2025年中考數(shù)學(xué)專題52 一次函數(shù)背景下的將軍飲馬問題（解析版）

模型介紹模型介紹方法點撥一、求線段之和的最小值1、在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最?。唬?）點A、B在直線m兩側(cè)：（2）點A、B在直線同側(cè)：A、A’是關(guān)于直線m的對稱點。2、在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側(cè)：（2）一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：（3）兩個點都在內(nèi)側(cè)：（4）、臺球兩次碰壁模型變式一：已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.變式二：已知點A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.例題精講例題精講【例1】．矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點B的坐標(biāo)為（3，4），D是OA的中點，點E在AB上，當(dāng)△CDE的周長最小時，點E的坐標(biāo)為（3，）．解：如圖，作點D關(guān)于直線AB的對稱點H，連接CH與AB的交點為E，此時△CDE的周長最?。逥（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直線CH解析式為y＝﹣x+4，∴x＝3時，y＝，∴點E坐標(biāo)（3，），故答案為：（3，）．變式訓(xùn)練【變1-1】．已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點A（5，0），OB＝4，點P是對角線OB上的一個動點，D（0，1），當(dāng)CP+DP最短時，點P的坐標(biāo)為（）A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，）解：如圖，連接AC交OB于K，作KH⊥OA于H．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥OB，A、C關(guān)于對角線OB對稱，∴PC＝PA，∴PC+PD＝PA+PD，∴當(dāng)D、P、A共線時，PC+PD的值最小，在Rt△OAK中，∵OK＝2，OA＝5，∴AK＝＝，∵KH⊥OA，∴KH＝＝2，OH＝＝4，∴K（4，2），∴直線OK的解析式為y＝x，直線AD的解析式為y＝﹣x+1，由，解得，∴OB與AD的交點P′（，），∴當(dāng)點P與P′重合時，CP+DP最短時，點P的坐標(biāo)為（，），、故選：D．【變1-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點B在原點，點A、C在坐標(biāo)軸上，點D的坐標(biāo)為（6，4），E為CD的中點，點P、Q為BC邊上兩個動點，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長最小，則點P的坐標(biāo)應(yīng)為（，0）．解：點A向右平移2個單位到M，點E關(guān)于BC的對稱點F，連接MF，交BC于Q，此時MQ+EQ最小，∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE＝，∴要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，過M作MN⊥BC于N，設(shè)CQ＝x，則NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x，∴，解得：x＝，∴BP＝6﹣2﹣＝，故點P的坐標(biāo)為：（，0）．故答案為：（，0）．【例2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（1，3），點B坐標(biāo)為（4，1），點C在x軸上，點D在y軸上，則以A、B、C、D為頂點的四邊形的周長的最小值是+．解：如圖，作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接A′B′交x軸于C，交y軸于D，連接AD，CD，BC，AB，四邊形ABCD的周長最?。勺鲌D可知：AD＝DA′，BC＝CB′，A′（﹣1，3），B′（4，﹣1）∴四邊形ABCD的周長＝AB+BC+CD+AD＝AB+B′C+CD+DA′＝AB+A′B′＝+＝+，故答案為+．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖所示，已知點C（1，0），直線y＝﹣x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點，D，E分別是線段AB，OA上的動點，則△CDE的周長的最小值是（）A．4 B．10 C．4 D．12解：作點C關(guān)于y軸的對稱點C'，作點C關(guān)于y＝﹣x+7的對稱點C''，連接C'C''，則△CDE的周長的最小值為C'C''的長；∵C（1，0），∴C'（﹣1，0），設(shè)C''（m，n），則有＝﹣+7，＝1，∴m＝7，n＝6，∴C''（7，6），∴C'C''＝10；故選：B．【變2-2】．如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（k≠0）在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點（點B與點A不重合），且B點的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點P（，0），使PA+PB最?。猓涸O(shè)A點的坐標(biāo)為（a，b），則，∴ab＝k，∵，∴∴k＝2，∴反比例函數(shù)的解析式為．根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：聯(lián)立得，解得，∴A為（2，1），設(shè)A點關(guān)于x軸的對稱點為C，則C點的坐標(biāo)為（2，﹣1）．令直線BC的解析式為y＝mx+n∵B為（1，2），將B和C的坐標(biāo)代入得：，解得：∴BC的解析式為y＝﹣3x+5，當(dāng)y＝0時，，∴P點為（，0）．故答案為：（，0）．1．如圖，一次函數(shù)y＝x+4的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，點C（﹣2，0）是x軸上一點，點E，F(xiàn)分別為直線y＝x+4和y軸上的兩個動點，當(dāng)△CEF周長最小時，點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（）A．E（﹣，），F(xiàn)（0，2） B．E（﹣2，2），F(xiàn)（0，2） C．E（﹣，），F(xiàn)（0，） D．E（﹣2，2），F(xiàn)（0，）解：作C（﹣2，0）關(guān)于y軸的對稱點G（2，0），作C（2，0）關(guān)于直線y＝x+4的對稱點D，連接AD，連接DG交AB于E，交y軸于F，如圖：∴DE＝CE，CF＝GF，∴CE+CF+EF＝DE+GF+EF＝DG，此時△CEF周長最小，由y＝x+4得A（﹣4，0），B（0，4），∴OA＝OB，△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵C、D關(guān)于AB對稱，∴∠DAB＝∠BAC＝45°，∴∠DAC＝90°，∵C（﹣2，0），∴AC＝OA﹣OC＝2＝AD，∴D（﹣4，2），由D（﹣4，2），G（2，0）可得直線DG解析式為y＝﹣x+，在y＝﹣x+中，令x＝0得y＝，∴F（0，），由得，∴E（﹣，），∴E的坐標(biāo)為（﹣，），F(xiàn)的坐標(biāo)為（0，），故選：C．2．如圖所示，直線y＝x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點，點C是OB的中點，D，E分別是直線AB和y軸上的動點，則△CDE周長的最小值是2．解：如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點F，關(guān)于AO的對稱點G，連接DF，EG，∵直線y＝x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，點C是OB的中點，∴A（0，4），B（﹣4，0），C（﹣2，0），∴BO＝4，OG＝2，BG＝6，OA＝OB，∴∠ABC＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BF＝BC＝2，由軸對稱的性質(zhì)，可得DF＝DC，EC＝EG，當(dāng)點F，D，E，G在同一直線上時，△CDE的周長＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，此時△DEC周長最小，∵Rt△BFG中，F(xiàn)G＝＝2，∴△CDE周長的最小值是2．故答案為：2．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P在線段AB上，PC⊥x軸于點C，則△PCO周長的最小值為3+3．解：設(shè)點P（m，m+3），則PC＝m+3，OC＝﹣m，△PCO周長＝OP+OC+PC＝OP+m+3﹣m＝3+PO，即△PCO周長取得最小值時，只需要OP最小即可，故點O作OD⊥AP，當(dāng)點D、P重合時，OP（OD）最小，△AOB為等腰直角三角形，則BOD也為等腰三角形，設(shè)：OD＝a，則DO＝BD＝a，由勾股定理得：2a2＝（3）2，解得：a＝3＝OD＝OP，故△PCO周長的最小值＝3+PO＝3+3，故答案為：3+3．4．如圖所示，已知點C（1，0），直線y＝﹣x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點，D，E分別是AB，OA上的動點，則△CDE周長的最小值是10．解：如圖，點C關(guān)于OA的對稱點C′（﹣1，0），點C關(guān)于直線AB的對稱點C″，∵直線AB的解析式為y＝﹣x+7，∴直線CC″的解析式為y＝x﹣1，由解得，∴直線AB與直線CC″的交點坐標(biāo)為K（4，3），∵K是CC″中點，∴可得C″（7，6）．連接C′C″與AO交于點E，與AB交于點D，此時△DEC周長最小，△DEC的周長＝DE+EC+CD＝EC′+ED+DC″＝C′C″＝＝10．故答案為10．5．如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點C在邊AB上，且＝，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當(dāng)點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標(biāo)為P（，）．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，點D為OB的中點，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D關(guān)于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P，則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），∵直線OA的解析式為y＝x，設(shè)直線EC的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線EC的解析式為y＝x+2，解得，，∴P（，），故答案為：（，）．6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．動點P為CD上一點，PH⊥OA，垂足為H，點Q是點B關(guān)于點A的對稱點，當(dāng)BP+PH+HQ值最小時，點P的坐標(biāo)為（﹣4，4）．解：BP+PH+HQ有最小值，理由是：∵直線y＝x+8分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，∴OB＝8，OA＝6，OC＝4，連接PB，CH，HQ，則四邊形PHCB是平行四邊形，如圖，∵四邊形PHCB是平行四邊形，∴PB＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+4，∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，∴只需CH+HQ最小即可，∵兩點之間線段最短，∴當(dāng)點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，過點Q作QM⊥y軸，垂足為M，∵點Q是點B關(guān)于點A的對稱點，∴OA是△BQM的中位線，∴QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8，∴Q（﹣12，﹣8），設(shè)直線CQ的關(guān)系式為：y＝kx+b，將C（0，4）和Q（﹣12，﹣8）分別代入上式得：，解得：，∴直線CQ的關(guān)系式為：y＝x+4，令y＝0得：x＝﹣4，∴H（﹣4，0），∵PH∥y軸，∴P（﹣4，4），故答案為：（﹣4，4）．7．如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C在小正方形的頂點上．（1）在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A'B'C'；（2）在直線l上找一點P，使PA+PB的長最短．解：（1）如圖,△A′B′C′即為所求．（2）如圖，點P即為所求．8．如圖，已知△ABC三個頂點坐標(biāo)分別為A（0，4），B（﹣2，﹣2），C（3，0），點P在線段AC上移動．當(dāng)點P坐標(biāo)為（1，m）時，請在y軸上找點Q，使△PQC周長最?。猓骸逜（0，4），C（3，0），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+4；∵點P在線段AC上移動，點P坐標(biāo)為（1，m），∴m＝﹣×1+4＝，∴P（1，），作P點關(guān)于y軸的對稱點P′，連接P′C交y軸于Q，此時PQ+QC＝P′C，根據(jù)兩點之間線段最短，Q就是使△PQC周長最小的點；則P′（﹣1，），設(shè)直線P′C的解析式為y＝mx+n，∴，解得，∴直線P′C的解析式為y＝﹣x+2，∴Q點的坐標(biāo)為（0，2）．9．如圖，直線l1的解析表達式為y＝﹣3x+3，且l1與x軸交于點D，直線l2經(jīng)過點A、B，直線l1、l2交于點C．（1）求點D的坐標(biāo)；（2）求直線l2的解析表達式；（3）在x軸上求作一點M，使BM+CM的和最小，直接寫出M的坐標(biāo)．解：（1）∵直線l1的解析表達式為y＝﹣3x+3，且l1與x軸交于點D，當(dāng)y＝0時，x＝1，∴D（1，0）．（2）設(shè)直線l2的解析式為y＝kx+b，則有，解得，∴y＝x﹣．（3）如圖，由，解得，∴C（，﹣），作點C關(guān)于x軸的對稱點C′（，），∴直線BC′的解析式為y＝﹣x+，∴M（，0）．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣2x+10與x軸交于點B，與y軸交于點C，與直線y＝x交于點A，點M是y軸上的一個動點，設(shè)M（0，m）．（1）若MA+MB的值最小，求m的值；（2）若直線AM將△ACO分割成兩個等腰三角形，請求出m的值，并說明理由．解：（1）直線y＝﹣2x+10與x軸交于點B，與y軸交于點C，∴B（5，0），C（0，10），解得，∴A（4，2），∴A點關(guān)于y軸的對稱點A′（﹣4，2），如圖1，連接A′B，交y軸的交點為M，此時MA＝MA′，MA+MB＝MA′+MB＝A′B，MA+MB的值最小，設(shè)直線A′B的解析式為y＝kx+b，把A′（﹣4，2），B（5，0）代入得，解得k＝﹣，b＝，∴直線A′B的解析式為y＝﹣x+，把M（0，m）代入得，m＝；（2）如圖2，∵A（4，2），B（5，0），C（0，10），∴OA2＝42+22＝20，AC2＝（4﹣0）2+（2﹣10）2＝80，OC2＝102＝100，∴OA2+AC2＝OC2，∴△OAC是以O(shè)C為斜邊的直角三角形，若M點是OC的中點，則AM＝OC，此時直線AM將△ACO分割成兩個等腰三角形，∴M（0，5），∴m＝5．11．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上．（1）求AB的長；（2）求△ABC的周長的最小值；（3）若D（3，4），連接AD、CD，是否存在點C，使得△ACD的面積與6？若存在，求出點C，若不存在，說明理由．解：（1）作AD⊥OB于D，如圖1所示：則∠ADB＝90°，OD＝1，AD＝4，OB＝3，∴BD＝3﹣1＝2，∴AB＝＝2．（2）如圖2中，要使△ABC的周長最小，AB一定，則AC+BC最小，作A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接BA′交y軸于點C，點C即為使AC+BC最小的點，作A′E⊥x軸于E．由對稱的性質(zhì)得：AC＝A′C，則AC+BC＝A′B，A′E＝4，OE＝1，∴BE＝4，由勾股定理得：A′B＝＝4，∴△ABC的周長的最小值為2+4．（3）存在．如圖3中，設(shè)C（m，0）．由題意：×2×|m﹣4|＝6，解得m＝10或﹣2，∴滿足條件的點C的坐標(biāo)為（0，10）或（0，﹣2）．12．如圖，一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，使∠BAC＝90°．（1）分別求點A、C的坐標(biāo)；（2）在x軸上求一點P，使它到B、C兩點的距離之和最?。猓海?）作CD⊥x軸，∵∠OAB+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，在△ABO和△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS）∴AD＝OB，CD＝OA，∵y＝﹣x+2與x軸、y軸交于點A、B，∴A（3，0），B（0，2），∴點C坐標(biāo)為（5，3）；（2）作C點關(guān)于x軸對稱點E，連接BE，則E點坐標(biāo)為（5，﹣3），將（0，2）（5，﹣3），代入y＝ax+c中，，解得：∴直線BE解析式為y＝﹣x+2，設(shè)點P坐標(biāo)為（x，0），則（x，0）位于直線BE上，∴點P坐標(biāo)為（2，0）．13．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸，y軸分別交于點A（4，0），B（0，2）．（1）求該一次函數(shù)的表達式．（2）O為坐標(biāo)原點，D為AB的中點，OC＝1，點P為y軸上的動點，求PC+PD的最小值，并求出此時點P的坐標(biāo)（用兩種不同的方法求解）．解：（1）設(shè)一次函數(shù)表達式為y＝kx+b，將A（4，0）B（0，2）代入得，解得：，所以一次函數(shù)表達式為y＝﹣x+2；（2）法1：過點D作DE⊥OA，交OA于點E，∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，又∵D為AB中點，DE∥OB，∴DE為△BOA的中位線，∴DE＝OB＝1，OE＝OA＝2，∴D（2，1），作點D關(guān)于y軸的對稱點D′，連接D′C交y軸于點P′，即為所求，∴D′（﹣2，1），∵∠D′＝∠P′CO，∠D′HP′＝∠P′OC，∴△D′HP′∽△P′OC，∴＝＝2，∴OP′＝，∴P′坐標(biāo)為（0，），最小值為＝；法2：求點D′的坐標(biāo)部分同方法一，也可用中點坐標(biāo)公式直接可得，設(shè)直線CD′的表達式為y＝mx+n，把D′（﹣2，1），C（1，0）代入得：，解得：，∴y＝﹣x+，當(dāng)x＝0時，y＝，則P′（0，），最小值為＝．14．已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點A（﹣1，﹣1）和點B（1，﹣3）．求：（1）求一次函數(shù)的表達式；（2）求直線AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（3）請在x軸上找到一點P，使得PA+PB最小，并求出P的坐標(biāo)．解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，把A（﹣1，﹣1）B（1，﹣3）代入得：﹣k+b＝﹣1，k+b＝﹣3，解得：k＝﹣1，b＝﹣2，∴一次函數(shù)表達式為：y＝﹣x﹣2；（2）設(shè)直線與x軸交于C，與y軸交于D，把y＝0代入y＝﹣x﹣2，解得x＝﹣2，∴OC＝2，把x＝0代入y＝﹣x﹣2，解得：y＝﹣2，∴OD＝2，∴S△COD＝×OC×OD＝×2×2＝2；（3）作A與A1關(guān)于x軸對稱，連接A1B交x軸于P，則P即為所求，由對稱知：A1（﹣1，1），設(shè)直線A1B解析式為y＝ax+c，得﹣a+c＝1，a+c＝﹣3，解得：a＝﹣2，c＝﹣1，∴y＝﹣2x﹣1，令y＝0得﹣2x﹣1＝0，解得：x＝﹣，∴P（﹣，0）．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABC的頂點A在x軸上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y軸于M，（1）求點C的坐標(biāo)；（2）連接AM，求△AMB的面積；（3）在x軸上有一動點P，當(dāng)PB+PM的值最小時，求此時P的坐標(biāo)．解：（1）如圖1，作CD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ACD，在△CDA和△AEB中，，∴△CDA≌△AEB（AAS），∴CD＝AE，AD＝BE，∵A（2，0）、B（3，3），∴OA＝2，OE＝BE＝3，∴CD＝AE＝1，OD＝AD﹣OA＝1，∴C的坐標(biāo)是（﹣1，1）；（2）如圖2，作BE⊥x軸于E，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∵B點的坐標(biāo)為（3，3），C點的坐標(biāo)是（﹣1，1），∴，解得，，∴直線BC的解析式為y＝x+，當(dāng)x＝0時，y＝，∴OM＝，∴△AMB的面積＝梯形MOEB的面積﹣△AOM的面積﹣△AEB的面積＝×（+3）×3﹣×2×﹣×1×3＝；（3）如圖3，作M關(guān)于x軸的對稱點M′（0，﹣），連接BM'，交x軸于點P，此時PB+PM的值最小，設(shè)直線BM′的解析式為y＝mx+n，則，解得，，∴直線BM′的解析式為y＝x﹣，點P在x軸上，當(dāng)y＝0時，x＝1，∴點P的坐標(biāo)為（1，0）．16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx+8分別交x軸，y軸于A、B兩點，已知A點坐標(biāo)（6，0），點C在直線AB上，橫坐標(biāo)為3，點D是x軸正半軸上的一個動點，連接CD，以CD為直角邊在右側(cè)構(gòu)造一個等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直線AB的解析式以及C點坐標(biāo)；（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，試用含m的代數(shù)式表示點E的坐標(biāo)；（3）如圖2，連接OC，OE，請直接寫出使得△OCE周長最小時，點E的坐標(biāo)．解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴