2024高考數(shù)學(xué)大題創(chuàng)新題精練-數(shù)列（原卷）

大題創(chuàng)新題精練02數(shù)列沖刺2024高考數(shù)學(xué)【突破新題型】（原

卷）

【前言】自九省聯(lián)考新題型以來(lái)，各地模擬卷題目發(fā)生根本性變化。數(shù)列主要發(fā)

生以下變化：（1）2小問(wèn)變成3小問(wèn)，（2）數(shù)列與三角函數(shù)綜合，（3）強(qiáng)化數(shù)列

與概率統(tǒng)計(jì)綜合，（4）數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合，（5）數(shù)列新定義題目層出不窮。

題型探究

SS"...............................................................................................................................

【題型一】數(shù)列與三角函數(shù)綜合

【題型二】數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)綜合

【題型三】數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合

【題型四】數(shù)列新定義題

知識(shí)溫習(xí)（略）

?_,,--（S],n=],

1.Sn與an的關(guān)系

ISn—Sn-i，n>2.

2.等差數(shù)列

（1）遞推公式：an+ian=d（n￡N*）或andni=d（n22,n￡N*）

（2）中項(xiàng)性質(zhì)：a,A,b成等差數(shù)列Q2A=a+bOA=?.

（3）通項(xiàng)公式：an=ai+（nl）d.

（4）前n項(xiàng)和：已知首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)，則S。上色辿.

已知首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)，貝!IS,=g+的/d.

3.等比數(shù)列

遞推公式：包^qln&N*）或三-=q（nN2,n￡N*）,

anan-l

通項(xiàng)公式：arad)

中項(xiàng)性質(zhì)：在等比數(shù)列｛aj中，若k+1=m+n(k,1,m,n￡N*),貝!J產(chǎn)aA.特別地，若m+n=2r

(m,n,rGN*),則aman=a^.

n

pi(l-q)(i)

前n項(xiàng)和公式：已知首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)，S『l-q舊',

nai(q=1)

rai-anqz,x

已知首項(xiàng)、末項(xiàng)與公比S.=l-q舊J，

nai(q=1)

各個(gè)擊破

【題型一】數(shù)列與三角函數(shù)綜合

【知識(shí)回顧】(略)

1.(2024?浙江臺(tái)州?二模)已知數(shù)列｛。"｝滿足％=；,。用=廠\.

⑴求。2024(只需寫出數(shù)值，不需要證明)；

(2)若數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)可以表示成。.=；-瓜苗(0”+彷［()<0<3,"第的形式，求

2.(2024?廣東?二模)已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝,｛4｝,滿足〃向="力向=笥￡(其中c>0).

⑴若。尸4,且為+6戶2c,證明:數(shù)列｛%-2｝和｛?！?6“-2c｝均為等比數(shù)列；

(2)若%>々,％+仇=2c,以明,4,c為三角形三邊長(zhǎng)構(gòu)造序列耳(其中

JT

48“=c/C=a“，4C=，)，記A4￡C外接圓的面積為S“，證明：S?>-c:

⑶在(2)的條件下證明：數(shù)列｛$,｝是遞減數(shù)列.

3.(2024?上海青浦?二模)若無(wú)窮數(shù)列｛%｝滿足：存在正整數(shù)7,使得?！?7=%對(duì)一切正整

數(shù)〃成立，則稱｛%｝是周期為T的周期數(shù)歹11.

Tin兀

⑴若%=sin一+—（其中正整數(shù)僅為常數(shù)，?eN,?>l）,判斷數(shù)列｛%｝是否為周期數(shù)列,

m3

并說(shuō)明理由;

（2）若。用a?+sin47?（neN,H>l）,判斷數(shù)列｛3｝是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由;

（3）設(shè)也｝是無(wú)窮數(shù)列,已知%M=4+sin%（"eN,〃Wl）.求證："存在%,使得｛4｝是周期

數(shù)列”的充要條件是"也｝是周期數(shù)列

【題型二】數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)綜合

【知識(shí)回顧】（略）

4.（2024?貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）甲乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲乙各猜

一個(gè)成語(yǔ)，已知甲、乙第一輪猜對(duì)的概率都為［甲如果第4（AeN*）輪猜對(duì)，則他第4+1輪

也猜對(duì)的概率為|,如果第4輪猜錯(cuò)，則他第左+1輪也猜錯(cuò)的概率為：；乙如果第左輪猜對(duì),

則他第左+1輪也猜對(duì)的概率為:，如果第左輪猜錯(cuò)，則他第4+1輪也猜錯(cuò)的概率為;.在每

輪活動(dòng)中，甲乙猜對(duì)與否互不影響.

⑴若前兩輪活動(dòng)中第二輪甲乙都猜對(duì)成語(yǔ)，求兩人第一輪也都猜對(duì)成語(yǔ)的概率；

⑵若一條信息有>1,”6N*）種可能的情形且各種情形互斥，每種情形發(fā)生的概率分別為

A，B，L,A，則稱》=-次（耳log2耳）為該條信息的信息燧（單位為比特），用于量度

Z=1

該條信息的復(fù)雜程度.試求甲乙兩人在第二輪活動(dòng)中猜對(duì)成語(yǔ)的個(gè)數(shù)X的信息端H；

⑶如果“星隊(duì)”在每一輪中活動(dòng)至少有一人猜對(duì)成語(yǔ)，游戲就可以一直進(jìn)行下去，直到他們都

猜錯(cuò)為止.設(shè)停止游戲時(shí)"星隊(duì)"進(jìn)行了y輪游戲，求證：￡代）<4.

5.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2024年元旦假期，哈爾濱市累計(jì)接待游客304.79

萬(wàn)人次，實(shí)現(xiàn)旅游總收入59.14億元，游客接待量與旅游總收入達(dá)到歷史峰值.現(xiàn)對(duì)某一時(shí)間

段冰雪大世界的部分游客做問(wèn)卷調(diào)查，其中75%的游客計(jì)劃只游覽冰雪大世界，另外25%的

游客計(jì)劃既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人.每位游客若只游覽冰雪大世界，則

得到1份文旅紀(jì)念品；若既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂(lè)公園大雪人，則獲得2份文旅紀(jì)

念品.假設(shè)每位來(lái)冰雪大世界景區(qū)游覽的游客與是否參觀群力音樂(lè)公園大雪人是相互獨(dú)立的,

用頻率估計(jì)概率.

⑴從冰雪大世界的游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人獲得文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)為X,求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑵記〃個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為〃+1個(gè)的概率為%,求｛%｝的前"項(xiàng)和，；

⑶從冰雪大世界的游客中隨機(jī)抽取100人，這些游客得到紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為〃個(gè)的概率為

bn,當(dāng)，取最大值時(shí)，求〃的值.

6.（2024?山西朔州?一模）甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，每次由一人隨機(jī)傳給另外三人中

的一人稱為一次傳球，已知甲首先發(fā)球，連續(xù)傳球〃（〃€四,〃之3）次后，記事件"乙、丙、丁

三人均被傳到球"的概率為匕.

⑴當(dāng)〃=4時(shí)，求球又回到甲手中的概率；

⑵當(dāng)〃=4時(shí)，記乙、丙、丁三人中被傳到球的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期

望；

⑶記0"=￡-9-1，求證：數(shù)列｛2｝從第3項(xiàng)起構(gòu)成等比數(shù)列，并求

7.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）入冬以來(lái)，東北成為全國(guó)旅游和網(wǎng)絡(luò)話題的"頂流南方的

小土豆們紛紛北上體驗(yàn)東北最美的冬天，這個(gè)冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情，

還有東北的洗浴中心，擁擠程度堪比春運(yùn)，南方游客直接拉著行李箱進(jìn)入.東北某城市洗浴

中心花式寵"且"，為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了A和8兩個(gè)套餐服務(wù)，顧客可自由選擇A和

5兩個(gè)套餐之一，并在App平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，下表是該洗浴中心在App平臺(tái)10天

銷售優(yōu)惠券情況.

日期,12345678910

銷售量了（千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

_i101010

經(jīng)計(jì)算可得：y=^W>=2.2,乞⑨=118.73,￡==385.

1U曰z=lZ=1

⑴因?yàn)閮?yōu)惠券購(gòu)買火爆，App平臺(tái)在第10天時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購(gòu)買優(yōu)惠券數(shù)

量大幅減少，現(xiàn)剔除第io天數(shù)據(jù)，求了關(guān)于/的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果中的數(shù)值用分?jǐn)?shù)表示）;

（2）若購(gòu)買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為《，選擇3套餐的概率為（，并且A套餐可以用

一張優(yōu)惠券，8套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺(tái)累計(jì)銷售優(yōu)惠券為〃張的概率為匕，求

夕；

（3）記（2）中所得概率《的值構(gòu)成數(shù)歹U｛￡｝（〃€N*）.

①求勺的最值；

②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列｛%｝,若對(duì)于任意給定的正數(shù)￡，總存在正整數(shù)N。，使得當(dāng)

心乂時(shí)，（。是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列｛%｝收斂于根據(jù)數(shù)列收斂的

定義證明數(shù)列｛勺｝收斂.

n“

xa一元）（入一刃工毛乂一行亍

參考公式：b=-.---------=上匕---------->a=y-bx.

方（占-可2之片一涼

i=l

8.（2024?湖北武漢?二模）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有1個(gè)黑球和2

個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，稱為1次球交換的操作，重

復(fù)〃次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為七.

⑴求X2的概率分布列并求￡（丫2）；

（2）求證：]E（X“）一|[（〃22且〃eN*）為等比數(shù)歹U，并求出E（X”）（”22且〃eN*）.

【題型三】數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合

【知識(shí)回顧】(略)

9.(2024高三?江蘇?專題練習(xí))定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為-數(shù)列

⑴已知等比數(shù)列｛%｝(〃wN*)滿足：a2a4=a5,%-勿2+勿i=。，求證:數(shù)列｛"〃｝為-數(shù)列〃；

122

⑵已知數(shù)列｛〃｝滿足:4=1,—-,其中S"為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.

①求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式；

②設(shè)機(jī)為正整數(shù)，若存在數(shù)列"｛%｝("€N*),對(duì)任意正整數(shù)左，當(dāng)左W機(jī)時(shí)，都有

ck<bk<ck+l成立，求m的最大值.

10.(2324高三上?上海閔行?期中)已知/■(x)=lnx+g+辦(。為實(shí)常數(shù))

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)y=/(x)的最小值；

⑵若<_2對(duì)一切0<玉<z都成立，求。的取值范圍；

再-x2

⑶設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列｛七｝滿足lnx“+一二<1,證明：尤"41.(提示：當(dāng)0<"1時(shí)，

<7”1

\+q+qH------1-q=----)

i-q

11.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知/(x)=(l-x)e「l.

(1)證明：對(duì)任意x>0,/(x)<0.

⑵若娟，“=eJ,〃eN*,為=1,證明：｛%｝單調(diào)遞減，且

12.(2023?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=ax+g+2-2a(a>0)的圖像在點(diǎn)(1,/。))處

的切線與直線x+2y+l=0垂直.

（1）。,6滿足的關(guān)系式；

（2）若/'（x）221nx在[1,+s）上恒成立，求。的取值范圍；

2nV+11

⑶證明：X

k=ik4〃

【題型四】數(shù)列新定義題

【知識(shí)回顧】（略）

13.（2024?北京東城?一模）有窮數(shù)列%嗎，…,%（〃＞2）中，令

S（p,q）=ap+ap+x+---+aq（\＜p＜q＜n,p,q^K^,

⑴已知數(shù)列-3,2,-1,3,寫出所有的有序數(shù)對(duì)（P，4）,且P＜4,使得S（〃q）＞0；

（2）已知整數(shù)列。i，的，…，”為偶數(shù)，若S（3，+l"=l,2,…滿足：當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，

5（z＞-z+l）＞0；當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，S（i,"i+1）＜。求同+同+-+同的最小值;

⑶已知數(shù)列％,出，…,。"滿足S（L〃）＞°，定義集合/={45（，+1,〃）＞0,，=1,2,-、〃-1}.若

4={7；/2「5}化€]\"）且為非空集合，求證：S（l,〃）＞4+%+…+%*.

14.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）表示正整數(shù)a,b的最大公約數(shù)，若

eN*）,且差＜再,馬,…,4},（尤,切）=1,則將左的最大值記

為研加）,例如：夕⑴=1,⑺⑸=4.

⑴求夕⑵,。⑶,。（6）；

(2)已知(%〃)=1時(shí)，夕(加”)=夕(m)夕⑺.

⑴求夕(6")；

(ii)設(shè)”=3"；)_1，數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和為人證明：Tn嚓.

15.(2024?廣東梅州?二模)已知｛%｝是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前〃項(xiàng)的最大值記

M",即｛。”｝；前〃項(xiàng)的最小值記為，｛令

為=maxq,a2,…,",BP=minal,a2,???,??),

P?=Mn-mn(>=1,2,3,…),并將數(shù)列也｝稱為｛叫的"生成數(shù)列

⑴若a.=3",求其生成數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和；

(2)設(shè)數(shù)列｛么｝的"生成數(shù)歹卜為｛/｝,求證：PL/;

⑶若｛P,J是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)〃0,當(dāng)"2小時(shí)，an,an+l,a?+2,…是等差數(shù)列.

16.(2024?吉林長(zhǎng)春?三模)入冬以來(lái)，東北成為全國(guó)旅游話題的"頂流南方游客紛紛北上,

體驗(yàn)東北最美的冬天.某景區(qū)為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了4和2兩個(gè)套餐服務(wù)，并在購(gòu)

票平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，顧客可自由選擇/和3兩個(gè)套餐之一，下表是該景區(qū)在購(gòu)票

平臺(tái)10天銷售優(yōu)惠券情況.

日期/12345678910

銷售量V(千張)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

1101010

經(jīng)計(jì)算可得：y=-E^=2-2-=118.73,W＞；=385.

1UZ=1z=lZ=1

(1)由于同時(shí)在線人數(shù)過(guò)多，購(gòu)票平臺(tái)在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)擁堵，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購(gòu)買的優(yōu)惠券

數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的回歸方程(精確到0.01),并估計(jì)第10

天的正常銷量；

23

(2)假設(shè)每位顧客選擇A套餐的概率為選擇2套餐的概率為《，其中/套餐包含一張優(yōu)

惠券，8套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時(shí)刻，該平臺(tái)恰好銷售了〃張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為

P”，求只；

(3)記(2)中所得概率q的值構(gòu)成數(shù)列｛匕｝(〃eN*).

①求數(shù)列仍,｝的最值；

②數(shù)列收斂的定義：己知數(shù)列｛%｝,若對(duì)于任意給定的正數(shù)%總存在正整數(shù)乂，使得當(dāng)

〃>乂時(shí)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù))，則稱數(shù)列｛%｝收斂于根據(jù)數(shù)列收斂的定

\an-a\<s,(0a.

義證明數(shù)列｛匕｝收斂.

回歸方程/=&+%中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：3=號(hào)---------，a=y-bx.

-rix2

i=l

17.(2024?湖南岳陽(yáng)?二模)已知數(shù)列1,