線性代數及應用（第2版）課件 -5 初等變換與初等矩陣

第1章矩陣及應用1.5初等變換與初等矩陣初等變換求解線性方程組引例對應的增廣矩陣

后一個方程組有唯一解，它和原方程組是同解方程組，所以原方程組有唯一解：

對方程組反復進行了三種變換，即：（1）互換兩個方程的位置；（2）用一個非零數

k乘某個方程；（3）把一個方程的

k倍加到另一個方程上．這三種變換稱為線性方程組的初等變換．初等變換下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對調兩行，記作；以非零常數

k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的

k倍，記作．把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統稱為初等變換．定義1初等變換若矩陣

A經過一系列初等行(列)變換化為矩陣

B，若矩陣

A經過一系列初等變換化為矩陣

B，則稱

A與

B123定義2則稱

A與

B行(列)等價，記作等價，記作自反性：任意矩陣

A

與自身等價；對稱性：若矩陣A與矩陣

B等價,則矩陣B與矩陣A等價；傳遞性：若矩陣A與矩陣B等價，矩陣B與矩陣

C等價，則矩陣A與矩陣C等價.初等變換求解線性方程組解對應方程組為例1初等變換行階梯形矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素．行最簡形矩陣：非零行的第一個非零元為1；這些非零元所在的列的其它元素都為零．初等變換滿足下列兩個條件的矩陣稱為行階梯形矩陣

(簡稱階梯形)（1）若有零行，則零行位于非零行的下方；（2）每個首非零元（非零行從左邊數起第一個不為零的元）前面零的個數逐行增加．例如初等變換首非零元為

1，且首非零元所在列的其它元都為零的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣，簡稱最簡形．例如定理1推論初等變換用初等行變換將矩陣

A化成階梯形和最簡形．解階梯形最簡形練習初等變換左上角為單位矩陣，其它元素均為零的矩陣稱為標準形矩陣，簡稱標準形．注初等矩陣三種初等變換對應著三種初等矩陣．定義3由單位矩陣經過一次初等變換而得到的方陣稱為初等矩陣．

初等矩陣（1）交換單位陣

的第

行和第

行，或交換

第

列和第

列，得到的初等矩陣記為（2）用非零的數

乘單位陣的第

行或第

列得到的

初等矩陣記為初等矩陣（3）以

k

乘單位陣第

j行加到第

i行，記作

Em(i,j(k))．以

k

乘單位陣第

i列加到第

j列．

兩種理解！初等矩陣初等矩陣結論把矩陣

A的第

i行與第

j行對調，即.把矩陣

A的第

i列與第

j列對調，即.以非零常數

k乘矩陣

A的第

i行，即

.以非零常數

k乘矩陣

A的第

i列，即

.把

A第

j行的

k倍加到第

i行，即

.把

A第

i

列的

k倍加到第

j列，即

.初等矩陣設

A是一個

m×n矩陣，——左行右列定理2

對

A施行一次初等行變換，相當于在左邊乘以相應的

m階初等矩陣；

對

A施行一次初等列變換，相當于在右邊乘以相應的

n階初等矩陣．初等矩陣均是可逆矩陣，且其逆矩陣還是初等矩陣．說明初等矩陣例2解可看成是先對矩陣

A實施一次交換第

2

行和第

3行的變換，再實施一次第

1行乘以數

k加到第

2行的變換所得到的.這相當于先后用初等矩陣左乘矩陣，初等矩陣由定理1和定理2可知，以下結論成立設

A是任意

m×n矩陣，必存在行最簡矩陣

U和設

A是任意

m×n矩陣，必存在

m階可逆矩陣

P定理m階初等矩陣定理和

n階可逆矩陣

Q，使得其中初等矩陣n階方陣可逆的充要條件是它能表示成一些初等矩陣的乘積．(必要性)可見A

表示成了一些初等矩陣的乘積．因為可逆矩陣的乘積仍是可逆矩陣，故

A可逆．證明

(充分性)定理3初等矩陣123m×n

階矩陣

A與

B等價的充要條件是存在m階定理下面命題互相等價：n階方陣

A

可逆；方陣A可表為有限個初等矩陣的乘積.方陣A行等價于n階單位矩陣；推論可逆矩陣

P與

n階可逆矩陣

Q，使初等矩陣首先構造分塊矩陣

；01OPTION02OPTION對矩陣

實施初等行變換，將

化為行最簡形矩陣；03OPTION

如果

不能行等價于

，則矩陣

不可逆；若

能行等價于

，

則

可逆，且