內(nèi)蒙古通遼市小學(xué)數(shù)學(xué)小學(xué)奧數(shù)系列8-2-1抽屜原理（二）

內(nèi)蒙古通遼市小學(xué)數(shù)學(xué)小學(xué)奧數(shù)系列8-2-1抽屜原理（二）

姓名:班級:成績:

攀，

M親愛的小朋友們，這一段時間的學(xué)習(xí)，你們收獲怎么樣呢？今天就讓我們來檢驗(yàn)一下吧！

一、（共35題；共160分）

1.（10分）有蘋果和桔子若干個，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶

數(shù)？

2.（5分）三個小朋友在一起玩，其中必有兩個小朋友都是男孩或者都是女孩.

3.（5分）圖書館有A,B,C,D四種圖書若干本，每人借一本書，至少要有多少個人借書，才能保證一定有

3人借的書相同？

4.（5分）一副撲克牌除去兩張王牌共有52張，問至少要取出多少張牌，才能保證其中一定有3種或3種以

上花色？

5.（5分）在S的方格紙中，每個方格紙內(nèi)可以填上1~4四個自然數(shù)中的任意一個，填滿后對每個2,2

“田”字形內(nèi)的四個數(shù)字求和，在這些和中，相同的和至少有幾個？

6.（5分）六⑴班40名學(xué)生到圖書室借書，圖書室有科技、歷史和文藝三種書。要求：每種只能借1本，

每人至少可借1本，最多可借3本。六（1）班至少有幾人所借圖書是相同的？

7.（5分）任給六個數(shù)字，一定可以通過加、減、乘、除、括號，將這六個數(shù)組成一個算式，使其得數(shù)為105

的倍數(shù).

8.（5分）把5本書放進(jìn)2個抽屜里，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進(jìn)3本書，為什么？

9.（5分）把12個乒乓球放入5個盒子，至少有3個乒乓球要放人同一個盒子。為什么？

10.（5分）池塘里有6只青蛙跳到4片荷葉上，總有一片荷葉上至少有2只青蛙。為什么？

11.（5分）某小學(xué)即將開運(yùn)動會，一共有十項比賽，每位同學(xué)可以任報兩項，那么要有多少人報名參加運(yùn)動

會，才能保證有兩名或兩名以上的同學(xué)報名參加的比賽項目相同？

12.（5分）某次會議有25人參加，每人至少認(rèn)識一個人.在這25人中至少有兩人認(rèn)識的人數(shù)相同.你知道

第1頁共10頁

為什么嗎？

13.（5分）在1米長的直尺上任意點(diǎn)五個點(diǎn)，請你說明這五個點(diǎn)中至少有兩個點(diǎn)的距離不大于25厘米.

14.（1分）兩個布袋各有12個大小一樣的小球，且都是紅、白、藍(lán)各4個。從第一袋中拿出盡可能少的球,

但至少有兩種顏色一樣的放入第二袋中；再從第二袋中拿出盡可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每種顏色的球

不少于3個。這時，兩袋中各有多少個球？

15.（5分）有49個小孩，每人胸前有一個號碼，號碼從1到49各不相同.現(xiàn)在請你挑選若干個小孩，排成

一個圓圈，使任何相鄰兩個小孩的號碼數(shù)的乘積小于100,那么你最多能挑選出多少個孩子？

16.（5分）“六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人.試說明：在游園

的小朋友中，至少有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等.

17.（5分）在100張卡片上不重復(fù)地編上1~100,至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出的卡片上

的數(shù)之乘積可被12整除？

18.（5分）如圖」、B、C、。四只小盤拼成一個環(huán)形，每只小盤中放若干糖果.每次可取出1只、

或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.這樣取出的糖果數(shù)最多有幾種？請說明理由.

19.（5分）把1、2、3、…、10這十個數(shù)按任意順序排成一圈，求證在這一圈數(shù)中一定有相鄰的三個數(shù)之和

不小于17.

20.（5分）張老師說北京市的所有人中一定有兩個人頭發(fā)根數(shù)一樣多.你覺得張老師說的話有道理嗎？為什

么？（人的頭發(fā)約有十萬根）

21.（5分）一個盒子中有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球各20個.最少要拿幾個球，就能保證有兩對同色的球？

最少要拿出幾個球，就能保證有3對同色的球？解答了前兩個問題，你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？你能根據(jù)規(guī)律迅速地寫

出要保證有4對同色的球，最少要拿出多少個球嗎？（所謂“同色的球”指的是每對中的兩個球同色，不是指所有

取出的球同色）

22.（5分）如圖，在時鐘的表盤上任意作9個120°的扇形，使得每一個扇形都恰好覆蓋4個數(shù)，且每

第2頁共10頁

兩個扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到3個扇形，恰好覆蓋整個表盤上的數(shù).并舉一個反例說明，作

S個扇形將不能保證上述結(jié)論成立.

23.（5分）任意給定一個正整數(shù)"，一定可以將它乘以適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使得乘積是完全由0和7組成的數(shù).

24.（5分）用數(shù)字1,2,3,4,5,6填滿一個6.6的方格表，如右圖所示，每個小方格只填其中一個數(shù)

字，將每個正方格內(nèi)的四個數(shù)字的和稱為這個2正方格的“標(biāo)示數(shù)”.問：能否給出一種填法，使得任

意兩個“標(biāo)示數(shù)”均不相同？如果能，請舉出一例；如果不能，請說明理由.

25.（5分）試說明在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米.

26.（5分）從1,2,3,99,100這100個數(shù)中任意選出51個數(shù).

證明：

（1）在這51個數(shù)中，一定有兩個數(shù)互質(zhì)；

（2）在這51個數(shù)中，一定有兩個數(shù)的差等于50；

（3）在這51個數(shù)中，一定存在9個數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1.

27.（5分）（2018六下?云南月考）有26位小朋友，他們當(dāng)中至少有3位小朋友屬同一生肖，這個觀點(diǎn)對

嗎?為什么？

28.（5分）有黑、紅、藍(lán)三種顏色的手套各10只混在了一起，這些手套只要兩只顏色相同，即可配成一雙。

（1）把眼睛蒙上，至少要拿出幾只才能保證能配成1雙？

第3頁共10頁

（2）至少要拿出幾只，才能保證能配成2雙？

（3）至少要拿出幾只，才能保證有2雙是相同顏色的？

29.（5分）一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點(diǎn)數(shù)？

30.（5分）一副撲克牌，共54張，問：至少從中摸出多少張牌才能保證：

（1）至少有5張牌的花色相同；

（2）四種花色的牌都有；

（3）至少有3張牌是紅桃.

（4）至少有2張梅花和3張紅桃.

31.（1分）有趣的順口溜

東東學(xué)完植樹問題后，爺爺給他出了一道趣味題。爺爺念了一段順口溜：湖邊春色分外嬌，一株杏樹株桃.平

湖周圍三千米，六米一株都栽到。漫步湖畔景色美，可知桃栽了?杏栽了?聰明的同學(xué)們，你能

幫東東算一算嗎？

32.（5分）“華羅庚”杯數(shù)學(xué)競賽獲獎的87名學(xué)生分別來自12所小學(xué)。試說明至少有8名學(xué)生來自同一所

學(xué)校。

33.（1分）如果有25個小朋友乘6只小船游玩，至少要有個小朋友坐在同一只小船里

34.（1分）媽媽準(zhǔn)備了7只信封，在每只信封里都放了錢共100元，要求每一只信封里都放整元數(shù)，而且都

不相同，那么錢放得最多的一只信封里至少放元？

35.（1分）紅旗小學(xué)六年級共有369人，2007年至少有人會在同一天過生日？

第4頁共10頁

參考答案

一、（共35題；共160分）

1-1、

解：需先跟學(xué)生介紹奇偶性：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)+圖5=奇數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù).

先用列表法進(jìn)行搭配，由于包目只要求判斷兩堆水果的個數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個數(shù)的奇、偶性上來考的*痕的設(shè)計.對于

每堆水果中的蘋果、格子的個數(shù)分別都有奇數(shù)與｛?數(shù)兩種可能,所以每堆水果中蘋果、怙子個數(shù)的搭配就有4種情形：（面，

奇），（奇，偶），（俵，奇），（儡,國），其中括號中的第一個字表示本果數(shù)的奇偶性，第二個字表示桔子數(shù)的奇偶性.

將這4種情形看成4個抽屜，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這S堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情

形.由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù),偶數(shù)加偶數(shù)仍為倍數(shù),所以在同一個抽尿中的兩堆水果,其承果的息數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù).

2-1、

解：方法一：情況一：這三個小朋友,可能全部是男,那么必有兩個小朋友都是男孩的說法＞正確的：

情況二:這三個小朋友，可能全部是女,另Mi必有兩個小朋友都是女孩的說法^正確的；

情況三：這三個小朋友，可能其中1男2女月眨必稗兩個小朋友都是女琪說法是正確的；

情況四：這三個小朋友，可能其中2男1女,司因奴跑兩個小朋友都是男核的說法^正確的.所以，三個小朋友在一起玩,M

中必有兩個小朋友都是男孩或者都是女孩的說法是正確的；

方法二:三個小朋友只有兩種性別，所以至少有兩個人的性別是相同的，所以必有兩個小朋友都是另孩或者都是女孩.

解:4x2+l=9（A）

3-K普：主：要有9人借書.

解:13x2+1=27?）

4-1、答：至少要取出27張牌.

5-1、

解：先計算出在8、8的方格中，共有2x21■田"字形：7x7=49（個），在1~4中任取4個效（可以重復(fù)）的和可以是

4-16中之一，共13種可能，根聒抽屜原理:49-13=3~10，至少有3+1=4個-田-字形內(nèi)的數(shù)字和是相同的.

解:同學(xué)們借書情況共有7種.用A.B、C表示3種圖書借書的情況有:A,B,C,AB,AC,BC,ABC.

40+7=5......5

5+l=6（A）

6-1、S：六⑴班至少有6人所借圖書是相同的.

7-1

第5頁共10頁

解：105=3*5x7,

可以符式子寫成(onb/E歐&]/)的形式，

若六個數(shù)字里有7的倍數(shù),另以第一個恬號里直接做乘法即可得到7的倍數(shù);

者沒有7的倍數(shù),則除以7的余數(shù)最大為6,最小為1,分為三類:①余數(shù)為13g者6;②余數(shù)為2或者5;③余數(shù)為3或者4.

目眩六個數(shù)字分別除以7必定有余數(shù)相同的兩個數(shù),那么它們的野?定是7的倍數(shù);若沒存余數(shù)相同的數(shù)，則一定有兩個數(shù)的余

數(shù)屬于上面三類中的T,到眩它們的和一定曷7的倍數(shù).

同理：在剜下的四個數(shù)中可以找到5和3的伸放.

則將這六個數(shù)組成f算式.F能使其得數(shù)為105的倍數(shù).

8-1、

解：把5本書“平均分成2份”,5+2=2......1,如果每個抽屜放進(jìn)2本，還剩1本,把剩下的這1本書放進(jìn)任何f抽屜，該抽扈

里就有3本書了.

解:12+5=2......3,2+1=3(4>)

9-1、答：因?yàn)槊總€盒子里各放入2個乒乓球，另該余下的乒乓球無論放入事個盒子里，至少有3個乒乓球賽放入同f盒子里.

解:6+4=12,1+1=2(R)

10—1、答:因?yàn)槿绻科扇~上跳上1只青蛙，另口余下是2只無論跳到?片荷葉上總有一片荷葉上至少有2只育蛙.

H-K解：十項比賽，每位同學(xué)可以任報兩項,另眩有45種不同的報名方法.由第胤的賴育45+l=46(A)報名時流足JR.

12-1、

解：參力口會議的人，認(rèn)識的人數(shù)可以是：1人、2人、3人.....24A,共有24種情況.現(xiàn)在有25人，所以至少有2個人認(rèn)識的

人數(shù)相同.

13-1、

解：5個點(diǎn)最多把1米長的直尺分成4段，要想使每一段都盡量長，應(yīng)采取平均分的辦法.把1米長的直尺平均劃分成四段，

每一段25厘米，把這四段看成四個抽卮.當(dāng)把五個點(diǎn)隨意放入四個抽屜時，根據(jù)抽扈原理,一定有一個抽屜里面有兩個或兩

個以上的點(diǎn)，落在同一段上的這兩點(diǎn)間的距離f不大于25，所以結(jié)論成立.

14-1、

解：第一次,只^??a一袋中有朝雌的球不足3個即可(取了多g球,怎麗以不考慮).第:欠頓,

要保證第一袋中每種顏色的球不少于3個，最不利的情況是兩種顏色的球各有8個，另一種顏色的球有3個.所以，第一裝中有球

8+8+3=19(個)，第力中稗球4x3.2-19=5(個).

15-1、

第6頁共10頁

解：將1至49中相乘小于100的兩個數(shù)，按被乘段分成9組,如下：

(1*2).(1x3).(1x4).4(1*49)；

(2x3).(2x4).(2x5)、...、(2x49)；

(8x9)、(8x10)、(8x11)、(8x12);

(9*10).(9x11).

因?yàn)轶懿坏椭荒芘c左右兩個數(shù)相乘,也就是每個數(shù)作為被購K或物最多兩次,所以每一組中最多會有兩對數(shù)出現(xiàn)在國圈中，

最多可以取出18個數(shù)對,扶18*2=36次，但是每個數(shù)都出現(xiàn)兩次，故出現(xiàn)了18個數(shù).

例如：(10x9).(9x11).(八8)、(8x12).(12x7)、(7*13),(13*6).(6T4)、(14x5).

(5*15)、(15x4).(4x16),(16X3)、(3,17)、(17x2)、(2818)、(18><1)、(卜10).共出現(xiàn)I~18

號,共18個孩子.

若通意選取出1+NS子,那么共有194號臺,由于每個號碼數(shù)要與旁邊兩數(shù)分別相乘,則會形成12相乘的數(shù)對.

另眩在9組中取出19個數(shù)時,有19=9*2+1,由揄屜原則知，必有三個數(shù)對落入同一蛆中，這樣某個數(shù)字會在財中出現(xiàn)三次

(或三次以上)，由分析知,這是不允許的.故最多挑出孩子.

16-1、

解：假設(shè)共有n個小朋友到公園游玩，弱他他們看作n個"蘋果”,再把每個小朋友遇到的熟人數(shù)目看作■'抽屜“，月眩,

n個小朋友每人遇到的熟人數(shù)目共有以下〃種可能■其中。的意思是指這位小朋友沒有遇到熟人；而每

：0,1,2........n-1

位小朋友最多遇見1個熟人，所以共有n個.抽展”.下面分兩種情況來討論:

⑴M果在這nNJ潮友中，有一些小朋友沒有遇到任何熟人，這時其他小朋友最多只能遇上?-2個熟人,這樣熟人數(shù)目只有

種可能，.這樣，~蘋果"數(shù)(〃個小朋友)超過數(shù)(種熟人數(shù)目)，根據(jù)抽屜

1:0,1,2，.…“〃_2"ttS"n-1

原理，至少有兩個小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等.

(2剛果在這,i個小朋友中，每位小朋友都至少遇到f熟人,這樣熟人數(shù)目只有n-1種可能:1,2,3........!.這

時,"蘋果"數(shù)(n個小朋友)仍然超過一抽屜”數(shù)(〃_1種熟人數(shù)目)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個小朋友，他們遇到的

題人數(shù)目相等.

總之，不管這n個小朋友各遇到多少熟人(包括沒3到熟人)，必稗兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等.

17-1、

解：12=3/22,因?yàn)?的^^［岸］=33個，所懷是3的磁的數(shù)一班100-33=67(個)去

保證乘積是3的倍數(shù),但是如果抽取68個數(shù)，則必定存在一個數(shù)是3的倍數(shù)，又因?yàn)槠鏀?shù)只有50個.所以抽取的偶數(shù)至少

有18個，可以保證乘積是出倍數(shù),從而可以保證乘積是12的倍數(shù).于是最少要抽取68張卡片才可以保證乘積可被12整

除.

18-1、

第7頁共10頁

解：最多為13種.

因?yàn)槿?只盤子有4種取法；取3只盤子（即有1種盤子不?。灿兴姆N取法；取4只盤子具有1只取法；取兩只相鄰的盤

子，在第1只取定后，（依順時針方向），第2只也就確定了，所以也有4種聊去.共有3x4+1=13種取法胸足13種取法的糖

果放法可以有無數(shù)多種.例期的解表明糖果數(shù)可以為1~13這13種.

19-1、

解：把這一慝從某始按順時針方向分別記為內(nèi)、與、a3、...、al0.相鄰的三個數(shù)為一組，有。刈*3、、

。刈4。5、…、^9^10^1、共lOffi.

這十組三個數(shù)之和的總和為：

（。1+42+。3M。2+?3+。N…Hai0+ai+aJ=3（ai+g+…+。［0）=3><55=165?165=16*10+5，^6^^屜原

理，這十組數(shù)中至少有一組數(shù)的和不小于17.

20-1、

解：1氏市的人口數(shù)*定遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于十萬人，人的頭發(fā)有十萬根左右,根踞抽屜原理,：!原市的所有人中至少有兩個人的頭發(fā)根

數(shù)一樣多，張老師的話是有道理的.

21-1、

解：最少要拿6個球，就能保證有兩對同色的球；最少要拿出8個球，就能保證有3對同色的球;我發(fā)現(xiàn)：保證摸出同色的球每增

加一對,最少填出的球的個數(shù)依次18加2個.8+2=10,所以，饕保證提出4對同色的球，最少要拿出10個球.

22-1、

解：在表盤上共可作出12個不同的扇形,且1~12中的每個數(shù)愴好被4個扇形覆蓋.將這12個扇形分為4蛆,使得每一組的3個扇

形恰好蓋住整個表盤.那么,根據(jù)抽屜原理,從中選擇9個扇形，必育圖+上3個扇形屬于同一組，那么這TB的3個扇形可

以廢。個表盤.另一方面,作8個扇形相當(dāng)于從全部的12個扇形中去掉4個，U何以去掉蓋住同一個數(shù)的4個扇形，這樣這個

數(shù)就沒稗極剩下的8個就形蓋住,那么這8個扇形不能蓋曰個表盤.

23-1、

解：考融下；》+1僮：7,77,777....12^2,12^2，這以“的能為0,1,2，.…一i

n位ir-lfiz

中之一，共"種情況，根據(jù)抽屜原理,其中必有兩個數(shù)除以n的余數(shù)相同，不妨設(shè)為二二2和21^2（p>g）,那么

P&.

Z2?_=ZZ二i嗎是n的倍數(shù),所以〃乘以適當(dāng)?shù)男碗?可以得到形式為的數(shù),即由即7組成

網(wǎng)2q<Uq位Qr-j）?血

的數(shù).

24-1、

解:先計苒出每個2x2正方格內(nèi)的四個數(shù)字的和最小為4,最大為24,從4到24共有21個不同的值，即有21個■1抽屜”；再找

出在6x6的方格表最多有：5x5=25（個）2、2正方格的“標(biāo)示數(shù)"，即育25個"蘋果”.25-21=1-4，根據(jù)抽屜

原理,必有兩個"標(biāo)示數(shù)”相同.

第8頁共10頁

25-1

解：把這條〃意分成每段1米長，共100段每段看作是一個抽屜,共100個抽屜，把101棵樹看作是101個蘋果，于是101個蘋果

放入100個抽屆中,至少有一個抽尿中稗兩個蘋果，即至少有一段有兩棒或兩棒以上的褥.

26-1、

解：我們將1~100分成(1,2),(3.4),(5,6),(7,8)…，(99.100)這50?,每組內(nèi)的數(shù)相鄰.而相鄰的兩

個自然數(shù)互質(zhì).將這50組數(shù)作為58抽屜,同一個抽扈內(nèi)的兩個數(shù)互質(zhì).而現(xiàn)在51個數(shù),放進(jìn)50＜抽屜,則必定有兩個數(shù)在同

-WS,于是這兩個數(shù)互質(zhì).同聶I得證.

26-2、

解：我們將1—100分成(1,51),(2,52),(3,53)，.一(40,90)....(50,100)這50蛆,每姐內(nèi)的數(shù)相差50.

杼這5詢數(shù)視為抽質(zhì),則現(xiàn)在有51個數(shù)放進(jìn)辰內(nèi)，則必定有2個數(shù)在同一抽辰,3gs兩個數(shù)的差為50.問理卷證.

26-3、

解：我們將1—100S2的倍迎3的奇數(shù)倍、既不是2又不是3的倍數(shù)的情況分組，有(2,4,6,8,,98,100),(3,9,

這三組.第一、二三組分別育、個

15,21,27f...,93,99),(5,7,11,13,17,19,23,,95,97)5017.33

元春.

最不利的情況下，51個數(shù)中有33個元素在第三組，那么剩下的18個數(shù)分到第一、二兩組內(nèi)，那么至少有9個數(shù)在同一組.所以

這9個數(shù)的最大公約數(shù)為2或3或它們的倍數(shù)，鑒然大于1.問題得證

對,26+12=2(位)......2(位)

27-1,2+1=3(12)

281、至少拿出4只才能保證豳E成1雙.

28-2、至少拿出6只，才能俚證能配成2雙.

28-3、至少拿出10只，才能保證有2雙是相同8^的.

29-1、

解：點(diǎn)數(shù)為1(A)、2、3、4.5、6、7、8、9.10.11(J),12(Q)、13(K)的牌各取1張，再取大王、小王各1張，一

共15張，這15張牌中，沒有兩張的點(diǎn)數(shù)相同.這樣,如果任意再取