2025年中考數(shù)學(xué)專題56 一次函數(shù)中的倍、半角問題（解析版）

例題精講例題精講【例1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，過點(diǎn)B的直線BC：y＝kx+b交x軸于點(diǎn)C（﹣8，0）．（1）k的值為；（2）點(diǎn)M為直線BC上一點(diǎn)，若∠MAB＝∠ABO，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，5）或（﹣2，3）．解：（1）在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4，∴B（0，4），把B（0，4），C（﹣8，0）代入y＝kx+b得：，解得，∴k的值為，故答案為：；（2）如圖：由（1）知，直線BC：y＝x+4，設(shè)M（m，m+4），則BM＝＝|m|，在y＝﹣2x+4中，令y＝0得x＝2，∴A（2，0），∵B（0，4），C（﹣8，0），∴AB2＝（2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，AC2＝（2+8）2+（0+0）2＝100，BC2＝（0+8）2+（4﹣0）2＝80，∴AB2+BC2＝AC2，AB＝2，∴∠ABC＝90°＝∠AOB，若∠MAB＝∠ABO，則△AOB∽△MBA，∴＝，即＝，解得m＝2或m＝﹣2，∴M（2，5）或（﹣2，3），故答案為：（2，5）或（﹣2，3）．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，直線y＝﹣x﹣4交x軸和y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C，點(diǎn)B（0，2）在y軸上，連接AB，點(diǎn)P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)．（1）直線AB的解析式為y＝x+2；（2）若S△APC＝S△AOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)∠BCP＝∠BAO時(shí)，求直線CP的解析式及CP的長(zhǎng)．解：（1）∵直線y＝﹣x﹣4交x軸和y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C，∴點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)C（0，﹣4），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，由題意可得：，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x+2，故答案為：y＝x+2；（2）∵點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)C（0，﹣4），點(diǎn)B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，設(shè)點(diǎn)P（m，m+2），當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴點(diǎn)P（﹣，）；當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴點(diǎn)P（﹣，﹣），綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，設(shè)CP與AO交于點(diǎn)H，在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），∴OH＝OB＝2，∴點(diǎn)H坐標(biāo)為（﹣2，0），設(shè)直線PC解析式y(tǒng)＝ax+c，由題意可得，解得：，∴直線PC解析式為y＝﹣2x﹣4，聯(lián)立方程組得：，解得：，∴點(diǎn)P（﹣，），∴CP＝＝，當(dāng)點(diǎn)P'在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CP'與x軸交于點(diǎn)H'，同理可求直線P'C解析式為y＝2x﹣4，聯(lián)立方程組，∴點(diǎn)P（4，4），∴CP＝＝4，綜上所述：CP的解析式為：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的長(zhǎng)為或4．【變1-2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AD：y＝﹣x+4交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)D．直線AB交x軸于點(diǎn)B（﹣3，0），點(diǎn)P為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求直線AB的關(guān)系式；（2）連接PD，當(dāng)線段PD⊥AB時(shí)，直線AD上有一點(diǎn)動(dòng)M，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，直接寫出△PMN周長(zhǎng)的最小值；（3）若∠POA＝∠BAO，直接寫出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．解：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，∴A（0，4），設(shè)直線AB的關(guān)系式為y＝kx+4，把B（﹣3，0）代入得：﹣3k+4＝0，解得k＝，∴直線AB的關(guān)系式為y＝x+4；（2）設(shè)P（m，m+4），∵PD⊥AB，∴BP2+PD2＝BD2，∵B（﹣3，0），D（4，0），∴（m+3）2+（m+4）2+（m﹣4）2+（m+4）2＝49，解得m＝﹣3（與B重合，舍去）或m＝﹣，∴P（﹣，），作P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)S，連接PS交x軸于R，延長(zhǎng)RP交直線AD于K，過K作KT⊥RK，取KT＝KP，如圖：∴S（﹣，﹣），∵∠DKR＝∠DAO＝45°，KT⊥RK，∴∠DKR＝45°＝∠DKT，∵KT＝KP，∴P，T關(guān)于直線AD對(duì)稱，連接TS交AD于M，交x軸于N，則此時(shí)△PMN周長(zhǎng)的最小，最小值即為TS的長(zhǎng)，在y＝﹣x+4中，令x＝﹣得y＝，∴K（﹣，），∴PK＝KT＝，∵KS＝+＝，∴TS＝＝，∴△PMN周長(zhǎng)的最小值為；（3）當(dāng)P在y軸左側(cè)時(shí)，過P作PH⊥y軸于H，在H下方取HW＝HA，連接PW，若此時(shí)PW＝OW，則∠PWA＝∠BAO＝2∠POA，如圖：∵OB＝3，OA＝4，∴＝＝，設(shè)PH＝3t，則AH＝HW＝4t，∴PW＝5t＝OW，∵OW+HW+AH＝OA＝4，∴5t+4t+4t＝4，解得t＝，∴OH＝9t＝，∴P的縱坐標(biāo)為；當(dāng)P在y軸右側(cè)時(shí)，過P作PF⊥y軸于F，如圖：∵∠BAO＝2∠POA，∴∠POA+∠APO＝2∠POA，∴∠APO＝∠POA，∴AO＝AP＝4，∵＝＝，∴AF＝，∴OF＝，∴P的縱坐標(biāo)為，綜上所述，P的縱坐標(biāo)為或．【例2】．如圖，直線y＝kx+b與直線y＝﹣x+4相交于點(diǎn)A（2，2），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣2）．（1）求直線y＝kx+b的函數(shù)表達(dá)式；（2）若直線y＝﹣x+4與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線y＝﹣x+4上，當(dāng)∠ABO＝∠POD時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）∵直線y＝kx+b與直線y＝﹣x+4相交于點(diǎn)A（2，2），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣2）．∴，，∴直線y＝kx+b的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x﹣2；（2）①點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，∵∠ABO＝∠POD，∴OP∥AB，∵直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x﹣2，∴直線OP為y＝2x．聯(lián)立y＝﹣x+4得：，解得x＝，∴P（，）；②點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于M，減OP于N，設(shè)AB交x軸于點(diǎn)C，∴∠OMN＝∠BOC＝90°，∵A（2，2），∴M（0，2），∵B（0，﹣2），∴OM＝BO＝2，∵∠ABO＝∠POD，∴△CBO≌△MON，∴MN＝OC，∵直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x﹣2，∴點(diǎn)C（1，0），∴OC＝1，∴MN＝1，∴N（﹣1，2），設(shè)直線ON的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx，∴﹣x＝2，解得x＝﹣2，∴直線ON的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2x，聯(lián)立y＝﹣x+4得：，解得x＝﹣4，∴P（﹣4，8）．綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）或（﹣4，8）．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的解析式為y＝﹣x+b，它與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為4．（1）求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）在第一象限的角平分線上是否存在點(diǎn)Q使得∠QBA＝90°？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，連結(jié)AP，若∠APO＝2∠ABO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）∵B的縱坐標(biāo)為4．直線ly＝﹣x+b，與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)B（0，4），將點(diǎn)B（0，4）代入直線l的解析式y(tǒng)＝﹣x+b得：b＝4，∴直線l的解析式為：y＝﹣x+4，令y＝0得：x＝3，∴A（3，0）；（2）存在，∵A（3，0），B（0，4），∴AB＝＝＝5，∵Q在第一象限的角平分線上，設(shè)Q（x，x），根據(jù)勾股定理：QB2+BA2＝QA2，x2+（x﹣4）2+52＝x2+（x﹣3）2，解得x＝16，故Q（16，16）；（3）如圖：①當(dāng)點(diǎn)P為y軸正半軸上一點(diǎn)時(shí)，∵∠APO＝2∠ABO，∠APO＝∠ABO+∠PAB，∴∠ABO＝∠PAB，∴PA＝PB，設(shè)P（0，p），∴PA2＝PB2，∴32+p2＝（4﹣p）2，∴p＝，∴P（0，）；②當(dāng)點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)時(shí)，∠AP′P＝∠APO＝2∠ABO，∴AP＝AP′，∵AO⊥PP′，∴OP′＝OP＝，∴P′（0，﹣）．綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或P（0，﹣）．【變2-2】．如圖1，已知函數(shù)y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱．（1）求直線BC的函數(shù)解析式；（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q．①若△PQB的面積為，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②點(diǎn)M在線段AC上，連接BM，如圖2，若∠BMP＝∠BAC，直接寫出P的坐標(biāo)．解：（1）對(duì)于y＝x+3，由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱．∴C（6，0）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線BC的函數(shù)解析式為y＝﹣x+3；（2）①設(shè)點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)P（m，m+3），點(diǎn)Q（m，﹣m+3），過點(diǎn)B作BD⊥PQ與點(diǎn)D，則PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，則△PQB的面積＝PQ?BD＝m2＝，解得m＝±，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，3﹣）或（﹣，3+）；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA，∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，∴BM2+BC2＝MC2，設(shè)M（x，0），則P（x，x+3），∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，∴P（﹣，），如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，同理可得P（，），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）．1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（4，0）、點(diǎn)B（0，2）．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C分別作CD⊥x軸、CE⊥y軸，垂足分別為D、E，當(dāng)OC平分∠AOB時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．解：（1）設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y＝kx+b，把A（4，0）、B（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直線AB的表達(dá)式為：；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為．∵CD⊥x軸、CE⊥y軸，OC平分∠AOB，∵CD＝CE，∴．解得，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（8，0），與y軸交于B（0，8），點(diǎn)D為OA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直角邊在其上方作等腰三角形BDE，連接EA．（1）求證∠EAD＝∠OAB；（2）求直線EA與y軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)．（1）證明：過點(diǎn)E作EG⊥x軸，如圖1所示，∴∠EGD＝∠DOB＝∠EDB＝90°，ED＝DB，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△EGD和△DOB中，，∴△EGD≌△DOB（AAS），∴EG＝DO，GD＝OB，∵A（8，0），B（0，8），∴OB＝OA＝8，∴GD＝OA，∴DO＝DA+OA＝DA+DG＝AG，∴EG＝AG，∴∠EAG＝∠GEA＝45°，又OA＝OB＝8，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠EAD＝∠OAB；（2）解：如圖2，∵∠EAD＝45°，∠AOF＝90°，∴∠OAF＝∠OFA＝45°，∴OA＝OF＝8，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣8）．3．如圖1，直線y＝﹣x+b分別交x，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．（1）求b的值；（2）若點(diǎn)P是射線AB上的一點(diǎn)，S△PAC＝S△PCO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，過點(diǎn)C的直線交直線AB于點(diǎn)E，已知D（﹣1，0），∠BEC＝∠CDO，求直線CE的解析式．解：（1）∵直線y＝﹣x+b分別交x，y軸于A，B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A（b，0），點(diǎn)B（0，b），∴S△ABC＝＝，S△ACO＝＝，∵S△ABC＝2S△ACO，∴，解得b＝6；（2）由（1）知b＝6，直線AB表達(dá)式為y＝﹣x+6，∴A點(diǎn)坐標(biāo)（6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（0，6），設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx+b，將點(diǎn)A、C代入得，，解得，∴直線AC的解析式為y＝x+2，①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交AC于點(diǎn)Q，設(shè)Q（x，﹣x+2），則點(diǎn)P（x，﹣x+6），方法一：∴PQ＝﹣x+6﹣（﹣x+2）＝﹣+4，∴S△PAC＝S△PCQ+S△PAQ＝+＝12﹣2x，S△PCO＝＝x，∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝x，解得：x＝4，則P點(diǎn)坐標(biāo)（4，2）；方法二：∵S△PAC＝S△BCA﹣S△BCP，∴S△PAC＝﹣＝＝12﹣2x，∵S△PCO＝＝，∴S△PAC＝S△PCO，∴12﹣2x＝x，解得x＝4，∴P（4，2）；②當(dāng)P點(diǎn)在第二象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x+6），∴S△PAC＝S△PBC+S△ABC＝+＝12﹣2x，S△PCO＝＝﹣x，∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝﹣x，解得：x＝12，∴第二象限x＜0，x＝12不符合題意舍去，∴P點(diǎn)坐標(biāo)（4，2）；（3）過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，∵CF⊥AB，直線AB解析式為y＝﹣x+6，且點(diǎn)C（0，2），∴可得直線CF的解析式為y＝x+2，聯(lián)立得，解得，即交點(diǎn)F坐標(biāo)（2，4），∴CF＝＝2，設(shè)點(diǎn)E（x，﹣x+6），∴EF＝＝（x﹣2），∵∠BEC＝∠CDO，∠COD＝∠CFE＝90°，∴△CDO∽△CEF，∴＝，即＝，解得：x＝3，∴點(diǎn)E坐標(biāo)（3，3），點(diǎn)C（0，2），設(shè)直線CE解析式為y＝ax+b，將點(diǎn)E、C代入得，解得，∴直線CE的解析式為y＝．解法二：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥CD交EC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FH∠OD于H，設(shè)EC交x軸于點(diǎn)G．∵∠BEC＝∠CDO，∴∠BAO+∠EGA＝∠EGA+∠DCG，∴∠DCG＝∠AO＝45°，∴CD＝DF，∵∠FDH+∠CDO＝90°，∠CDO+∠DCO＝90°，∴∠DCO＝∠FDH，∵∠FHD＝∠DOC＝90°，∴△FHD≌△DOC（AAS），∴FH＝OD＝1，DH＝OC＝2，∴F（﹣3，1），∴直線CE的解析式為y＝．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)y＝mx（m≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，4），過點(diǎn)A的直線y＝kx+b（k＞0）與x軸、y軸分別交于B，C兩點(diǎn)．（1）求正比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若△AOB的面積為△BOC的面積的倍，求直線y＝kx+b的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，若一條平行于OA的直線DE與直線BC在第二象限內(nèi)相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)E，連接OD，當(dāng)OC平分∠AOD時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：（1）把點(diǎn)A（2，4）代入正比例函數(shù)y＝mx（m≠0），∴2m＝4，解得m＝2，∴正比例函數(shù)的表達(dá)式為：y＝2x；（2）當(dāng)點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸時(shí)，根據(jù)題意可畫出圖形，如下所示，過點(diǎn)A作x軸和y軸的垂線，垂足分別為N和M，則AM＝2，AN＝4，設(shè)△BOC的面積為3S，則△AOB的面積為4S，∴△AOC的面積為S，即△AOB的面積＝4△AOC的面積，∵△AOC的面積＝OC?AM＝OC，△AOB的面積＝OB?AN＝2OB，∴2OB＝4OC，即OB＝2OC，令x＝0，則y＝b，∴C（0，b），∴OC＝b，∴OB＝2b，即B（﹣2b，0），將B（﹣2b，0），A（2，4）代入函數(shù)解析式，可得，，解得，∴直線AB的解析式為：y＝x+3；當(dāng)點(diǎn)B在x軸正半軸時(shí)，如圖所示，設(shè)△BOC的面積為3S，則△AOB的面積為4S，∴△AOC的面積為7S，即7△AOB的面積＝4△AOC的面積，∵△AOC的面積＝OC?AM＝OC，△AOB的面積＝OB?AN＝2OB，∴14OB＝4OC，即OB＝OC，令x＝0，則y＝b，∴C（0，b），∴OC＝b，∴OB＝b，即B（﹣b，0），將B（﹣b，0），A（2，4）代入函數(shù)解析式，可得，，解得，∴直線AB的解析式為：y＝x﹣3；綜上，直線AB的解析式為：y＝x+3或y＝x﹣3；（3）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接OA′，由對(duì)稱可知，∠AOC＝∠A′OC，即OC平分∠AOA′，∴線段OA′與直線AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)D．由對(duì)稱可知，A′（﹣2，4），∴直線OA′的解析式為：y＝﹣2x，令﹣2x＝x+3，解得x＝﹣，∴y＝﹣2x＝，∴D（﹣，）．5．綜合與探究如圖1，直線AB與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)．知識(shí)初探：如圖1，求直線AB的解析式．探究計(jì)算：如圖2，若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，）拓展探究：如圖3，若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作線段AB的垂線，交x軸于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．類比探究：如圖4，過點(diǎn)C作線段AB的垂線，交x軸于點(diǎn)N，連接AN，當(dāng)∠OAN＝∠CAN時(shí)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，0）解：知識(shí)初探：設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3；探究計(jì)算：∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），∴由中點(diǎn)公式得，點(diǎn)C（2，），故答案為：2，；拓展探究：連接AM，設(shè)M（m，0），則OM＝m，BM＝4﹣m，∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，CM⊥AB，∴AM＝BM＝4﹣m，在Rt△AOM中，AM2＝OM2+OA2，∴（4﹣m）2＝m2+32，∴m＝，∴M（，0）；類比探究：∵NC⊥AB，NO⊥OA，∴當(dāng)∠OAN＝∠CAN時(shí)，即AN平分∠OAB時(shí)，NO＝NC，在Rt△OAN和Rt△ACN中，，∴Rt△OAN≌Rt△ACN（HL），∴AC＝AO＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝＝5，∴BC＝AB﹣AC＝2，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0），則ON＝n，則CN＝n，BN＝4﹣n，在Rt△BCN中，由勾股定理得（4﹣n）2﹣n2＝22，解得n＝，∴點(diǎn)MN的坐標(biāo)為（，0）．故答案為：，0．6．平面直角坐標(biāo)系中，已知A的坐標(biāo)為（﹣2，0），B在y軸正半軸上，且，將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，交y軸于點(diǎn)C．（1）求直線AC的解析式；（2）點(diǎn)D是直線AC上的一點(diǎn)，且滿足∠ADB＝∠ABC，求點(diǎn)D坐標(biāo)．解：（1）如圖：過點(diǎn)B作BM⊥AC于M，∵A的坐標(biāo)為（﹣2，0），，∴OA＝2，，在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得：，∵∠BAC＝45°，CM⊥AB，∴AM＝BM，在Rt△ABM中，由勾股定理得：，解得：，∵∠ACO＝∠BCM，∠AOC＝∠BMC，∴△ACO∽△BCM，設(shè)OC＝x，AC＝y(tǒng)，則，∴，即，，解得：，∴C（0，1）．設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），將點(diǎn)A（﹣2，0），C（0，1）代入得，，解得：，∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為．（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，∵OB＝6，∴B（0，6），∴，∵∠ADB＝∠ABC，∠AOB＝∠BMD＝90°，∴△ABO∽△BDM，∴，即，整理得：，兩邊同時(shí)平方：，解得：a1＝14，a2＝﹣10，當(dāng)a＝14時(shí)，，當(dāng)a＝﹣10時(shí)，a+1＝﹣4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（14，8）或（﹣10，﹣4）．7．如圖1，已知函數(shù)y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱．（1）請(qǐng)寫出點(diǎn)A坐標(biāo)（﹣6，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（0，3），直線BC的函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x+3；；（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q．①若△PQB的面積為，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②點(diǎn)M在線段AC上，連接BM，如圖2，若∠BMP＝∠BAC，直接寫出P的坐標(biāo)．解：（1）對(duì)于y＝x+3，由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱．∴C（6，0）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線BC的函數(shù)解析式為y＝﹣x+3；故答案為：A（﹣6，0），B（0，3），y＝﹣x+3；（2）①設(shè)點(diǎn)M（m，0），則點(diǎn)P（m，m+3），點(diǎn)Q（m，﹣m+3），過點(diǎn)B作BD⊥PQ與點(diǎn)D，則PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，則△PQB的面積＝PQ?BD＝m2＝，解得m＝±，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，3﹣）或（﹣，3+）；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA，∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°，∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，∴BM2+BC2＝MC2，設(shè)M（x，0），則P（x，x+3），∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，∴P（﹣，），如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，同理可得P（，），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）或（，）．8．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝﹣x+12與x軸交于點(diǎn)A，將l向下平移16個(gè)單位后交y軸于點(diǎn)B．（1）求∠OBA的余切值；（2）點(diǎn)C在平移后的直線上，其縱坐標(biāo)為6，聯(lián)結(jié)CA、CB，其中CA與y軸交于點(diǎn)E，求S△CBE：S△ABE的值；（3）點(diǎn)M在直線x＝3上且位于第一象限，聯(lián)結(jié)MA、MB，當(dāng)∠BMA＝∠OBA時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：（1）由題意可知，直線l：y＝﹣x+12，令x＝0，則y＝12，令y＝0，則x＝8，∴直線l：y＝﹣x+12與x軸交于點(diǎn)A（8，0），與y軸交于點(diǎn)A′（0，12），∴向下平移16個(gè)單位后的表達(dá)式為y＝﹣x+12﹣16＝﹣x﹣4，∴平移后的直線交y軸于點(diǎn)B（0，﹣4），∴OB＝4，∴cot∠OBA＝＝＝；（2）∵直線l平移后新的直線方程為y＝﹣x﹣4，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是6，∴﹣x﹣4＝6，解得x＝﹣，∴C（﹣，6），過點(diǎn)C作CN⊥y軸于N，∵A（8，0），∴＝＝＝；（3）如圖，設(shè)AB與直線x＝3交于點(diǎn)F，∵A（8，0），B（0，﹣4），∴AB所在的直線方程為y＝x﹣4，∴F（3，?），∵直線MF為x＝3，∴MF∥y軸．∴∠MBO＝∠BMF，∵∠BMA＝∠OBA，∴∠ABM＝∠AMF，∵∠MAB＝∠FAM，∴△ABM∽△AMF，∴，∴AM2＝AF?AB，∵AB＝＝4，AF＝＝，∴AM2＝AF?AB＝50，∴AM＝5，設(shè)M（3，h），∴AM＝＝5，解得：h＝5或﹣5（舍去），∴D（3，5）．9．如圖1，已知函數(shù)y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱．（1）求直線BC的函數(shù)解析式；（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q．①若△PQB的面積為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②連接BM，如圖2，若∠BMP＝∠BAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（1）解：對(duì)于由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）由y＝0得：，解得x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱∴C（6，0）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y＝kx+b，∴，解得∴直線BC的函數(shù)解析式為，（2）解：設(shè)M（m，0），則P（m，）、Q（m，）如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥PQ于點(diǎn)D，∴PQ＝，BD＝|m|，∴，解得，∴M（，0）或M（，0）；（3）解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°∴BM2+BC2＝MC2設(shè)M（x，0），則P（x，）∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝∴P（，），如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，同理可得P（，），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，），解法二：如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的左側(cè)時(shí)，∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°設(shè)直線BM的解析式為y＝k1x+b1，則有，∴k1＝2∴直線BM的解析式為y＝2x+b1，將點(diǎn)B（0，3）代入得，b1＝3，∴直線BM的解析式為y＝2x+3，由y＝0得x＝，將x＝代入得，∴P（，），如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在y軸的右側(cè)時(shí)，同理可得P（，），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．10．如圖，直線y＝3x+3交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)C為x軸正半軸上一點(diǎn)，且AC＝BC．（1）求直線AC的解析式；（2）點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿y軸的正方向運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)P作x軸的平行線，分別交直線AB，AC于點(diǎn)D、E，若設(shè)DE＝d，求d與t的函數(shù)解析式，并直接寫出t的取值范圍；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE，若2∠BED＝3∠BCE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（0，3），B（﹣1，0），設(shè)C（m，0），m＞0，則AC＝，BC＝m+1，∵AC＝BC，∴＝m+1，解得m＝4，∴C（4，0），設(shè)直線AC解析式為y＝kx+3，則0＝4k+3，∴k＝﹣，∴直線AC解析式為y＝﹣x+3；（2）在y＝3x+3中，令y＝t得x＝＝﹣1，∴D（﹣1，t），在y＝﹣x+3，令y＝t得x＝﹣t+4，∴E（﹣t+4，t），當(dāng)0≤t≤3時(shí)，如圖：∵DE＝xE﹣xD＝（﹣t+4）﹣（﹣1）＝﹣t+5，∴d＝﹣t+5，當(dāng)t＞3時(shí)，如圖：∵DE＝xD﹣xE＝（﹣1）﹣（﹣t+4）＝t﹣5，∴d＝t﹣5，綜上所述，d＝；（3）過B作BN⊥EC于N，過E作EM⊥AD于M，如圖：∵2∠BED＝3∠BCE，∴2（∠BEC+∠DEC）＝3∠BCE，∵DE∥x軸，∴∠DEC＝∠BCE，∴2（∠BEC+∠BCE）＝3∠BCE，∴∠DEC＝∠BCE＝2∠BEC，∵AC＝BC，DE∥x軸，∴∠CAB＝∠CBA＝∠EAD＝∠EDA，∴ED＝EA，∵EM⊥AD，∴∠DEC＝2∠DEM，DM＝AD，∴∠DEM＝∠BEC，∴sin∠DEM＝sin∠BEC，即＝，∴DM?BE＝ED?BN，由（2）知：當(dāng)t＞3時(shí)，ED＝t﹣5，∵BC?OA＝AC?BN，AC＝BC，∴BN＝OA＝3，∴DM?BE＝（t﹣5）×3＝5（t﹣3），由（2）知：D（﹣1，t），E（﹣t+4，t），而A（0，3），B（﹣1，0），∴DM＝AD＝＝＝＝（t﹣3），BE＝＝，∴（t﹣3）?＝5（t﹣3），∵t＞3，∴×＝5，解得t＝或t＝﹣3（舍去），∴E（﹣，）．11．平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A．（1）直接寫出直線AB關(guān)于x軸對(duì)稱的直線BC的解析式y(tǒng)＝﹣2x﹣4；（2）在（1）條件下，如圖1，直線BC與直線y＝﹣x交于E點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，PE＝PB，求P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在（1）（2）條件下，如圖2，點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，∠OEB＝∠PEA，直線EP與直線AB交于點(diǎn)M，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）∵直線y＝2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A．∴A（0，4），B（﹣2，0），∵直線AB與直線BC關(guān)于x軸對(duì)稱，∴C（0，﹣4），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，；∴直線BC的解析式為y＝﹣2x﹣4；故答案為：y＝﹣2x﹣4；（2）∵，∴，∴E（﹣4，4），∴AE⊥AO，設(shè)OP＝a，AP＝4﹣a，在Rt△BOP和Rt△EAP中，BP2＝4+a2，PE2＝16+（4﹣a）2，∵PE＝PB，∴4+a2＝16+（4﹣a）2，解得a＝3.5．∴P（0，3.5）．（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的下方，∵∠OEB＝∠PEA，∠AEO＝45°，∴∠PEB＝45°，過點(diǎn)B作BN⊥BE交直線EP于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NQ⊥OB于Q，過點(diǎn)E作EH⊥OB于點(diǎn)H，∴△EBN為等腰直角三角形，∴EB＝BN，∵∠BEH+∠EBH＝90°，∠EBH+∠NBQ＝90°，∴∠BEH＝∠NBQ，又∵∠EHB＝∠BQN＝90°，∴△EHB≌△BQN（AAS），∴NQ＝BH＝2，BQ＝EH＝4，∴N（2，2），設(shè)直線EN的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線EN的解析式為y＝﹣x+，∴，解得，即M（﹣，）；②P點(diǎn)在A點(diǎn)的上方，由①知圖1中OP＝，則AP＝，∴OP＝，設(shè)直線EP的解析式為y＝mx+，∵E（﹣4，4），∴﹣4m+＝4，解得m＝，∴直線EP的解析式為y＝x+，∴，解得，∴M（0.8，5.6）．綜合以上可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，）或（0.8，5.6）．12．如圖1，直線y＝x﹣5與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A為y軸正半軸上一點(diǎn)，且S△ABC＝75．（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)及直線AB的解析式：（10，0）、（0，﹣5）、y＝﹣x+10；（2）如圖2，點(diǎn)P為線段OB上一點(diǎn)，若∠BCP＝45°，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)：（，0），并簡(jiǎn)要寫出解答過程；（3）如圖3，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，M是OA上一點(diǎn)，連接DM，過點(diǎn)D作DN⊥DM交OB于點(diǎn)N，連接BM，若∠OBM＝2∠ADM，請(qǐng)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并簡(jiǎn)要寫出解答過程．解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，，∴x＝10，∴B（10，0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），∵，∴＝75，∴AC＝15，∴OA＝AC﹣OC＝10，∴A（0，10），設(shè)直線AB的解析式是：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+10，故答案是（10，0），（0．﹣5），y＝﹣x+10；（2）如圖2，作BD⊥CP于D，作DE⊥OC于E，作BF⊥DE于F，∴∠CED＝∠BFD＝∠CDB＝90°，∴∠ECD+∠EDC＝90°，∠EDC+∠PDF＝90°，∴∠ECD＝∠BDF∵∠BCP＝45°，∴∠CBD＝90°﹣∠BCP＝45°，∴∠CBD＝∠BCP，∴CD＝BD，∴△CED≌△DFB（AAS），∴BF＝DE，DF＝CE，∵OE＝BF，∴OE＝DE∴DF＝CE＝OC+OE＝5+DE，∵EF＝OB＝10，∴DE+DF＝10，∴DE+（5+DE）＝10，∴OE＝DE＝，∴D（，），∵D（0，﹣5），∴直線CD的解析式是：y＝3x﹣5，∴當(dāng)y＝0時(shí)，3x﹣5＝0，∴x＝，∴P（，0），故答案是（，0）；（3）如圖3，連接OD，MN，在射線OB上截取EO＝ON，∵M(jìn)O⊥OB，∴∠ME＝MN，∴∠EMN＝2∠OMN，∠MEN＝∠MNE，∵DN⊥DM，∴∠MDN＝∠MON＝90°，∴點(diǎn)M、O、N、D共圓，∴∠OMN＝∠ODN，在Rt△AOB中，OA＝OB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴∠OAD＝∠DON＝45°，OD＝AD，∠ADO＝90°，∵∠MDN＝90°，∴∠ADO﹣∠MDO＝∠MDN﹣∠MDO，∴∠ODN＝∠ADM，∴△ADM≌△ODN（ASA），∴AM＝ON，∵∠OBM＝2∠ADM，∴∠OBM＝∠EMN，∴∠BEM＝∠BME，∴BM＝BE，設(shè)OM＝m，∴OE＝ON＝AM＝10﹣m，∴BE＝OE+OB＝10﹣m+10＝20﹣m，在Rt△BOM中，BM2＝OB2+OM2＝100+m2，∴100+m2＝（20﹣m）2，∴m＝，∴M（0，）．13．如圖，直線y＝kx+2（k＜0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A．（1）如圖1，點(diǎn)P（﹣1，3）在直線y＝kx+2（k＜0）上，求點(diǎn)A、B坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，如圖2，點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)Q是第二象限內(nèi)一點(diǎn)，連接AQ、PQ、QA'和PA'，如果△PQA'和△AA'Q面積相等，且∠PAQ＝∠APA'，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）如圖3，點(diǎn)C和點(diǎn)D是該直線在第一象限內(nèi)的兩點(diǎn)，點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)，且兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差為1，且CD＝k+2，作CE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，連接DE，若∠OAB＝2∠DEB，求k的值．解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴A（0，2），把點(diǎn)P（﹣1，3）代入直線y＝kx+2（k＜0）得：﹣k+2＝3，解得：k＝﹣1，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+2，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+2＝0，解得：x＝2，∴B（2，0）；（2）分兩種情況：①點(diǎn)Q在直線AB的下方時(shí)，過點(diǎn)A'作A'Q∥AB，設(shè)AQ與A'P交點(diǎn)為M，延長(zhǎng)QP交y軸于點(diǎn)N，如圖2所示：∵平行線間的距離處處相等，且QA'為公共底邊，∴△PQA'和△AA'Q面積相等，∵∠PAQ＝∠APA'，∴MA＝MP，∵A'Q∥AB，∴∠PAQ＝∠AQA'，∠APA'＝∠PA'Q，∴∠AQA'＝∠PA'Q，∴A'M＝QM，∴AQ＝A'P，∴△PQA'≌△AA'Q（SAS），∴∠PQA'＝∠AA'Q，PQ＝AA'，∵點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，A（0，2），∴A'（0，﹣2），∴PQ＝AA'＝2+2＝4，由（1）可知OA＝OB，∴∠BAO＝45°，∵A'Q∥AP，∴∠PQA'＝∠AA'Q＝45°，∴∠QNO＝90°，∴QN⊥y軸，∵P（﹣1，3），∴PN＝1，ON＝3，∴QN＝PQ+PN＝5，∴Q（﹣5，3）；②當(dāng)點(diǎn)Q在直線AB的上方時(shí)，如圖2﹣1所示：∵∠PAQ＝∠APA'，∴AQ∥A'P，當(dāng)PQ∥AA'時(shí)，四邊形A'PQA是平行四邊形，∴△PQA'的面積＝△AA'Q面積，此時(shí)Q（﹣1，7），滿足條件；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣5，3）或（﹣1，7）；（3）過D作DF⊥CE于F，如圖3所示：∵∠CEB＝90°，∴∠CED＝90°﹣∠DEB，∵CE∥OA，∴∠OAB＝∠ECD，∵∠OAB＝2∠DEB，∴∠ECD＝2∠DEB，∴∠CDE＝180°﹣∠ECD﹣∠CED＝18