，因?yàn)?，所以，所以，，要證，，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，故，即.22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，試判斷是否存在直線l，使得A，B，M，N四點(diǎn)共圓.若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）不存在直線符合題意，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)，則由，可得，，再結(jié)合，消去，即可得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）判斷直線l的斜率存在，設(shè)l：，設(shè)，，將直線方程代入曲線C的方程，化簡(jiǎn)后利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用弦長(zhǎng)公式表示出，表示出線段MN的中垂線方程，求出其與與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，而AB的中垂線為x軸，所以若A，B，M，N共圓