2025屆北師大第二附屬中學數(shù)學高一下期末復習檢測試題含解析

2025屆北師大第二附屬中學數(shù)學高一下期末復習檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，、、分別是角、、的對邊，若，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形2．終邊在軸上的角的集合（）A． B．C． D．3．在正四棱柱，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．4．若，是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則5．已知，函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則可能的值為（）A． B． C． D．6．若對任意，不等式恒成立，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．7．若且，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．8．下面四個命題：①“直線a∥直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；②“直線l⊥平面α內(nèi)所有直線”的充要條件是“l(fā)⊥平面α”；③“直線a、b為異面直線”的必要不充分條件是“直線a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的充分不必要條件是“α內(nèi)存在不共線的三點到β的距離相等”；其中正確命題的序號是()A．①② B．②③ C．③④ D．②④9．已知：，則（）A． B． C． D．10．某校高一年級有男生540人，女生360人，用分層抽樣的方法從高一年級的學生中隨機抽取25名學生進行問卷調(diào)查，則應抽取的女生人數(shù)為（）A．5 B．10 C．15 D．20二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．點從點出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動弧長到達點，則點的坐標為__________.12．對于數(shù)列，若存在，使得，則刪去，依此操作，直到所得到的數(shù)列沒有相同項，將最后得到的數(shù)列稱為原數(shù)列的“基數(shù)列”.若，則數(shù)列的“基數(shù)列”的項數(shù)為__________________．13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為__________.14．函數(shù)，的反函數(shù)為__________．15．已知，，，若，則__________．16．已知數(shù)列滿足，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).(1)求的最小正周期和最大值；(2)求在上的單調(diào)區(qū)間18．某校全體教師年齡的頻率分布表如表1所示，其中男教師年齡的頻率分布直方圖如圖2所示.已知該校年齡在歲以下的教師中，男女教師的人數(shù)相等.表1：(1)求圖2中的值；(2)若按性別分層抽樣，隨機抽取16人參加技能比賽活動，求男女教師抽取的人數(shù)；(3)若從年齡在的教師中隨機抽取2人，參加重陽節(jié)活動，求至少有1名女教師的概率.19．已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求的值；（2）證明是等比數(shù)列，并求；（3）若,數(shù)列的前項和為．20．已知圓的圓心在線段上，圓經(jīng)過點，且與軸相切.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓交于，兩點，當最小時，求直線的方程及的最小值.21．求下列各式的值：（1）求的值；（2）已知，，且，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由正弦定理和，可得，在利用三角恒等變換的公式，化簡得，即可求解.【詳解】在中，由正弦定理，由，可得，又由，則，即，即，解得，所以為等腰三角形，故選A.【點睛】本題主要考查了正弦定理的應用，以及三角形形狀的判定，其中解答中熟練應用正弦定理的邊角互化，合理利用三角恒等變換的公式化簡是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2、D【解析】

根據(jù)軸線角的定義即可求解.【詳解】A項，是終邊在軸正半軸的角的集合；B項，是終邊在軸的角的集合；C項，是終邊在軸正半軸的角的集合；D項，是終邊在軸的角的集合；綜上，D正確.故選:D【點睛】本題主要考查了軸線角的判斷，屬于基礎題.3、A【解析】

作出兩異面直線所成的角，然后由余弦定理求解．【詳解】在正四棱柱中，則異面直線與所成角為或其補角，在中，，，．故選A．【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形求之．4、C【解析】

A中平面，可能垂直也可能平行或斜交，B中平面，可能平行也可能相交，C中成立，D中平面，可能平行也可能相交.【詳解】A中若，，，平面，可能垂直也可能平行或斜交；B中若，，，平面，可能平行也可能相交；同理C中若，，則，分別是平面，的法線，必有；D中若，，，平面，可能平行也可能相交.故選C項.【點睛】本題考查空間中直線與平面，平面與平面的位置關系，屬于簡單題.5、C【解析】

直接利用三角函數(shù)性質(zhì)的應用和函數(shù)的奇偶性的應用求出結(jié)果.【詳解】解：由函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以，當時，.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于基礎題.6、D【解析】

對任意，不等式恒成立，即恒成立，代入計算得到答案.【詳解】對任意，不等式恒成立即恒成立故答案為D【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，意在考查學生的計算能力和解決問題的能力.7、D【解析】

利用不等式的性質(zhì)對四個選項逐一判斷.【詳解】選項A:，符合，但不等式不成立，故本選項是錯誤的；選項B:當符合已知條件，但零沒有倒數(shù)，故不成立，故本選項是錯誤的；選項C:當時，不成立，故本選項是錯誤的；選項D:因為，所以根據(jù)不等式的性質(zhì)，由能推出，故本選項是正確的，因此本題選D.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，舉特例是解決這類問題的常見方法.8、B【解析】

逐項分析見詳解.【詳解】①“a平行于b所在的平面”不能推出“直線a∥直線b”，如：正方體上底面一條對角線平行于下底面，但上底面的一條對角線卻不平行于下底面非對應位置的另一條對角線，故錯誤；②“直線l⊥平面α內(nèi)所有直線”是“l(fā)⊥平面α”的定義，故正確；③“直線a、b不相交”不能推出“直線a、b為異面直線”，這里可能平行；“直線a、b為異面直線”可以推出“直線a、b不相交”，所以是必要不充分條件，故正確；④“α內(nèi)存在不共線的三點到β的距離相等”不能推出“平面α∥平面β”，這里包含了平面相交的情況，“平面α∥平面β”能推出“α內(nèi)存在不共線的三點到β的距離相等”，所以是必要不充分條件，故錯誤.故選B.【點睛】本題考查空間中平行與垂直關系的判斷，難度一般.對可以利用判定定理和性質(zhì)定理直接分析的問題，可直接判斷；若無法直接判斷的問題可采用作圖法或者排除法判斷.9、A【解析】

觀察已知角與待求的角之間的特殊關系，運用余弦的二倍角公式和誘導公式求解.【詳解】令，則，所以，所以，故選A.【點睛】本題關鍵在于觀察出已知角與待求的角之間的特殊關系，屬于中檔題.10、B【解析】

利用分層抽樣的定義和方法求解即可.【詳解】設應抽取的女生人數(shù)為，則，解得．故選B【點睛】本題主要考查分層抽樣的定義及方法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意可得OQ恰好是角的終邊，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得Q點的坐標．【詳解】點P從點出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動弧長到達Q點，則OQ恰好是角的終邊，故Q點的橫坐標，縱坐標為，故答案為：【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于容易題．12、10【解析】

由題意可得,只需計算所有可能取值的個數(shù)即可.【詳解】因為求的可能取值個數(shù),由周期性,故只需考慮的情況即可.此時.一共19個取值,故只需分析,又由,故,,即不同的取值個數(shù)一共為個.即“基數(shù)列”分別為和共10項.故答案為10【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的周期性.注意到隨著的增大的值周期變化,故只需考慮一個周期內(nèi)的情況.13、1【解析】

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算S的值并輸出變量i的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【詳解】模擬程序的運行，可得

S=1，i=1

滿足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=3，i=2

滿足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=7，i=3

滿足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=15，i=4

滿足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=31，i=5

滿足條件S<40，執(zhí)行循環(huán)體，S=13，i=1

此時，不滿足條件S<40，退出循環(huán)，輸出i的值為1．

故答案為：1．【點睛】本題主要考查的是程序框圖，屬于基礎題．在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可．14、【解析】

將函數(shù)變形為的形式，然后得到反函數(shù)，注意定義域.【詳解】因為，所以，則反函數(shù)為：且.【點睛】本題考查反三角函數(shù)的知識，難度較易.給定定義域的時候，要注意函數(shù)定義域.15、-3【解析】由可知，解得，16、【解析】

數(shù)列為以為首項，1為公差的等差數(shù)列。【詳解】因為所以又所以數(shù)列為以為首項，1為公差的等差數(shù)列。所以所以故填【點睛】本題考查等差數(shù)列，屬于基礎題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f(x)的最小正周期為π，最大值為；（2）f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．【解析】

（1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和最值求得的最小正周期和最大值．（2）根據(jù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得在上的單調(diào)區(qū)間．【詳解】解：（1）函數(shù)，即故函數(shù)的周期為，最大值為．（2）當時，，故當時，即時，為增函數(shù)；當時，即時，為減函數(shù)；即函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．18、（1）；（2）見解析；（3）【解析】

由男教師年齡的頻率分布直方圖總面積為1求得答案；由男教師年齡在的頻率可計算出男教師人數(shù)，從而女教師人數(shù)也可求得，于是通過分層抽樣的比例關系即可得到答案;年齡在的教師中，男教師為(人)，則女教師為1人,從而可計算出基本事件的概率.【詳解】(1)由男教師年齡的頻率分布直方圖得解得(2)該校年齡在歲以下的男女教師人數(shù)相等，且共14人，年齡在歲以下的男教師共7人由(1)知，男教師年齡在的頻率為男教師共有(人)，女教師共有(人)按性別分層抽樣，隨機抽取16人參加技能比賽活動，則男教師抽取的人數(shù)為(人)，女教師抽取的人數(shù)為人(3)年齡在的教師中，男教師為(人)，則女教師為1人從年齡在的教師中隨機抽取2人，共有10種可能情形其中至少有1名女教師的有4種情形故所求概率為【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，分層抽樣，古典概率的計算，意在考查學生的計算能力和分析能力，難度不大.19、（1）2，6，14；（2）（3）【解析】

（1）通過代入，可求得前3項；（2）利用已知求的方法，求解；（3）首先求得數(shù)列的通項公式，將通項分成兩部分，一部分利用錯位相減法求和，另一部分常數(shù)列求和.【詳解】（1）當時，，解得；當時，，解得；當時，，解得.（2）當時，兩式相減，，且時首項為4，公比為2的等比數(shù)列.（3）根據(jù)（2）可知，，設，設其前項和為，兩式相減可得解得，數(shù)列，前項和為，數(shù)列的前項和是【點睛】本題考查了已知求的方法，利用錯位相減法求和屬于基礎中檔題型.20、（1）（2）的方程為，最小為【解析】

（1）設圓的方程為，由題意可得，求解即可得到圓的方程；（2）過定點，當直線與直線垂直時，直線被圓截得的弦最小，求解即可.【詳解】解：（