山西省大同市八年級期中考試2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

山西省大同市八年級期中考試2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期

中數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若七I在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍是（)

A.x<5B.x<5C.x>5D.x25

2.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

1

A.——20B.—V2TC.D-正

3.在平面直角坐標系中，點尸（3,-4）到原點的距離是（)

A.3B.4C.5D.±5

4.下列計算正確的是（）

A.-^7=3B.（百『=±3C.7（^7=±3D.—(省『二—3

5.如圖，在矩形/BCD中，對角線NC,5。相交于點。.若乙4。。=120。，AB=4,則

的長是（）

6.如圖，小紅家的木門左下角有一點受潮，她想檢測門是否變形，準備采用如下方法：先

測量門的邊和3C的長，再測量點/和點C間的距離，由此可推斷是否為直角，這

A.勾股定理B.勾股定理的逆定理

試卷第1頁，共6頁

C.三角形內(nèi)角和定理D.直角三角形的兩銳角互余

7.如圖，在平面直角坐標系中，Y/BCD的三個頂點4C,。的坐標分別為（-1,2）,（2,-1）,

（3,2）,則頂點2的坐標為（）

8.如圖，菱形ABCD的對角線/C,BD相交于點O,AH，CD于點H,連接0H,若OB=12,

菱形/BCD的面積為120,則。〃的長為（）

A.3B.4C.5D.6

9.如圖是由邊長均為1的小正方形組成的網(wǎng)格，小正方形的頂點叫做格點，AA8C的三個

頂點A,B,C均在格點上.若ADL/C,垂足為點。，則8。的長為（）

.7舊口85門9而c10V13

A.----D.----------V/.-------D?-----

13131313

10.如圖，在。8c中，分別以48,8c為邊向外作正方形/8E尸和正方形3CDG,連接4E,

AC,且E,A,C三點恰好在一條直線上，若/C=3,AG=5,則BC的長為（）

試卷第2頁，共6頁

C.5D.V17

二、填空題

II■計算：V27-\/12=_-

12.如圖，在Y4BC。中，點E,尸在對角線/C上，添加一個適當?shù)臈l件，使四邊形3瓦加

是平行四邊形，這個條件可以是.（填一個條件即可，不添加任何輔助線）

13.已知x=E+l,y=V5-l,貝UX2+2中+/的值為

14.《九章算術(shù)》是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一，其中有這樣一道題目：“今有立木，系

索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何譯文為：如圖，一豎立著

的木柱48,在木柱的上端點Z處系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部

分尚有3尺，牽引繩索沿地面退行，在離木柱根部8尺的點C處，繩索用盡.問繩索的長

為多少.設(shè)繩索NC的長為x尺，根據(jù)題意可列方程為.

15.如圖，ABLCD,點、E,尸分別是邊3c的中點，連接跖，若48=8,CD=6,

則跖的長是.

試卷第3頁，共6頁

B

三、解答題

16.計算：

(1)748^V2-^1xVi2+V54；

17.如圖，一艘輪船位于燈塔尸的北偏東60。方向，與燈塔尸的距離為30海里的A處，輪船

沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔尸的南偏東30。方向上的B處，求此時輪船所在

位置B處與燈塔P之間的距離.

北

18.座鐘的擺針擺動一個來回所需的時間稱為一個周期，其計算公式為7=2兀《，其中7表

示周期（單位：s）,/表示擺針的擺長（單位：m）,g?9.8m/s,若一臺座鐘的擺針的擺

長為0.49m.

（1）求該座鐘擺針擺動的周期；（結(jié)果保留根號和兀）

（2）若該座鐘的擺針每擺動一個來回發(fā)出一次滴答聲，在Imin內(nèi)，該座鐘至少發(fā)出多少次滴

答聲？（參考數(shù)據(jù)：小224,"3）

19.如圖，在四邊形4E7站中，點3、C分別在NE、。尸的延長線上，連接8c分別與反、

相交于點G、H,AB=DC,4B=NC,BH=CG,求證：四邊形NED廠是平行四邊

試卷第4頁，共6頁

形.

AFB

20.如圖，在AA8C中，ZABC=ZC,5C=10cm,ADIBC,垂足為點。，點￡是邊NC

上一點，連接3E,若CE=6cm,BE=8cm,求/E的長.

21.如圖，在四邊形48CD中，對角線/C,3。相交于點O,AB//CD,AB=AD,AC

平分/B4D.

(1)求證：四邊形/BCD是菱形.

(2)過點C作CE1AB交4B的延長線于點E,連接OE交BC于彘F,若ZACB=20°，求/CFE

的度數(shù).

22.閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù).

阿波羅尼奧斯定理

阿波羅尼奧斯(約公元前262—190年)，古希臘數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德合稱為古希

臘亞歷山大前期的三大數(shù)學(xué)家.阿波羅尼奧斯定理又稱中線定理，其內(nèi)容為三角形兩邊的平

方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍.

如圖，在力8C中，點。為BC的中點，根據(jù)阿波羅尼奧斯定理，可得

AB2+AC2=2(AD2+BD2).

試卷第5頁，共6頁

A

下面是該定理的部分證明過程：

證明：如圖，過點N作/E_L3C于點￡.

在歷中，由勾股定理，^AB2=AE2+BE2.

同理可得/C?=/爐+以2,AD2=AE2+DE2-

:點。為8c的中點，：.BD=CD.

AB2+AC2=AE2+BE1+AE2+CE~=...

任務(wù)：

(1)按照上面的思路，將該定理剩余的證明過程補充完整；

(2)請利用阿波羅尼奧斯定理解決下面的問題：如圖，已知點尸為矩形/BCD內(nèi)任意一點,

求證：PA2+PC2=PB2+PD2.

23.綜合與探究：

在矩形N3CD中，AB=3,ND=4,點￡,尸分別在邊。，3c上，將ACEF沿直線E尸折

疊，點C的對應(yīng)點為點G.

圖1圖3

⑴如圖1,當點尸與點3重合，點G落在上時，求/G的長；

(2)如圖2,當點E是。。的中點，且N8尸G=90。時，連接8G,求BG的長；

7

(3)如圖3,當C￡=z，點G恰好落在BE上時，延長FG交ND于點直接寫出NH的長.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案.

【詳解】解：?.?57在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

??.5—x20,

x<5,

故選：B.

【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的

關(guān)鍵.

2.B

【分析】本題主要考查了最簡二次根式的概念，解題的關(guān)鍵是掌握（1）被開方數(shù)不含分母;

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

【詳解】解：A.-亞=-26，則-而不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

B.-萬是最簡二次根式，故該選項符合題意；

c..=則《不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

D.￡=￥，則七不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；

故選：B.

3.C

【分析】利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：由勾股定理得，點尸（3,-4）到原點的距離是斤彳=5，

故選C.

【點睛】本題主要考查了用勾股定理求平面直角坐標系中的點到原點的距離，注意橫坐標的

絕對值就是點到y(tǒng)軸的距離，縱坐標的絕對值就是點到x軸的距離.

4.D

【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練運用二次根式的性質(zhì)進行化簡是解決本題的關(guān)

鍵.根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡判斷即可.

【詳解】解：A、一，^=一3,計算錯誤，不符合題意；

答案第1頁，共13頁

B、（省『=3,計算錯誤，不符合題意；

C、幾了=3,計算錯誤，不符合題意；

D、一（百『=_3,計算正確，符合題意；

故選：D.

5.C

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，矩形中對角線相等且互相平分，則其分成的四條線段

都相等.依據(jù)矩形的性質(zhì)可知△CO。是等邊三角形，所以O(shè)D=CD=4.

【詳解】解：；在矩形ABCD中，

AO=BO=CO=DO,CD=AB=4,

???ZAOD=UQ°,

ZCOD=60°.

△C。。是等邊三角形.

OD=CD=4,

故選：c.

6.B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，MAB2+BC2=AC2,則可判斷A/BC是直角三角形，

由此可推斷N8是否為直角.

【詳解】解：先測量門的邊48和8C的長，再測量點/和點C間的距離，用勾股定理的逆

定理判斷：若滿足Nl+BCZu/C,,則可判斷AZBC是直角三角形，即為直角；若

AB2+BC2^AC2,則不是直角.

故選B.

【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，根據(jù)四邊形/BCD是平行四邊形

和點的坐標，可得/D=8C=4,進而可以解決問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的

性質(zhì).

【詳解】解：：四邊形438是平行四邊形，

；.AD=BC,AB=CD,

答案第2頁，共13頁

VA,C,。的坐標分別為（-1,2）,（2,-1）,（3,2）,

/D=8C=l+3=4,

???3點的坐標是：（-2,-1）,

故選：D.

8.C

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)可得出CM=0C,

80=208=2x12=24,根據(jù)菱形得面積可得出/C=10,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得

出O〃=g/C=5.

【詳解】解：：四邊形/BCD是菱形，

Z.OA=OC,30=208=2x12=24.

…?=*"=120，

：.-x24AC=120,

2

.\AC=10.

AHLCD,

：.ZAHC=90°.

：.OH=-AC=5.

2

故選：C.

9.A

【分析】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積的求法，正確利用等面積法求出的AD長

是解題關(guān)鍵.利用勾股定理得出ZC的長，再利用等面積法得出助的長.

1117

【詳解】由題意，^/\ABC=3X3——xlx2——xlx3——x2x3=—,

由勾股定理，得也2+32=9，

?：S^ABC=^AC-BD,

i7

:.-x^?BD=一.

22

故選：A.

答案第3頁，共13頁

10.D

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握是解題

的關(guān)鍵.

證明△E3C四△N3G,得到￡C=/G,求得/E的長，再利用勾股定理即可求解.

【詳解】如圖，過點B作的7,他于點則//H3=90。.

四邊形ABEF和四邊形BCDG都是正方形,

EB=AB,BC=BG,ZABE=ZCBG=90°.

NABE+/ABC=ZCBG+ZABC,即NEBC=NABG.

:.AEBC公AABG(SAS),

EC=AG=5,

：.AE=EC-AC=5-3=2,

,/EB=AB,BH1AE,

：.EH=-AE=1,BH=-AE=1,

22

CH=EC-EH=4.

在mABCH中，由勾股定理，得BC=slBH2+CH2=Vl2+42=歷■

故選D.

11.V3

【分析】先將二次根式化簡，然后合并同類二次根式即可.

【詳解】原式=3百-2百

=6-

故答案為百.

【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，解答本題得關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類二

次根式的合并.

12.答案不唯一，如4E=C尸或AF=CE

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.即①

答案第4頁，共13頁

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，

⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

連接8。交/C于點O,由平行四邊形的性質(zhì)可得到。2=0。，要證明四邊形班7方為平行

四邊形，只需要OE=O尸即可，故添加的條件只要能證明OE=O尸即可.

【詳解】

如圖，連接5。交/C于點。，

四邊形48a)為平行四邊形，

OB=OD,OA=OC,若4E=CF,貝1|有/O-/E=CO-CF,即OE=O/，

四邊形BEDF為平行四邊形.

故答案為：/￡=3(答案不唯一).

13.20

【分析】根據(jù)完全平方公式求解即可.

【詳解】解：x=V^+l,y=V5-1,則苫+>=20，

x2+2xy+y2=(x+y)-=(2正)=20,

故答案為：20.

【點睛】此題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式.

14.x2=(X-3)2+82

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理，得到：AC2=AB2+BC2,據(jù)此列出方程

即可.

【詳解】解：設(shè)繩索/C的長為x尺，則：N8的長為(X-3)尺，

由勾股定理，得：AC2=AB2+BC2,

：.X2=(X-3)2+82；

故答案為：X2=(X-3)2+82.

答案第5頁，共13頁

15.5

【分析】本題考查了中位線的性質(zhì)，勾股定理，連接80,取BD的中點G,連接GE,GF.得

出￡G是的中位線.然后求得EG,尸G,根據(jù)題意得出NEGF=90。，進而勾股定理，

即可求解.

EG是的中位線.

/.EG//AB，EG=—AB=—x8=4,

22

同理，F(xiàn)G//CD,FG=-CD=-x6=3.

22

又ABLCD,

：.AB1FG.

：.EGLFG.

：.NEGF=90°.

在RtA￡FG中,由勾股定理，得EF=7EG2+FG2=>/42+32=5.

故答案為：5.

16.(1)476:

(2)12-4G

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

(1)先計算二次根式乘除法，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，最后計算加減法即可;

(2)先根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開，再計算加減法即可.

［詳解］(1)解：V48-V2-

答案第6頁，共13頁

=V24-V6+3A/6

=26-癡+34

=476;

(2)解：(1-2時-(2-迎2+4)

=1-473+12-22-(V3)2]

=13-4A/3-1

=12-473

17.30省海里

【分析】根據(jù)題意得出：48=30。，N尸=30海里，/4PB=90°,再利用勾股定理得出8P的

長，即可求出答案.

【詳解】解：由題意可得：48=30。，4P=30海里，ZAPB=90°,

：.AB=2AP=60(海里)，

BP=」AB°-AP?=V602-302=30。海里，

.??此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為30石海里.

【點睛】此題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確應(yīng)用

勾股定理是解題關(guān)鍵.

18.(1)該座鐘擺針擺動的周期為呼s；

(2)在Imin內(nèi)，該座鐘至少發(fā)出44次滴答聲.

【分析】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，計算出鐘擺的周期是解決本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)公式計算即可；

(2)利用時間除周期得到滴答次數(shù).

【詳解】(1)解：將/=0.49,g、9.8代入7=2%后

答案第7頁，共13頁

答：該座鐘擺針擺動的周期為叵s;

5

(2)1min=60s.

島6075。

60+---=-----?44.8?

571

或60+互?60-1.344?44.6.

5

答：在Imin內(nèi)，該座鐘至少發(fā)出44次滴答聲.

19.見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)，掌握兩組對邊分別平行的四邊

形是平行四邊形是解題關(guān)鍵.根據(jù)題意得出48〃OC嗎，，再證A/3G均。CH(SAS),從而

推出/尸〃DE,即可證明四邊形/EDF是平行四邊形.

【詳解】證明：???/BuNC,

ABHDC.

'：BH=CG,

：.BH+GH=CG+GH,§PBG=CH.

在AZ6G與ADCW中，

AB=DC

<ZB=ZC,

BG=CH

(SAS).

ZAGB=ZDHC.

：.AF//DE.

又ABIIDC,

四邊形NED尸是平行四邊形.

7

20.ZE的長為

【分析】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理.根據(jù)勾股定理得逆定理得出是直角三角形,

且NBEC=90。，進而得到乙4屈8=90。，由N4BC=NC可得48=ZC,設(shè)NE=x,貝！|

AB=AC=AE+CE=x+6,在RtZk4B￡■中，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：；。爐+8￡2=62+82=10(),3c2=l()2=ioo,

答案第8頁，共13頁

???CE-+BE2=BC2.

，A_8C￡是直角三角形，且NBEC=90。.

ZAEB=180°-ZBEC=90°.

ZABC=ZC,

AAB=AC.

設(shè)/E=尤，貝U/2=NC=/E+CE=x+6.

在RtZUBE中，由勾股定理，得4E?+BE?=4B?，

即x2+82=(x+6)2,

7

解得x=g,

7

NE的長為

21.⑴見解析;

(2)60°.

【分析】(1)由4c平分NBHD,得NACD=NC4D,ND=CD,結(jié)合=4D,

得AB=CD,又AB"CD,四邊形是平行四邊形，又AB=AD,即可求證，

(2)由/BCD是菱形，得04=L/C,AB=BC,/BAC=/ACB=2(f,根據(jù)直角三角形

2

斜邊中線等于斜邊一半，^OE=-AC,OA=OE,ZOEA=ZBAC=20°,

2

ZCOE=ZOEA+ABAC=4cp,ZCFE=ZCOE+ZACB=60°,

本題考查了，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角

形斜邊中線等于斜邊一半，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理.

【詳解】(1)W：'：AB//CD,

ABAC=ZACD,

平分/B/D,

ABAC=ACAD,

：.ZACD=ACAD,

：.AD=CD,

"：AB=AD,

：.ABCD,

答案第9頁，共13頁

又48〃CD,

四邊形/BCD是平行四邊形，

又AB=AD,

.??四邊形/BCD是菱形，

(2)解：由(1)可知四邊形/BCD是菱形，

AOA=-AC,AB=BC,

2

ABAC=ZACB=20°,

CE1AB,

ZAEC=90°,

OE=-AC,

2

OA=OE,

：.ZOEA=ZBAC=20°,

/.NCOE=ZOEA+ABAC=40c,

NCFE=ZCOE+ZACB=60°,

故答案為：60°.

22.⑴見詳解

(2)見詳解

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，以及矩形的性質(zhì).

(1)用線段的和差關(guān)系以及等量代換即可證明.

(2)連接NC,8。相交于點。，連接。尸，由矩形的性質(zhì)可得出NC=3D,OA=-AC,

2

OB=；BD,進而可得出根據(jù)阿波羅尼奧斯定理，^PA2+PC2=2(OA2+OP2),

2222

PB+PD=2(OB+OP).則可證明尸d+pC2=pB2+pD2.

【詳解】(1)解：2AE2+(BD+DE)2+(CD-DE)2

=2AE2+(BD+DE)2+(BD-DE)2

=2AE、2BD、2DE2

=2AD2+2BD2

答案第10頁，共13頁

=2（JD2+SD2）.

（2）如圖，連接/C,8D相交于點。，連接OP.

8^—

?.?四邊形/BCD是矩形，

:.AC=BD,OA=-AC,OB=-BD.

22

/.OA=OB.

根據(jù)阿波羅尼奧斯定理，^PA2+PC2=2（OA2+OP2）,PB-+PD2=2（OB2+OP2y

PA2+PC2=PB2+PD2.

23.⑴而；

⑵用

2

o

（3）/〃的長為

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得8C=/D=4,乙4=90。，由折疊的性質(zhì)，得BG=BC=4,

在Rt^NBG中，根據(jù)勾股定理即可求解；

（2）由矩形的性質(zhì)可得CD=48=3,BC=AD=4,ZC=90°,由點E是CD的中點，可

335

nCE=~,結(jié)合折疊的性質(zhì)可推出CEG尸是正方形，得到CF=GF=CE=x，推出8尸=二，

222

在Rt^BFG中，根據(jù)勾股定理即可求解；

11?5

（3）連接AW,EH,根據(jù)題意可求出?！?L，在RMBCE中，由勾股定理得到8E=二，

66

7

由折疊的性質(zhì)，得GE=CE=—,//GE=/C=90。，推出G8=3,ABGH=ZFGE=90°,

6

進而得到46=GB,可證明RtA48/7多RtAGBff（HL）,得至=設(shè)AH=GH=x,則

DH=4-x,根據(jù)勾股定理列出方程即可求解.

【詳解】（1）解：?.?四邊形N3CD是矩形，

BC=AD=4,ZA=90°,

由折疊的性質(zhì)，得3G