人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)必修1(第一冊(cè))學(xué)案：5 7 三角函數(shù)的應(yīng)用

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題2體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象

的重要函數(shù)模型.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)點(diǎn)一三角函數(shù)的應(yīng)用

1.三角函數(shù)模型的作用

三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫(huà)囿

期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)未來(lái)等方面發(fā)揮重要作用.

2.用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟

收集數(shù)據(jù)一畫(huà)散點(diǎn)圖一選擇函數(shù)模型一求解函數(shù)模型一檢驗(yàn).

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)y=Asin(cox+0)，A>0,。>0中參數(shù)的物理意義

預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)

1.函數(shù)y=3sin&-號(hào)的初相為

『答案』

2.某人的血壓滿足函數(shù)式五。=24sinl60兀t+110,其中八。為血壓(單位：mmHg),/為時(shí)間(單

位：min),則此人每分鐘心跳的次數(shù)為.

『答案』80

3.電流/(A)隨時(shí)間f(s)變化的關(guān)系式是/=5sin(l(W+，)，則當(dāng)f=急時(shí)，電流為A.

『答案』I

4.如圖為某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要s往返一次.

『答案』0.8

『解析』觀察圖象可知，此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期7=0.8,所以這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要0.8s往返一

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用

例1已知電流/與時(shí)間t的關(guān)系為/=Asin(0f+o).

⑴如圖所示的是/=Asin(0f+9)(o>O,I9閭在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求1=

Asin(co/+O)的『解析』式；

\p

[-300

(2)如果/在任意一段擊的時(shí)間內(nèi)，電流/=Asin(o/+p)都能取得最大值和最小值，那么co的

最小正整數(shù)值是多少？

解(1)由題圖可知A=300,設(shè)fi=-go。,々=[80，

則周期T=2(t2f)=2島+點(diǎn)|=表.

又當(dāng)片擊時(shí)，即sin(150兀?擊+夕)=0,

血|夕|<5，??9=不

故所求的『解析』式為/=300sin(150兀什?).

(2)依題意知，周期TW奇，即藉W焉(。>0),

.?.oN3007r>942,又。GN*,

故所求最小正整數(shù)0=943.

反思感悟處理物理學(xué)問(wèn)題的策略

(1)常涉及的物理學(xué)問(wèn)題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性.

(2)明確物理概念的意義，此類(lèi)問(wèn)題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與

對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合解題.

跟蹤訓(xùn)練1一根細(xì)線的一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，當(dāng)小球來(lái)回?cái)[動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位

置的位移5(單位：cm)與時(shí)間(單位：s)的函數(shù)關(guān)系是S=6sin(2兀

(1)畫(huà)出它的圖象;

(2)回答以下問(wèn)題：

①小球開(kāi)始擺動(dòng)(即r=0)時(shí)，離開(kāi)平衡位置是多少？

②小球擺動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的最大距離是多少？

③小球來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要多少時(shí)間？

解(1)周期T=|^=l(s).

列表：

15211

t01

612312

兀匹兀

-1713兀+￡

2兀/+2712兀2

662~26

6sin360~603

描點(diǎn)畫(huà)圖:

(2)①小球開(kāi)始擺動(dòng)(即f=0)時(shí)，離開(kāi)平衡位置為3cm.

②小球擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的最大距離是6cm.

③小球來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要1s(即周期).

二、三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用

例2通常情況下，同一地區(qū)一天的溫度隨時(shí)間變化的曲線接近函數(shù)y=Asin@x+9)+6的圖

象.某年2月下旬某地區(qū)連續(xù)幾天最高溫度都出現(xiàn)在14時(shí)，最高溫度為14℃；最低溫度出

現(xiàn)在凌晨2時(shí)，最低溫度為零下2℃

⑴求出該地區(qū)該時(shí)段的溫度函數(shù)y=Asin(ox+0)+6(A>0,fo>0,\(p\<n,xG『0,24))的表達(dá)式;

(2)29日上午9時(shí)某高中將舉行期末考試，如果溫度低于10℃,教室就要開(kāi)空調(diào)，請(qǐng)問(wèn)屆時(shí)

學(xué)校后勤應(yīng)該開(kāi)空調(diào)嗎？

4=8,

解⑴由題意知［+Q—2,解得

b=6,

T兀

易知］=14-2,所以T=24,所以①=五,

易知8sin信義2+，+6=—2,

即sin佶'X2+9)=

-1,

7171

故無(wú)X2+g=—/+2女兀，無(wú)￡Z,

-Til/H271

又磔<兀，侍9=一可，

所以y=8sinC^x—芝)+6(%￡『0,24)).

(-7T271、

(2)當(dāng)x=9時(shí)，y=8sin[j^X9一司+6

Jr7T

=8sin丘+6<8si%+6=10.

所以屆時(shí)學(xué)校后勤應(yīng)該開(kāi)空調(diào).

反思感悟解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟

讀懂題目中的“文字”“圖象”“符號(hào)”

I審清題意修等語(yǔ)言，理解所反映的實(shí)際問(wèn)題的背

景，得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題

整理數(shù)據(jù)，引入變量，找出變化規(guī)律，

運(yùn)用已掌握的三角函數(shù)知識(shí)、物理知

建立函數(shù)模斗

I識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，即建

立三角函數(shù)模型

利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)解答得到的

I解答函數(shù)模亦三角函數(shù)模型，求得結(jié)果

|得出結(jié)論H將所得結(jié)論翻譯成實(shí)際問(wèn)題的答案|

跟蹤訓(xùn)練2已知某地一天從4?16時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)尸lOsin像一堂+20,

尤G『4,16』.

（1）求該地這一段時(shí)間內(nèi)溫度的最大溫差；

（2）若有一種細(xì)菌在15℃到25℃之間可以生存，那么在這段時(shí)間內(nèi)，該細(xì)菌最多能生存多長(zhǎng)

時(shí)間？

解（1）當(dāng)x=14時(shí)函數(shù)取最大值，此時(shí)最高溫度為30℃,

當(dāng)x=6時(shí)函數(shù)取最小值，此時(shí)最低溫度為10℃,

所以最大溫差為30℃-10℃=20℃,

⑵令10sin（$—苧）+20=15,

得sin信/）=一；,

而『4,16』，所以1=行.

令lOsin信-苧）+20=25,

得sin件—中）=3，

34

而元金『4,16』，所以兀=亍.

當(dāng)xe［當(dāng),胡時(shí)，

所以y在［拿胡上單調(diào)遞增.

故該細(xì)菌能存活的最長(zhǎng)時(shí)間為學(xué)一專(zhuān)=/小時(shí)?

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

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1.如圖所示的是一個(gè)單擺，以平衡位置OA為始邊、0B為終邊的角0（一?！?<%）與時(shí)間f（s）滿

足函數(shù)關(guān)系式0=/m（2/+野，則當(dāng)f=0時(shí)角。的大小，及單擺的頻率是（）

A.1,-B.2,-cA,兀D.2,7i

『答案』A

『解析』當(dāng)片。時(shí)，0=加1埼I，T1，由函數(shù)『解析』式易知單擺的周期為號(hào)O-jr=兀，故單擺

的頻率為］

71

2.在兩個(gè)彈簧上各有一個(gè)質(zhì)量分別為Mi和M2的小球做上下自由振動(dòng).已知它們?cè)跁r(shí)間f（s）

離開(kāi)平衡位置的位移si（cm）和S2（cm）分別由si=5sin（2f+^）,S2=lOcos2f確定，則當(dāng)/=全

時(shí)，S1與S2的大小關(guān)系是（）

A.51>52B.S1<S2

C.S1=S2D.不能確定

『答案』c

『解析』當(dāng)上爭(zhēng)時(shí)，si=5sin（^+§=5siW=-5,

當(dāng)/=個(gè)時(shí)，52—10cos^=10X2）=-5,

故Sl=$2.

3.如圖表示電流強(qiáng)度/與時(shí)間/的關(guān)系（/=Asin（s+9）（A>0,①>0））在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，則

該函數(shù)『解析』式可以是（）

A./=300sin(50兀f+§

B./=300sin(50兀

C./=300sin(100加+￡|

D./=300sin(100L

『答案』C

『解析』A=300,T=2(J^+^J)==,。=半=100兀，/=300sin(1007t?+cp).

代入點(diǎn)(一壺，0),得10(kX(—V+p