任意角和弧度制（講）高一數(shù)學(xué)同步講練測（新教材人教A版必修第一冊）

0020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講練測(新教材人教A版必修第一冊)》

專題18任意角和弧度制(講)

本節(jié)知識點(diǎn)與題型快速預(yù)覽

瓠度制

安累用

弧度與角度

的換算公式

角度和弧度

混用致錯

終邊相

同的用

求扇形而

枳最值的

函數(shù)則怛終邊在某條

直線上的

俗的集合

用弧度制表

示區(qū)域角分角，倍角

“關(guān)“角度”

所在地限的

角度制與融與“弧度”

判斷思路

度制的轉(zhuǎn)化概念的理螞

知識點(diǎn)課前預(yù)習(xí)與精講精析

1.任意角的概念

(1)角的概念

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.

(2)角的表示

如圖所示:

①始邊:射線的起始位置04.

②終邊:射線的終止位置OB.

③頂點(diǎn):射線的端點(diǎn)O.

④記法:圖中的角a可記為“角a”或"Na”或"N4OB”.

(3)正角、負(fù)角、零角

類型定義圖示

正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

--------------A

負(fù)角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

射線從起始位置OA沒有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與

零角OA(B)

起始位置OA重合，稱這樣的角為零度角，又稱零角

這樣，我們就把角的概念推廣到任意角，包括正角、負(fù)角和零角.

［知識點(diǎn)撥］(1)角的概念推廣后，角度的范圍不再限于0°?360°(0°?360°是指0。Wa<360°).

(2)確定任意角的度數(shù)關(guān)鍵看終邊旋轉(zhuǎn)的方向和圈數(shù)：

①表示角時，箭頭的方向代表角的正負(fù)，因此箭頭不能丟掉；順時針旋轉(zhuǎn)形成負(fù)角常常容易被忽視.

②當(dāng)角的始邊相同時，若角相等，則終邊相同；終邊相同，而角不一定相等.始邊和終邊重合的角不一定

是零角，只有沒作任何旋轉(zhuǎn)，始邊與終邊重合的角才是零角.

2.象限角

使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與*軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊(除原點(diǎn)外)在第幾象限，就說這

個角是第幾象限角，即象限角的終邊在第一或第二或第三或第四象限內(nèi)，不與坐標(biāo)軸重合.

如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就說這個角不屬于任何象限.

［知識點(diǎn)撥］要正確區(qū)分銳角、0°?90。的角、小于90。的角、第一象限角.銳角是0。<61<90。的角；0。?90。的

角是(TWa<90。的角；小于90。的角是a<90。的角(包括零角、負(fù)角)；第一象限角是｛砒-360。*<90。+心360。,

AGZ｝所表示的角.這四個概念不能混淆.

3.終邊相同的角

(1)研究終邊相同的角的前提條件是：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.

(2)終邊相同的角的集合：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合5=｛￡|尸=6(+636()。，

發(fā)GZ｝,即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.

［知識點(diǎn)撥］理解集合S=｛緲=a+0360。，kGZ｝要注意以下幾點(diǎn)：

(1)式中角a為任意角：

(2火CZ這一條件必不可少；

(3)左360。與a之間是“+”，如無?360°—30°應(yīng)看成>360°+(—30°),即與一30。角終邊相同;

(4)當(dāng)a與夕的終邊相同時，a一夕=>360°/冬Z).反之亦然.

［拓展］1.象限角與軸線角(終邊在坐標(biāo)軸上的角)的集合表示

(1)象限角：

象限角集合表示

第一象限角{#360。<公4-360。+90。，kb}

第二象限角{a\k-360°+90。<。<攵?360°+180°,攵￡Z}

第三象限角{a|k360°+180°<a<Z?3600+270°,上GZ}

第四象限角{3600+270°<a<k360°+360°,%GZ}

(2)軸線角:

角的終邊的位置集合表示

終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{a|a=%360。，％￡Z}

終邊落在無軸的非正半軸上{a|a=it-360o4-180o,kGZ}

終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{a|a=^360°+90°,kU]

終邊落在)，軸的非正半軸上{a|a=jt-360°+270°,kGZ}

終邊落在y軸上{a|?=Jt-180°+90°,依Z}

終邊落在X軸上{a|a=jt-180°,kGZ}

終邊落在坐標(biāo)軸上{a|a=A?90。，Z￡Z}

4.弧度制

(1)定義：以弧度為單位度量角的單位制叫做弧度制.

(2)度量方法：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.如圖所示，圓。的半徑為r,AB的長等

于r,NAOB就是1弧度的角.

［知識點(diǎn)撥］一定大小的圓心角a的弧度數(shù)是所對弧長與半徑的比值，是唯一確定的，與半徑大小無關(guān).

(3)記法：弧度單位用符號rad表示，或用“弧度”兩個字表示.在用弧度制表示角時，單位通常省略不

寫.

5.弧度數(shù)

一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

如果半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為I,那么角a的弧度數(shù)的絕對值是|a|=;.

［知識點(diǎn)撥］對于角度制和弧度制，在具體的應(yīng)用中，兩者可混用嗎？如何書寫才是規(guī)范的？

,JT

角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時不能混用，例如a=B36(r+d(keZ),尸=2E+60。/

GZ)等寫法都是不規(guī)范的，應(yīng)寫為6(=七360。+30。(左62),"=2E+如t6Z).

3.弧度與角度的換算公式

(1)周角的弧度數(shù)是2兀，而在角度制下的度數(shù)是360,于是360。=2兀rad,即

1°=-^—rad?O.OI745rad

[180。=TTrad|

lrad=（尊）。?57.30°

根據(jù)以上關(guān)系式就可以進(jìn)行弧度與角度的換算了.

弧度與角度的換算公式如下：

若一個角的弧度數(shù)為a,角度數(shù)為"，則arad=(學(xué)4。，?焉rad.

(2)常用特殊角的弧度數(shù)

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

7Tn7T7C2K3兀5兀3兀

0712兀

6432T~4

［知識點(diǎn)撥］角度制與弧度制是兩種不同的度量單位，在表示角時，二者不可混用.

用度作為單位角的大角的正

單位“?！辈?/p>

角度制來度量角的單小與半負(fù)與方六十進(jìn)制

能省略

位制徑無關(guān)向有關(guān)

用弧度作為單角的大角的正

單位“rad”可

弧度制位來度量角的小與半負(fù)與方十進(jìn)制

以省略

單位制徑無關(guān)向有關(guān)

(3)角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系：每一個角都有唯一的一

個實(shí)數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，任一個實(shí)數(shù)也都有唯一的一個角(即弧度數(shù)等于這個實(shí)數(shù)的

角)與它對應(yīng).

6.弧長公式與扇形面積公式

(1)弧長公式

在半徑為廠的圓中，弧長為/的弧所對的圓心角大小為a,則|a|=￡變形可得/=|a|r,此公式稱為弧長公式,

其中a的單位是弧度.

(2)扇形面積公式

由圓心角為1rad的扇形面積為姝=步,而弧長為/的扇形的圓心角大小為:md,故其面積為S=：x］=

11.

將/=即代入上式可得此公式稱為扇形面積公式.

(3)弧長公式及扇形面積公式的兩種表示

名稱角度制弧度制

mir

弧長公式/-180l=\a\r

Q皿,S=贄=

扇形面積公式d-360

廠是扇形的半徑，〃是圓心角的角度r是扇形的半徑，a是圓心角的弧度

注意事項(xiàng)

數(shù)數(shù)，/是弧長

點(diǎn)撥：弧長公式與扇形的面積公式在角度制與弧度制下形式不同，解題時要看清角的度量制，選用相應(yīng)的

公式，切不可混淆.

預(yù)習(xí)效果檢測

1.計算：15°=rad.

【解析】解：：口=180°,

77

=180,

則15°=15X^=(rad).

故答案為：一.

12

2.已知扇形的圓心角為2弧度，半徑為1皿，則此扇形的面積為—C/H2.

【解析】解：.?,扇形的圓心角為2弧度，半徑為1cm,

扇形的弧長/=2X1=2cm,扇形的面積為S=1/r=占x2X1=1.

故答案為：1.

3.大于-360°且終邊與角75°重合的負(fù)角是.

【解析】解:-360°+75°=-285°,

故答案為：-285°.

4.-135°=弧度，它是第象限角；

【解析】解：；180°=n,：.\°=高，

/.-135°=-135入高=一竽，它是第三象限角.

故答案為：一詈：三.

5.“密位制”是一種度量角的方法，我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周角分為6000等

份，每一個等份是一個密位，那么120密位等于弧度.

【解析】解：由題意知，120密位=焉=親（弧度）.

OUUUZD

故答案為：一.

典型題型與解題方法

置要考點(diǎn)一：任意角

【典型例題】若時針走過2小時40分，則分針走過的角是.

o2

【解析】解：40分=「小時，一X36O°=240°,

33

因?yàn)闀r針按順時針旋轉(zhuǎn)，故形成負(fù)角,

-360°X2-2400=-960°.

故答案為：-960°.

【題型強(qiáng)化】已知a銳角，那么2a是（)

A.小于180°的正角B.第一象限角

C.第二象限角D.第一或二象限角

【解析】解：銳角，；.0°<a<90°,A0°<2a<180°,

故選：A.

【收官驗(yàn)收】下列說法正確的是（）

A.三角形的內(nèi)角必是第B.第一象限角必是銳角

C.不相等的角終邊一定不相同

D.若角a,0滿足0=a+K36O°（&6Z）,則a和0終邊相同

【解析】解：對于A,三角形的內(nèi)角可以為90°,是終邊在坐標(biāo)軸上的角，故4錯誤;

對于8,390。是第一象限角，不是銳角，故8錯誤；

對于C,30°與390°不相等，但終邊相同，故C錯誤；

對于。，若角a,0滿足0=a+k?36O°?€Z）,則a和0終邊相同，故。正確.

正確的說法是。.

故選：D.

置要考點(diǎn)二：終邊相同的角

【典型例題】與角2021°終邊相同的角是（）

A.221°B.-2021°C.-221°D.139°

【解析】解：與角2021°終邊相同的角是：如360°+2021°,依Z,

當(dāng)％=-5時，與角2021°終邊相同的角是221°.

故選:A.

【題型強(qiáng)化】下列各個角中與2020°終邊相同的是（）

A.-150°B.680°C.220°D.320°

【解析】解：V20200=5X360°+220°,

...與2020°終邊相同的是220°.

故選：C.

【收官驗(yàn)收】在0°?360°范圍內(nèi)，與-80°角終邊相同的角是（）

A.80°B.100°C.240°D.280°

【解析】解：與-80°角終邊相同的角的集合是：｛a|a=k?360°+280°,kEZ].

.,.在0°?360°范圍內(nèi)，與-80°角終邊相同的角是280°.

故選：D.

【名師點(diǎn)睛】

1.把任意南化為6（+%360。收62,且（TWa<360。）的形式，關(guān)鍵是確定可以用觀察法（a的絕對值較?。?

也可用除法.

2.要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角時，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再

依條件構(gòu)建不等式求出k的值.

重要考點(diǎn)三：終邊在某條直線上的角的集合

【典型例題】終邊在直線y=V5x上的角的集合為—.

【解析】解：???直線了=倔的斜率為，則傾斜角為60°,

.?.終邊落在射線產(chǎn)原(x20)上的角的集合是5i={a|a=60°+k?360°,*eZ),

終邊落在射線尸、&(x<0)上的角的集合是S2={a|a=240°+如360°,依Z},

終邊落在直線)=/縱上的角的集合是：

S={ala=60°+妙360°,*GZ}U{a|a=240°+妙360°,keZ}

={a|a=60°+2^180°,依Z}U{a|a=60°+(2Jl+l)?180°,keZ]

={a|a=60°+”780°,neZ}.

故答案為：{a|a=60。+〃?180°,nGZ}.

【題型強(qiáng)化】終邊落在y軸上的角的集合是—.

【解析】解：當(dāng)角。的終邊落在y軸的非負(fù)半軸上時，角。=2囪+名蛇Z,

當(dāng)角。的終邊落在y軸的非正半軸上時，角。=2Kr+苧，髭Z,

故終邊落在y軸上的角的集合是{0|0=2質(zhì)+熱或9=2Kr+竽，k€Z}

={。|。=2丘+與，或。=2/rn+ir+勺，&€Z)={0|0="ir+不nGZ}.

故答案為{。|。=〃11+名〃口}.

【收官驗(yàn)收】若角a的終邊為第二象限的角平分線，則a的集合為—.

37r

【解析】解：在(0,2n)內(nèi)第二象限角平分線的度數(shù)為一，

4

所以和更終邊相同的角的集合為{x|x=駕+2k/r,(keZ)},

4什

故答案為：{x|x=￥+2k?T,(AeZ)}

【名師點(diǎn)睛】

求解終邊在某條直線上的角的集合的思路

1.若所求角夕的終邊在某條射線上，則集合的形式為{，/?=&?36（『+a,&GZ}.

2.若所求角用的終邊在某條直線上，則集合的形式為{夕族=k180。+如kWZ}.

堂要考點(diǎn)四：區(qū)域角的表示

【典型例題】如圖所示，寫出終邊落在陰影部分的角的集合.

【解析】解：如圖，終邊落在陰影部分的角為：30。WaV105?；?10°Wa<285°

終邊落在陰影部分的角的集合為:

{a|300+H360°WaV105°+如360°或210°+內(nèi)360°Wa<285°+如360°,keZ]

+如180°,kez}.

【題型強(qiáng)化】用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合（包

括邊界，如圖所示）.

(1)⑵

【解析】解：（1）圖⑴陰影部分內(nèi)的角的集合為伍|2聞一髀aW2%r+駕，kEZ]

（2）圖⑵陰影部分內(nèi)的角的集合為{平Ti+看參髭Z}

【收官驗(yàn)收】如圖，分別寫出適合下列條件的角的集合:

(1)終邊落在射線08上；

(2)終邊落在直線0A上；

(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界).

【解析】解：由圖形得，

(1)終邊落在射線上的角的集合為：{a|a=60°+K360°,kEz}.

(2)終邊落在直線上的角的集合為：{a|a=30°+K180°,kEz},

(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為：

{a|30°+如180°WaW60°+'180°,依z}.

【名師點(diǎn)睛】

區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個區(qū)域內(nèi)的角.其寫法可分為三步：

(1)先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；

(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的一360°到360°范圍內(nèi)的角a和夕，寫出最簡區(qū)間{x[a<x</};

(3)起始、終止邊界對應(yīng)角a、4再加上360。的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合.

重要考點(diǎn)五：分角、倍角所在角限的判斷思路

【典型例題】已知a是第一象限角，那么巴是第象限角.

2

【解析】解：???a是第一象限角，

的取值范圍是(2加，2+2K1)(依Z)

2

a7i

二一的取值范圍是(kn,-+E)()tGZ)

24

分類討論

①當(dāng)女=2i+l(其中iCZ)時，巴的取值范圍是(n+2抗，—+2m)即士屬于第三象限角.

242

②當(dāng)k=2i（其中iez）時，一的取值范圍是（2m,-+2m）即一屬于第一象限角.

242

故答案為：一或三.

【題型強(qiáng)化】若角a是第四象限角，則巴是第象限角.

3

【解析】解：:a是第四象限角，

：.ae（2E+亭，2m+2n）,kel.

Z222

-ZET1

33，3

左=0時是第二象限角，

4=1時，是第三象限角，

%=2時，是第四象限角.

.?.巴是第二或第三或四象限角，

3

故答案為：第二或第三或第四象限角.

【收官驗(yàn)收】已知Na是第二象限角，則N2a是第一象限角.

【解析】解：???Na是第二象限角，

7T

+2加VaVir+2EskeZ；

2

/.TT+4&TT<2a<2n+4lai,依Z；

，/2a是第三、四象限角或y軸上的角：

故答案為：y軸上的角或三、四.

【名師點(diǎn)睛】

1.已知角a終邊所在的象限，確定終邊所在的象限時，可根據(jù)角a的范圍求出的范圍，再直接轉(zhuǎn)化

為終邊相同角即可.注意不要漏掉的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.

2.已知角a終邊所在的象限，確定彳終邊所在象限時，運(yùn)用分類討論法時要對/的取值分/被“整除，k被

〃整除余1,人被〃整除余2,.........k被“整除余”一1進(jìn)行討論，然后再下結(jié)論；運(yùn)用幾何法時，依據(jù)數(shù)

形結(jié)合的思想，簡單直觀.

重要考點(diǎn)六：有關(guān)“角度”與“瓠度”概念的理解

【典型例題】用弧度制表示所有與75°終邊相同的角的集合是一

【解析】解：因?yàn)?80。=m

可得75。=含

與角一相同的角為：。=雪+2匕1,kWZ.

1212

可得所有與75°終邊相同的角的集合是｛a|a=^+2E,keZ].

故答案為：｛a|a=1j+2Kr,蛇Z｝.

【題型強(qiáng)化】將角120°化成弧度為—(用含TT的代數(shù)式表示).

【解析】解：=I。=高，

.?.120。=120x高=等

故答案為：—.

3

7

【收官驗(yàn)收】315°=弧度，一九弧度=0.

12

【解析】解：315°=315又看=宇

77

—7T=-X1800=105°

1212

故答案為：一;105

4

【名師點(diǎn)睛】

弧度與角度的概念的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別(1)定義不同.

(2)單位不同：弧度制以“弧度”為單位，角度制以“度”為單位.

(1)不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小

聯(lián)系無關(guān)的值.

(2)“弧度”與“角度”之間可以相互轉(zhuǎn)化.

重要考點(diǎn)七：角度制與瓠度制的楂化

【典型例題】將時鐘的分針撥快30加〃，則時針轉(zhuǎn)過的弧度為.

【解析】解：分針撥快30〃”小是按照順時針方向，得到的角是一負(fù)角，

30

把鐘表撥快30加〃，時針走過30度的一，

60

.?.時針走過的弧度數(shù)是一需X1=一各

故答案為：—白.

【題型強(qiáng)化】把-1485°化成2E+a(0<a<2n,kWZ)的形式是.

【解析】解：-1485°=-1800°+315°=-10n+仔，

故答案為：-107+與

【收官驗(yàn)收】將下列角度化為弧度，弧度轉(zhuǎn)化為角度

、

(I)780°,(2)-1560°,(3)67.5°(4)一1程0萬，(5)7—T,(6)7一7r.

3124

【解析】解：(1)780°=舞乂71弧度=等弧度，

XoU，

(2)-1560°=一鬻X7T弧度=一失弧度，

loU□

(3)67.5°=鬻?；《?等弧度.

(4)一學(xué)7T弧度=一學(xué)X180。=-600。,

⑸三弧度=啥=15

加7

一

6度=-

44180°=315°.

【名師點(diǎn)睛】

角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法：

(1)關(guān)鍵：抓住互化公式兀rad=180°是關(guān)鍵；

(2)方法：度數(shù)乂煮=弧度數(shù)；弧度數(shù)X(儂)。=度數(shù)；

1oUIt

(3)角度化弧度時，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度；

(4)角度化為弧度時，其結(jié)果寫成兀的形式，沒特殊要求不必化成小數(shù).

置要考點(diǎn)八：用弧度制表示區(qū)域角

【典型例題】如圖，寫出終邊落在陰影部分的角的集合.

(2)

【解析】解：(1)由題圖可知，終邊落在陰影部分的角的集合為｛a|一+24JTWa±兀+2々兀，keZ｝；

4

(2)由題圖可知，終邊落在陰影部分的角的集合為｛用±+2"《?<*+2k*keZ｝U

44

5TT77r

{pi-----F2kn<Bv------1-2/CTT,kEZ].

44

【題型強(qiáng)化】如圖所示，用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于X軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分的角

的集合.

故滿足條件的角的集合為：｛a|苧+247rvav亨+2ATT,keZ）；

（2）若將終邊為OA的一個角改寫為-去此時陰影部分可以看成是0A逆時針旋轉(zhuǎn)到0B所形成,

0

故滿足條件的角的集合為：⑷一尹2而〈3患+2-k&Z｝；

（3）將圖中x軸下方的陰影部分看成是由x軸上方的陰影部分旋轉(zhuǎn)n陽d而得到，

故滿足條件的角的集合為：｛amma工尹也，keZ）；

（4）與第（3）小題的解法類似，將第二象限陰影部分旋轉(zhuǎn)nmd后可得到第四象限的陰影部分，

故滿足條件的角的集合為：｛a|與+mvav卷+k&Z｝.

【收官驗(yàn)收】用弧度制分別寫出第一至第四象限角的集合.

【解析】解：第一象限角的集合為｛a|2hr<aV*2e，AGZ）；

第二象限角的集合為｛a|三+2內(nèi)iVaVn+2Kr,依Z｝；

2

第三象限角的集合為｛am+2Znt〈aV苧+2hr,。｝；

第四象限角的集合為｛al;*+2lcn<a<2n+2kK,kWZ].

【名師點(diǎn)睛】

（I）根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟：

①仔細(xì)觀察圖形.

②寫出區(qū)域邊界作為終邊時角的表示.

③用不等式表示區(qū)域范圍的角.

（2）注意事項(xiàng)：用不等式表示區(qū)域角的范圍時，要注意角的集合形式是否能夠合并，這一點(diǎn)容易出錯.

堂要考點(diǎn)九：求扇形面積最值的函數(shù)思想

【典型例題】如圖，某游樂園的平面圖呈圓心角為120。的扇形A08,其兩個出入口設(shè)置在點(diǎn)8及點(diǎn)C處，

且園內(nèi)有一條平行于AO的小路CD.已知某人從C沿CD走到。用了8