北京市海淀區(qū)2024年中考模擬考試聯(lián)考數(shù)學試題含解析

北京市海淀區(qū)清華附中2024年中考聯(lián)考數(shù)學試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.1的倒數(shù)是（）

2

1

A.--B.2C.-2D.

22

2.對于一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)1,1,6,5,1.下列說法錯誤的是（）

A.眾數(shù)是1B.平均數(shù)是4C.方差是1.6D.中位數(shù)是6

y,=k,x+h,

3.如圖，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標為（2,4）,則關于x,y的方程組,的解為（）

[y2=k,x+b2

y=k^t+bi

x=-4,x=3,

C.<D.<

y=0y=0

4.用圓心角為120。，半徑為6c機的扇形紙片卷成一個圓錐形無底紙帽（如圖所示），則這個紙帽的高是（）

C.4^/2cmD.4cm

5.如圖是某個幾何體的展開圖，該幾何體是（）

A.三棱柱B.圓錐C.四棱柱D.圓柱

Y2

6.若代數(shù)式，有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

x-2

A.x=0B.x=2C.x#0D.x#2

7.若。O的半徑為5cm,OA=4cm,則點A與。O的位置關系是（）

A.點A在。O內B.點A在。O上C.點A在。O外D,內含

8.cos3（）o=（）

A.-B.—C.—D.73

222,

9.在如圖所示的計算程序中，y與x之間的函數(shù)關系所對應的圖象應為（）

［榆人/誨相反――x2I~d+4"林出.）|

10.如圖，3個形狀大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點.已知菱形的一個角為60。，A、B、C都在

格點上，點D在過A、B、C三點的圓弧上，若E也在格點上，且NAEZ>=NACZ>,則NAEC度數(shù)為（)

D:

A.75°B.60°C.45°D.30°

11.如圖，點A、B、C在圓O上，若/OBC=40。，則NA的度數(shù)為（）

A.40°B.45°C.50°D.55°

12.下列四個不等式組中，解集在數(shù)軸上表示如圖所示的是（）

x>2\x<2%>2x<2

B.\C.《一

x>—3x<—3x<—3x>—3

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.-3的倒數(shù)是

14.已知：正方形ABCD.

求作：正方形ABCD的外接圓.

作法：如圖，

(1)分別連接AC,BD,交于點O；

(2)以點O為圓心，OA長為半徑作。O,OO即為所求作的圓.

請回答：該作圖的依據(jù)是___________________________________

15.我們知道:四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABC。的邊A3在x軸上，A(-3,0),3(4,0),

邊AO長為5.現(xiàn)固定邊45,“推”矩形使點。落在y軸的正半軸上(落點記為。C),相應地，點C的對應點C'的坐

標為?

16.如圖，在兩個同心圓中，三條直徑把大、小圓都分成相等的六個部分，若隨意向圓中投球，球落在黑色區(qū)域的概

率是.

17.已知e是銳角sina=!，那么cos^=.

2

18.如圖，AABC內接于。O,DA、DC分別切。。于A、C兩點，ZABC=U4°,則NADC的度數(shù)為'

C

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

3

19.（6分）拋物線y=ax?+bx+3（a/0）經過點A（-1,0）,B（-,0）,且與y軸相交于點C.

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）求NACB的度數(shù)；

（3）設點D是所求拋物線第一象限上一點，且在對稱軸的右側，點E在線段AC上，且DE±AC,當4DCE與公AOC

20.（6分）某中學九（1）班為了了解全班學生喜歡球類活動的情況，采取全面調查的方法，從足球、乒乓球、籃球、

排球等四個方面調查了全班學生的興趣愛好，根據(jù)調查的結果組建了4個興趣小組，并繪制成如圖所示的兩幅不完整

的統(tǒng)計圖（如圖①，②，要求每位學生只能選擇一種自己喜歡的球類），請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

圖①圖②

（1）九（1）班的學生人數(shù)為,并把條形統(tǒng)計圖補充完整；

（2）扇形統(tǒng)計圖中m=,n=,表示“足球”的扇形的圓心角是度；

（3）排球興趣小組4名學生中有3男1女，現(xiàn)在打算從中隨機選出2名學生參加學校的排球隊，請用列表或畫樹狀圖

的方法求選出的2名學生恰好是1男1女的概率.

21.（6分）濟南某中學在參加“創(chuàng)文明城，點贊泉城”書畫比賽中，楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班（用A,

B,C,。表示），對征集到的作鼎的數(shù)量進行了分析統(tǒng)計，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

作品數(shù)量條形圖

請根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）楊老師采用的調查方式是（填“普查”或“抽樣調查”）；

（2）請補充完整條形統(tǒng)計圖，并計算扇形統(tǒng)計圖中C班作品數(shù)量所對應的圓心角度數(shù).

（3）請估計全校共征集作品的件數(shù).

（4）如果全枝征集的作品中有5件獲得一等獎，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，現(xiàn)要在獲得一樣等獎的作

者中選取兩人參加表彰座談會，請你用列表或樹狀圖的方法，求恰好選取的兩名學生性別相同的概率.

22.（8分）如圖1,口OABC的邊OC在y軸的正半軸上，OC=3,A（2,1）,反比例函數(shù)y=8（x>0）的圖象經過點

X

B.

（1）求點B的坐標和反比例函數(shù)的關系式；

（2）如圖2,將線段OA延長交y='（x>0）的圖象于點D,過B,D的直線分別交x軸、y軸于E,F兩點，①求

X

直線BD的解析式；②求線段ED的長度.

23.（8分）（1）如圖①已知四邊形ABC。中，AB=a,BC=b,Zfl=ZD=90°,求：

①對角線長度的最大值；

②四邊形ABC。的最大面積；（用含。，b的代數(shù)式表示）

（2）如圖②，四邊形ABC。是某市規(guī)劃用地的示意圖，經測量得到如下數(shù)據(jù)：Afi=20cm,BC=30cm,ZB=120°,

ZA+ZC=195°,請你利用所學知識探索它的最大面積（結果保留根號）

A

BB

圖①

圖②

24.(10分)二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a,b,c為常數(shù)，且a#l)中的x與y的部分對應值如表

X-1113

y-1353

下列結論:

①acVl；

②當x>l時，y的值隨x值的增大而減小

③3是方程ax2+(b-1)x+c=l的一個根;

④當-l<x<3時，ax2+(b-1)x+c>l.

其中正確的結論是

25.(10分)如圖，AB為。O直徑，C為。O上一點，點D是5c的中點，DELAC于E,DFLAB于F.

(1)判斷DE與。O的位置關系，并證明你的結論；

(2)若OF=4,求AC的長度.

26.(12分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(3,0),點B(0,3也),點O為原點.動點C、D分別

在直線AB、OB上，將△BCD沿著CD折疊，得△BID.

(I)如圖1,若CD1AB,點B，恰好落在點A處，求此時點D的坐標;

(II)如圖2,若BD=AC,點B，恰好落在y軸上，求此時點C的坐標；

(III)若點C的橫坐標為2,點B，落在x軸上，求點B，的坐標(直接寫出結果即可).

27.(12分)如圖，在直角三角形ABC中,

(1)過點A作AB的垂線與NB的平分線相交于點D

(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若NA=30。，AB=2,則4ABD的面積為

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1、B

【解析】

根據(jù)乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)解答.

【詳解】

解5：?；一1xl=l

2

???L的倒數(shù)是L

2

故選反

【點睛】

本題考查了倒數(shù)的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵.

2、D

【解析】

根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、方差等的概念計算即可得解.

【詳解】

A、這組數(shù)據(jù)中1都出現(xiàn)了1次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1,此選項正確；

B、由平均數(shù)公式求得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,故此選項正確；

C、S2=1[(1-4)2+(1-4)2+(6-4)2+(5-4)2+(1-4)2]=1.6,故此選項正確；

D、將這組數(shù)據(jù)按從大到校的順序排列，第1個數(shù)是1,故中位數(shù)為1,故此選項錯誤；

故選D.

考點：1.眾數(shù)；2.平均數(shù)；1.方差；4.中位數(shù).

3、A

【解析】

根據(jù)任何一個一次函數(shù)都可以化為一個二元一次方程，再根據(jù)兩個函數(shù)交點坐標就是二元一次方程組的解可直接得到

答案.

【詳解】

解：I?直線yi=kix+bi與y2=k2x+b2的交點坐標為(2,4),

X=kx+bx=2,

.?.二元一次方程組＜Yv的解為,

口=4

%=k2x+b2

故選A.

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)解析式與圖象的關系，滿足解析式的點就在函數(shù)的圖象上，在函數(shù)的圖象上的點，就一定滿足函

數(shù)解析式.函數(shù)圖象交點坐標為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解.

4、C

【解析】

利用扇形的弧長公式可得扇形的弧長；讓扇形的弧長除以27r即為圓錐的底面半徑，利用勾股定理可得圓錐形筒的高.

【詳解】

120〃x6/、

L-------------=4兀｛cm)；

180

圓錐的底面半徑為4兀+2兀=2(cm),

.,.這個圓錐形筒的高為府二乒=4夜(cm).

故選C.

【點睛】

此題考查了圓錐的計算，用到的知識點為：圓錐側面展開圖的弧長=也三；圓錐的底面周長等于側面展開圖的弧長；

180

圓錐的底面半徑，母線長，高組成以母線長為斜邊的直角三角形.

5、A

【解析】

側面為三個長方形，底邊為三角形，故原幾何體為三棱柱.

【詳解】

解：觀察圖形可知，這個幾何體是三棱柱.

故選A.

【點睛】

本題考查的是三棱柱的展開圖，對三棱柱有充分的理解是解題的關鍵..

6^D

【解析】

根據(jù)分式的分母不等于0即可解題.

【詳解】

2

解：1?代數(shù)式一VJ有意義，

x-2

，x-2邦，即x#2,

故選D.

【點睛】

本題考查了分式有意義的條件，屬于簡單題，熟悉分式有意義的條件是解題關鍵.

7、A

【解析】

直接利用點與圓的位置關系進而得出答案.

【詳解】

解：120的半徑為5cm,OA=4cm,

.?.點A與。。的位置關系是：點A在。O內.

故選A.

【點睛】

此題主要考查了點與圓的位置關系，正確①點P在圓外ud>r,②點P在圓上ud=r,③點P在圓內ud<r是解題關鍵.

8、C

【解析】

直接根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值求解即可.

【詳解】

cos300=-

2

故選C.

【點睛】

考點：特殊角的銳角三角函數(shù)

點評：本題屬于基礎應用題，只需學生熟練掌握特殊角的銳角三角函數(shù)值，即可完成.

9、D

【解析】

先求出一次函數(shù)的關系式，再根據(jù)函數(shù)圖象與坐標軸的交點及函數(shù)圖象的性質解答即可.

【詳解】

由題意知，函數(shù)關系為一次函數(shù)y=-lx+4,由k=-lV0可知，y隨x的增大而減小，且當x=0時，y=4,

當y=0時，x=l.

故選D.

【點睛】

本題考查學生對計算程序及函數(shù)性質的理解.根據(jù)計算程序可知此計算程序所反映的函數(shù)關系為一次函數(shù)y=-lx+4,

然后根據(jù)一次函數(shù)的圖象的性質求解.

10、B

【解析】

將圓補充完整，利用圓周角定理找出點E的位置，再根據(jù)菱形的性質即可得出ACME為等邊三角形，進而即可得出

ZAEC的值.

【詳解】

將圓補充完整，找出點E的位置，如圖所示.

?.?弧4。所對的圓周角為NAC。、ZAEC,

二圖中所標點E符合題意.

,/四邊形ZCMEN為菱形，且ZCME=6Q°,

...△CME為等邊三角形，

:.ZAEC=6Q°.

故選B.

【點睛】

本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定依據(jù)圓周角定理，根據(jù)圓周角定理結合圖形找出點E的位置是解題的關鍵.

11、C

【解析】

根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理求得NBOC=100。，再利用圓周角定理得到NA=NBOC.

f

【詳解】

VOB=OC,

/.ZOBC=ZOCB.

又NOBC=40。，

.,.ZOBC=ZOCB=40°,

ZBOC=180°-2x40°=100°,

AZA=ZBOC=50°

故選：C.

【點睛】

考查了圓周角定理.在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半.

12、D

【解析】

此題涉及的知識點是不等式組的表示方法，根據(jù)規(guī)律可得答案.

【詳解】

f%<2

由解集在數(shù)軸上的表示可知，該不等式組為°,

x--3

故選D.

【點睛】

本題重點考查學生對于在數(shù)軸上表示不等式的解集的掌握程度，不等式組的解集的表示方法：大小小大取中間是解題

關鍵.

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

1

13、——

3

【解析】

乘積為1的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a的倒數(shù)即為工，符號一致

a

【詳解】

?.?一3的倒數(shù)是一：

答案是-《

3

14、正方形的對角線相等且互相垂直平分；點到圓心的距離等于圓的半徑的點在這個圓上；四邊形的四個頂點在同一

個圓上，這個圓叫四邊形的外接圓.

【解析】

利用正方形的性質得到OA=OB=OC=OD,則以點。為圓心，OA長為半徑作。O,點B、C、D都在。O上，從而

得到。O為正方形的外接圓.

【詳解】

???四邊形ABCD為正方形，

.\OA=OB=OC=OD,

????O為正方形的外接圓.

故答案為正方形的對角線相等且互相垂直平分；點到圓心的距離等于圓的半徑的點在這個圓上；四邊形的四個頂點在

同一個圓上，這個圓叫四邊形的外接圓.

【點睛】

本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作

圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐

步操作.

15、（7,4）

【解析】

分析：根據(jù)勾股定理，可得8',根據(jù)平行四邊形的性質，可得答案.

詳解：由勾股定理得：0D，7D/_A02=4，即加（0,4）.

矩形ABCD的邊AB在x軸上，二四邊形ABCD'是平行四邊形，

A￡>0=BC,C'￡>0=AB=4-(-3)=7,。'與W的縱坐標相等,：.C'(7,4),故答案為(7,4).

點睛：本題考查了多邊形，利用平行四邊形的性質得出AOC=BC',COC=AB=4-(-3)=7是解題的關鍵.

1

16、-

2

【解析】

根據(jù)幾何概率的求法：球落在黑色區(qū)域的概率就是黑色區(qū)域的面積與總面積的比值.

【詳解】

解：由圖可知黑色區(qū)域與白色區(qū)域的面積相等，故球落在黑色區(qū)域的概率是」-=!.

1+12

【點睛】

本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件(A)；然后計算

陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件(A)發(fā)生的概率.

17、3

2

【解析】

根據(jù)已知條件設出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長，由三角函數(shù)的定義直接解

答即可.

【詳解】

由sina=3=L知，如果設a=x,則c=2x,結合a?+b2=c2得b=6\.

c2

,bJ3

:.COSOC=—=.

C2

故答案為且.

2

【點睛】

本題考查的知識點是同角三角函數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練的掌握同角三角函數(shù)的關系.

18、48°

【解析】

如圖，在。O上取一點K,連接AK、KC、OA、OC,由圓的內接四邊形的性質可求出NAKC的度數(shù)，利用圓周角

定理可求出NAOC的度數(shù)，由切線性質可知NOAD=NOCB=90。，可知NADC+NAOC=180。，即可得答案.

【詳解】

如圖，在。O上取一點K,連接AK、KC、OA、OC.

?.?四邊形AKCB內接于圓，

:.ZAKC+ZABC=180°,

VZABC=114°,

，NAKC=66。，

二ZAOC=2ZAKC=132°,

VDA,DC分別切。O于A、C兩點,

/.ZOAD=ZOCB=90°,

:.ZADC+ZAOC=180°,

ZADC=48°

故答案為48°.

【點睛】

本題考查圓內接四邊形的性質、周角定理及切線性質，圓內接四邊形的對角互補；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對

的圓周角等于圓心角的一半；圓的切線垂直于過切點的直徑；熟練掌握相關知識是解題關鍵.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

775

19、（1）y=-2x2+x+3；（2）ZACB=41°；（3）D（-,—）.

832

【解析】

試題分析：（1）把點AB的坐標代入即可求得拋物線的解析式.

（2）作于點打，求出的長度，即可求出NAC3的度數(shù).

（3）延長交x軸于點G,△DCE^AAOC,只可能NCAO=NZ>CE.求出直線CD的方程，和拋物線的方程聯(lián)立即

可求得點。的坐標.

a—Z?+3=0

試題解析：（1）由題意，得93

—ci~\—/7+3—0,

142

a=-2

解得

b=l

???這條拋物線的表達式為y=-2x2+x+3.

（2）作于點

一一一3

,.?A點坐標是（一1,0）,C點坐標是（0,3）,5點坐標是（一，0）,

2

：.AC=JlO,AB=-,OC=3,BC=~j5.

22

,：BHAC=OCAB,即=

2

.*_3M

?,Dri-?

4

RtA5cH中，BH=^^~,BC=~y/5,ZBHC=9Q°,

42

：,sinZACB=—?

2

又,:ZACB是銳角，ZACB=45°.

（3）延長CZ＞交x軸于點G,

VRtAAOC中，AO=1,AC=y/10,

:.cosZC4O=—=

AC10

VADCE^AAOC,二只可能NCAO=NZ＞CE.

：.AG=CG.

[A。，9_癡.

cosZGAC=

AGAG10

：.AG=1.；.G點坐標是（4,0）.

二+

?點C坐標是（0,3）,：.l:y=—3.

CD-4

7

3°X=—

y——%+38x=0

-4解得＜“（舍）?

75[y=3

y——2冗2+%+3y——

-32

...點。坐標是

20、（1）4,補全統(tǒng)計圖見詳解.（2）10；20；72.（3）見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)喜歡籃球的人數(shù)與所占的百分比列式計算即可求出學生的總人數(shù)，再求出喜歡足球的人數(shù)，然后補全統(tǒng)計圖

即可；

（2）分別求出喜歡排球、喜歡足球的百分比即可得到m、n的值，用喜歡足球的人數(shù)所占的百分比乘以360。即可；

（3）畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率公式列式計算即可得解.

【詳解】

解：（1）九⑴班的學生人數(shù)為：12+30%=40（人），

喜歡足球的人數(shù)為：40-4-12-16=40-32=8（人），

補全統(tǒng)計圖如圖所示；

圖①圖②

4

(2)7—xl00%=10%,

40

Q

—xl00%=20%,

40

/.m=10,n=209

表示“足球”的扇形的圓心角是20%X360°=72°；

故答案為⑴40;⑵10；20；72；

（3）根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：

開始

男1男2男3女

XN

男2男3女男1男3女男1更2女男1男2男3

一共有12種情況，恰好是1男1女的情況有6種，

???P（恰好是1男1女尸二=工

122

2

21、（1）抽樣調查（2）150°（3）180件（4）j

【解析】

分析：（1）楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班，屬于抽樣調查.

90

（2）由題意得：所調查的4個班征集到的作品數(shù)為：6---=24（件），C班作品的件數(shù)為：24-4-6-4=10（件）；繼而

可補全條形統(tǒng)計圖；

(3)先求出抽取的4個班每班平均征集的數(shù)量，再乘以班級總數(shù)可得；

(4)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩名學生性別相同的情況，再利用概率公式即

可求得答案.

詳解：(1)楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班，屬于抽樣調查.

故答案為抽樣調查.

90

(2)所調查的4個班征集到的作品數(shù)為：6+少=24件，

360

C班有24-(4+6+4)=10件，

補全條形圖如圖所示，

扇形統(tǒng)計圖中C班作品數(shù)量所對應的圓心角度數(shù)360°x—=150。；

24

故答案為150°；

(3),?,平均每個班上=6件，

4

，估計全校共征集作品6x30=180件.

奧2男3女1女2男1男3女1女2男1男2女1女2男1男2男3女2男1男2男3女1

?.?共有20種等可能的結果，兩名學生性別相同的有8種情況，

o9

???恰好選取的兩名學生性別相同的概率為.

點睛：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問

題的關鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.同時古典概

型求法：(1)算出所有基本事件的個數(shù)n；(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m；(3)代入公式P(A)=—,求出

P(A)..

o_

22、(1)B(2,4),反比例函數(shù)的關系式為丫=—；(2)①直線BD的解析式為y=-x+6；②ED=2j]

x

【解析】

試題分析：(1)過點A作APLx軸于點P,由平行四邊形的性質可得BP=4,可得BQ,4),把點B坐標代入反比例

函數(shù)解析式中即可；

(2)①先求出直線OA的解析式，和反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，解方程組得到點D的坐標，再由待定系數(shù)法求得直線

BD的解析式；②先求得點E的坐標，過點D分別作x軸的垂線，垂足為G(4,0),由溝谷定理即可求得ED長度.

試題解析：(1)過點A作AP_Lx軸于點P,

則AP=LOP=2,

又；AB=OC=3,

/.B(2,4).,

?.?反比例函數(shù)y=8(x>0)的圖象經過的B,

X

?k

?*4=-

29

.?.k=8.

Q

J反比例函數(shù)的關系式為丫=一；

X

(2)①由點A(2,1)可得直線OA的解析式為y=；x.

1

y=-x

%—4%2=-2

解方程組；2

O%=2'[%=4

y二一

IX

?.?點D在第一象限，

.\D(4,2).

由B(2,4),點D(4,2)可得直線BD的解析式為y=-x+6；

②把y=0代入y=—x+6,解得x=6,

???E(6,0),

過點D分別作x軸的垂線，垂足分別為G,則G(4,0),

由勾股定理可得：ED=J(6-4)2+(0—2)2=20.

點睛：本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、平行四邊形等幾何知識，綜合性較強，要求學生有較強的分析問題和解決問

題的能力.

23、(1)①而詬；②巴——-~~—；(2)15073+475V2+475.

【解析】

(1)①由條件可知AC為直徑，可知30長度的最大值為AC的長，可求得答案；②連接AC,求得AZP+C),利用

不等式的性質可求得AD-CD的最大值，從而可求得四邊形ABCD面積的最大值；

(2)連接AC,延長C3,過點A做AELC3交C5的延長線于E,可先求得AABC的面積，結合條件可求得

45°,且A、C、。三點共圓，作AC、中垂線，交點即為圓心O,當點。與AC的距離最大時，△AC。的面積最大,

AC的中垂線交圓。于點"，交AC于尸，尸。'即為所求最大值，再求得

△ACZT的面積即可.

【詳解】

(D①因為N5=NO=90。，所以四邊形ABC。是圓內接四邊形，AC為圓的直徑，則50長度的最大值為AC,此時

BD=7a2+b2，

②連接AC,則S?ACD=-ADCD<-(AZ>2+CZ>2)=-Ca2+b2),所以四邊

244

形的最大面積(涼+尻)+L〃=""+2ab；

424

(2)如圖，連接AC,延長C5,過點4作AELCB交C3的延長線于E,因為A3=20,/43岳=180。-/48。=60。，

所以AE=A3.sin60°=10百，EB=ABcos60°=10,SAABC=；4艮5。=1506，因為5c=30,所以EC=E3+3C

=40,4C=，信+￡。2=io弧,因為NA3C=120。，ZBAD+ZBCD^195°,所以NO=45。，則△AC。中，ND

為定角，對邊AC為定邊，所以，4、C、。點在同一個圓上，做AC、C。中垂線，交點即為圓O,如圖，

當點。與AC的距離最大時，AAC。的面積最大，AC的中垂線交圓。于點ZT,交AC于尸，尸。即為所求最大值，

連接04、0C,NAOC=2NAO，C=90。，OA^OC,所以AAOC,AAOF等腰直角三角形，A0=0ZT=5屈，OF

=4尸=亭=571?,。'尸=5屈+5風，SAACC'=-AC.^F=SVWX(5^/38+5屈)=4750+475,所以%收

22

=SAABC+SAACD=15()6+475^2+475.

【點睛】

本題為圓的綜合應用，涉及知識點有圓周角定理、不等式的性質、解直角三角形及轉化思想等.在(1)中注意直徑是

最長的弦，在(2)中確定出四邊形ABC。面積最大時，。點的位置是解題的關鍵.本題考查知識點較多，綜合性很

強，計算量很大，難度適中.

24、①③④.

【解析】

a-b+c=-l

試題分析：；x=T時y=T,x=l時，y=3,x=l時，y=5,{c=3,

a+b+c=5

a=-1

解得{c=3,/.y=-X2+3X+3,.,.ac=-1x3=-3<1,故①正確；

a=3

333

對稱軸為直線x=_，八=彳，所以，當x>—時，y的值隨x值的增大而減小，故②錯誤；

2x(-1)22

方程為-x2+2x+3=l,整理得，x2-2x-3=1,解得xi=-1,X2=3,

所以，3是方程ax?+(b-1)x+c=l的一個根，正確，故③正確；

-l<x<3時，ax2+(b-1)x+c>l正確，故④正確；

綜上所述，結論正確的是①③④.

故答案為①③④.

【考點】二次函數(shù)的性質.

25、(1)DE與。O相切,證明見解析；(2)AC=8.

【解析】

(1)解：(1)DE與。O相切.

證明：連接OD、AD,

?.?點D是的中點，

?*??,[=r：>

.\ZDAO=ZDAC,

VOA=OD,

:.ZDAO=ZODA,

ZDAC=ZODA,

.\OD〃AE,

VDE±AC,

/.DE±OD,

；.DE與。O相切.

(2)連接BC,根據(jù)△ODF與△ABC相似，求得AC的長.AC=8

26、(1)D(0,若