廣東省部分學(xué)校2024屆高三5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

廣東省高三5月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.方程式一/+*-1=0的一個根是（）

A.-2iB.-1

【答案】D

【解析】

【分析】因式分解后解方程可得.

【詳解】原方程可化為（》—1）（必+1）=0,所以x=l或x=±i,

故選：D.

2.拋物線必=的焦點坐標(biāo)是[o,-g],則焦點到準(zhǔn)線的距離為（）

13

A.1B.-C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的知識求解.

1o

【詳解】由題意幺=—-,a=-2,即拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為必=-2y,所以焦點到準(zhǔn)線的距離為一=1,

42'2

故選：A.

3.長方體ABC。-A/G2中，四邊形A54A為正方形，直線8c與直線AD所成角的正切值為2,則

直線與。與平面ABCD所成角的正切值為（）

22A/5C「n4

AA.-BD?虧C.43D.—

【答案】B

【解析】

【分析】由異面直線所成的角求得長方體中棱的關(guān)系，再根據(jù)線面角定義計算.

【詳解】長方體中，AD//BC,所以N5CG就是直線用C與直線AD所成角，

因此tanZBCg=毀=2,即

1BC21

又由55］，平面ABC。知NBQB是直線B}D與平面ABCD所成角,

23姿DDBB]_BB]275

VCZ)2+BC2jW+g典)2

故選：B.

4.某公司的員工中，有15%是行政人員，有35%是技術(shù)人員，有50%是研發(fā)人員，其中60%的行政人

員具有博士學(xué)歷，40%的技術(shù)人員具有博士學(xué)歷，80%的研發(fā)人員具有博士學(xué)歷，從具有博士學(xué)歷的員

工中任選一人，則選出的員工是技術(shù)人員的概率為（）

2124

A.-B.-C.—D.一

5599

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)事件A="選出的員工是行政人員"，5=“選出的員工是技術(shù)人員”，C="選出的員工是研發(fā)人

員”，￡>="選出的員工具有博士學(xué)歷”，由全概率公式及條件概率公式分別求出％。）和P（DB）,即可求

解.

【詳解】設(shè)事件A="選出的員工是行政人員"，3=“選出的員工是技術(shù)人員”，C="選出的員工是研發(fā)人

員”,￡>="選出的員工具有博士學(xué)歷”，

由題可知，P(A)=0.15,P(B)=0.35,P(C)=0.5,P(D|A)=0.6,P(D\B)=0.4,

P(D|C)=0.8,

所以P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)

=0.15x0.6+0.35x0.4+0.5x0.8=0.63,

==喘4噂叫?！?,

P(BD)0.142

所以P(BD)=--------=------=—

P(D)0.639

故選：C.

5.已知等差數(shù)列｛a,J的前〃項和為若5%-2s5=2,貝16a6-2$6=（）

126

A.4B.—C.—D.6

55

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前〃項和公式可解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

則5a§—2s§=5（q+4d）—2（56+10d）=—5q=2,

2

所以q=——,

（2、12

又6〃6—2s6=6（q+5d）—2（6q+15d）=—6i]——6xI——I=.

故選：B

6.正三角形ABC所在的平面垂直于正三角形A3。所在的平面，且A,B,C,。四點在半徑為百的球。

的球面上，則的長為（）

A.5B.272C.4D.3亞

【答案】D

【解析】

【分析】記A3的中點為P,jABC和△A3。的重心分別為M,N,然后證明四邊形PMON是正方形,

再求其邊長，即可得到CP=D尸=3,最后用勾股定理求解即可.

c

如圖，記A3的中點為尸，和△A3。的重心分別為則分別由Q4=05=0C,

04=05=0￡）可知31垂直于平面48。，ON垂直于平面ABZ）.

從而由和PN分別在平面ABC和平面ABD內(nèi)，知QM,尸M,ONLPN.

而平面ABC垂直于平面ABD,其交線為AB，PAI在平面ABC內(nèi)，PMLAB,故垂直于平面

ABD,再由尸N在平面ABD內(nèi)，知PM上PN.

所以四邊形PMON是矩形，而PM，CP=?AP=LDP=PN，故四邊形PMON是正方形.

333

設(shè)正方形PMON的邊長為。，則MO=a,G0=2MP=2a.同時，由已知條件得OC=石.

由勾股定理有M02+CM2=℃2,故/+（2a）2=（石『，解得q=i.

最后，由于尸MLZW,CP=3PM=3a=3,DP=3PN=3a=3,故

CD=《C尸+D產(chǎn)=<9+9=3叵，D選項正確?

故選：D.

7.把數(shù)字1、2、3分別寫在9張卡片上，其中有4張寫著1,4張寫著2,1張寫著3,把這9張卡片排成

三行三列，每行每列都是三張卡片，則每行和每列的卡片上數(shù)字和為奇數(shù)的排法的種數(shù)有（）

A.30B.27C.54D.45

【答案】D

【解析】

【分析】從寫有數(shù)字3的卡片，開始考慮，分3所在的行要么由2個1,要么沒有1,有5種排法，由于3

可以放在這9個位置中的任何一個位置，因此共有45種排法.

【詳解】每張卡片都有所在的行和列，為了保證每行每列的數(shù)字和為奇數(shù)，

所以每行和每列有3個奇數(shù)或者1個奇數(shù)，

首先考慮寫有數(shù)字3的卡片，然后再考慮寫有數(shù)字1的卡片，

3所在的行要么有2個1,要么沒有1,

當(dāng)3所在的行有兩個1時，另外兩個1必須在同一列，于是有3種排法，

當(dāng)3所在的行沒有1時，剩下的兩行應(yīng)該是一行3個1,一行1個1,

于是有2種排法，所以對于3的每一個位置有5種排法，

由于3可以放在這9個位置中的任何一個位置，因此共有45種排法.

故選：D

8.已知正實數(shù)a,6,記M=max<:,則M的最小值為（）

A.72B.2C.1D.8

【答案】A

【解析】

【分析】由已知得出+結(jié)合M2義得出河2?上2,根據(jù)基本不等式即可求解.

7ab

【詳解】由Af=max<4a,b.

y/ab

所以2M24Q+Z?,即河22。+工人,

2

因為"‘焉'所以心上

yjab

因為2a+工1>22/2a*工1>=2y[ab,當(dāng)且僅當(dāng)2a=,人時等號成立,

2V22

所以“a〉?%'當(dāng)且僅當(dāng)M=4a,M=6,M=與，即后

時，等號成立，

故選：A.

11

【點睛】關(guān)鍵點睛：當(dāng)a>〃>0,c>d>0時，有ac>bd；即M22a+—人且M2乙=,兩式相乘，進(jìn)

27ab

而得出最小值.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用/⑺表示從『=0開始，晶

體管數(shù)量隨時間/變化的函數(shù)，若/■(())=1000,則下面選項中，符合摩爾定律公式的是()

A.若/是以月為單位，則/V)=1000+甯f

B.若才是以年為單位，貝4/(。=1000x(應(yīng))'

C.若/是以月為單位，則lg/?)=3+11：f

D.若/是以年為單位，則?.想[2'+11

lg/(0=3+^-^L

【答案】BC

【解析】

【分析】對AC,計算/(24),/(48),/(72),滿足/(24)=2/(0),/(48)=2/(24),/(24〃)=1000x2",

〃eN*,可確定，對CD,計算/(2),/(4),/(6),滿足/(2)=2/(0),/(4)=2/(2),/(2n)=1000x2",

〃eN*,可確定.

【詳解】選項A,/(24)=2000=2/(0),”48)=3000,2/(24),A不符合；

選項B,/⑵=2000=2/(0),/(4)=4000=2/(2),/(2n)=1000x2z,,〃eN*,符合；

選項C,Ig"/)=3+^，則/⑺=1(/+刃=]000*2N，/(24)=2x1000,

/(48)=4000=2/(24),/(24“)=1000x2","eN*,符合，

坨(當(dāng)+1]3-

選項D，，，mA2%)=1000x(r+l)2，

培?/⑺—D十2N

1

/(2)=2xl000=/(0),a4)=1000x7302/(2)，不符合?

故選：BC.

10.ABC的重心為點G,點。，P是，ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足OP=Q4+O8+OC，則

()

A.O,P,G三點共線B.OP=2OG

C.2OP=AP+BP+CPD.點P在〃15。的內(nèi)部

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運算即可判斷.

【詳解】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC

=3OG+GA+GB+GC，

因為點G為的重心，

所以GA+G3+GC=0，所以0P=30G，

所以O(shè),P,G三點共線，故A正確，B錯誤；

AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP

=(AO+BO+CO)+3OP,

因為。p=OA+O3+OC，

所以(40+80+。0)+30「=—OP+30P=2OP,即2OP=AP+BP+CP，故C正確；

因為0P=30G，

所以點尸的位置隨著點。位置的變化而變化，故點P不一定在一ABC的內(nèi)部，故D錯誤；

故選：AC.

11.已知函數(shù)/(x)=COS(69X+^)^>0,1滿足=/(-%),/^+/^=0,且在

(JT5711

正■，石■上單調(diào)遞減，則()

A.函數(shù)y=的圖象關(guān)于點對稱B.9可以等于

C.?？梢缘扔?D.①可以等于3

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，可得函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于犬=-：對稱，關(guān)于點對稱，由三角函數(shù)的對稱性

7T

性質(zhì)可得。=±］，從而判斷選項A、B；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可求出①的值，從而判定選項C、D.

【詳解】由/%—]則/卜一：,7171

/(r)，=fX+------

I42

所以函數(shù)＞=/（無）的圖象關(guān)于x=q對稱，

「兀717157171

又——<一<一<一,且/r+f0,

126312

(1

貝1JFT0,

即函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于點￡,0對稱，故A正確;

7T7T

根據(jù)函數(shù)受,⑴的圖象關(guān)于A/對稱,得一了0+0=%,匕='

根據(jù)函數(shù)＞=/（尤）的圖象關(guān)于點，。對稱,717177r7

—+左2兀,攵2￡Z，

可得，0=,+（&:左）兀，0=]+2（&_匕），

TT7T

由于所以。=±],故B正確；

?兀II兀5兀/口〃譏兀715(07171

當(dāng)夕=一時，由一<%<一,得——+—<6(>X+—<-----+—,

412121244124

715兀

根據(jù)函數(shù)y=/（x）在上單調(diào)遞減,

12912

CDTlTI

——+—>2E

124924

可得《,即24k-3<a><—+—k,

5am兀55

+—<7i+2kn

I124

又口＞0,所以左=0,0＜。＜（,又。=1+2（右一勺），所以。=1,

、“?！梗?兀,得要-71兀5am兀

當(dāng)0二——時，由一＜x＜——<a>x——<

412121244124

715兀

根據(jù)函數(shù)＞=/（尤）在上單調(diào)遞減,

12512

--->2hi

12424

可得《,即24左+3V①V3+1-左，

5am兀

—<兀+2防i

I124

又①>U,所以左=o,(y=3,故C錯誤，D正確.

故選：ABD

jrJT"

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于x=對稱，得——。+0=占兀,￡eZ,根據(jù)函數(shù)

44

(兀)71JT

>=/(無)的圖象關(guān)于點I-,oI對稱，-a)+(p=-+k2Ti,k2^Z,從而

<=：+(匕；|)",0=1+2(&_匕).

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知集合4={-2,-1,0,1,2},集合5=卜|V—%—。<0},寫出滿足A5={0,1}的一個實數(shù)。的值

【答案】1(答案不唯一)

【解析】

【分析】由已知得出{0,1}18,設(shè)/(?=必—%—結(jié)合圖象列出不等式組求解即可.

【詳解】因為A8={0,1},所以{0,1}18,

^f(x)=x2-x-a,則/(%)<。的整數(shù)解為0』，

則/(0)<0,/(1)<0,/(一1)20且/(2)2。，解得0<。<2,

故答案為：1.

1

13.已知函數(shù)%=%5的圖象與函數(shù)為=晨(?！?且awl)的圖象在公共點處有相同的切線，則。=

，切線方程為.

【答案】?.②.x-2^y+e=0

c

【解析】

【分析】設(shè)公共點為（%，%）（5>0），即可得至1」優(yōu)。=1，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到;釬=廢。Ina,從

而求出》,即可求出切點坐標(biāo)，從而求出。，再求出切線方程.

，￡

【詳解】設(shè)公共點為（九0，%）（%>0）,貝卜為=和，即*=,，所以Xolna=；lnXo,

,1,

所以Ina—ln%0,

2%

11

由％'=耳釬，為'=優(yōu)也。，所以％'|/=5/2，

1-11」1J

又在公共點處有相同的切線，所以■1/2=屋。111〃,即一/02=片----In/,所以ln%o=l,則

22%o

%o=e,%=/，

I111,1

1—1--

則〃=e五，所以切線方程為。2=：e2（%—e7即％-2&y+e=0.

故答案為：F；%-2Cy+e=0

xy2

14.己知橢圓C：j+=l（a〉6〉0）的右焦點是F，過點產(chǎn)作直線/交橢圓于點A,B,過點尸與直

a~b2

12

線/垂直的射線交橢圓于點尸，且三點A,O,尸共線（其中。是坐標(biāo)原點），則橢圓的離

心率為.

【答案】旦/小

33

【解析】

【分析】先證明四邊形AEPF'是矩形，然后利用已知條件求出A尸5三邊的比例，再利用橢圓的定義求出

|AE'|和|A同與a的關(guān)系式，最后利用尸「+|A阡=|/肝=公2即得離心率.

【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為尸,.由于A,O,P三點共線，故由橢圓的對稱性知|Q4|=|0P|,而

|0周=|。尸故四邊形AE所'是平行四邊形.

又因為石4，,故四邊形AFP廳是矩形.

\AF'\_|PF|5

由于四邊形AE所'是矩形，故

\AB\~\AB\~12

BFAB

'\=jW'「+"2=，總時+M=^\\

從而可設(shè)|4/1=5鼠|筋|=12左，忸尸|=13左，此時

30k^\AF'\+\AB\+\BF'\^\AF'\+\AF\+\BF\+\BF'\^2a+2a^4a.

9224

這得到左=正。，所以|A尸1=5左=ga,|Ab|=2a—|Ak|=2a—§a=§a.

最后由|Abf+,尸「=|廣目2得到=4c2,故R=

a29

從而橢圓的離心率e=-=-

ava9-V

故答案為：昱

3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于利用矩形的性質(zhì)和橢圓的定義研究”4尸’3的三邊，從而避免直

接直線與橢圓聯(lián)立導(dǎo)致繁雜的計算.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

32

15.已知函數(shù)/(%)=ax~—(3a+l)x+X,QwR.

(1)討論函數(shù)內(nèi)九)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)Ax)的極小值為-2,求實數(shù)。的取值集合.

3

【答案】(1)答案見解析

、171,

(2)ae{r—,—,—)

3312

【解析】

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)。的不同范圍，分別求出函數(shù)的單調(diào)性；

(2)結(jié)合(1),由。的不同范圍確定極小值點，列出方程求解即可.

【小問1詳解】

f\x)-3ax2-(3a+l)x+1=(3ax-l)(x-1),

①當(dāng)a=0時，令/'(%)=—(x—l)=。，x=l,

當(dāng)xe(—8,1)時，>0,/(無)單調(diào)遞增，

當(dāng)為e(l,+8)時,f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

②當(dāng)a<0時，令/'(%)=(3公—l)(x—1)=0,解得x=l或x=2<0,

3a

當(dāng)xe(―oo,—)和(1,+℃)時，/'(尤)<0,/(x)單調(diào)遞減；

3a

當(dāng)xe(二-,l)時,尸(龍)>0,/(X)單調(diào)遞增;

3a

③當(dāng)a>0時，令/'(x)=(3依—1)(%—1)=0,解得％=1或％=上>0,

3a

i)當(dāng)，<1時，即a>工時，

3a3

當(dāng)xe(—oo,工)和(1,+8)時，f\x)>0,單調(diào)遞增；

3a

當(dāng)xe(上,1)時，f'(x)<0,/(?單調(diào)遞減;

3a

ii)當(dāng)」->1時，即0<。<工時，

3a3

當(dāng)xe(一雙1)和(L,+oo)時，f\x)>0,/⑴單調(diào)遞增；

3a

當(dāng)無￡(1,--)時，/'(%)<。，/W單調(diào)遞減；

3a

iii)當(dāng)3=1時，即。=’時，f'(x)>0,/(X)在R上單調(diào)遞增；

3a3

綜上所述，當(dāng)a<0時，/⑴在(-8,」)和(1,y)單調(diào)遞減，/⑺在(2/)單調(diào)遞增;

3a3a

當(dāng)a=0時，/(x)在(―°0,1)單調(diào)遞增，/(%)在(1,+°0)單調(diào)遞減；

當(dāng)Q=’時，/(X)在R上單調(diào)遞增；

3

當(dāng)。〉一時，/(幻在(―8,--)和(1,單調(diào)遞增，/(%)在(--/)單調(diào)遞減；

33a3a

當(dāng)0<。<!時，/(%)在(一8,1)和(」-,+oo)時單調(diào)遞增；/⑺在(1,1-)單調(diào)遞減.

33a3a

【小問2詳解】

①當(dāng)〃二’時，"X)在R上單調(diào)遞增，無極值；

3

②當(dāng)〃<0時，f(x)在(―8,)和(1,+8)單調(diào)遞減，/(%)在(,1)單調(diào)遞增；

3a3a

所以/(X)的極小值為/?(上)，

3a

故/(—)=6i(—)3——(3d5+l)(—)2+————，

3a3a23a3a3

化簡得，(工―12)(工+3)=0,解得。=—：或。=二(舍去)；

aa312

③當(dāng)Q>—時，/(X)在(―8,)和(1,+8)單調(diào)遞增，/(%)在(/)單調(diào)遞減，

33a3a

所以〃尤)的極小值為/(I),

127

故7(1)=〃—5(3Q+1)+1=—解得〃=§,符合題意；

④當(dāng)0<Q<—時，/(九)在(―8,1)和(,+8)時單調(diào)遞增；/(九)在(1,)單調(diào)遞減,

33a3a

所以了⑴得極小值為了(上)，

3a

故/(；)=祇；)3-：(3"+1)(；)2+；=—3,解得“=上或。=一：(舍去).

3a3a23a3a312i

171

故實數(shù)ae{—,—,一}.

3312

16.已知四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是矩形，AB=AP=2,BC=PC=拒,cosZPCB=~.

3

(1)求證:平面平面ABC。；

(2)求二面角3—24—。的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

2770

35

【解析】

【分析】(1)作于〃，連接證明由余弦定理求得PB,證得PHLBH,

從而可得_1_平面ABCD,從而可得證面面垂直；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角.

【小問1詳解】

因為=A尸=2,BC=PC=應(yīng)，cosZPCB=j

2

PB=y/PC+BC--2PCBCcosZPCB=Afe+2-2xV2x72x-=濁,

V33

作？HLAC于H,連接BH,

由己知。A=AB,CP=CB,AC=AC得zXB4c絲_BAC,

因此△B4C繞AC旋轉(zhuǎn)后點尸可與點B重合，因此由？HLAC得跳/LAC,PH=BH,

由已知AC=JAB?+502=屈,所以AP?+C產(chǎn)=AC2,從而轉(zhuǎn)JLCP,

所以BH=PH==空,從而有5H2+PR2=,所以PH_LBH,

又BH\AC=H,3〃,4。匚平面438,所以PH,平面ABC。,

又因為PHu平面PAC,所以平面K4CJ_平面ABCD；

【小問2詳解】

過〃作于作HN上BC于N,

由(1)得CH=1PC?-PH

由9，5C,ABLBC得HNIIAB,所以_CHNsACAB,

所以網(wǎng)=必所以口入,ABCHZXT2,同理

ABCACA763)

因此"到邊CD的距離為正，H到邊A。的距離為士,

33

以ZM為X軸，DC為y軸，過。與直線PH平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖，

->

y

則A("0,0),3(后,2,0),D(0,0,0),「(/[，,)，

DA=(V2,0,0),AB=(0,2,0),42=(一逑,3,氈),

333

設(shè)平面？AZ）的一個法向量是加=（%,乂，4）,

'，D_2夜4273「

m,Ar-------xH—ViH-----Zi-0

則《3y'33,取4=1得〃z=(o,_9」)，

m-DA=A/2%]=0一

設(shè)平面的一個法向量是〃=（%,%，z?））

20426_n

TI,Ai-------xoH—yoH-----Z-)-0取々=&得〃=（四,0,半）,

則333

m-AB=2y2=0

2y/70

35

由圖知二面角5—A4—D是鈍二面角，所以其余弦值為-士叵.

35

17.一枚棋子在數(shù)軸上可以左右移動，移動的方式以投擲一個均勻的骰子來決定，規(guī)則如下：當(dāng)所擲點數(shù)

為1點時，棋子不動；當(dāng)所擲點數(shù)為3或5時，棋子在數(shù)軸上向左（數(shù)軸的負(fù)方向）移動“該點數(shù)減1”個單

位；當(dāng)所擲的點數(shù)為偶數(shù)時，棋子在數(shù)軸上向右（數(shù)軸的正方向）移動“該點數(shù)的一半”個單位；第一次投骰

子時，棋子以坐標(biāo)原點為起點，第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點.

（1）投擲骰子一次，求棋子的坐標(biāo)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）投擲骰子兩次，求棋子的坐標(biāo)為-2的概率；

（3）投擲股子兩次，在所擲兩次點數(shù)和為奇數(shù)的條件下，求棋子的坐標(biāo)為正的概率.

【答案】（1）分布列見解析，E（X）=O

【解析】

【分析】（1）由題目分析即可得出分布列，再用數(shù)學(xué)期望公式計算即可;

（2）分析出所有滿足投擲骰子兩次，棋子的坐標(biāo)為-2的所有情況，即可求出概率；

（3）先求出投擲股子兩次，所擲兩次點數(shù)和為奇數(shù)且棋子的坐標(biāo)為正的概率及擲兩次點數(shù)和為奇數(shù)的概

率，根據(jù)條件概率公式計算即可.

【小問1詳解】

設(shè)X為投擲骰子一次棋子的坐標(biāo)，由題可知X=-4,-2,0,l,2,3,且概率都相同為工，

6

分布列如下：

X-4-20123

11111j_

P

666666

E（X）=-X（-4-2+1+2+3）=0.

6

【小問2詳解】

投擲骰子兩次，棋子的坐標(biāo)為-2的情況有：

①第一次坐標(biāo)為T（點數(shù)為5）,第二次向右2個單位（點數(shù)為4）；

②第一次坐標(biāo)為-2（點數(shù)為3）,第二次不動（點數(shù)為1）；

③第一次坐標(biāo)為0（點數(shù)為1）,第二次向左2個單位（點數(shù)為3）；

④第一次坐標(biāo)為2（點數(shù)為4）,第二次向左4個單位（點數(shù)為5）；

故投擲骰子兩次，棋子的坐標(biāo)為-2的概率為P=±X4=L.

369

【小問3詳解】

設(shè)事件A="擲兩次點數(shù)和為奇數(shù)”，3="投擲股子兩次棋子的坐標(biāo)為正”,

尸（人）=暇

由題可知,￡

2

投擲股子兩次，所擲兩次點數(shù)和為奇數(shù)，且棋子的坐標(biāo)為正的點數(shù)情況有:

12

6和1,6和3,4和1,1和2,共8種情況,故P（AB）=——x8=—,

2

則在所擲兩次點數(shù)和為奇數(shù)的條件下，棋子的坐標(biāo)為正的概率P(B\A)=以"=?=(.

P(A)i_9

2

18.已知雙曲線C：f-y2=i,直線/：y=7nx+_1與雙曲線。交于兩個不同的點A,B,直線y=與直

mm

線/交于點P.

(1)求證：點P是線段A8的中點；

(2)若點A,B兩點分別在雙曲線兩支上，求Q4B的面積的最小值(其中。是坐標(biāo)原點).

【答案】(1)證明見詳解

⑵26

【解析】

【分析】(1)聯(lián)立方程組雙曲線與直線/,利用韋達(dá)定理求中點坐標(biāo)，再求直線丁=,工與直線/交于點P,

m

即可證明；

(2)根據(jù)弦長公式和三角形面積公式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求最值

【小問1詳解】

1

y=rrvc-\——,消去y得（1—加卜2_2x—二_1=0,

聯(lián)立《m

x2-y2=1

由于直線/與雙曲線C交于兩個不同的點，所以1-加2工(),

/J1、4（1—m4+m2）

△=4+4（1—療）1+1=△---------^>0,

\\m）m

得且機2“玉+X22-Am-i

E%”1—m2

x1Vi+Vo111

干星———-=----7，———=mx-----+—=7-----K一

hTH21-m221-m2m（1一布）機

/\

即線段AB的中點為TJ，7~~，

1—my\.—mjm

11_1_1

聯(lián)立、=陽+7與、=；^'得x=W=

/\

即點P―