人教A版選擇性必修第一冊(cè)數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何綜合測(cè)試題（原卷版+解析版）

第一章空間向量與立體幾何

綜合測(cè)試題（原卷版）

考試時(shí)間120分鐘，滿分150分

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知a=（―3,2,5）,b—（1,5,—1）,則4?（a+36）=（）

A.（0,34,10）B.（-3,19,7）

C.44D.23

2.（2023?龍巖高二檢測(cè)）已知向量&=（-1,勿,2）,向量力=（3,1,n）,滿

足a"b,則加+〃=（）

3.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—ABCD中,）是正方體/四一48K〃外接球

的直徑點(diǎn)，尸是正方體48口―456〃表面上的一點(diǎn)，則龍?蘇的取值范圍是（）

A.[-2,0]B.[-1,0]

C.[0,1]D.[0,2]

4.如圖，"是四面體力a1的棱8。的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段QV上，點(diǎn)尸在線段

13

/川上，豆MN=：ON,AP=~AN,用向量而，OB,應(yīng)表示威則濤三（）

乙X

A.頡+顯+凝

B.:而+金龍

444

C.揚(yáng)+抽+/

71OO

D.幼+；龍虎

J44

5.已知平面a內(nèi)兩向量a=(1,1,1),6=(0,2,—1)且c=/?a+〃，+(4,

-4,1).若c為平面。的法向量，則加，〃的值分別為()

A.—1,2B.1,—2

C.1,2D,-1,-2

6.已知△48。的三個(gè)頂點(diǎn)為2(3,3,2),3(4,-3,7),C(0,5,1),則8c邊上

的中線長(zhǎng)為()

A.2B.3

C.4D.5

7.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體力靦-45G〃中，尸為4〃的中點(diǎn)，Q為AB

上任意一點(diǎn)，E,6為切上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且)的長(zhǎng)為定值，則點(diǎn)0到平面際的距

離()

A.等于WaB.和爐的長(zhǎng)度有關(guān)

5

C.等于弓-aD.和點(diǎn)0的位置有關(guān)

O

8.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體力靦-43G〃中，￡為回的中點(diǎn)，點(diǎn)〃

在底面力戈力上(包括邊界)移動(dòng)，且滿足則線段8/的長(zhǎng)度的最大值為

()

a

A

B

A,警B.2乖

C.2^2D.3

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的

得2分，有選錯(cuò)的得0分)

9.已知空間三點(diǎn)4(1,0,3),6(—1,1,4),。(2,-1,3).若加電且|葡

=-\/14?則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)

C.(—4,2,—2)D.(2,—2,4)

10.已知正方體/靦一//G〃的中心為。，則下列結(jié)論中正確的有()

A.湯+應(yīng))與龍+優(yōu)是一對(duì)相反向量

B.落龍與前一碗是一對(duì)相反向量

C.游+宓+沆'+近與碗+龍+死+滋是一對(duì)相反向量

D.湯?一湯與亦一曲是一對(duì)相反向量

11.已知直線/過點(diǎn)尸(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面。過直

線/與點(diǎn)欣1,2,3),則平面a的法向量可能是()

A%

-2)

D\

(O,7

12.如圖1是一副直角三角板的示意圖.現(xiàn)將兩三角板拼成直二面角，得到

四面體48⑦，如圖2所示，則下列結(jié)論中正確的是()

A.加太=0

B.平面版的法向量與平面的法向量垂直

C.異面直線寬與所成的角為60°

D.直線國與平面46。所成的角為30°

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知點(diǎn)〃在平面/a'內(nèi)，。為平面力比'外一點(diǎn)，且應(yīng)Hx澇+y應(yīng)+z亦（x

14

+y>0,z>0）,則丁+一的最小值是

x+yz-------

14.已知。是平面/被上一點(diǎn)，ABLAD,CB=CD=\.

①若花=3衣，則宓?CD=—；②若亦=協(xié)+森，則|蘇1的最大值為—.（本

題第一空3分，第二空2分）

15.（2023?宿遷高二檢測(cè)）自然界中，構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶

胞，其形狀一般是平行六面體，具體形狀大小由它的三組棱長(zhǎng)a,b,c及棱間交

角a,￡,尸（合稱為“晶胞參數(shù)”）來表征.如圖是某種晶體的晶胞，其中a=2,

b=c=l,a=60°,￡=90°,r=120°,則該晶胞的對(duì)角線/G的長(zhǎng)為.

16.（2023?揚(yáng)州高二檢測(cè)）在正三棱錐力一頌中，側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面邊長(zhǎng)為

2,則點(diǎn)/到平面四的距離為；4?與面/繆所成角的余弦值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟）

17.（本小題滿分10分）已知a=（x,4,1）,b=（—2,y,-1）,c=（3,—2,

z）,a//b,6J_c,求：

(1)a,b,c；

(2)a+c與8+c夾角的余弦直

18.（本小題滿分12分）在四棱錐9一力融力中，四邊形/時(shí)為平行四邊形，

AC與BD交于0,G為BD上一點(diǎn),BG=2GD,PA=a,PB=b,PC=c,試用基底｛a,

b,c｝表示向量無

19.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱力比’-48G中，/ABC.,〃是

棱〃'的中點(diǎn)，且AB=BC=B&=2.

⑴求證：仍〃平面

（2）求異面直線AA與8G所成的角.

20.（本小題滿分12分）（2022?全國甲卷）在四棱錐P-ABCD中，&?_L底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=y[3.

p

(1)證明：BDVPA-,

⑵求如與平面為6所成的角的正弦值.

21.(本小題滿分12分)(2021?新高考I卷)如圖，在三棱錐斤aZ?中，平面

平面比〃AB=AD,0為物的中點(diǎn).

(1)證明：OALCD.

⑵若△皈是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)￡在棱4〃上，DE=2EA,且二面角

斤叱〃的大小為45°,求三棱錐止四的體積.

22.(本小題滿分12分)條件①：圖⑴中tan26=一￡條件②：圖⑴中而

219

=可宓花條件③：圖(2)中三棱錐/一6繆的體積為余從以上三個(gè)條件中任選一

OOO

個(gè)，補(bǔ)充在問題(2)中的橫線上，并加以解答.

如圖⑴所示，在△/勿中，ZACB=45°,BC=3,過點(diǎn)力作比；垂足〃

在線段a'上，沿/〃將△/加折起，使N故。=90°(如圖⑵)，點(diǎn)反〃分別為棱

BC,4?的中點(diǎn).

(1)求證：CDLME.

(2)已知,試在棱切上確定一點(diǎn)N,使得ENLBM,并求二面角M-

夕￥一。的余弦值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

第一章空間向量與立體幾何

綜合測(cè)試題(解析版)

考試時(shí)間120分鐘，滿分150分

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知a=(—3,2,5),b=(1,5,—1),則a?(a+36)=(C)

A.(0,34,10)B.(-3,19,7)

C.44D.23

[解析]a+3Z>=(-3,2,5)+3(1,5,-1)=(0,17,2),則a?(a+3魂=(一

3,2,5)?(0,17,2)=0+34+10=44.

2.(2023?龍巖高二檢測(cè))已知向量a=(—l,加,2),向量力=(3,1,n),滿

足a//b,則m+n=(D)

［解析］向量a=(—1,m,2),向量加=以1,n),婁b,設(shè),a=kb,

f-l=3A,

則有｛m=k,…11

則在=一鼻，m=—~,〃=-6,

〔2=4〃，

119

則nlm+n=---6=——

O0

3.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABC。中,跖是正方體/叫外接球

的直徑點(diǎn)，P是正方體4蹌—484〃表面上的一點(diǎn)，則詼?序的取值范圍是(A)

A.[—2,0]B.[—1,0]

C.[0,1]D.[0,2]

[解析]設(shè)正方體ABCD-A\BCD\的外接球的球心為0,設(shè)球。的半徑為R,

則2心=2*，可得斤=擊，所以O(shè)E=OF=木,

PE'PF=(PO+O^?(PO+OP)

=(pb+o^?(pb-d^)

=\Pb\2-\OE\2=\PO\2-3,

當(dāng)如與正方體ABCD—AEGD、的側(cè)面或底面垂直時(shí)，。的長(zhǎng)取得最小值即|0P

Im.in=]x，

當(dāng)點(diǎn)P與正方體ABCD-A\BCD\的頂點(diǎn)重合時(shí)，0P的長(zhǎng)取最大值即[0P\^=

事,

.?.1WI落W餡，所以庵?/=|南|2—3￡[-2,0].

4.如圖，"是四面體力8。的棱8。的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段QV上，點(diǎn)尸在線段

13

ANh,豆MN=：ON,AP=~AN,用向量湯，0B,應(yīng)表示裾則排三(B)

乙X

A.頡+加+凝

B.^OA+\dB+\oC

444

C.揚(yáng)+抽+；亦

AO0

D.^OA+^OB+^OC

344

13

［解析］因?yàn)檗?=5〃乂AP=-AN,

33

所以0P=0A+AP=OA+^N=應(yīng)+j（康J而）

-3f3f1一,3,「—「，」」

=OA+-ON--OA=-OA+-^OB+-OC）^-OA+~OB+~OC.

444433444

5.已知平面a內(nèi)兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,—1)且c=/〃a+〃6+(4,

-4,1).若c為平面a的法向量，則如〃的值分別為(A)

A.11,2B.1,—2

C.1,2D.-1,-2

[解析]c=/〃a+〃b+(4,—4,1)=(加，m,m)+(0,2n,—n)+(4,—4,1)

=(R+4,/n+2n-4,7一〃+l)，

c,a=0,

由c為平面a的法向量，得《,八

[c-b=0,

'3R+A+1=0,fzz?=—1,

即〈解得〈

zzz+5/2—9=0,[〃=2.

6.已知△/6C的三個(gè)頂點(diǎn)為4(3,3,2),6(4,—3,7),C(0,5,1),則6。邊上

的中線長(zhǎng)為(B)

A.2B.3

C.4D.5

［解析］設(shè)回邊的中點(diǎn)為。，走=(1,-6,5),應(yīng)'=(一3,2,-1),

則松;(麗花=(一1,-2,2),

所以|池I=^/1+4+4=3.

7.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體/四一484〃中，尸為4〃的中點(diǎn)，Q為

上任意一點(diǎn)，E,尸為切上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且跖的長(zhǎng)為定值，則點(diǎn)0到平面的'的距

離(A)

A.等于看aB.和爐的長(zhǎng)度有關(guān)

5

C.等于/-aD.和點(diǎn)。的位置有關(guān)

O

［解析］取AG的中點(diǎn)G,連接做CG,分，則尸G〃6Z4所以點(diǎn)。到平面的

的距離即點(diǎn)0到平面尸G切的距離，與4的長(zhǎng)度無關(guān)，B錯(cuò).又/由〃平面PG切，

所以點(diǎn)4到平面0％9的距離即點(diǎn)0到平面小切的距離，即點(diǎn)0到平面陽'的距

離，與點(diǎn)0的位置無關(guān)，D錯(cuò).

如圖，以點(diǎn)〃為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,a,0),〃(0,0,0),4(a,0,

a),70,0,aj,'.DC=(0,a,0),DAX=(a,0,a),0，,，

設(shè)n=(x,y,z)是平面產(chǎn)仇刀的法向量，

a

n,^=0,~x+az=0,

則由得

n,能=0ay=0,

令z=l,則x=-2,y=0,所以A=(—2,0,1)是平面AGW的一個(gè)法向量.

設(shè)點(diǎn)0到平面陽'的距離為d,則占A對(duì),C

一5

錯(cuò).故選A.

8.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體/以力一4月G〃中，6為a'的中點(diǎn)，點(diǎn)尸

在底面48切上(包括邊界)移動(dòng)，且滿足5aL〃色則線段5尸的長(zhǎng)度的最大值為

(D)

6乖

A.B.2,

5

C.2啦D.3

［解析］以〃為原點(diǎn)，物所在直線為x軸，〃。所在直線為y軸，2所在直

線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則〃(0,0,2),6(1,2,0),A(2,2,2),

設(shè)P(a,8,0),則辦=(a—2,b-2,-2),應(yīng)'=(1,2,-2),

?:B\P1"E,...辦?赤=且一2+2(8—2)+4=0,

，a+26—2=0,0W6W1,

二點(diǎn)戶的軌跡是一條線段.

\KP\2=(a-2T+(6—2尸+4=(-2b)2+(6—2產(chǎn)+4=5力-46+8,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)6=1時(shí)，5斤一46+8可取到最大值9,

二線段A尸的長(zhǎng)度的最大值為3.故選D.

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的

得2分，有選錯(cuò)的得0分)

9.已知空間三點(diǎn)力(1,0,3),8(—1,1,4),C(2,-1,3).若簫力比，且|明

=714-則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(AB)

A.(4,-2,2)B.(-2,2,4)

C.(—4,2,-2)D.(2,-2,4)

[解析]設(shè)/々(34，—2A,一兒).

又I9I=VTZ,

：.7彳—2彳—^=yf]A,解得[?=±1,

：.AP=(3,-2,-1)或落(一3,2,1).

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y,z),則9=(x—1,y,z—3),

(x_]=3,(x一]=一3,

/Jy=-2,或｛y=2,

lz—3=—11z—3=1,

［x=\,|x=~2,

解得卜=—2,或，尸2,

［z=21z=4.

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,-2,2）或（一2,2,4）.

10.已知正方體口一4AG〃的中心為0,則下列結(jié)論中正確的有（ACD）

A.而+應(yīng)與歷十麗是一對(duì)相反向量

B.海一充與游?一近是一對(duì)相反向量

C.OA+OB+OC+而與菊+通+詼+乃是一對(duì)相反向量

D.湯?一湯與應(yīng)‘一死是一對(duì)相反向量

［解析］?.?。為正方體的中心，，湯=—麗，OD=-OB1,故而+應(yīng)=—（例+

死），同理可得第十小=一（麻+⑦），故成1+南+沅+近=一（碗+龍+詼+

而，：.AC正確；,:而一比=出前一碗=成”.,.治-應(yīng)'與前一碗是兩個(gè)相等

=

的向量，，B不正確；?.?勿1—OAAA\,OC-OC、=（\0=—AAi,OAt—OA——（OC-

花；），，D正確.

11.已知直線/過點(diǎn)尸（1,0,—1）且平行于向量a=（2,1,1）,平面a過直

線/與點(diǎn)欣1,2,3）,則平面a的法向量可能是（ABC）

A.（1,-4,2）B.（I，-1,3

C.卜;，1,一；）D.（0,—1,1）

［解析］因?yàn)槠?（0,2,4）,直線/平行于向量a,若A是平面a的一個(gè)法

向量，則必須滿足敬法向量垂直且滿足a與法向量垂直，把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只

有選項(xiàng)D不滿足，故選ABC.

12.如圖1是一副直角三角板的示意圖.現(xiàn)將兩三角板拼成直二面角，得到

四面體/比〃如圖2所示，則下列結(jié)論中正確的是（AD）

A.~BD*AC=O

B.平面8（幻的法向量與平面42?的法向量垂直

C.異面直線切與4〃所成的角為60°

D.直線〃。與平面46。所成的角為30°

［解析］以6為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以礪，虎的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立

空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)BD=2,則8（0,0,0）,〃（2,0,0）,。（0,24，0）,

4（0,小,擊），...礪=（2,0,0）,衣=（0,小,一/），BC=（0,2y［3,0）,AD=

（2,一班，一m）,^=（-2,2^3,0）.

...詼?岸（2,0,0）?（0,木,一木）=0,A正確；易得平面靦的一個(gè)法

向量為也=（0,0，/），平面/切的一個(gè)法向量為1,1）,Al?z?2#0,B

錯(cuò)誤；

0,2擊，0?2,一#,一m|

Icos(BC,'ALh|=

\BC\\AD\2y/3Xy/10

易得平面/比的一個(gè)法向量為詼=⑵0,0）,設(shè)直線加與平

能?協(xié)4__1

面48。所成的角為S,則sin9==4X2=5'故D正確.

\DC\-\BD\

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知點(diǎn)〃在平面48。內(nèi)，。為平面/a'外一點(diǎn)，且應(yīng)="成1+歷+z應(yīng)'（x

14

+y>0,z>0）,則=?+-的最小值是9.

x+yz

［解析］因?yàn)?B,C,〃共面，所以x+y+z=l,又x+y>0,z>0,則已^

,4/,,(1,4\z,4x+y,、/z4x+y,

+-=(x+y+z)x―j—+-=~;—+--------+522、/-;—?---------+5=

z1才+/z)x+yz\lx+yz

9,

當(dāng)且僅當(dāng)弓-=』一時(shí),等號(hào)成立，所以一—+芻的最小值是亂

x+y4'+zx+yz

14.已知。是平面/劭上一點(diǎn)，ABVAD.CB=CD=\.

3

=

4

①若48=3/a則CD=_②若"=AB+AD,則1AP\的最大值為

2.（本題第一空3分，第二空2分）

［解析］由題意可知，在①中，因?yàn)橘|(zhì)=3衣，所以。為線段46的三等分點(diǎn)（靠

31

近點(diǎn)4）,如圖所示，因?yàn)?=繆=1,所以49=5，AC=~

乙乙

3］3

則廟.乃=荔?（Ab-Ai^=AB'AD-AB'AC=Q--X-cos0=-

在②中，因?yàn)檗k=矗+功，

所以|明=|花+初=.赤+初+2宓?戒

=,亦+次）=初）=|詼|,

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C是線段初的中點(diǎn)時(shí)，劭取得最大值，此時(shí)最大值為止

BC+CD=2,所以|心1的最大值為2.

15.（2023?宿遷高二檢測(cè)）自然界中，構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶

胞，其形狀一般是平行六面體，具體形狀大小由它的三組棱長(zhǎng)a,b,c及棱間交

角a,￡,尸（合稱為“晶胞參數(shù)”）來表征.如圖是某種晶體的晶胞，其中a=2,

b=c=l,。=60°,￡=90°,y=120°,則該晶胞的對(duì)角線陽的長(zhǎng)為亞

［解析］如圖所示:

AC{=AC+CCX=AB+Ab+CCy=AB+Ab+AA?依題可知I而|=2,荔=\AD

|=1,a=ZAiAB=QQ°,0=/A、AD=9O°,ZBAD=180°-r=60°,所以元

2=癥+初+荔2+2宓?Ab+2AB-荔+2質(zhì)?荔，所以元2=4+1+1+

2X2XlXcos600+2X2XlXcos60°+2X1X1XCOS90°,則花?=10,故

元I=m.

16.（2023?揚(yáng)州高二檢測(cè)）在正三棱錐4一式》中，側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面邊長(zhǎng)為

2,則點(diǎn)力到平面靦的距離為羋；46與面力⑺所成角的余弦值為￥.

［解析］在正三棱錐1一時(shí)中，設(shè)頂點(diǎn)4在底面燈力上的射影為0,則力。

，平面靦，且。為底面△9的中心，連接〃。并延長(zhǎng)，與回交于點(diǎn)6,則￡為

8c的中點(diǎn)，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2,所以〃￡=號(hào)*2=/，

也1m22#

故EO=&DE=黑,OD=~DE=^~,

OOOO

又側(cè)棱長(zhǎng)加H3,所以力力我二次=［32—呼|=手，

故點(diǎn)A到平面頗的距離為2V；

以點(diǎn)〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

A

則彳0,0,粵I，4坐,一1,o),

-—羋,

\7

所以萍停T,一判

求=胞LO),科攣o,嚼,

設(shè)平面45的法向量為A=(x,y,z),

n,DC=y[ix+y=Q

-2A/3,A/69'

n?%=~x+-^-z=0

{oo

\n'AB\2^69

則(AB,n)

Icosn|~AB\3^96

所以48與平面Z5所成角的正弦值為盜，故N6與平面4切所成角的余弦

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟）

17.(本小題滿分10分)已知a=(%4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,

z),a//b,b.Lc9求:

(1)a,b,c；

(2元+。與6+。夾角的余弦值.

v41

［解析］⑴因?yàn)閍〃4所以一-=-=-解得x=2,y=—4,

一/y—1

則a=(2,4,1),6=(—2,—4,—1).

又瓦Lc,所以，?c=0,即-6+8—z=0,

解得z=2,于是c=(3,—2,2).

(2)由⑴得a+c=(5,2,3),b+c=(l,-6,1),

設(shè)a+c與b+c的夾角為。,

丁上八5-12+32

因?yàn)閏°s行斤-百

2

所以a+c與b+c夾角的余弦值為一歷.

18.(本小題滿分12分)在四棱錐產(chǎn)一46口中，四邊形口為平行四邊形，

“與劭交于0,G為劭上一點(diǎn)，BG=2GD,PA=a,PB=b,PC=c,試用基底｛a,

b,c｝表示向量無

［解析］,:BG=2GD,

一2一

：.BG=-BD.

o

又至H瓦1+瓦:=應(yīng)一麗比一死=a+c—2A

~PG=PB+死=b+~(a+c—2B)

o

19.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱/8C—45G中，/ABC：5,〃是

棱力。的中點(diǎn)，目AB=BC=BR=2.

(1)求證：4笈〃平面困，；

(2)求異面直線A區(qū)與BC、所成的角.

［解析］⑴如圖1，連接身。交8G于點(diǎn)。，連接如

為身。的中點(diǎn)，〃為力。的中點(diǎn),：.0D〃AB、.

平面閱，，如u平面比

.,"5〃平面BQD.

⑵建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz.

則8(0,0,0)、4(0,2,0),G(2,0,2)、5(0,0,2).

.?.葩=(0,—2,2)、反;=(2,0,2).

葩?屬0+0+41

cos{ABi,BC\}

|赤?庇|2y/2X2y[22

設(shè)異面直線45與為所成的角為0,則cos0=^,

?.?回0,31

夕=丁?

O

20.（本小題滿分12分）（2022?全國甲卷）在四棱錐P-ABCD中，依_1_底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=\,AB=2,DP=y[i.

⑴證明：BDLPA-,

（2）求知與平面為8所成的角的正弦值.

［解析］⑴在四邊形/頗中，作龐U8于E,CFLAB于F,

因?yàn)榍小ˋD=CD=CB=l,AB=2,

所以四邊形/閱9為等腰梯形，

所以AE=BF=\,

乙

故龐=手，BD=7DR+BE=^,

所以A0+Bff=A^,

所以ADIBD,

因?yàn)镻DL平面ABCD,BDU平面ABCD,

所以PDLBD,

又PD^AD=D,

所以平面PAD,

又因用u平面PAD,

所以BDLPA.

⑵由⑴知劭，”，又46=2/〃，取46中點(diǎn)0,所以N〃47=60°,

所以三角形/"為正三角形.

過點(diǎn)，作垂直于〃。的直線為X軸，火所在直線為y軸,〃產(chǎn)所在直線為Z軸,

3

-9O

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則*“將2O,

〃(0,0,0).

-乎,p乖，~DP=(0,0,小)

則加=(0,2,0)，

設(shè)平面為6的法向重為z?=(x,y,z),

2y=0,

AB-n=Q

r]

則—彳x+p+m2=0

AP-n=0

令x=2,則y=0,z=l,所以z?=(2,0,1).

設(shè)直線外與平面為8所成的角為a,

〃?明擊乖

則sina=|cos(n,曲

一㈤.而飛xF5

所以直線如與平面/W斤成的角的正弦值為當(dāng)

21.(本小題滿分12分)(2021?新高考I卷)如圖，在三棱錐繆中，平面

A8D上平面BCD,AB=AD,0為劭的中點(diǎn).

(1)證明：0AVCD.

(2)若△皈是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)后在棱4。上，龍=2必，且二面角

比冊(cè)〃的大小為45°,求三棱錐上靦的體積.

［解析］⑴因?yàn)?6=加，。為龍中點(diǎn)，所以/人物，

因?yàn)槠矫?劭A平面8a?=劭，平面力而，平面比240U平面4劭,

因此40,平面BCD,

因?yàn)榍衭平面8W，所以40J_CZZ

⑵作既1班于￡作凡LL8C于M,連EM,

因?yàn)?0,平面比。所以力。，能A0VCD,

所以阮L"EFLCD,BDCCD=D,因此甌L平面以力，即甌L8C,

因?yàn)椤?人a；FMCEF=F,所以6cL平面成區(qū)即6cL陽

n

則N切伊為二面角股心〃的平面角，AEMF=~,

因?yàn)锽0=0D,△。5為正三角形，所以△質(zhì)為直角三角形，

因?yàn)锽D=2CD,所以FM=］:BF=}\1+^|=|,

乙ZuyOJO

2

從而EF=FM=&,所以/AL

因?yàn)?0,平面時(shí)，

=

所以V~A0?—X1X-X1G.

oo乙o

22.(本小題滿分12分)條件①：圖⑴中tan28=-*條件②：圖⑴中森

O

9?9

=可花+可花條件③：圖(2)中三棱錐/一板的體積為鼻.從以上三個(gè)條件中任選一

OOO

個(gè)，補(bǔ)充在問題(2)中的橫線上，并加以解答.

A

A

如圖⑴所示，在△46。中，ZACB=45°,BC=3,過點(diǎn)力作8G垂足〃

在線段以7上，沿/〃將△/加折起，使/"：=90°(如圖(2)),點(diǎn)后"分別為棱

BC,力。的中點(diǎn).

(1)求證：CDLME.

(2)已知,試在棱切上確定一點(diǎn)N,使得ENLBM,并求二面角M-

"V-C的余弦值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

［解析］⑴：以小力〃，CDLBD,ADCBD=D,AD,劭u平面ABD,...aLL平

面ABD.

?.?/5U平面力如，：.CDLAB.

又機(jī)￡分別為力乙勿的中點(diǎn)，：.ME//AB,:.CDIME.

..,._,42tanB

(2)方案一選①，由tan23=—§=［不尊彳

解得tan8=2或tan8=-1(舍去).

乙

4Dx

設(shè)AgCi在Rt△四〃中，tanB^—=2,解得戶2’."gl.

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DB,DC,為所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，則〃(0,0,0),8(1,0,0),。(0,2,0),4(0,0,2),"(0,1,1),

g，1，°)，則面人(一1,1,1)?

設(shè)”(0,a,0),0—

■:ENLBM,...加?加0,

/1

f-a

\-

2Jo?(-1,1,1)=0,

...當(dāng)〃忌(即N是5的靠近點(diǎn)〃的一個(gè)四等分點(diǎn))時(shí)，ENLBM.

乙

血三1-1,0L(—1,1,1),

設(shè)平面陰財(cái)?shù)姆ㄏ蛄繛閚=1x,y,z),

n?曲=0,—2x+y=0,

由，得，，，令x=l,得y=2,z=—l,則n

n,曲=0,、x+y~\z0,

=(1,2,-1).

取平面AVC的一個(gè)法向量m=(0,0,1),

m?n0,0,1?1,2,一1乖

cos[m,ri)

m\n\-I"?+~-12-6

又二面角〃一C的平面角為銳角,

...二面角的余弦值為*.