2025年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題12 腳拉腳專(zhuān)題（原卷版）

模型介紹模型介紹成立條件：等腰三角形頂角互補(bǔ)模塊一：認(rèn)識(shí)“腳拉腳”模型1、等腰直角三角形的逆序腳拉腳基本圖ABCABCEDABCEDF已知：△ABC、△ADE為等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)。結(jié)論：BF=DF，BF⊥DF.法1：倍長(zhǎng)中線+手拉手延長(zhǎng)DF至點(diǎn)G，使得FG=FD，易證△DEF≌△GCF（SAS）；所以CG=ED=AD，∠2=∠7；又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五邊形內(nèi)角和），∠4=∠6=90°；所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；則△BCG≌△BAD（SAS），所以∠DBG=90°，BG=BD；所以BF=DG=DF，BF⊥DF。 由△BCF≌△GEF（SAS），得BC∥GH， 由△DEF≌△GCF（SAS），得GH∥DE，所以∠2=∠6=90°，則∠2=∠1，所以∠H+∠ADE=180°，即∠H=∠ADE=90°，在四邊形ADEH中，∠1+∠2=180°， 所以∠H=∠ABC=90°，則∠3+∠4=180°，又∠4+∠5=180°，所以∠1=∠2（8型轉(zhuǎn)角），所以∠3=∠5 所以∠3=∠4注意：選擇“四邊形對(duì)角互補(bǔ)”還是“8型轉(zhuǎn)角”證明角相等取決原有等腰直角三角形底邊與公共頂點(diǎn)的夾角（夾角小于45°：選擇“四邊形對(duì)角互補(bǔ)”;夾角大于45°：選擇“8型轉(zhuǎn)角”）法2：斜邊中線+中位線取AC中點(diǎn)G，AE中點(diǎn)H，連接BG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，DH。由中位線定理可知：FG=AE=DH，F(xiàn)H=AC=BG，∠1=∠3=∠2，所以∠1+∠5=∠2+∠4，所以∠BGF=∠FHD；則△BGF≌△FHD（SAS），所以BF=DF，∠FBG=∠DFH，∠BFG=∠FDH；所以∠BFG+∠GFH+∠DFH=∠BFG+∠3+∠FBG=∠BFG+∠1+∠FBG，又∠BFG+∠1+∠FBG+∠5=180°（三角形內(nèi)角和），所以∠BFG+∠1+∠FBG=90°，所以BF⊥DF。2、等腰三角形的順序腳拉腳模型ABCABCDEABCDEF已知：△ABC、△ADE為等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，結(jié)論：CE=BD，∠BFC=45°.法一：相似△ABD∽△ACE（SAS）∠4=∠1∠2=∠3=45°（8字型轉(zhuǎn)角）法二：手拉手+平行四邊形將線段BD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BG，連接DG、CG。易證：△BAD≌△BCG（SAS），∠1=∠4+∠5，又∠3+∠5+∠6=∠7=90°，所以∠1+∠2+∠3+∠6=∠2+∠4+∠3+∠5+∠6=90°+90°=180°所以CG平行且等于DE，所以四邊形DECG為平行四邊形，所以CE=DG=BD，∠BFC=∠BDG=45°3、頂角互補(bǔ)型腳拉腳已知：△ABC、△DCE為等腰三角形，=180°，AB=AC，DC=DE，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn).結(jié)論：①AF⊥DF；②.法1：倍長(zhǎng)中線+手拉手法2：中位線+相似 延長(zhǎng)DF至點(diǎn)G，使得FG=FD，連接AD， 取BC中點(diǎn)M，EC中點(diǎn)N，連接AM，F(xiàn)M，AG，BG，延長(zhǎng)BG與CD相交于點(diǎn)H。 DN，F(xiàn)N。易證：△BFG≌△EFD（SAS）由中位線定理得：FN=MC，MF=CN，∠4=∠5；得：BG∥DE，BG=DE=DC， 所以，同理；∠EDH=∠GHD=，所以∠CHB=又∠AMF+∠CMF=∠FND+∠CNF；所以∠ABG=∠ACD（8字型轉(zhuǎn)角） 所以∠AMF=∠FND，得∠AMF∽∠FND ；所以△ABG≌△ACD（SAS），得證。 所以∠3=∠7，；∠1+∠2+∠3+∠4+∠6=∠5+∠6+∠7+∠AFD；所以∠1+∠2=∠AFD=90°例題精講例題精講【例1】.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，連接BD．以BD直角邊作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，連接AE，點(diǎn)F為AE中點(diǎn)，若AB＝4，BF＝1，則AD的長(zhǎng)為．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF為等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M為AF的中點(diǎn)，求證：ME＝CF．【變式1-2】．已知正方形ABCD，將線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線段BE，連接EA，EC．（1）在圖中依題意補(bǔ)全圖形，并求∠AEC的度數(shù)；（2）作∠EBC的平分線BF交EC于點(diǎn)G，交EA于點(diǎn)F，連接CF，用等式表示線段AE，F(xiàn)B，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式1-3】．（1）如圖1，AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC，求證：BE＝CD．（2）如圖2，△ACE是等邊三角形，P為三角形外一點(diǎn)，∠APC＝120°，求證：PA+PC＝PE．（3）如圖3，若∠ACE＝∠AEC＝∠ADC＝45°，∠ACD﹣∠AED＝60°，DC＝3，求DE長(zhǎng)．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC向外作兩個(gè)等邊三角形△ABD，△ACE．連接BE、CD交點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：△ACD≌△AEB；（2）求證：AF+BF+CF＝CD．2.如圖，△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，點(diǎn)D在AB邊上，連接EC，取EC中點(diǎn)F，求證：（1）AF＝DF；（2）AF⊥DF．3.已知：如圖，AB＝AC，DC＝DE，且∠BAC＝∠CDE＝90°，連接BE，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．求證：（1）∠ACD＝∠ABE+∠BED；（2）FA＝FD，F(xiàn)A⊥FD．4.已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點(diǎn)，連接DM，EM．（1）如圖1，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)判斷DM，EM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并直接寫(xiě)出結(jié)論；（2）如圖2，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．5．如圖，等邊△ABC外有一點(diǎn)D，連接DA，DB，DC．（1）如圖1，若∠DAB+∠DCB＝180°，求證：BD平分∠ADC；（2）如圖2，若∠BDC＝60°，求證：BD﹣CD＝AD；（3）如圖3，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以BF為邊向下作等邊△BEF，若點(diǎn)D，C，E在同一直線上，且∠ABD＝α，直接寫(xiě)出∠CEF的度數(shù)為（結(jié)果用含α的式子表示）．6．在△ABC中，AB＝AC，D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如圖1當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，連接BE，交AC于點(diǎn)F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的長(zhǎng)；（2）如圖2，連接BE，取BE的中點(diǎn)G，連接AG．猜想AG與CD存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．7．如圖1，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，以O(shè)A、AD為邊分別作等邊△OAC和等邊△ADE，若D（0，4），A（2，0）．（1）若∠DAC＝10°，求CE的長(zhǎng)和∠AEC的度數(shù)．（2）如圖2，若點(diǎn)P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在點(diǎn)A的右邊，連PC，以PC為邊在第一象限作等邊△PCM，延長(zhǎng)MA交y軸于N，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，①∠ANO的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．②AM﹣AP的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．已知點(diǎn)A在x軸正半軸上，以O(shè)A為邊作等邊△OAB，A（x，0），其中x是方程的解．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）如圖1，點(diǎn)C在y軸正半軸上，以AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ACD，連DB并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)E，求∠BEO的度數(shù)；（3）如圖2，點(diǎn)F為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在點(diǎn)A的右邊，連接FB，以FB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△FBG，連GA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)，GH﹣AF的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求出其變化的范圍．9．在平面直角坐標(biāo)系中，B點(diǎn)在x軸上，且PA⊥PB，點(diǎn)A（0，a）、P（m，m），若a、m滿足a2+m2﹣4a﹣8m+20＝0（1）如圖1，求a、m的值；（2）如圖2，若A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸的負(fù)半軸上，求OB﹣OA的值；（3）如圖3，若Q是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，C為AQ中點(diǎn)，PR⊥PQ且PR＝PQ，連BR，請(qǐng)同學(xué)們判斷線段BR與PC之間的關(guān)系，并加以證明．10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），C（﹣2，﹣2），且∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，若BC交y軸于點(diǎn)M，AB交x軸與點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F，請(qǐng)?zhí)骄烤€段MN，ME，NF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若在點(diǎn)B處有一個(gè)等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，連接AG，點(diǎn)H為AG的中點(diǎn)，試猜想線段DH與線段CH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．11．已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．（1）如圖①，連接BG、CF，求的值；（2）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE＝6，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段QN掃過(guò)的面積．12．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（﹣2，3）．（1）在圖①中的y軸上求作點(diǎn)P，使得PA+PB的值最??；（2）若△ABC是以AB為腰的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖②，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)D（不與點(diǎn)A重合）是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，連接BE，把BE繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到FE（即∠BEF＝90°，BE＝FE），連接BF、CF、CD，試猜想∠FCD的度數(shù)，并給出證明．13．如圖，平面直角坐標(biāo)系中．A點(diǎn)在y軸上，B（b，0），C（c，0）在x軸上，∠BAC＝60°，且b、c滿足等式b2+2bc+c2＝0．（1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖1，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連FC，G為y軸上一點(diǎn)，若∠GFC+∠ACG＝60°．求證：FG平分∠AFC；（3）如圖2，△BDE中，DB＝DE，∠BDE＝120°，M為AE中點(diǎn)，試確定DM與CM的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．14．如圖所示，△ABC，△ADE為等腰三角形，∠ACB＝∠AED＝90°．（1）如圖1，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D與C重合，F(xiàn)為線段BD的中點(diǎn)，則線段EF與FC的數(shù)量關(guān)系是；∠EFD的度數(shù)為°．（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其中D、A、C在一條直線上，F(xiàn)為線段BD的中點(diǎn)，則線段EF與FC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．（3）若△ADE繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖3的位置，F(xiàn)為線段BD的中點(diǎn)，連接EF、FC，請(qǐng)你完成圖3，請(qǐng)猜想線段EF與FC的關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想．15．已知等邊△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如圖1，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AB上，P是BE的中點(diǎn)，連接AD，PD，則線段AD與PD之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，點(diǎn)E在△ABC外部，P是BE的中點(diǎn)，連接AD，PD，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，點(diǎn)E和點(diǎn)B重合，點(diǎn)P在BC下方，且PB+PC為定值，當(dāng)PD最大時(shí)，∠BPC的度數(shù)為．16．CD是△ABC的高（1）如圖1，若∠ACB＝90°，∠BAC的平分線AE交CD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，求證：CE＝CF；（2）如圖2，若∠A＝2∠B，∠ACB的平分線CG交AB于點(diǎn)G，求的值；（3）如圖3，若△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形，再以AD為斜邊作等腰Rt△AMD，Q是DB的中點(diǎn)，連接CQ、MQ，試判斷線段CQ與MQ的關(guān)系，并給出證明．17．（1）探究：如圖1，在△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上．①求∠DCE的度數(shù)；②直接寫(xiě)出線段CD，CE，AC之間的數(shù)量關(guān)系；（2）應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APC＝120°，求證：PA+PC+