二項式定理的應用教案 人教課標版

《二項式定理的應用》教案

教學目標

.利用二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)解決某些關(guān)于組合數(shù)的恒等式的證明；近似計算；

求余數(shù)或證明某些整除或余數(shù)的問題等.

.滲透類比與聯(lián)想的思想方法，能運用這個思想處理問題.

.培養(yǎng)學生運算能力，分析能力和綜合能力.

教學重點與難點

數(shù)學是一門工具，學數(shù)學的目的就是為了應用.怎樣建立起要解決的問題與數(shù)學知識

之間的聯(lián)系(如一個近似計算問題與二項式定理有沒有聯(lián)系，怎樣聯(lián)系)，是這節(jié)課的難點,

也是重點所在.

教學過程設(shè)計

師：我們已經(jīng)學習了二項式定理及二項式系數(shù)，請大家用分鐘時間完成以下三道題：

()在(一)(+)的展開式中，的系數(shù)是多少？

()求(+-)展開式中含的項.

(3)證明：C：+C：+C：+…+^+…+喋=2”.

(全體學生參加筆試練習)

分鐘后，用投影儀公布以上三題的解答：

()原式(+)—(+),可知的系數(shù)是o第六項系數(shù)與一(十)

的第三項系數(shù)之和即：-=252-45=207.

()原式[+(—)]+(—)+(—)+(—)+(—)+(—)+(一)?

其中含的項為：?+(一)+.

(3)運用(a+b)n=C°an+C^a^b1+…++…+C^bn(n€N).

設(shè)a=b=l,則2"=C：+C：+C：+…+C：+…+C：.

師：解()，。兩題運用了變換和化歸思想，第()題把三項式比為二項式，創(chuàng)造了使用二

項式定理的條件.

第0題的解法是根據(jù)恒等式的概念，，取任何數(shù)時，等式都成立.根據(jù)習題結(jié)構(gòu)特征

選擇，的取值.這種用概念解題的思想經(jīng)常使用.

下面我們看二項式定理的一些應用.

例1求證：C：+3C：+9C：+…+3久*=22n.

師：請同學們想一想，例怎樣解？

生甲：從結(jié)構(gòu)上觀察，則與練習的第0題有相以之處，只是組合數(shù)的系數(shù)成等比數(shù)列,

是否根據(jù)二項式定理令，，即可得到證明.

師：請同學們根據(jù)生甲所講，寫出證明.

(找一位同學板演)

證明：在(+)的展開式中令，得：

(1+3)n=C：+3C：+9C：+…+3n￡.

fiP4n=C：+3C：+9C：+…+3nC〉

則2*=C：+3C：+9C：+…+3y.

師：顯然，適當選取，之值是解這一類題的關(guān)鍵.再看練習題.

練習

1.求武+94+92。：+93q+9y的值.

生乙：這題與例1類比有共同點，仍是組合數(shù)的運算，不同點是缺少了C?,此

我考慮如能用二項式定理解，應對原題做以下變換:

。取;

⑵把原式乘以92,使其成*4結(jié)構(gòu)形式

⑶增加以+9C：兩項.

師：分析得很透徹.這種敢想、會想精神是每位同學都要培養(yǎng)的.首先是敢字，不要

一見題目有些生疏就采取放棄態(tài)度；要敢于分析，才能善于分析，將來才敢于創(chuàng)新，善于

創(chuàng)新.

請大家把解題過程寫在筆記本上.

（教師請一名同學板演）

解：原式=3(92俄+93或+94c廿954+96以)

y

=!&+E+9Y+93或+9,C：+9?+96以)-$(C廿9或).

在（十）的展開式中令.，得

(1+9)6=C&+9C：+9?或+93C/9，C：+954+964.

即1。6=武+9以+9弋；+93俄+9，C：+95C：+96C：.

因僦+9以=1+9X6=55,

則92C：+93媒+94C：+C：=1(/-55=999945.

所以C：+9年+924+93或+94以=，?999945=12345.

師：解題過程從“在（十）的展開式中令，”寫起就可以了.希望同學們再接再勵，完

成下個練習.

練習

2.求證：C：_C：+C：---=(V2)n?cos-n^—兀；

Ci-Cn+Cn-'"=(V2)nsin^.

師：大家議論一下，這道題能用二項式定理來解嗎？

生丙：初步觀察，與上節(jié)課我們學習的：“在(十)的展開式中，奇數(shù)項的二

項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C：+C；+C：+…=c：+c：+c：+

…進一步觀察發(fā)現(xiàn)符號問題無法解決.我們注意到組合數(shù)代數(shù)和的值為余弦值或正弦

值，又注意到正項出現(xiàn)在(十)二項展開式的通項的(，，，…)或+(,,,…)，負項出現(xiàn)在

+(,,,…)或+(,,,…)，而虛數(shù)單位有以下性質(zhì)：

>，-，-(G).

于是想在(+)的展開式中令，.

師：分析得有道理，請同學們按生丙同學的意見進行演算.

(教師找一位同學板演)

證明：設(shè)是虛數(shù)單位，在(十)的展開式中令，得；

(1+1尸=c：+4+*+*+…+喘產(chǎn)

=c：+dY-c$+C+-“+c爐

=d+c：Y+?“)+“c：Y+c：y+*“).

另一方面，又有

7TTT1in

(i+y=cos—+1sin—

V244)

由此得到

(娉cos?+i(?sin^

=d+c：—c：+-)+“c：Y+c：—c：+一).

根據(jù)復數(shù)相等定義，有

C：一C：+或一C：+…=（、也）nCOS^；

C：Y+C：-C：+…=閨"Sin..

師：認真分析習題的結(jié)構(gòu)，運用類比與聯(lián)想的思想方法，可以幫助我們找到解題的思

路，下面我們研究二項式定理在數(shù)字計算方面的應用.

例計算：（精確到）.

生丁：這道題若用二項式定理計算，必須把看作+,這樣，（十）

師：計算簡單嗎？

生戊：把化為（一），再展開，由于精確到，不必各項都計算.

師：按生戊所談的方法，大家在自己的筆記本上計算一下.

（教師找一位同學板演）

解：（一）

—XX+XX—XX+…

由于<<7父，則++<.

所以七—十7.

師：年全國高考有這樣一道應用題：

（用投影儀示出，老師讀題）

某地現(xiàn)有耕地公頃，規(guī)劃年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加％,人均糧食占有量比現(xiàn)在提

高％.如果人口年增長率為％,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到公頃）？

總產(chǎn)量,人均糧食占有量二號）

（糧食單產(chǎn)=

耕地面積

稍候，教師問:

誰想出解法了，請講一講.

生己：設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為人，糧食單產(chǎn)為噸公頃，耕地平均每年至多只能減少公頃.

十年后耕地畝數(shù)：一，

十年后總產(chǎn)量：X（+%）（一）.

十年后人口：x（十%）,

依題意可以得到不等式

MX(1+22%)X(104-10x)MX104

X（l+10%）.由此不等式解出x的范圍.

PX(1+1%)WP

師：實際計算時，會遇到（+）的計算問題，請全體同學在筆記本上迅速計算出來.

（教師請一同學板演）

10

(l+O.Ol)=1+C；OXO.O1+C；OXO.O12+”?

4-X+x+…

師：真迅速??！請同學們課下把這道高考題完成.

（答案：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少公頃）

現(xiàn)在，我們再討論一個新的問題.

例如果今天是星期一，那么對于任意自然數(shù)，經(jīng)過+++天后的那一天是星期幾？

生庚：先將此題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即本題實際上尋求對于任意自然數(shù)，+++被除的

余數(shù).

受近似計算題目啟發(fā)，（+）,這樣可以運用二項式定理了，

并與7發(fā)生了聯(lián)系.顯然除去最后一項C*都有7的倍數(shù)，7n也是7的倍數(shù)，最后余

數(shù)是1加上5,是6了.

師：請同學們在筆記本上完成此題的解答

（教師請一名同學板演）

解：由于++++(+)++

n+1n

=7+C^+17+C：+i7“i+…+或+/+C*+7n+5

=7。+C37"I+Ct-"：+…+C3+n)+6,

則++被除所得余數(shù)為

所以對于任意自然數(shù)，經(jīng)過++后的一天是星期日.

師：請每位同學在筆記本上完成這樣一個習題：一能被整除嗎？

(教師在教室內(nèi)巡視，分鐘后找學生到黑板板演)

解：-(+)

!=7677+3??76花+%?7675+…+C%76+C2-1

由于能被整除，因此一能被整除.

師：請生辛談談他怎樣想到這個解法的？

生辛：這是個嘉的計算問題，可以用二項式定理解決.如果把改成(+),顯然展開式

中最后一項仍然不易判斷是否能被整除，于是我想到若一能被，或能被，或能被，或能被

整除，必能被整除，而與只差，故欲證一被整除，只需證(十)被整除.得到了以上的解法.

師：二項式定理解決的是乘方運算問題，因此事的問題可以考慮二項式定理.下面我

們解一些綜合運用的習題

例4求證：3n>2n-1(n+2)(n€N,且n>2).

師：仍然由同學先談談自己的想法.

生壬：我覺得這道題仍可以用二項式定理解，為了把左式與右式發(fā)生聯(lián)系，將換成十.

左式=(2+l)n=251+C：.2*1+C；.2n-2+…+C：T2+C：

=211+n?2#1+(C：2*2+…+Ch]?2+C：).

注意到:

①2"+n?2*i=2*1(2+n)=2n-1(n+2)；

②n32,右式至少三項；

③C：2"-2+???+(：??2+C；〉0.

這樣，可以得到＞(+)(G，且書.

生癸：根據(jù)題設(shè)條件有G,且N.用數(shù)學歸納法應當可以證明.

師：由于觀察習題時思維起點不同，得到了習題不同解法，生X同學從乘方運算這點

考慮，想到二項式定理，生X同學從題設(shè)條件C考慮，想到數(shù)學歸納法.大家要養(yǎng)成習慣,

每遇一題，從不同角度觀察思考，得到更多解法，使我們思考問題更全面.

用二項式定理證明，生父同學已經(jīng)講清楚了證明過程，大家課下在筆記本上整理好，

現(xiàn)在請同學們在筆記本上完成數(shù)學歸納法的證明.

(教師請一名同學板演)

證明：①當時，左式，右式(+)＞＜,顯然＞.故不等式成立.

②假設(shè)(6且2)時，不等式成立，即＞(+),則當+時，

由于左式=3"i=3?3k>3?2k-1(k+2)=3k*2k-1+3?2k.

右式=2&+i)T[(k+1)+2]=2k(k+3)=k*2k+3*2，

=3k*2k-1-2k*2k-1=k*2^>0,

所以左式〉右式.故當十時，不等式也成立.

由①，②不等式對2,e都成立.

師：為了培養(yǎng)綜合能力，同學們在筆記本再演算一道習題:

設(shè)C且〉，求證：

(l)C^+C^+-+C^=l+2+22+-+2n-1

n-1

(2)求證：C：+C：+…+C：〉n?2亍.

(證明過程中可以運用公式：對n個正數(shù)a1，a2,…，a.,總有，a+a?+…+

an)^^a1a2---an,式中等號成立的充要條件為a1=a?…=an)

(教師在教室巡視，過分鐘找一名同學到黑板板演第()小題，再過分鐘找另一名同學板

演第()小題)

證明：(1)由于C：+C：+C：+…+C：=2",

fll]C^+C^+-+C^=2n-C°=2n-1.

.則U；+此+…+'=1+=+爐+…+二—

⑵根據(jù)公式：對n個正數(shù)a1，a2,an,總有2(a1+az+…+aQ)明鬲不]

有：i+3+1+…+及1閭1?丁一…二—.

m*.O+n-l)m'n-1).■?；■?■■■；?■■■■?■■■■

而i?二?i…二一=二―=二^

1_____________________10-1)11-1?■■■■■..-，■■■■■■■?■,

這樣n…班:3?2n…2"-1=n?2丁=n?2亍，

n-1,■?■?.I,■:■■■■■?■，■■■

力u：+=+1+…-L?二丁.

師：哪位同學談一談此題應怎樣分析？

生寅：第()小題左式與右式?jīng)]有直接聯(lián)系，應把它們分別轉(zhuǎn)化，根據(jù)二項式系

數(shù)的和是2，C：+C：+“*+C：=2n-l.右式是等比數(shù)列前n項的和，由求和公式

也能得到》-1.因此得到證明.

第()小題左式與右式也沒有直接聯(lián)系.根據(jù)題目給出的公式要出現(xiàn)個正數(shù)的

和，因此想到用第(1)小題的結(jié)論把C：+(?：+???+式轉(zhuǎn)化為1+2+2?+…+2^1,

再運用給出的公式即可證明.

師：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)想有關(guān)知識和思考方法是分析問題的一種重要方法，要在解題實

踐中掌握.

本節(jié)課討論了二項式定理主要應用，包括組合數(shù)的計算、近似計算、整除和求余數(shù)的

計算以及與其他數(shù)學知識的綜合應用.當然，二項式定理的運用不止這些，凡是涉及到乘

方運算（指數(shù)是自然數(shù)或