陜西省西安市鐵一中2025屆高一數學第二學期期末教學質量檢測試題含解析

陜西省西安市鐵一中2025屆高一數學第二學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．向量，，，滿足條件．，則A． B． C． D．2．已知函數，點A、B分別為圖象在y軸右側的第一個最高點和第一個最低點，O為坐標原點，若△OAB為銳角三角形，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．在等差數列中，若，且它的前項和有最大值，則使成立的正整數的最大值是（）A．15 B．16 C．17 D．144．如圖，中，，，用表示，正確的是()A． B．C． D．5．過點且與直線垂直的直線方程是．A． B． C． D．6．一個學校高一、高二、高三的學生人數之比為2：3：5，若用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，則應從高三學生中抽取的人數為：A．100 B．80 C．60 D．407．三棱錐則二面角的大小為()A． B． C． D．8．函數的最小正周期為π，若其圖象向左平移個單位后得到的函數為奇函數，則函數f（x）的圖象（）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱9．l：的斜率為A．﹣2 B．2 C． D．10．已知向量若為實數，則＝（）A．2 B．1 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則________.12．在等腰中，為底邊的中點，為的中點，直線與邊交于點，若，則___________．13．下列結論中正確的是______.（1）將圖像向左平移個單位，再將所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像；（2）將圖像上所有點的橫坐標擴大為原來的倍，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（3）將圖像上所有點的橫坐標擴大為原來的倍，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（4）將圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（5）將圖像向左平移個單位，再將所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像；14．若復數（為虛數單位），則的共軛復數________15．已知三個事件A，B，C兩兩互斥且，則P(A∪B∪C)=__________.16．已知函數的部分圖象如圖所示，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，若，.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求棱與平面所成角的正弦值.18．設等比數列{}的首項為，公比為q(q為正整數),且滿足是與的等差中項；數列{}滿足.(1)求數列{}的通項公式;(2)試確定的值，使得數列{}為等差數列：(3)當{}為等差數列時，對每個正整數是，在與之間插入個2,得到一個新數列{}，設是數列{}的前項和，試求滿足的所有正整數.19．已知圓.(1)過原點的直線被圓所截得的弦長為2，求直線的方程；(2)過外的一點向圓引切線，為切點，為坐標原點，若，求使最短時的點坐標.20．數列中，，.前項和滿足.（1）求（用表示）；（2）求證：數列是等比數列；（3）若，現按如下方法構造項數為的有窮數列，當時，；當時，.記數列的前項和，試問：是否能取整數？若能，請求出的取值集合：若不能，請說明理由.21．已知數列的前項和為，且.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令，數列的前項和為，若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】向量，則，故解得.故答案為：C。2、B【解析】

△OAB為銳角三角形等價于,再運算即可得解.【詳解】解：由題意可得,,由△OAB為銳角三角形，則,即，解得：，即的取值范圍為，故選：B.【點睛】本題考查了三角函數圖像的性質，重點考查了向量數量積的運算，屬中檔題.3、C【解析】

由題意可得，，且，由等差數列的性質和求和公式可得結論．【詳解】∵等差數列的前項和有最大值，∴等差數列為遞減數列，又，∴，，∴，又，，∴成立的正整數的最大值是17，故選C．【點睛】本題考查等差數列的性質，涉及等差數列的求和公式，屬中檔題．4、C【解析】

由平面向量基本定理和三角形法則求解即可【詳解】由，可得，則，即.故選C.【點睛】本題考查平面向量基本定理和三角形法則,熟記定理和性質是解題關鍵,是基礎題5、A【解析】

根據與已知直線垂直的直線系方程可假設直線為，代入點解得直線方程.【詳解】設與直線垂直的直線為：代入可得：，解得：所求直線方程為：，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用兩條直線的垂直關系求解直線方程的問題，屬于基礎題.6、A【解析】

根據分層抽樣的方法，得到高三學生抽取的人數為，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，學校高一、高二、高三的學生人數之比為2：3：5，采用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本，所以高三學生抽取的人數為人，故選A．【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用，其中解答中熟記分層抽樣的方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．7、B【解析】

P在底面的射影是斜邊的中點，設AB中點為D過D作DE垂直AC，垂足為E，則∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．【詳解】因為AB＝10，BC＝8，CA＝6所以底面為直角三角形又因為PA＝PB＝PC所以P在底面的射影為直角三角形ABC的外心，為AB中點．設AB中點為D過D作DE垂直AC，垂足為E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即為二面角P﹣AC﹣B的平面角．因為PD為三角形PAB的中線，所以可算出PD＝4所以tan∠PED所以∠PED＝60°即二面角P﹣AC﹣B的大小為60°故答案為60°．【點睛】本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，確定出二面角的平面角是解答本題的關鍵．8、C【解析】

利用最小正周期為π，求出的值，根據平移得出，然后利用對稱性求解.【詳解】因為函數的最小正周期為π，所以，圖象向左平移個單位后得到，由得到的函數是奇函數可得，即.令得，，故A,B均不正確；令得，，時可得C正確.故選C.【點睛】本題主要考查三角函數的圖像變換和性質.平移變換時注意平移方向和對解析式的影響，性質求解一般利用整體換元意識來處理.9、B【解析】

先化成直線的斜截式方程即得直線的斜率.【詳解】由題得直線的方程為y=2x,所以直線的斜率為2.故選：B【點睛】本題主要考查直線斜率的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、D【解析】

求出向量的坐標，然后根據向量的平行得到所求值．【詳解】∵，∴．又，∴，解得．故選D．【點睛】本題考查向量的運算和向量共線的坐標表示，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由可得，然后用正弦的和差公式展開，然后將條件代入即可求出原式的值【詳解】因為所以故答案為：【點睛】本題考查的三角恒等變換，解決此類問題時要善于發(fā)現角之間的關系.12、；【解析】

題中已知等腰中，為底邊的中點，不妨于為軸，垂直平分線為軸建立直角坐標系，這樣，我們能求出點坐標，根據直線與求出交點，求向量的數量積即可.【詳解】如上圖，建立直角坐標系，我們可以得出直線，聯立方程求出,,即填寫【點睛】本題中因為已知底邊及高的長度，所有我們建立直角坐標系，求出相應點坐標，而作為F點的坐標我們可以通過直線交點求出，把向量數量積通過向量坐標運算來的更加直觀.13、（1）（3）【解析】

根據三角函數圖像伸縮變換與平移變換的原則，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】（1）將圖像向左平移個單位，得到的圖像，再將所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像；（1）正確；（2）將圖像上所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（2）錯；（3）將圖像上所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（3）正確；（4）將圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖像，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（4）錯；（5）將圖像向左平移個單位，得到的圖像，再將所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像；（5）錯；故答案為（1）（3）【點睛】本題主要考查三角函數的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.14、【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由共軛復數的概念得答案．【詳解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案為1﹣2i．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查共軛復數的基本概念，是基礎題．15、0.9【解析】

先計算，再計算【詳解】故答案為0.9【點睛】本題考查了互斥事件的概率計算，屬于基礎題型.16、【解析】

由圖可得，即可求得：，再由圖可得：當時，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），結合即可得解.【詳解】由圖可得：，所以，解得：由圖可得：當時，取得最大值，即：整理得：，所以（）又，所以【點睛】本題主要考查了三角函數圖象的性質及觀察能力，還考查了轉化思想及計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）先證明平面，再證明平面平面.（Ⅱ）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，利用向量法求棱與平面所成角的正弦值.【詳解】解：（Ⅰ）∵平面，∴，∵，，，∴，∴，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，于是，，，設平面的一個法向量為，則，解得，∴，設與平面所成角為，則.【點睛】本題主要考查空間垂直關系的證明，考查線面角的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由已知可求出的值，從而可求數列的通項公式；（2）由已知可求，從而可依次寫出，，若數列為等差數列，則有，從而可確定的值；（3）因為，，，檢驗知，3，4不合題意，適合題意．當時，若后添入的數則一定不適合題意，從而必定是數列中的某一項，設則誤解，即有都不合題意．故滿足題意的正整數只有．【詳解】解（1）因為，所以，解得或（舍），則又，所以（2）由，得，所以，，，則由，得而當時，，由（常數）知此時數列為等差數列（3）因為，易知不合題意，適合題意當時，若后添入的數，則一定不適合題意，從而必是數列中的某一項，則.整理得，等式左邊為偶數，等式右邊為奇數，所以無解。綜上：符合題意的正整數.【點睛】本題主要考察了等差數列與等比數列的綜合應用，考察了函數單調性的證明，屬于中檔題．19、(1)或;(2)【解析】

(1)利用垂徑定理求出圓心到直線的距離,再分過原點的直線的斜率不存在與存在兩種情況,分別根據點到線的距離公式求解即可.(2)設,再根據圓的切線長公式以及求出關于關于的關系,再代入的表達式求取得最小值時的即可.【詳解】(1)圓圓心為,半徑為.當直線的斜率不存在時,圓心到直線的距離,故不存在.當直線的斜率存在時,設的方程：,即.則圓心到的距離,由垂徑定理得,即,即,解得.故的方程為或(2)如圖,設,因為,故,則,即,化簡得,即.此時,故當,即時最短.此時【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系,包括垂徑定理以及設點根據距離公式求距離最值的問題.需要根據題意列出關系式化簡,并用二次函數在對稱軸處取最值的方法.屬于中檔題.20、（1）（2）證明見詳解.（3）能取整數,此時的取值集合為.【解析】

（1）利用遞推關系式,令,通過,求出即可.（2）遞推關系式轉化為：,化簡推出數列是等比數列.（3）由,求出,求出,得到通項公式,然后求解的分母與分子,討論要使取整數,需為整數,推出的取值集合為時,取整數【詳解】解：（1）令,則,將,代入,有.解得：.（2）由得,化簡得,又,是等比數列.（3）由,,又是等比數列,,,①當時,依次為,.②當時,,,,要使取整數,需為整數,令,,,要么都為整數,要么都不是整數