2025年中考數(shù)學(xué)專題30 探照燈專題（原卷版）

模型介紹模型介紹定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最小值，即△ABC的面積有最小值.定角夾定高也叫探照燈模型.模型剖析如何確定△ABC面積的最小值呢？首先我們連接OA,OB,OC.過O點(diǎn)作OH⊥BC于H點(diǎn).（如右上圖）顯然OA+OHAD，當(dāng)且僅當(dāng)A,O,D三點(diǎn)共線時(shí)取“=”.由于∠BAC的大小是一個(gè)定值，而且它是圓O的圓周角，因此它所對(duì)的圓心角∠AOB的度數(shù)，也是一個(gè)定值.因此OH和圓O的半徑有一個(gè)固定關(guān)系，所以O(shè)A+OH也和圓O的半徑，有一個(gè)固定的等量關(guān)系.再根據(jù)我們剛才說的OA+OHAD，就可以求得圓O半徑的最小值.簡證：OA+OHAD，∵四邊形OEDH為矩形，∴OH=ED，在Rt△AOE中，AO>AE，∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD步驟指引1.作定角定高三角形外接圓，并設(shè)外接圓半徑為r，用r表示圓心到底邊距離及底邊長；2.根據(jù)“半徑+弦心距≥定高”，求r的取值范圍；3.用r表示定角定高三角形面積，用r取值范圍求面積最小值.例題精講例題精講【例1】．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝12，點(diǎn)E，F(xiàn)均在AD上，且∠ABE+∠FCD＝90°，則四邊形BCFE面積的最大值為．【變式1-2】．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF＝60°，則△AEF的面積的最小值是．【例2】．如圖，已知在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，則BD的最大值為．變式訓(xùn)練【變式2-1】．已知點(diǎn)O為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)O到直線距離為4，點(diǎn)A、B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AOB＝30°則△ABO的面積最小值為．1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE面積的最小值為．2．如圖，∠AOB＝45°，在邊OA，OB上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C、D．連接CD，以CD為直角邊作等腰直角三角形CDE，當(dāng)CD的長度保持不變且等于2cm時(shí)，則OE的最大值是．3．如圖，已知△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，且AD＝4，則△ABC面積的最小值為．4．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分別為邊BC及射線CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠EAF＝45°，△AEF面積的最小值．5．已知點(diǎn)D（2，a）為直線y＝﹣x+3上一點(diǎn)，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D處旋轉(zhuǎn)，保持兩直角邊始終交x軸于A、B兩點(diǎn)，C（0，﹣1）為y軸上一點(diǎn)，連接AC，BC，則四邊形ACBD面積的最小值為．6．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且AD＝CE，連接DE，求的最小值．7．邊長為a（a為常數(shù)）的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊CD和邊BC上，且∠EAF＝45°（1）線段EF的最小值；（2）S△ECF的最大值；（3）S△ECF的最小值．8．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊，得到△APE，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，為點(diǎn)P，連接EP并延長，交BC于點(diǎn)F，連接AF、CP．（1）求證：∠EAF＝45°；（2）當(dāng)AF∥CP時(shí)，求DE的長；（3）試探究△AEF的面積是否存在最小值，若存在，求出△AEF面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸的正半軸上．△AOB的兩條外角平分線交于點(diǎn)P，P在反比例函數(shù)y＝的圖象上．PA的延長線交x軸于點(diǎn)C，PB的延長線交y軸于點(diǎn)D，連接CD．（1）求∠P的度數(shù)及點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求△OCD的面積；（3）△AOB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上（不與B、C重合）．（1）如圖（1），若四邊形ABCD是正方形，AE⊥EF，AE＝EF，連CF．①求∠BCF的大?。虎谌鐖D（2），點(diǎn)G是CF的中點(diǎn)，連DG、ED，若DE＝6，求DG的長；（2）如圖（3），若四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)M在AD邊上，∠AEM＝60°，CD＝9，求線段AM的最小值．11．如圖，在Rt△ABC中，AC＝8，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，且∠EDF＝120°，連接EF．（1）如圖①，當(dāng)DE⊥AB時(shí)，求DF的長；（2）如圖②，過點(diǎn)D作DG⊥DE交AC于點(diǎn)G．連接EG．①求證：EG∥DF；②求△DEF面積的最小值．12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，過點(diǎn)B作直線m∥AC，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C（點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B′），射線CA′，CB′分別交直線m于點(diǎn)P，Q．（1）如圖1，當(dāng)P與A′重合時(shí)，求∠ACA′的度數(shù)；（2）如圖2，設(shè)A′B′與BC的交點(diǎn)為M，當(dāng)M為A′B′的中點(diǎn)時(shí)，求線段PQ的長；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在CA′，CB′的延長線上時(shí)，試探究四邊形PA'B′Q的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形PA′B′Q的最小面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．輔助圓之定角定高求解探究（1）如圖①，已知線段AB，以AB為斜邊，在圖中畫出一個(gè)直角三角形；（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD為AB邊上的高，若CD＝4，試判斷AB是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出AB最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出面積的最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．14．問題提出（1）如圖①，點(diǎn)O是等邊△ABC的內(nèi)心，連接OB、OC，則∠BOC的大小為；問題探究（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，點(diǎn)M、N分別是DE、BC的中點(diǎn)，連接MN．若BD＝8，CE＝6，求MN的長；問題解決（3）如圖③，某小區(qū)計(jì)劃在一片足夠大的空地上修建四邊形的花園ABCD，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD與BC之間的距離為40m，∠A+∠D＝225°．試求四邊形花園ABCD面積的最小值．15．問題探究（1）如圖①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，則S△ABC＝．（2）如圖②，已知四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，請(qǐng)求出四邊形ABCD面積的最大值．問題解決（3）如圖③，某小區(qū)有一個(gè)四邊形花壇ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．為迎接“十四運(yùn)”，