2024高考數(shù)學(xué)大題創(chuàng)新題精練-數(shù)列（原卷）

大題創(chuàng)新題精練02數(shù)列沖刺2024高考數(shù)學(xué)【突破新題型】（原

卷）

【前言】自九省聯(lián)考新題型以來，各地模擬卷題目發(fā)生根本性變化。數(shù)列主要發(fā)

生以下變化：（1）2小問變成3小問，（2）數(shù)列與三角函數(shù)綜合，（3）強化數(shù)列

與概率統(tǒng)計綜合，（4）數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合，（5）數(shù)列新定義題目層出不窮。

題型探究

SS"...............................................................................................................................

【題型一】數(shù)列與三角函數(shù)綜合

【題型二】數(shù)列與概率統(tǒng)計綜合

【題型三】數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合

【題型四】數(shù)列新定義題

知識溫習(xí)（略）

?_,,--（S],n=],

1.Sn與an的關(guān)系

ISn—Sn-i，n>2.

2.等差數(shù)列

（1）遞推公式：an+ian=d（n￡N*）或andni=d（n22,n￡N*）

（2）中項性質(zhì)：a,A,b成等差數(shù)列Q2A=a+bOA=?.

（3）通項公式：an=ai+（nl）d.

（4）前n項和：已知首項、末項與項數(shù)，則S。上色辿.

已知首項、公差與項數(shù)，貝!IS,=g+的/d.

3.等比數(shù)列

遞推公式：包^qln&N*）或三-=q（nN2,n￡N*）,

anan-l

通項公式：arad)

中項性質(zhì)：在等比數(shù)列｛aj中，若k+1=m+n(k,1,m,n￡N*),貝!J產(chǎn)aA.特別地，若m+n=2r

(m,n,rGN*),則aman=a^.

n

pi(l-q)(i)

前n項和公式：已知首項、公比與項數(shù)，S『l-q舊',

nai(q=1)

rai-anqz,x

已知首項、末項與公比S.=l-q舊J，

nai(q=1)

各個擊破

【題型一】數(shù)列與三角函數(shù)綜合

【知識回顧】(略)

1.(2024?浙江臺州?二模)已知數(shù)列｛。"｝滿足％=；,。用=廠\.

⑴求。2024(只需寫出數(shù)值，不需要證明)；

(2)若數(shù)列｛%,｝的通項可以表示成。.=；-瓜苗(0”+彷［()<0<3,"第的形式，求

2.(2024?廣東?二模)已知正項數(shù)列｛4｝,｛4｝,滿足〃向="力向=笥￡(其中c>0).

⑴若。尸4,且為+6戶2c,證明:數(shù)列｛%-2｝和｛。“+6“-2c｝均為等比數(shù)列；

(2)若%>々,％+仇=2c,以明,4,c為三角形三邊長構(gòu)造序列耳(其中

JT

48“=c/C=a“，4C=，)，記A4￡C外接圓的面積為S“，證明：S?>-c:

⑶在(2)的條件下證明：數(shù)列｛$,｝是遞減數(shù)列.

3.(2024?上海青浦?二模)若無窮數(shù)列｛%｝滿足：存在正整數(shù)7,使得?！?7=%對一切正整

數(shù)〃成立，則稱｛%｝是周期為T的周期數(shù)歹11.

Tin兀

⑴若%=sin一+—（其中正整數(shù)僅為常數(shù)，?eN,?>l）,判斷數(shù)列｛%｝是否為周期數(shù)列,

m3

并說明理由;

（2）若。用a?+sin47?（neN,H>l）,判斷數(shù)列｛3｝是否為周期數(shù)列，并說明理由;

（3）設(shè)也｝是無窮數(shù)列,已知%M=4+sin%（"eN,〃Wl）.求證："存在%,使得｛4｝是周期

數(shù)列”的充要條件是"也｝是周期數(shù)列

【題型二】數(shù)列與概率統(tǒng)計綜合

【知識回顧】（略）

4.（2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測）甲乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲乙各猜

一個成語，已知甲、乙第一輪猜對的概率都為［甲如果第4（AeN*）輪猜對，則他第4+1輪

也猜對的概率為|,如果第4輪猜錯，則他第左+1輪也猜錯的概率為：；乙如果第左輪猜對,

則他第左+1輪也猜對的概率為:，如果第左輪猜錯，則他第4+1輪也猜錯的概率為;.在每

輪活動中，甲乙猜對與否互不影響.

⑴若前兩輪活動中第二輪甲乙都猜對成語，求兩人第一輪也都猜對成語的概率；

⑵若一條信息有>1,”6N*）種可能的情形且各種情形互斥，每種情形發(fā)生的概率分別為

A，B，L,A，則稱》=-次（耳log2耳）為該條信息的信息燧（單位為比特），用于量度

Z=1

該條信息的復(fù)雜程度.試求甲乙兩人在第二輪活動中猜對成語的個數(shù)X的信息端H；

⑶如果“星隊”在每一輪中活動至少有一人猜對成語，游戲就可以一直進行下去，直到他們都

猜錯為止.設(shè)停止游戲時"星隊"進行了y輪游戲，求證：￡代）<4.

5.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）據(jù)統(tǒng)計，2024年元旦假期，哈爾濱市累計接待游客304.79

萬人次，實現(xiàn)旅游總收入59.14億元，游客接待量與旅游總收入達到歷史峰值.現(xiàn)對某一時間

段冰雪大世界的部分游客做問卷調(diào)查，其中75%的游客計劃只游覽冰雪大世界，另外25%的

游客計劃既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人.每位游客若只游覽冰雪大世界，則

得到1份文旅紀念品；若既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人，則獲得2份文旅紀

念品.假設(shè)每位來冰雪大世界景區(qū)游覽的游客與是否參觀群力音樂公園大雪人是相互獨立的,

用頻率估計概率.

⑴從冰雪大世界的游客中隨機抽取3人，記這3人獲得文旅紀念品的總個數(shù)為X,求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑵記〃個游客得到文旅紀念品的總個數(shù)恰為〃+1個的概率為%,求｛%｝的前"項和，；

⑶從冰雪大世界的游客中隨機抽取100人，這些游客得到紀念品的總個數(shù)恰為〃個的概率為

bn,當，取最大值時，求〃的值.

6.（2024?山西朔州?一模）甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，每次由一人隨機傳給另外三人中

的一人稱為一次傳球，已知甲首先發(fā)球，連續(xù)傳球〃（〃€四,〃之3）次后，記事件"乙、丙、丁

三人均被傳到球"的概率為匕.

⑴當〃=4時，求球又回到甲手中的概率；

⑵當〃=4時，記乙、丙、丁三人中被傳到球的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期

望；

⑶記0"=￡-9-1，求證：數(shù)列｛2｝從第3項起構(gòu)成等比數(shù)列，并求

7.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）入冬以來，東北成為全國旅游和網(wǎng)絡(luò)話題的"頂流南方的

小土豆們紛紛北上體驗東北最美的冬天，這個冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情，

還有東北的洗浴中心，擁擠程度堪比春運，南方游客直接拉著行李箱進入.東北某城市洗浴

中心花式寵"且"，為給顧客更好的體驗，推出了A和8兩個套餐服務(wù)，顧客可自由選擇A和

5兩個套餐之一，并在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是該洗浴中心在App平臺10天

銷售優(yōu)惠券情況.

日期,12345678910

銷售量了（千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

_i101010

經(jīng)計算可得：y=^W>=2.2,乞⑨=118.73,￡==385.

1U曰z=lZ=1

⑴因為優(yōu)惠券購買火爆，App平臺在第10天時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)

量大幅減少，現(xiàn)剔除第io天數(shù)據(jù)，求了關(guān)于/的經(jīng)驗回歸方程（結(jié)果中的數(shù)值用分數(shù)表示）;

（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為《，選擇3套餐的概率為（，并且A套餐可以用

一張優(yōu)惠券，8套餐可以用兩張優(yōu)惠券，記App平臺累計銷售優(yōu)惠券為〃張的概率為匕，求

夕；

（3）記（2）中所得概率《的值構(gòu)成數(shù)歹U｛￡｝（〃€N*）.

①求勺的最值；

②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列｛%｝,若對于任意給定的正數(shù)￡，總存在正整數(shù)N。，使得當

心乂時，（。是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列｛%｝收斂于根據(jù)數(shù)列收斂的

定義證明數(shù)列｛勺｝收斂.

n“

xa一元）（入一刃工毛乂一行亍

參考公式：b=-.---------=上匕---------->a=y-bx.

方（占-可2之片一涼

i=l

8.（2024?湖北武漢?二模）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2

個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，稱為1次球交換的操作，重

復(fù)〃次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為七.

⑴求X2的概率分布列并求￡（丫2）；

（2）求證：]E（X“）一|[（〃22且〃eN*）為等比數(shù)歹U，并求出E（X”）（”22且〃eN*）.

【題型三】數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合

【知識回顧】(略)

9.(2024高三?江蘇?專題練習(xí))定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為-數(shù)列

⑴已知等比數(shù)列｛%｝(〃wN*)滿足：a2a4=a5,%-勿2+勿i=。，求證:數(shù)列｛"〃｝為-數(shù)列〃；

122

⑵已知數(shù)列｛〃｝滿足:4=1,—-,其中S"為數(shù)列｛4｝的前〃項和.

①求數(shù)列也,｝的通項公式；

②設(shè)機為正整數(shù)，若存在數(shù)列"｛%｝("€N*),對任意正整數(shù)左，當左W機時，都有

ck<bk<ck+l成立，求m的最大值.

10.(2324高三上?上海閔行?期中)已知/■(x)=lnx+g+辦(。為實常數(shù))

(1)當。=0時，求函數(shù)y=/(x)的最小值；

⑵若<_2對一切0<玉<z都成立，求。的取值范圍；

再-x2

⑶設(shè)各項為正的無窮數(shù)列｛七｝滿足lnx“+一二<1,證明：尤"41.(提示：當0<"1時，

<7”1

\+q+qH------1-q=----)

i-q

11.(2023高三?全國?專題練習(xí))已知/(x)=(l-x)e「l.

(1)證明：對任意x>0,/(x)<0.

⑵若娟，“=eJ,〃eN*,為=1,證明：｛%｝單調(diào)遞減，且

12.(2023?山東濰坊?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ax+g+2-2a(a>0)的圖像在點(1,/。))處

的切線與直線x+2y+l=0垂直.

（1）。,6滿足的關(guān)系式；

（2）若/'（x）221nx在[1,+s）上恒成立，求。的取值范圍；

2nV+11

⑶證明：X

k=ik4〃

【題型四】數(shù)列新定義題

【知識回顧】（略）

13.（2024?北京東城?一模）有窮數(shù)列%嗎，…,%（〃＞2）中，令

S（p,q）=ap+ap+x+---+aq（\＜p＜q＜n,p,q^K^,

⑴已知數(shù)列-3,2,-1,3,寫出所有的有序數(shù)對（P，4）,且P＜4,使得S（〃q）＞0；

（2）已知整數(shù)列。i，的，…，”為偶數(shù)，若S（3，+l"=l,2,…滿足：當i為奇數(shù)時，

5（z＞-z+l）＞0；當i為偶數(shù)時，S（i,"i+1）＜。求同+同+-+同的最小值;

⑶已知數(shù)列％,出，…,。"滿足S（L〃）＞°，定義集合/={45（，+1,〃）＞0,，=1,2,-、〃-1}.若

4={7；/2「5}化€]\"）且為非空集合，求證：S（l,〃）＞4+%+…+%*.

14.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）表示正整數(shù)a,b的最大公約數(shù)，若

eN*）,且差＜再,馬,…,4},（尤,切）=1,則將左的最大值記

為研加）,例如：夕⑴=1,⑺⑸=4.

⑴求夕⑵,。⑶,。（6）；

(2)已知(%〃)=1時，夕(加”)=夕(m)夕⑺.

⑴求夕(6")；

(ii)設(shè)”=3"；)_1，數(shù)列｛2｝的前"項和為人證明：Tn嚓.

15.(2024?廣東梅州?二模)已知｛%｝是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前〃項的最大值記

M",即｛?！保?；前〃項的最小值記為，｛令

為=maxq,a2,…,",BP=minal,a2,???,??),

P?=Mn-mn(>=1,2,3,…),并將數(shù)列也｝稱為｛叫的"生成數(shù)列

⑴若a.=3",求其生成數(shù)列｛%｝的前〃項和；

(2)設(shè)數(shù)列｛么｝的"生成數(shù)歹卜為｛/｝,求證：PL/;

⑶若｛P,J是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)〃0,當"2小時，an,an+l,a?+2,…是等差數(shù)列.

16.(2024?吉林長春?三模)入冬以來，東北成為全國旅游話題的"頂流南方游客紛紛北上,

體驗東北最美的冬天.某景區(qū)為給顧客更好的體驗，推出了4和2兩個套餐服務(wù)，并在購

票平臺上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇/和3兩個套餐之一，下表是該景區(qū)在購票

平臺10天銷售優(yōu)惠券情況.

日期/12345678910

銷售量V(千張)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

1101010

經(jīng)計算可得：y=-E^=2-2-=118.73,W＞；=385.

1UZ=1z=lZ=1

(1)由于同時在線人數(shù)過多，購票平臺在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)擁堵，導(dǎo)致當天顧客購買的優(yōu)惠券

數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的回歸方程(精確到0.01),并估計第10

天的正常銷量；

23

(2)假設(shè)每位顧客選擇A套餐的概率為選擇2套餐的概率為《，其中/套餐包含一張優(yōu)

惠券，8套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了〃張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為

P”，求只；

(3)記(2)中所得概率q的值構(gòu)成數(shù)列｛匕｝(〃eN*).

①求數(shù)列仍,｝的最值；

②數(shù)列收斂的定義：己知數(shù)列｛%｝,若對于任意給定的正數(shù)%總存在正整數(shù)乂，使得當

〃>乂時，是一個確定的實數(shù))，則稱數(shù)列｛%｝收斂于根據(jù)數(shù)列收斂的定

\an-a\<s,(0a.

義證明數(shù)列｛匕｝收斂.

回歸方程/=&+%中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：3=號---------，a=y-bx.

-rix2

i=l

17.(2024?湖南岳陽?二模)已知數(shù)列1,