2025年中考數(shù)學專題09 逆等線最值專題（解析版）

逆等線最值模型大招逆等線最值模型大招模型介紹模型介紹兩線段和的最值問題,大家首先想到的都是“將軍飲馬”問題，即要求的兩條線段有公共端點,或者平移后有公共端點.除了將軍飲馬問題外，還有一類兩線段和的最值問題，兩個動點的運動過程中,兩條動線段始終保持著相等,我們可以在等線段處構(gòu)造全等,從而將要求的兩條線段拼接到一起，這就是今天咱們要說的逆等線最值問題.講逆等線模型之前我們先來一波回憶：下圖大家應該很熟：D為動點！特殊化證明：DE+DF的和為定值.一般化證明：DE+DF的和為定值只要保證DE，DF與腰的夾角相等，總會有：DE+DF的和為定值的結(jié)論！證明思路：作AG∥FD，HD∥BC易得紅藍全等，黃色平四∴DE＋DF＝AH＋HG＝AG（定長）另證易得：△DEA∽△DFB∵AD＋BD為定值∴DE＋DF為定值引申：D在線段AB外時差為定值（證明同理）然后將這個角一路的改變也相當于做腰的平行線！此圖即產(chǎn)生了逆等線，所謂逆等線，逆向也相等！例題精講例題精講考點一:等腰三角形中的逆等線模型【例1】．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點D、E分別是AB、AC上兩動點，且AD＝CE，連接CD、BE，CD+BE最小值為．解：過點A作AH⊥BC于H，作AM∥BC且AM＝BC，延長CB并過點M作MN⊥BC于N，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝CH＝BC＝3，∴AH＝＝4，∵AM∥BC且AM＝BC，AH⊥BC，∴四邊形AMNH是矩形，∴NH＝AM＝BC＝6，NC＝NH+CH＝6+3＝9，MN＝AH＝4，∵AM∥BC，∴∠MAD＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠MAD，在△ADM和△CEB中，，∴△ADM≌△CEB（SAS），∴BE＝MD，∴CD+BE＝MD+CD≥CM，∴當C、D、M三點共線時，CD+BE取最小值，CM＝＝．故答案為：．變式訓練【變式1-1】．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D為BC邊的中點，點E、F分別是線段AC、AD上的動點，且AF＝CE，則BE+CF的最小值是．解：過A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝4，連接BF、FG、BG，∵AB＝AC，點D為BC的中點，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵BA⊥AG，∴∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴∠GAF＝∠ABD，∴∠GAF＝∠BCE，又∵AF＝CE，AG＝CB，∴△AGF≌△CBE（SAS），∴GF＝BE，∵FB＝FC，∴BE+CF＝GF+BF，∵當點B、F、G三點共線時，GF+BF最小，∴GF+BF的最小值時線段BG的長，∵∠BAG＝90°，AB＝8，AG＝4，∴BG＝＝4即BE+CF的最小值為4，故答案為：4．【變式1-2】．如圖，已知直線AB：y＝分別交x軸、y軸于點B、A兩點，C（3，0），D、E分別為線段AO和線段AC上一動點，BE交y軸于點H，且AD＝CE．當BD+BE的值最小時，則H點的坐標為（）A．（0，4） B．（0，5） C． D．解：由題意A（0，），B（﹣3，0），C（3，0），∴AB＝AC＝8，取點F（3，8），連接CF，EF，BF．∵C（3，0），∴CF∥OA，∴∠ECF＝∠CAO，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠CAO＝∠BAD，∴∠BAD＝∠ECF，∵CF＝AB＝8，AD＝EC，∴△ECF≌△DAB（SAS），∴BD＝EF，∴BD+BE＝BE+EF，∵BE+EF≥BF，∴BD+BE的最小值為線段BF的長，∴當B，E，F(xiàn)共線時，BD+BE的值最小，∵直線BF的解析式為：y＝x+4，∴H（0，4），∴當BD+BE的值最小時，則H點的坐標為（0，4），故選：A．考點二:等邊三角形中的逆等線模型【例2】.如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點，且AE＝CF，當BF+CE取得最小值時，∠AFB＝°．解：如圖1，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH（SAS），∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴當F為AC與BH的交點時，如圖2，BF+CE的值最小，此時∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故答案為：105．變式訓練【變式2-1】．如圖，AH是正三角形ABC中BC邊上的高，在點A，C處各有一只電子烏龜P和Q同時起步以相同的速度分別沿AH，CA向前勻速爬動．確定當兩只電子烏龜?shù)紹點距離之和PB+QB最小時，∠PBQ的度數(shù)為．解：過點C作CD⊥BC，取CD＝AB，連接BD，∵△ABC是等邊三角形，AH是BC邊上的高，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAH＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠BAH＝∠ACD，在△ABP和△CDQ中，，∴△ABP≌△CDQ（SAS），∴BP＝DQ，∠CQD＝∠APB，∴當B、Q、D共線時，PB+QB最小，連接BD交AC于Q，∴∠APB＝∠AQB，∴∠PBQ＝∠QAH＝30°，故答案為：30°．【變式2-2】．在等邊△ABC中，AB＝4，點E在邊BC上，點F在∠ACB的角平分線CD上，CE＝CF，則AE+AF的最小值為．解：過點C作CG⊥AC，并截取CG＝AC，連接EG，如圖所示：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵CD平分∠ACB．∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝30°，∵∠ACG＝90°，∴BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∴∠ACD＝∠BCG，∴△GCE≌△ACF（SAS），∴AF＝GE，∴AF+AE＝GE+AE，當A、G、E三個點在同一直線上時，GE+AE的和最小，即AF+AE最?。郃F+AE的值最小為：＝＝4．故答案為：考點三：直角三角形中逆等線模型【例3】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分別是AC，AB上的動點，且AD＝BE，連結(jié)BD，CE，則BD+CE的最小值為．解：過B作BF∥AC，在平行線上取BF＝AB，連接EF，如上圖：∴∠EBF＝∠A，∵BF＝AB，BE＝AD，∴△BEF≌△ADB（SAS），∴EF＝BD，∴BD+CE＝EF+CE，當C，E，F(xiàn)共線時，EF+CE最小，即BD+CE最小，最小值即為CF的長度，∵BF∥AC，∠ACB＝90°，∴∠FBC＝90°，∴CF＝＝＝2，∴BD+CE最小為2，故答案為：2．變式訓練【變式3-1】．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E為AB邊上的兩個動點，且AD＝BE，連接CD，CE，若AC＝2，則CD+CE的最小值為．解：如圖：構(gòu)造矩形ACBF，連接DF，EF，CF交AB于點O，則OF＝OC，OA＝OB，AB＝CF，∵AD＝BF，∴OD＝OE，∴四邊形CEFD為平行四邊形，∴DF＝CE，∴CD+CE＝CD+DF≥CF，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴CD+CE≥4，故答案為：4．【變式3-2】．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點M，N分別為BC，AC上的動點，且AN＝CM，AB＝．當AM+BN的值最小時，CM的長為．解：過點C作CE⊥CB，使得CE＝AC，連接EM，過點A作AD⊥BC于點D．∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，∴△BAN≌△ECM（SAS），∴BN＝EM，∴AM+BN＝AM+ME，∴當A，M，E共線時，AM+BN的值最小，∵AD∥EC，∴＝＝，∴CM＝×1＝2﹣．故答案為：2﹣．考點四：一般三角形中逆等線模型【例4】．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，點D、E在AB、AC邊上，且AD＝CE，則CD+BE的最小值．解：如圖作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延長線于G．∵CK∥AB，∴∠KCE＝∠A，∵CK＝CA，CE＝AD，∴△CKE≌△CAD，∴CD＝KE，∵CD+BE＝EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值為BK的長，在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8，∴CG＝BC＝4，BG＝4，在Rt△KBG中，BK＝＝＝2．故答案為2．變式訓練【問題背景】（1）如圖（1），E為△ABC的邊AB上的一點，AE＝BC，過點A作AD∥BC，且AD＝AB，連接DE，求證：△ADE≌△BAC；【變式遷移】（2）如圖（2），在△ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，點E在AB上，且AE＝CD，若點C分別到AB，BD的距離之比為m，求證：；【拓展創(chuàng)新】（3）如圖（3），在△ABC中，∠ABC＝45°，，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點，且AE＝CD，直接寫出CE+BD的最小值.（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠B，在△ADE和△BAC中，，∴△ADE≌△BAC（SAS）；（2）證明：如圖2，過點C作CG∥AB交BD的延長線于G，過點C作CT⊥BG于點T，CH⊥AB于點H，連接GH．∴∠DAG＝∠A，∵AC＝BC，AE＝CD，∴△CDG≌△AEC（SAS），∴DG＝CE，CG＝AC，∴CE+BD＝DG+BD＝BG，∵CA＝CB，∴CG＝CB，∵CG∥AB，∴S△CGB＝S△CGH，∴BG?CT＝?CG?CH，∴BG?CT＝BC?CH，∴＝＝m；（3）解：如圖3中，作CG∥AB，使得CG＝AC，連接DG，過點C作CH⊥AB于點H，過點G作GT⊥BA交BA的延長線于點T，連接BG．∵BC＝3，∠CBH＝45°，∠CHB＝90°，∴CH＝BH＝3，∵四邊形CGTH是矩形，∴GT＝CH＝3，CG＝AC＝HT＝6，∴BT＝9，∴BG＝＝＝3，由（2）可知，△CDG≌△AEC，∴DG＝EC，∴CE+BD＝DG+DB≥BG＝3，∴CE+BD的最小值為3．考點五：正方形中逆等線模型【例5】.如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E、F分別在AB、BC上，且AE＝BF，CE與DF交于點P，連接BP，求BP的最小值．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AE＝BF，∴BE＝CF，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠ECB＝∠FDC，∵∠ECB+∠ECD＝90°，∴∠FDC+∠ECD＝90°，∴∠DPC＝90°，∴點P在以CD為直徑的圓上，如圖，以CD為直徑作⊙O，連接OP，OB，∴OP＝OC＝OD＝3，在△OPB中，BP＞BO﹣OP，∴當點P在OB上時，BP的最小值為BO﹣OP，∵BO＝＝＝3，∴BP的最小值為3﹣3．變式訓練【5-1】．已知正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的兩個動點，且滿足BE＝CF，連接AE，AF，則AE+AF的最小值為．解：連接DE，作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接BA′、EA′，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∵BE＝CF，∴DF＝CE，∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE＝AF，∴AE+AF＝AE+DE，作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接BA′、EA′，則AE＝A′E，即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，當D、E、A′在同一直線時，AE+AF最小，AA′＝2AB＝2，此時，在Rt△ADA′中，由勾股定理得：DA′＝，故AE+AF的最小值為．故答案為：．考點六：矩形中逆等線模型【例6】.如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點E、F分別為邊AB、CD上的動點，且AE＝CF，則BF+CE的最小值為．解：連接DE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴DE＝BF，要求BF+CE的最小值，即求DE+CE的最小值，作D點關(guān)于AB的對稱點D′，連接D′C交AB于E，則DE+CE＝D′E+CE＝CD′的值最小，∵AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，DD′＝2AD＝6，∴CD′＝＝＝2，即BF+CE的最小值為2，故答案為：2．變式訓練【6-1】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE+AF的最小值是．解：如圖，作點D關(guān)于BC的對稱點G，連接BG，在BG上截取BH，使得BH＝AD，連接AH．作HM⊥AB交AB的延長線于M．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DBC，∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），∴AF＝EH，∴AE+AF＝AE+EH≥AH，在Rt△BCD中，BD＝＝5，由△BHM∽△DBC，可得＝＝，∴＝＝，∴BM＝，MH＝，∴AM＝3+＝，在Rt△AMH中，AH＝＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值為．故答案為【6-2】.如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F(xiàn)分別是BD，BC上的一動點，且BF＝2DE，則AF+2AE的最小值是．解：連接DF，延長AB到T，使得BT＝AB，連接DT．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD，∴tan∠DBA＝＝，∠ADE＝∠DBF，∴∠DBA＝30°，∴BD＝2AD，∵BF＝2DE，∴＝＝2，∴△DBF∽△ADE，∴＝＝2，∴DF＝2AE，∴AF+2AE＝AF+DF，∵FB⊥AT，BA＝BT，∴FA＝FT，∴AF+2AE＝DF+FT≥DT，∵DT＝＝＝4，∴AF+2AE≥4，∴AF+2AE的最小值為4，故答案為：4．考點七：菱形中逆等線模型【例7】.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為．解：如圖，BC的下方作∠CBT＝30°，在BT上截取BT，使得BT＝AD，連接ET，AT．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ADC＝30°，∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，∴AT＝＝＝2，∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥2，∴AE+AF的最小值為2，故答案為2．變式訓練【7-1】.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分別是邊AB，AD的動點，滿足AM＝DN，連接CM、CN，E是邊CM上的動點，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點，連接AE、BE、NF，當△CFN面積最小時，BE+AE的最小值為．解：如圖，連接MN、AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝AD＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，∴△ADC和△ABC為等邊三角形，∴AC＝DC，∠ACD＝60°，∵AM＝DN，∴△AMC≌△DNC（SAS），∴CM＝CN，∠DCN＝∠ACM，∴∠MCN＝∠MCA+∠ACN＝∠DCN+∠ACN＝∠ACD＝60°，∴△CMN為等邊三角形，∵點F是CM上靠近點C的四等分點，∴S△CFN＝S△CMN，∴△CMN的面積最小時，△CFN的面積也最小，∵S△CMN＝，∴當CN和CM長度最短時，S△CMN的面積最小，即CN⊥AD，CM⊥AB時△CFN的面積最小，取BE的中點為點G，連接MG，∵△ABC為等邊三角形，CM⊥AB，∴點M是AB的中點，∴AE＝BE，∴MG＝AE＝BE，∴BE+AE＝AE+AE＝AE，∵點E是CM上的動點，∠AME＝90°，∴AE的最小值即為AM的長度，∵CD＝4，∴AM＝AB＝2，∴（BE+AE）最小值＝×2＝3，故答案為：3．【7-2】.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD．（1）求BD的長；（2）點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE＝DF．①當CE⊥AB時，求四邊形ABEF的面積；②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最??？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．解：（1）過點D作DH⊥AB交BA的延長線于H，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝6，∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，在Rt△ADH中，DH＝AD?sin∠DAH＝6×＝3，AH＝AD?cos∠DAH＝6×＝3，∴BD＝＝＝6；（2）①設CE⊥AB交AB于M點，過點F作FN⊥AB交BA的延長線于N，如圖：菱形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，在Rt△BCM中，BM＝BC?cos∠ABC＝6×＝3，∵BD是菱形ABCD的對角線，∴∠DBA＝ABC＝30°，在Rt△BEM中，ME＝BM?tan∠DBM＝3×＝，BE＝＝＝2，∵BE＝DF，∴DF＝2，∴AF＝AD﹣DF＝4，在Rt△AFN中，∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，∴FN＝AF?sin∠FAN＝4×＝2，AN＝AF?cos∠FAN＝4×＝2，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，∴S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM?BM+（EM+FN）?MN﹣AN?FN＝3+（+2）×5﹣2×2＝+﹣2＝7；②當四邊形ABEF的面積取最小值時，CE+CF的值是最小，理由：設DF＝x，則BE＝DF＝x，過點C作CH⊥AB于點H，過點F作FG⊥CH于點G，過點E作EY⊥CH于點Y，作EM⊥AB于M點，過點F作FN⊥AB交BA的延長線于N，如圖：∴EY∥FG∥AB，F(xiàn)N∥CH，∴四邊形EMHY、FNHG是矩形，∴FN＝GH，F(xiàn)G＝NH，EY＝MH，EM＝Y(jié)H，由①可知：ME＝BE＝x，BM＝BE＝x，AN＝AF＝（AD﹣DF）＝3﹣x，F(xiàn)N＝AF＝，CH＝BC＝3，BH＝BC＝3，∴AM＝AB﹣BM＝6﹣x，AH＝AB﹣BH＝3，YH＝ME＝x，GH＝FN＝，EY＝MH＝BM﹣BH＝x﹣3，∴CY＝CH﹣YH＝3﹣x，F(xiàn)G＝NH＝AN+AH＝6﹣，CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣x﹣x＝9﹣2x，∴S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM?BM+（EM+FN）?MN﹣AN?FN＝x×x+（x+）?（9﹣2x）﹣（3﹣x）?＝x2﹣x+9＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴當x＝3時，四邊形ABEF的面積取得最小值，方法一：CE+CF＝+?＝+＝+×＝+×＝+，∵（x﹣3）2≥0，當且僅當x＝3時，（x﹣3）2＝0，∴CE+CF＝+≥12，當且僅當x＝3時，CE+CF＝12，即當x＝3時，CE+CF的最小值為12，∴當四邊形ABEF的面積取最小值時，CE+CF的值也最小，最小值為12．方法二：如圖：將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△BAG，連接CG，在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，∵＝＝，∠CDF＝∠GBE＝60°，∴△BEG∽△DFC，∴＝＝＝，即GE＝CF，∴CE+CF＝CE+GE≥CG＝12，即當且僅當點C、E、G三點共線時，CE+CF的值最小，此時點E為菱形對角線的交點，BD中點，BE＝3，DF＝3，∴當四邊形ABEF的面積取最小值時，CE+CF的值也最小，最小值為12．解法二：如圖，在BD上截取DM，使得DM＝2，在DA上取點F，連接DF，使得△DFM∽△BEC．則有CE＝FM，作點M關(guān)于AD阿德對稱點M′，∴CE+CF＝FM+CF＝（CF+FM）＝（CF+FM′），∴C，F(xiàn)，M′共線時，最小，此時DF＝3，可得CE+CF的值也最小，最小值為12．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，在邊長為的等邊△ABC中，動點D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點P，則CP的最小值為．解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵AE＝CD∴BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，∴∠APE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠APE＝60°，∴點P的運動軌跡是以O為圓心，OA為半徑的圓弧上運動，如圖，連接OC交⊙O于N，則OC⊥AB，根據(jù)圓周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF＝AB＝，∴OA＝＝2，∴OC＝2OA＝4，當點P與N重合時，CP的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，故答案為：2．2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，動點D，E分別在AB，CB邊上，且BE＝AD．連接CD，AE相交于點P，連接BP，則△CAD∽△，BP的最小值為．解：如圖，過點E作EK⊥AB于K，取AE的中點J，連接CJ，JK，CK．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠EKB＝90°，∴∠KEB＝∠KBE＝45°，∴EK＝EK，∴BE＝BK，∵BE＝AD，∴AD＝BK，在△CAD和△CBK中，，∴△CAD≌△CBK（SAS），∴∠ACD＝∠BCK，∵∠ACE＝∠AKE＝90°，AJ＝JE，∴CJ＝JA＝JE＝JK，∴A，C，E，K四點共圓，∴∠EAK＝∠ECK，∴∠DAP＝∠ACD，∵∠ADP＝∠ADC，∴△CAD∽△APD，∵∠CPE＝∠ACP+∠CAP＝∠EAB+∠CAE＝45°，∴∠APC＝135°，在AC的右左側(cè)作等腰直角三角形ACO，∠AOC＝90°，OA＝OC，連接OP，OB，過點O作OH⊥BC交BC的延長線于H．則點P在以O為圓心，OA為半徑的圓上運動，由題意OA＝OC＝AC＝2，OH＝CH＝OC＝2，BH＝CH+BC＝6，∴OB＝＝＝2，∵OP＝OA＝2，PB≥OB﹣OP，∴BP≥2﹣2，∴BP的最小值為2﹣2．故答案為：APD，2﹣2．3.如圖，AD為等腰△ABC的高，AB＝AC＝5，BC＝3，E、F分別為線段AD、AC上的動點，且AE＝CF，則BF+CE的最小值為． 解：作CG⊥BC于C，取CG＝AC，∵AD是高，∴∠ADC＝∠GCD＝90°，∴AD∥CG，∴∠CAE＝∠ACG，∵AE＝CF，AC＝CG，∴△AEC≌△CFG（SAS），∴CE＝FG，∴BF+CE＝BF+FG，∴點B、F、G三點共線時，BF+FG的最小值為BG，∵BC＝3，CG＝5，由勾股定理得，BG＝，故答案為：．4．如圖，ABCD是⊙O內(nèi)接矩形，半徑r＝2，AB＝2，E，F(xiàn)分別是AC，CD上的動點，且AE＝CF，則BE+BF的最小值是（）A． B．2 C．3 D．4解：作O關(guān)于CD的對稱點H，連接OH，交CD于G，過H作直線BC的垂線，垂足為M，連接BH交CD于F，連接OF，此時BF+OF為最小，∴∠ABC＝90°，∴AC為⊙O的直徑，∵半徑r＝2，AB＝2，∴OC＝AB＝OA＝OB＝2，∴△OAB是等邊三角形，∵ABCD是⊙O內(nèi)接矩形，∴AB∥CD，∴∠OCD＝∠BAO，∵AB＝2，AC＝4，由勾股定理得：BC＝＝2，∵AE＝CF，∴△ABE≌△COF，∴BE＝OF，∴BE+BF＝OF+BF，由對稱性得：OF＝FH，OG＝GH，∴BE+BF＝BF+FH＝BH，∵OC＝OD，OH⊥CD，∴CG＝DG＝CD＝AB＝1，∵∠CGH＝∠GCM＝∠M＝90°，∴四邊形GCMH是矩形，∴CM＝GH＝BC＝×＝，HM＝CG＝1，在Rt△BHM中，由勾股定理得：BH＝＝＝2，即BF+BE的最小值為2；故選：B．5.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE＝DF，則AE+AF的最小值為．解：如圖，在BC的下方作∠CBT＝30°，使得BT＝AD，連接ET，AT，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝，在△ADF與△TBE中，，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝3，∴AT＝，∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥3，∴AE+AF的最小值為3，故答案為：36．如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，邊AB上的點D從頂點A出發(fā)，向頂點B運動，同時，邊BC上的點E從頂點B出發(fā)，向頂點C運動，D，E兩點運動速度的大小相等，設x＝AD，y＝AE+CD，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖（2），圖象過點（0，2），則圖象最低點的橫坐標是．解：∵圖象過點（0，2），即當x＝AD＝BE＝0時，點D與A重合，點E與B重合，此時y＝AE+CD＝AB+AC＝2，∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，過點A作AF⊥BC于點F，過點B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如圖所示：∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD（SAS），∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD，∴y＝AE+CD＝AE+NE，當A、E、N三點共線時，y取得最小值，如圖所示，此時：AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，∴AF＝AC?sin45°＝，\又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴圖象最低點的橫坐標為：﹣1．故答案為：．7.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于點D，點E、F分別是線段AB、AD上的動點，且BE＝AF，則BF+CE的最小值為．解：過點B作BG⊥BC，使BG＝AB，連接GE，GC，∵AD⊥BC∴BG∥AD，∴∠GBA＝∠