陜西省安康市2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

陜西省安康市2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．邊長(zhǎng)為的正三角形中，點(diǎn)在邊上，，是的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．已知向量與的夾角為，，，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)為()A． B． C． D．3．若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則直線恒過(guò)點(diǎn)()A． B． C． D．4．一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3，再減去30，得到一組新數(shù)據(jù)，若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3.6，方差是9.9，則原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）A．11.2，1.1 B．33.6，9.9 C．11.2，9.9 D．24.1，1.15．l：的斜率為A．﹣2 B．2 C． D．6．將正整數(shù)排列如下：則圖中數(shù)2020出現(xiàn)在（）A．第64行第3列 B．第64行4列 C．第65行3列 D．第65行4列7．從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則向量與向量垂直的概率為()A． B． C． D．8．如下圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中①②與成角③與為異面直線④以上四個(gè)命題中，正確的序號(hào)是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④9．某幾何體的三視圖如圖所示(實(shí)線部分)，若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則該幾何體的體積是()A． B． C． D．10．一個(gè)圓柱的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積是（）A．10 B．20 C．30 D．40二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為直線，為平面，下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的序號(hào)是______．12．在中，角的對(duì)邊分別為，若面積，則角__________．13．已知向量，的夾角為，若，，則________.14．已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則這個(gè)圓錐的表面積等于______．15．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)切圓的圓心，過(guò)點(diǎn)M作動(dòng)直線l與線段AB，AC都相交，將△ABC沿動(dòng)直線l翻折，使翻折后的點(diǎn)A在平面BCM上的射影P落在直線BC上，點(diǎn)A在直線l上的射影為Q，則的最小值為_(kāi)____．16．已知等腰三角形底角的余弦值等于，則這個(gè)三角形頂角的正弦值為_(kāi)_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使成立的實(shí)數(shù)最小值.18．（1分）設(shè)數(shù)列{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2，a3﹣a2=1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．19．2021年廣東新高考將實(shí)行“”模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共選六科參加高考.其中偏理方向是二選一時(shí)選物理，偏文方向是二選一時(shí)選歷史，對(duì)后四科選擇沒(méi)有限定.（1）小明隨機(jī)選課，求他選擇偏理方向及生物學(xué)科的概率；（2）小明、小吳同時(shí)隨機(jī)選課，約定選擇偏理方向及生物學(xué)科，求他們選課相同的概率.20．已知數(shù)列滿足：，，.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記（），用數(shù)學(xué)歸納法證明：，21．近期，某公交公司分別推出支付寶和徽信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付．某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表l所示：表1根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如右圖所示的散點(diǎn)圖．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，y=a+bx與(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次；參考數(shù)據(jù)：其中υ參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)u1,υ1,

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

，故選D．2、B【解析】

利用平面向量數(shù)量積的定義計(jì)算出的值，由可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，向量與的夾角為，，，，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

利用直線過(guò)定點(diǎn)可求所過(guò)的定點(diǎn).【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故直線恒過(guò)點(diǎn)，故選C.【點(diǎn)睛】一般地，若直線和直線相交，那么動(dòng)直線必過(guò)定點(diǎn)（該定點(diǎn)為的交點(diǎn)）.4、A【解析】

根據(jù)新數(shù)據(jù)所得的均值與方差，結(jié)合數(shù)據(jù)分析中的公式，即可求得原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.【詳解】設(shè)原數(shù)據(jù)為則新數(shù)據(jù)為所以由題意可知，則，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)據(jù)處理與簡(jiǎn)單應(yīng)用，平均數(shù)與方差公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

先化成直線的斜截式方程即得直線的斜率.【詳解】由題得直線的方程為y=2x,所以直線的斜率為2.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查直線斜率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6、B【解析】

根據(jù)題意，構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列求和推出的位置.【詳解】根據(jù)已知，第行有個(gè)數(shù)，設(shè)數(shù)列為行數(shù)的數(shù)列，則，即第行有個(gè)數(shù)，第行有個(gè)數(shù)，……，第行有個(gè)數(shù)，所以，第行到第行數(shù)的總個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，數(shù)的總個(gè)數(shù)，所以，為時(shí)的數(shù)，即行的數(shù)為：，，，，……，所以，為行第列.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列知識(shí)求解很關(guān)鍵，屬于中檔題.7、B【解析】

通過(guò)向量垂直的條件即可判斷基本事件的個(gè)數(shù)，從而求得概率.【詳解】基本事件總數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，滿足的基本事件有，，，共3個(gè)，故所求概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型，計(jì)算滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的分析能力.8、D【解析】由已知中正方體的平面展開(kāi)圖，得到正方體的直觀圖如上圖所示：

由正方體的幾何特征可得：①不平行，不正確；

②AN∥BM，所以，CN與BM所成的角就是∠ANC=60°角，正確；③與不平行、不相交，故異面直線與為異面直線，正確；

④易證，故，正確；故選D．9、A【解析】

由三視圖得出原幾何體是由半個(gè)圓錐與半個(gè)圓柱組成的組合體，并且由三視圖得出圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高，再由圓柱和圓錐的體積公式得解.【詳解】由三視圖可知，幾何體是由半個(gè)圓錐與半個(gè)圓柱組成的組合體，其中圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高所以圓柱的體積，圓錐的體積，所以組合體的體積．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體的三視圖和空間幾何體圓柱和圓錐的體積，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】分析：要求圓柱的軸截面的面積，需先知道圓柱的軸截面是什么圖形，圓柱的軸截面是矩形，由題意知該矩形的長(zhǎng)、寬分別為，根據(jù)矩形面積公式可得結(jié)果.詳解：因?yàn)閳A柱的軸截面是矩形，由題意知該矩形的長(zhǎng)是母線長(zhǎng)，寬為底面圓的直徑，所以軸截面的面積為，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查圓柱的性質(zhì)以及圓柱軸截面的面積，屬于簡(jiǎn)單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、③④【解析】

①和②均可以找到不符合題意的位置關(guān)系，則①和②錯(cuò)誤；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理和空間中的平行垂直關(guān)系可知③和④正確.【詳解】若，此時(shí)或，①錯(cuò)誤；若，此時(shí)或異面，②錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可知，若，則，③正確；兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條直線必垂直于該平面，可知④正確本題正確結(jié)果：③④【點(diǎn)睛】本題考查空間中的平行與垂直關(guān)系相關(guān)命題的判斷，考查學(xué)生對(duì)于平行與垂直的判定和性質(zhì)的掌握情況.12、【解析】

根據(jù)面積公式計(jì)算出的值，然后利用反三角函數(shù)求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，則，則有：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，難度較易.利用面積公式的時(shí)候要選擇合適的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可根據(jù)所求角進(jìn)行選擇.13、【解析】

由，展開(kāi)后進(jìn)行計(jì)算，得到的值，從而得到答案.【詳解】因?yàn)橄蛄?，的夾角為，若，，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模長(zhǎng)，向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

根據(jù)圓錐軸截面的定義結(jié)合正三角形的性質(zhì)，可得圓錐底面半徑長(zhǎng)和高的大小，由此結(jié)合圓錐的表面積公式，能求出結(jié)果．【詳解】∵圓錐的軸截面是正三角形，邊長(zhǎng)等于2∴圓錐的高，底面半徑.∴這個(gè)圓錐的表面積：.故答案為．【點(diǎn)睛】本題給出圓錐軸截面的形狀，求圓錐的表面積，著重考查了等邊三角形的性質(zhì)和圓錐的軸截面等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15、825【解析】

以AB，BC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的斜率為k，用k表示出|PQ|，|AQ|，利用基本不等式得出答案．【詳解】過(guò)點(diǎn)M作△ABC的三邊的垂線，設(shè)⊙M的半徑為r，則r2，以AB，BC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則M（2，2），A（0，8），因?yàn)锳在平面BCM的射影在直線BC上，所以直線l必存在斜率，過(guò)A作AQ⊥l，垂足為Q，交直線BC于P，設(shè)直線l的方程為：y＝k（x﹣2）+2，則|AQ|，又直線AQ的方程為：yx+8，則P（8k，0），所以|AP|8，所以|PQ|＝|AP|﹣|AQ|＝8，所以，①當(dāng)k＞﹣3時(shí)，4（k+3）25≥825，當(dāng)且僅當(dāng)4（k+3），即k3時(shí)取等號(hào)；②當(dāng)k＜﹣3時(shí)，則4（k+3）23≥823，當(dāng)且僅當(dāng)﹣4（k+3），即k3時(shí)取等號(hào).故答案為：825【點(diǎn)睛】本題考查了考查空間距離的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16、【解析】

已知等腰三角形可知為銳角，利用三角形內(nèi)角和為，建立底角和頂角之間的關(guān)系，再求解三角函數(shù)值．【詳解】設(shè)此三角形的底角為，頂角為，易知為銳角，則，，所以．【點(diǎn)睛】給值求值的關(guān)鍵是找準(zhǔn)角與角之間的關(guān)系，再利用已知的函數(shù)求解未知的函數(shù)值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2），.【解析】

（1）由已知可先求得首項(xiàng)，然后由，得，兩式相減后可得數(shù)列的遞推式，結(jié)合得數(shù)列是等比數(shù)列，從而易得通項(xiàng)公式；（2）對(duì)數(shù)列可用錯(cuò)位相減法求其和．不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為先求的最大值．【詳解】（1）由得.由，可知，可得，即.因?yàn)?，所以，故因此是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由（1）知.所以①兩邊同乘以得②①②相減得從而于是，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，所?當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，因此.因?yàn)?，所以，的最小值?【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查錯(cuò)位相減法求和．適用錯(cuò)位相減法求和的數(shù)列一般是，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．18、（1）an=2×【解析】試題分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列{an}的公比q，利用條件a1=4，a3﹣a4（4）數(shù)列{an+bn}是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加得來(lái)的，所以可以采用拆項(xiàng)分組的方法，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題來(lái)解決.試題解析：解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1=4，a3﹣a4=1，得：4q4﹣4q﹣1=4，即q4﹣q﹣6=4．解得q=3或q=﹣4，∵q＞4，∴q=﹣4不合題意，舍去，故q=3．∴an=4×3n﹣1；（4）∵數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=1，公差d=4的等差數(shù)列，∴bn=4n﹣1，∴Sn=（a1+a4++an）+（b1+b4++bn）=+=3n﹣1+n4．考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用列舉法,列舉出偏理方向和偏文方向的所有情況,即可求得小明選擇偏理方向且選擇了生物學(xué)科的概率.（2）利用列舉法,列舉出兩個(gè)人選擇偏理方向且?guī)в猩飳W(xué)科的所有可能,即可求得兩人選課相同的概率.【詳解】（1）由題意知,選六科參加高考有偏理方向：（物,政,地）、（物,政,化）、（物,政,生）、（物,地,化）、（物,地,生）、（物,化,生）六種選擇；偏文方向有：（史,政,地）、（史,政,化）、（史,政,生）、（史,地,化）、（史,地,生）、（史,化,生）六種選擇.由以上可知共有12種選課模式.小明選擇偏理方向又選擇生物的概率為.（2）小明選擇偏理且有生物學(xué)科的可能有：（物,政,生）、（物,地,生）、（物,化,生）三種選擇,同樣小吳也是三種選擇；兩人選課模式有：[（物,政,生）,（物,政,生）]、[（物,政,生）,（物,地,生]、[（物,政,生）,（物,化,生）]、[（物,地,生）,（物,政,生）]、[（物,地,生）,（物,地,生）[（物,地,生）,（物,化,生）]、[（物,化,生）,（物,政,生）]、[（物,化,生）,（物,地,生）[（物,化,生）,（物,化,生）]由以上可知共有9種選課法,兩人選課相同有三種,所以兩人選課相同的概率.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率的求法,利用列舉法寫(xiě)出所有可能即可求解,屬于基礎(chǔ)題.20、（1