廣東省惠陽區(qū)某中學(xué)人教版高中數(shù)學(xué)必修一學(xué)案：對數(shù)函數(shù)

2.2-1指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)化（課前先學(xué)案）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

理解對數(shù)，常用對數(shù)及自然對數(shù)的概念；掌握指數(shù)式與對數(shù)式的互化；

重點(diǎn)：對數(shù)式與指數(shù)式的互化及對數(shù)運(yùn)算難點(diǎn)：對數(shù)概念的理解

【知識梳理】

1、對數(shù)的概念：如果ax=N（a>0且a工1）,那么數(shù)x叫做，記作—

a々二No二iog石W1三：b二二

/J；——JTT一

底數(shù)指數(shù)塞底數(shù)真數(shù)對數(shù)

2、指數(shù)式與對數(shù)式的互化：優(yōu)=No

因?yàn)橹笖?shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算，所以前后對應(yīng)字母相同、取值范圍也相同。

3、常用對數(shù)是的對數(shù)，記為,

4、自然對數(shù)是的對數(shù)，記為。

5、對數(shù)的性質(zhì)：（1）零和負(fù)數(shù)對數(shù)；

log,,N

6.同底對數(shù)恒等式：a=（a>0,且a#l）；

log”〃二（a>0,且a#1）。

【預(yù)習(xí)自測】

1.把下列指數(shù)式化成對數(shù)式：

1_11

2-'=-；273=-；3"=27；l（）T=0.1

23

2.把下列對數(shù)式化成指數(shù)式:

,1。,1,

電;=一2；1叫雨=~4；log|32=—5；1g0.001=—3

42

3、填空：

log“l(fā)=，1嗚。=，1嗚｝=，1啊。=

2.2-1指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)化（上課正學(xué)案）

【課堂檢測】

1、把下列指數(shù)式寫成對數(shù)式

4A=16<=>;3v=1<=>;/=6=:

2、把下列對數(shù)式寫成指數(shù)式

x=log230;x=lg25<=>:

3.求下列各式的值

(1)log525,(2)log2-,(3)lg10000,(4)lg0.001,(5)log2—o

【拓展探究】

例1.（1）求使k）g64%=；成立的X的值.（2）求使log」6=2成立的X的值.

例2、求值：（1）21°=1+1823

2bg（2）2°

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1、有以下四個(gè)命題：

=L,則x=5;

①若log,X=3,則X=15;②若log25X

2

③若log石x=0則x=石；④若log]x=-3,則x=125;

其中正確的是

2、已知log,9=2,則x的值為

3、已知xlog34=L求4,+4x的值。

2.2-1指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)化（課后溫學(xué)案）

【課后作業(yè)】

1、若logI(x+2)=0,貝|Jx=;若log4(l-x)=1,則x=.

3

2、求下列各式中x的值：

.1

⑴log2(log4x)=0;(2)log3(lgx)=l；

3、若a〉0且ahl,x>y〉0,下列式子：①log“k)g“y=log〃(x+y);

x

②log“x-log“y=log,,(x-y);③log“二=log“x+logay;

y

④log”(孫)=10gtilog“y其中正確的個(gè)數(shù)是。

4.已知log2(log3(log4x))=log3(log4(log2，))=0,求x+y的值。

5、求對數(shù)式log“_2)(5—x)中的x的取值范圍.

2X+2~x

6、設(shè)x=k)g23,求:一的值。

2入—2'

2.2-2對數(shù)運(yùn)算一

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

理解對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)過程，熟練運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡求值.；

重點(diǎn)：掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；

難點(diǎn)：熟練運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡求值.

【知識梳理】

1、指數(shù)式與對數(shù)式的互化：如果優(yōu)=N(a>0且awl),那么x=

2、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

(1)a"1?a"=(2)=(3)(a'")"=

根據(jù)對數(shù)的定義及對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，你能解答下列問題嗎？

(1)設(shè)10gM2=〃?，log“3=〃，求a"'+"；

(2)設(shè)IogaM=/n,logaN—n,試?yán)谩?、〃表示loga(MTV).

【歸納】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a>0,M>0,N>0,那么

(1)log“(M?N)=“積的對數(shù)=對數(shù)的和“

M

(2)log(—)=_______________"商的對數(shù)=對數(shù)的差”

aN

(3)log?Mn="正數(shù)的"次方的對數(shù)=正數(shù)的對數(shù)的n倍”

【注意】順用'逆用運(yùn)算性質(zhì)，如Ig5+lg2=lg()=1,真數(shù)的取值范圍必須是(0,+8)：

log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的.

2

log10(-10)=2log10(-10)是不成立的.

【預(yù)習(xí)自測】

1、1g2+1g5=,log318-陶2=

log26-log23=----------------，logs3+log51=----------------------

log”2+log“；=----------------Jog35-隰15=----------------------

log2(log216)=?

7

2、求值：logs35-21og5§+log51.8；

【課堂檢測】

1、求下列各式的值：

7535

(1)10g2(4x2)；(2)IgVlOO；(3)log2(2x4)；(4)log5125.

2、用log“x,log.y,log。z表示下列各式:

⑵電拶

（1）bg戶;

z

【拓展探究】

例1、1、求下列各式的值:

2

⑴log2^+log212-|log242；22

(2)lg5+-lg8+lg5.1g20+(lg2)

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

【課外拓展】

1、【2015高考安徽】lgj+21g2-(1)-'=。

2、已知函數(shù)則//('=o

3、若/(x)=a,且/(]g4=?,則。=。

【選做】

2*7_2%<1

1、已知函數(shù)/(1)=(’—，且/(〃)=一3,則/(6-。)=_______________。

-log2(x+l),x>1

2、已知定義在R上的函數(shù)/(%)=2及一嘰1(加為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記

a=/(log053),b=/(log,5),c=/(2加)，則a,仇c,的大小關(guān)系為。

2、【解析】：/3)=-3,.?.當(dāng)aWl時(shí)，/(。)=21一2=-3,則2"7=-1,此等式顯然

7

不成立，當(dāng)。>1時(shí)，一log2（a+l）=—3,解得。=7,.../⑹一。=/（T=2-1-1-2=--

2、【解析】由/（力為偶函數(shù)得加=0,所以。=21叫/一1=2臉3一1=3-1=2,

l5

z,=20g=_i=5-l=4,c=2°-l=0，所以c<a<b.

2.2-3對數(shù)運(yùn)算二

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

利用換底公式將對數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)或自然對數(shù)進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算

問題1假設(shè)3陋=兀則log25==x?log,3,即log,5=log,3、，從而有3、=5,

logo3

把3、=5化為對數(shù)式為：log，5=x,又因x=座二，所以得出log,5=3型巨的結(jié)論.

10g23log23

問題2怎樣用常用對數(shù)表示log35?

----------losN

【換底公式】一般地，log“N=)^,其中(a>0,且aw1；c>0,且cw1）

log—

用語言可表示為：“一個(gè)對數(shù)可以用同底數(shù)的兩個(gè)對數(shù)的商來表示

【預(yù)習(xí)自測】

1、利用對數(shù)的換底公式化簡下列各式：

(1)logaC*log(.a；(2)log23?log34?log45?log52；

⑶(電43+^83)(432+?92).

利用換底公式可以把題目中不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì).

兩個(gè)常用的推論:①log,/」og/=l,logab-logz,c-logta=l.

Yi

②log=—k)g“b(凡b>0且均不為1).

am

小結(jié)在利用換底公式進(jìn)行化簡求值時(shí),一般情況是根據(jù)題中所給的對數(shù)式的具體特點(diǎn)選擇

恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底，如果所給的對數(shù)式中的底數(shù)和真數(shù)互不相同，我們可以選擇

以10為底數(shù)進(jìn)行換底.

【課堂檢測】

計(jì)算：lg1—lg|+lg12.5—Iog89/og34；lg20+log10025;

2log34-log48-log8m=log416,求取的值.

【拓展探究】

若2"=5"=10,則l+1=_________________o

ab

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1、計(jì)算：1og916/og881的值為.

2、若log5ylog36-log6X=2,則》=.

3、已知Ig2=a,lg3=b,試用表示log125

【課外拓展】

1、已知log89=a,k)g25=8,則lg3=(用a、6表示).

2、若log“2=m，1。以5=",則.

3、(lg5)2+lg2-lg50=.

4、己知log[89=a,18'=5,求log3645.

【選做】

2'+1

【2015高考山東】若函數(shù)/(%)=]一是奇函數(shù)，則使f(x)>3成立的X的取值范圍為

2.-(1

()

(A)(-8,-1)(B)(-1,0)(c)(0,1)(D)(l,+oo)

【答案】C

2'+12T+1

【解析】由題意“X)=—/(—%)，即1—=——--，所以，(l-?)(2v+l)=0,a=l,

2-a2-a

2*+12V+1

/(x)=*^,由f{x}=-x一〉3得，1<2'<2,0<X<1,故選C.

2'—12—1

2.2-4對數(shù)函數(shù)一

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解對數(shù)函數(shù)的概念以及|對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系|；

2.掌握對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

重點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的概念以及它與指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系

難點(diǎn)：掌握忖數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【知識梳理】

【對數(shù)函數(shù)的定義】一般地，我們把函數(shù)形如卜=log“*3>0,且a聲川叫做對數(shù)函數(shù),

其中x是自變量，函數(shù)犍義域是（013.

【對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)】

一、具體函數(shù)：

寫出在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=log2%及y=k）g|x的圖象的過程，觀察圖象，并指出這

兩個(gè)函數(shù)有哪些相同性質(zhì)和不同性質(zhì)？

1i

X???124???

42

??????

y=log2x

y=logAx???…

2

由圖知：(1)兩圖象都位于)，軸;

(2)經(jīng)過定點(diǎn)(,);

(3)定義域都是(,);

(4)值域都是

單調(diào)性：函數(shù)y=log?x的圖象是,y=log]X的圖象是

2

這說明y=log?x在(0，+8)上是,》=1081%在(0,+8)上是.

奇偶性：___________________________

二、一般函數(shù)

歸納總結(jié)y=k)g“x(a>0,且。工1)的圖像和性質(zhì)

定義y-log。x(a>。且Qw1)

底數(shù)a>\0<a<l

圖象y1y

1

o/(LO)Lo

定義域

值域

單調(diào)性在(0,+co)上_______在(0,+co)上________

共點(diǎn)性圖象過點(diǎn)_______，即k)g“l(fā)=0

函數(shù)值當(dāng)x>l時(shí)y____當(dāng)x>1時(shí)y____

特征當(dāng)0<x<l時(shí)y____當(dāng)0<x<1時(shí)y____

對稱性函數(shù)y=log.x與y=log!x的圖象關(guān)于x軸對稱

a

【預(yù)習(xí)自測】

1、已知對數(shù)函數(shù)/(x)的圖像過點(diǎn)(4,2),則該函數(shù)的解析式為.

2、求下列函數(shù)的定義域.

(l)y=logo,2(4~x)；(2)y=log,Nx—”W1).

3、比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大?。?/p>

(l)log25.3與log24.7；(2)logo.27與logo.29；

(3)k>g3n與logn3；(4)log“3.1與log“5.2(a>0,a#l).

小結(jié)①如果兩對數(shù)的底數(shù)相同，則由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(底數(shù)a>1為增；0<“<1為減)

比較；②如果兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量進(jìn)行比較；

【課堂檢測】

1、指出下列函數(shù)那些是對數(shù)函數(shù).

(l)y=log2(x+l)(2)y=21og|X(3)y=log4x+l

2

21口

(4)y=log4x(5)y=logvx(6)y=log.T)>/且ax1)

2、求下列函數(shù)的定義域:

y=log3(l-x)；y=j^?y=Nlog3X.

3、函數(shù)y=log“(x+l)-2的圖像恒過定點(diǎn)。

【拓展探究】

已知/(x)=1g,a,be(-1,1)求證：/(a)+f(b)=

1+x\i+ah

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1>已知集合4=卜,=1。8213求Ac3

2、函數(shù)y=Jlg(x—1)的定義域是__________________________________

【課外拓展】

1、求不等式log“(2x+7)>log“(4x—l)(a>0且aH1)中x的取值范圍。

【選做】

1、【2015高考湖北】函數(shù)/(x)=7^1+尼二$匕6的定義域?yàn)?)

x-3

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)(3,4JD.(-1,3)(3,6]

2、己知函數(shù)/(》)=108“*+3)在區(qū)間[一2,—1]上總有|/(到<2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍。

【解析】1、由函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式可知，函數(shù)/(x)的定義域應(yīng)滿足條件：

4-|》20,三二空心>0,解之得%>2,*。3,即函數(shù)/(幻的定義域?yàn)?2,3)(3,4J,故應(yīng)

x-3

選C..

2因?yàn)閤w[—2,—1]，所以1WX+3W2.

當(dāng)a>1時(shí)，log“1Vlog“(x+3)<loga2,

BP0</(x)<loga2,

因?yàn)?(x)<2,所以4解得a>

log02<2

當(dāng)0<a<1時(shí)，log“2<loga(x+3)<log?1,

即k)g“2W/(x)W。

因?yàn)閒(x)v2,所以1解得0<Q<J.

[loga2>-2,2

綜上,實(shí)數(shù)。的取值范圍是“卜(拒收)

2.2-5對數(shù)函數(shù)二

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

掌握對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

重點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的概念以及它與指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系

難點(diǎn)：掌握阿致函麻語斯寫祗質(zhì).

【知識梳理】

定義

y-logax(a>0且Qw1)

底數(shù)a>\0<?<1

圖象y1y

1

oO

定義域

值域

單調(diào)性在(0,+oo)上_______在(0,+8)上________

共點(diǎn)性圖象過點(diǎn)_______,即log“l(fā)=0

函數(shù)值當(dāng)x>l時(shí)y_______當(dāng)x>1時(shí)y________

特征當(dāng)0<x<l時(shí)y_______當(dāng)0<x<1時(shí)y_________

對稱性函數(shù)y=log“x與y=log]x的圖象關(guān)于x軸對稱

a

【預(yù)習(xí)自測】

1、觀察下圖所示函數(shù)y=k)g＞，y=logo.5X，y=logi(p:,y=logo/x的圖象，你能得出什么結(jié)

論？

對于底數(shù)的對數(shù)函數(shù)，在（1,+8）區(qū)間內(nèi)，底數(shù)越越靠近X軸;

對于底數(shù)的對數(shù)函數(shù)，在（1，+8）區(qū)間內(nèi)，底數(shù)越越靠近X軸.

2、函數(shù)y=log?x,y=log/>x,y=logd的圖象如下圖所示，那么〃，c與1的大小關(guān)系.

3、比較下列各組數(shù)的大小:

12-6

Iog3§與10g5j；logo.i1.3和logo.i1.8；

Iog35和log64；Iogi.i0.7與logi.20.7.

【小結(jié)】

對于兩個(gè)不同底的對數(shù)式，若真數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為同底（利用換底公式）或利用對數(shù)函數(shù)圖象,

數(shù)形結(jié)合解得；若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進(jìn)行比較.

4、填空:

函數(shù)y=ax+2-3(a>0且aWl)必過定點(diǎn).

函數(shù)y=a2x+'-4(a>Q,且a/1)的圖象恒過定點(diǎn).

函數(shù)y=(a>0且aWl)恒過定點(diǎn)(1,2),則b=.

函數(shù)y=loga(2x+l)的圖像恒過定點(diǎn).

函數(shù)y=log?(2x+1)-2的圖像恒過定點(diǎn).

函數(shù)y=log〃(2x+Z?)-l(a>0且aWl)恒過定點(diǎn)(2,-1),則b=.

【課堂檢測】

1、解下列不等式或方程

(2)lg(x+5)2=2(3)(log,x)2+3log1x+2=0

【拓展探究】

1、已知函數(shù)/(x)=log(,(x+l),g(x)=log“(l一x),(a>0,ah1).

(1)求函數(shù)f(x)+g(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)/(x)+g(x)的奇偶性，并說明理由。

【當(dāng)堂訓(xùn)練】

1已知a=（g）,b=32,c=log3（g），則a,Ac的大小關(guān)系是

2、函數(shù)/（幻=log2（3x+1）在區(qū)間（0,田）上的值域是

3、當(dāng)0＜。＜1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y與y=log“x的圖象大致是（）

【課外拓展】

1、已知函數(shù)/（x）=log〃（"一1）,（。＞0且。71）

（1）求/（x）的定義域；（2）討論函數(shù)/（X）的增減性

2、已知函數(shù)/(x)=log“(x+l)—log“(l—x),(a>0且awl)

(1)求/(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；

(3)當(dāng)a>l時(shí)，求使函數(shù)/(x)>0的x的取值范圍.

2.2-6對數(shù)函數(shù)三

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【預(yù)習(xí)自測】

1,已知函數(shù)/。）=嗓4（4'-1）.

（1）求/（X）的定義域；

（2）討論/（x）的單調(diào)性；

（3）求/（x）在區(qū)間g,2上的值域。

【課堂檢測】

2、已知函數(shù)/(x)=loga(1-x)+logfl(x+3)(0<a<1).

(I)求函數(shù)/(x)的定義域；

(II)若函數(shù)/(x)的最小值為—4,求實(shí)數(shù)a的值.

參考答案：

1解析(1)由4、一1>0,解得x>0,

因此/(x)的定義域?yàn)?0,go)

(2)設(shè)0<用</，則。<4"一1<4'2-1,

因此log4(4"-1)<log4(40一1),即/(內(nèi))<f(x2),/(%)在(0,m)上遞增。

(3)/(x)在區(qū)間；,2上遞增，

又=⑵=1嗚15,

因此/(x)在1,2上的值域?yàn)閇0/og415]；

1—x>0

2解析解：(I)要使函數(shù)有意義則有1，解之得一3vxvl.

x+3>0

所以函數(shù)的定義域?yàn)橥?<x<1}

22

(II)函數(shù)可化為/(x)=log“(1一x)(x+3)=log“(-x-2x+3)=log(,[-(x+l)+4]0

-3<x<1,0v—(x+1)~+4<4.

2

???0<a<1,.-.logfl[-(x+l)+4]>log”4,

???/(x)min=1嗚4.

5

由log“4=-4,得“T=4,「?。=44故實(shí)數(shù)a的值為一

2

【課外拓展】

CX+1(0<x<c)Q

1、已知函