點(diǎn)和剛體的基本運(yùn)動(dòng)課件

1

點(diǎn)和剛體的基本運(yùn)動(dòng)

8．1點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)

在研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先要確定點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置并表征點(diǎn)位置隨時(shí)間變化的規(guī)律，進(jìn)而研究在每一瞬間點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如速度、加速度。

2設(shè)有一動(dòng)點(diǎn)M作直線運(yùn)動(dòng)，x隨時(shí)間t變化的規(guī)律可表示為時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)：x=f(t),設(shè)從瞬時(shí)t到瞬時(shí)t+△t,點(diǎn)的位置從M改變到M”,坐標(biāo)由x改變到x+△x,坐標(biāo)增量△x為點(diǎn)在時(shí)間t內(nèi)的位移

稱為點(diǎn)在時(shí)間t內(nèi)的平均速度,當(dāng)t→0時(shí),速度記為點(diǎn)的速度等于位置坐標(biāo)函數(shù)對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),它是一個(gè)代數(shù)量,正號(hào)表明x的代數(shù)值隨時(shí)間增加,點(diǎn)沿x軸正向運(yùn)動(dòng).3直線運(yùn)動(dòng)中,動(dòng)點(diǎn)的加速度等于速度對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),也等于位置坐標(biāo)函數(shù)對(duì)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù),它也是一個(gè)代數(shù)量,正號(hào)表明速度的代數(shù)值隨時(shí)間增加.幾個(gè)常見的物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式:4【例題8-1】一卡車沿直線道路運(yùn)送貨物,全程500m.設(shè)最高行駛速度5m/s,最大加速度0.5m/s2,走完全程至少需要多少時(shí)間.

解:要使時(shí)間最少:第一階段由停止開始,以最大加速度0.5m/s2加速至5m/s,第二階段以最大速度作勻速運(yùn)動(dòng),第三階段以加速度-0.5m/s2至停止.

第一階段:5第三階段:

第二階段:

10+90+10=110s

68.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的變矢量法

設(shè)動(dòng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),某瞬間t,動(dòng)點(diǎn)的位置在M,從坐標(biāo)原點(diǎn)O向動(dòng)點(diǎn)作矢量OM=r,r就是動(dòng)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的矢徑。矢徑r是變矢量，是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)：r=r(t),當(dāng)△t→0時(shí)，比值△r/△t的極限表明在瞬間動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢，稱為動(dòng)點(diǎn)在瞬間的速度：7動(dòng)點(diǎn)的速度等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),方向沿動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡切線，并指向動(dòng)點(diǎn)前進(jìn)的方向。在曲線運(yùn)動(dòng)中，加速度包含速度的大小和方向兩者的改變。8動(dòng)點(diǎn)的加速度等于它的速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，它是一個(gè)矢量。98．3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)表示法

任意選取一直角坐標(biāo)系，動(dòng)點(diǎn)的位置可用坐標(biāo)x,y,z來(lái)表示。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),坐標(biāo)隨時(shí)間而改變，是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)：

這就是直角坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程。消去時(shí)間參數(shù)t，可得軌跡方程：10

∴r=xi+yj+zk

即:速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于相應(yīng)的坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。11【例題8-3】設(shè)物體以與水平面成φ角的初速度V0從O點(diǎn)拋出，方程為

求軌跡、速度和加速度、射程和射高12解：由方程可得：

13【例題8-4】、【例題8-5】可以詳細(xì)的講解其中的一個(gè).148.4點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的自然表示法

設(shè)動(dòng)點(diǎn)沿軌跡曲線AB運(yùn)動(dòng),在曲線上任取一點(diǎn)o為原點(diǎn),規(guī)定正負(fù)方向，則動(dòng)點(diǎn)的任意瞬間的位置可用弧坐標(biāo)s=OM表示。這種確定位置的方法稱為自然法,動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),弧坐標(biāo)S隨時(shí)間t而變化,是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù),表示為s=s(t)，這就是用自然法表示的運(yùn)動(dòng)方程。158．4．1動(dòng)點(diǎn)的速度

設(shè)由瞬間t到瞬間t+△t,動(dòng)點(diǎn)的位置由M改變到M’,在時(shí)間t內(nèi)弧坐標(biāo)的增量為△S＝MM′,而它的矢徑增量為△r=MM′,由矢量微分法可知：16是一個(gè)矢量，其方向沿軌跡的切線并指向軌跡正向，于是得到速度的公式：

這表示速度的代數(shù)值等于弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)8．4．2動(dòng)點(diǎn)的加速度以M為原點(diǎn)，由τ,n,b引出的切線軸MT,主法線軸MN,副法線軸MB組成一正交坐標(biāo)系，稱為曲線過(guò)M點(diǎn)的自然軸系。17

此式表明加速度在切線上的投影等于速度的代數(shù)值對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)；加速度在主法線上的投影等于速度大小的平方除以軌跡上動(dòng)點(diǎn)所在處的曲率半徑；加速度在副法線上的投影等于零。18切向加速度反映了動(dòng)點(diǎn)速度代數(shù)值對(duì)時(shí)間的變化率。當(dāng)ατ與v同號(hào)時(shí)，ατ與v的方向相同，動(dòng)點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)，否則，作減速運(yùn)動(dòng)。

由ατ及αn可求出加速度的大小

19【例題8-6】半徑為r的輪子可繞水平軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，輪緣上繞已不能伸長(zhǎng)的繩索，下端懸掛一重物A.設(shè)物體按x=0.5ct2的規(guī)律下落，其中c為常數(shù)，求輪緣上M的速度和加速度。

解:M點(diǎn)的軌跡顯然是半徑為r的圓周.由于繩不能伸長(zhǎng),弧長(zhǎng)為弧坐標(biāo):M點(diǎn)的速度的大小為:

其方向沿軌跡的切線并朝向M點(diǎn)前進(jìn)的方向。20M點(diǎn)的切向和法向加速度的大小分別為：

8．5點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的極坐標(biāo)表示方法(略講)218．6剛體的平行移動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)8．6．1剛體的平行移動(dòng)

剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如體內(nèi)任一直線始終保持與其初始位置平行，則這種運(yùn)動(dòng)稱為平行移動(dòng)。平動(dòng)的剛體所有各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都有相同的特點(diǎn)，可以按點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)分析。8．6．2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)如剛體上有一條直線在剛體運(yùn)動(dòng)中保持不動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。22當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，位置角以弧度計(jì)，隨時(shí)間變化，是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，表示為：

角速度等于位置角對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，它的數(shù)值表明在瞬時(shí)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。當(dāng)它為正時(shí),位置角的代數(shù)值隨時(shí)間增大，剛體作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。角速度的單位為弧度／秒（rad/s）.角速度與轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系：23角加速度：

角加速度等于角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于位置角對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù),當(dāng)角加速度ε為正時(shí)，角速度ω的代數(shù)值隨時(shí)間增大。若角加速度ε與角速度ω的符號(hào)相同，則角速度ω的絕對(duì)值隨時(shí)間增大，剛體作加速運(yùn)動(dòng)。反之剛體作減速運(yùn)動(dòng)，角加速度的單位為24

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的一些基本公式：

8.7定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度與加速度

25【習(xí)題8-22】機(jī)構(gòu)如圖所示，桿AB以勻速v運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)φ=0.求當(dāng)φ=45。時(shí)，搖桿OC的角速度與角加速度。OC=a

解:因?yàn)镺C作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，取C為研究對(duì)象，C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)代表OC桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)