山東省九校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

山東省九校2025屆高一下數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，則（）A． B． C． D．2．平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．3．橢圓中以點(diǎn)M(1，2)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）A． B． C． D．4．甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次比賽成績(jī)（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，若兩位運(yùn)動(dòng)員平均成績(jī)相同，則成績(jī)較穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為A．2 B．4 C．6 D．85．點(diǎn)，，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C． D．或6．已知正數(shù)、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．7．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度8．為了解名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為的樣本，則分段的間隔為（）A． B． C． D．9．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長(zhǎng)是（）cm．A．12 B．16 C． D．10．在集合且中任取一個(gè)元素，所取元素x恰好滿足方程的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線x-312．設(shè)點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，若，則=____.13．已知等比數(shù)列中，若，，則_____．14．已知一組數(shù)據(jù)、、、、、，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為__________.15．在中，角、、所對(duì)應(yīng)邊分別為、、，，的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為______16．若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，為的中點(diǎn)，且，，.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，求四棱錐的體積.18．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍．19．如圖，在平面四邊形中，已知，，在上取點(diǎn)，使得，連接，若，。（1）求的值；（2）求的長(zhǎng)。20．如圖所示，已知的斜邊長(zhǎng)，現(xiàn)以斜邊橫在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到旋轉(zhuǎn)體．（1）當(dāng)時(shí)，求此旋轉(zhuǎn)體的體積；（2）比較當(dāng)，時(shí)，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體表面積的大?。?1．從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表，求：（１）甲被選中的概率；（２）丁沒被選中的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)特殊值排除A,B選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性選出C,D選項(xiàng)中的正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A,B兩個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于，故，所以C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故本小題選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)值，考查對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

試題分析：如圖，設(shè)平面平面=，平面平面=，因?yàn)槠矫妫?，則所成的角等于所成的角.延長(zhǎng)，過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補(bǔ).3、A【解析】

先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率．【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得，兩式相減得，即，即，即，即，∴弦所在的直線的斜率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓的關(guān)系．在解決弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，涉及到“中點(diǎn)與斜率”時(shí)常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問題的目的，屬于中檔題.4、A【解析】

根據(jù)平均數(shù)相同求出x的值，再根據(jù)方差的定義計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成績(jī)相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=1，所以平均數(shù)為=90；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成績(jī)波動(dòng)性小，較為穩(wěn)定（方差較?。?，所以甲成績(jī)的方差為s1=×[（88﹣90）1+（89﹣90）1+（90﹣90）1+（91﹣90）1+（91﹣90）1]=1．故選A．【點(diǎn)睛】莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．5、B【解析】

根據(jù)，在直線異側(cè)或其中一點(diǎn)在直線上列不等式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與線段相交，所以，，在直線異側(cè)或其中一點(diǎn)在直線上，所以，解得或，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由得，再將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【詳解】，所以，，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選．【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．7、B【解析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，再結(jié)合三角函數(shù)圖像的平移變換即可得解.【詳解】解：由，即為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】試題分析：由題意知，分段間隔為，故選C.考點(diǎn)：本題考查系統(tǒng)抽樣的定義，屬于中等題.9、B【解析】

根據(jù)直觀圖與原圖形的關(guān)系，可知原圖形為平行四邊形，結(jié)合線段關(guān)系即可求解.【詳解】根據(jù)直觀圖，可知原圖形為平行四邊形，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為2cm，所以原圖形cm，，則，所以原平面圖形的周長(zhǎng)為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形直觀圖與原圖形的關(guān)系，由直觀圖求原圖形面積方法，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

寫出集合中的元素，分別判斷是否滿足即可得解.【詳解】集合且的元素，,，，，，.基本事件總數(shù)為，滿足方程的基本事件數(shù)為.故所求概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、π【解析】

將直線方程化為斜截式，利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)閤-3所以y=33x-33則tanα=33，α=【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，列方程求出m的值．【詳解】P（m，）是角終邊上的一點(diǎn)，∴r＝；又，∴＝，解得m＝，，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了任意角三角函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．13、4【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的等積求解即可.【詳解】因?yàn)?故.又,故.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列等積性的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，數(shù)據(jù)、、、、、的平均數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的計(jì)算，考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、18【解析】

根據(jù)三角形面積公式找到的關(guān)系，結(jié)合基本不等式即可求得最小值.【詳解】根據(jù)題意，，因?yàn)榈钠椒志€交于點(diǎn)，且，所以而所以，化簡(jiǎn)得則當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，即最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式和基本不等式，考查計(jì)算能力，屬于中等題型16、【解析】

點(diǎn)O到的距離，將的面積用表示出來，再利用均值不等式得到答案.【詳解】曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的上半圓，若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，則直線的斜率，則點(diǎn)O到的距離，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．所以，解得舍去)．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，三角形面積，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）6【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理可得出平面；（2）過作交于，由平面，得出平面，可而出，結(jié)合，可證明出平面，可得出，并計(jì)算出，利用平行線的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，再利用錐體的體積公式可計(jì)算出四棱錐的體積.【詳解】（1）連接交于，連接.四邊形為矩形，∴為中點(diǎn).又為中點(diǎn)，∴.又平面，平面，∴平面；（2）過作交于.∵平面，∴平面.又平面，∴.∵，，，平面，∴平面.連接，則，又是矩形，易證，而，，得，由得，∴.又矩形的面積為8，∴.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明，以及錐體體積的計(jì)算，直線與平面平行的證明，常用以下三種方法進(jìn)行證明：（1）中位線平行；（2）平行四邊形對(duì)邊平行；（3）構(gòu)造面面平行來證明線面平行．一般遇到中點(diǎn)找中點(diǎn)，根據(jù)已知條件類型選擇合適的方法證明．18、(1)；(2)【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）分段討論討論函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù)，函數(shù)在時(shí)，至多有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在時(shí)，可能僅有一個(gè)零點(diǎn)，可能有兩個(gè)零點(diǎn)，分別求出的取值范圍，可得解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且；當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為；故當(dāng)時(shí)，最小值為．（2）因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以（?。┊?dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，令得，因?yàn)闀r(shí)，，所以時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為且，此時(shí)需函數(shù)在時(shí)也恰有一個(gè)零點(diǎn)，令，即，得，令，設(shè)，，因?yàn)椋?，，，?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；而當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，所以要使在時(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則需，要使函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且，設(shè)在時(shí)的零點(diǎn)為，則需，而當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，并且滿足；（ⅱ）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，也符合題意，而由（?。┛傻茫巩?dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，則，要使函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則，但不能滿足，所以沒有的范圍滿足當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為．故得解.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程，函數(shù)的零點(diǎn)問題的綜合應(yīng)用，屬于難度題，關(guān)鍵在于分析分段函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，以及其圖像趨勢(shì)，可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方便求解，注意在討論二次函數(shù)的根的情況時(shí)的定義域?qū)ζ涞挠绊懀?9、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）在中，直接由正弦定理求出；（2）在中，，，可求出，在中，直接由余弦定理可求得.試題解析：（1）在中，據(jù)正弦定理，有.∵，，，∴.（2）由平面幾何知識(shí)，可知，在中，∵，，∴.∴.在中，據(jù)余弦定理，有∴點(diǎn)睛：此題考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，利用正弦、余弦定理可以很好得解決了三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．在中，涉及三邊三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí)，運(yùn)用余弦定理求解.20、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的形狀，可利用兩個(gè)圓錐的體積和得到所求（2）分別計(jì)算兩個(gè)圓錐的側(cè)面積求和即可.【詳解】沿斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周即得到如圖所示的旋轉(zhuǎn)體．∵，，∴，，，∴．（2）當(dāng)，其表面積；當(dāng)，其表面積．通過計(jì)算知，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體的形成，圓錐的體積、面積求法，屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）先確定從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定甲被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率（2）先確定從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定丁沒被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.【詳解】（1）從甲、乙、丙