2006年高考數(shù)學(xué)真題遼寧卷(文科)

2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)（供文科考生使用）第Ⅰ卷（選擇題共60分）參考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互獨(dú)立，那么球的表面積公式，其中表示球的半徑球的體積公式，其中表示球的半徑如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．函數(shù)的最小正周期是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．設(shè)集合，則滿足的集合的個(gè)數(shù)是（）Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．83．設(shè)是上的任意函數(shù)，下列敘述正確的是（）Ａ．是奇函數(shù) Ｂ．是奇函數(shù)Ｃ．是偶函數(shù) Ｄ．是偶函數(shù)4．的值為（）Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．645．方程的兩個(gè)根可分別作為（）Ａ．一橢圓和一雙曲線的離心率 Ｂ．兩拋物線的離心率Ｃ．一橢圓和一拋物線的離心率 Ｄ．兩橢圓的離心率6．給出下列四個(gè)命題：①垂直于同一直線的兩條直線互相平行②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行③若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行④若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個(gè)數(shù)是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．47．雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．8．設(shè)是上的一個(gè)運(yùn)算，是的非空子集，若對(duì)任意，有，則稱對(duì)運(yùn)算封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（）Ａ．自然數(shù)集 Ｂ．整數(shù)集 Ｃ．有理數(shù)集 Ｄ．無理數(shù)集9．的三內(nèi)角所對(duì)邊的長分別為．設(shè)向量，．若，則角的大小為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．10．已知等腰的腰為底的2倍，則頂角的正切值是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．11．與方程的曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線的方程為（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．12．曲線與曲線的（）Ａ．離心率相等 Ｂ．焦距相等 Ｃ．焦點(diǎn)相同 Ｄ．準(zhǔn)線相同2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)（供文科考生使用）第II卷（非選擇題，共90分）ABABCPDEF13．方程的解為．14．設(shè)則．15．如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是________．16．5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1，2，3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1，2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有________種．（以數(shù)作答）三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，求（1）函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．18．（本小題滿分12分）甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競賽，參賽同學(xué)成績及格的概率都為0.6，且參賽同學(xué)的成績相互之間沒有影響，求：（1）甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績及格的概率；（2）甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績及格的概率．19．（本小題滿分12分）已知正方形，分別是邊的中點(diǎn)，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為（）．（1）證明平面；（2）若為正三角形，試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上，證明你的結(jié)論，并求角的余弦值．ABABCDEF20．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求的值；（2）若與的等差中項(xiàng)為，滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，其中，設(shè)為的極小值點(diǎn)，為的極值點(diǎn)，，并且，將點(diǎn)依次記為．（1）求的值；（2）若四邊形為梯形且面積為1，求的值．22．（本小題滿分14分）已知點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，設(shè)圓的方程為．（1）證明線段是圓的直徑；（2）當(dāng)圓的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求的值．2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)（供文科考生使用）第Ⅰ卷（選擇題共60分）參考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互獨(dú)立，那么球的表面積公式，其中表示球的半徑球的體積公式，其中表示球的半徑如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．函數(shù)的最小正周期是（D）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解：，選D2．設(shè)集合，則滿足的集合的個(gè)數(shù)是（C）Ａ．1 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．8解：，，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個(gè)數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個(gè)。故選擇答案C。3．設(shè)是上的任意函數(shù)，下列敘述正確的是（C）Ａ．是奇函數(shù) Ｂ．是奇函數(shù)Ｃ．是偶函數(shù) Ｄ．是偶函數(shù)解：A中則，即函數(shù)為偶函數(shù)，B中，此時(shí)與的關(guān)系不能確定，即函數(shù)的奇偶性不確定，C中，，即函數(shù)為奇函數(shù)，D中，，即函數(shù)為偶函數(shù)，故選擇答案C。4．的值為（B）Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．64解：原式＝，選B5．方程的兩個(gè)根可分別作為（A）Ａ．一橢圓和一雙曲線的離心率 Ｂ．兩拋物線的離心率Ｃ．一橢圓和一拋物線的離心率 Ｄ．兩橢圓的離心率解：方程的兩個(gè)根分別為2，，故選A6．給出下列四個(gè)命題：①垂直于同一直線的兩條直線互相平行②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行③若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行④若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個(gè)數(shù)是（D）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4解：利用特殊圖形正方體我們不難發(fā)現(xiàn)=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③、=4\*GB3④均不正確，故選擇答案D。7．雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是（A）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解：雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域時(shí)有。故選A8．設(shè)是上的一個(gè)運(yùn)算，是的非空子集，若對(duì)任意，有，則稱對(duì)運(yùn)算封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（C）Ａ．自然數(shù)集 Ｂ．整數(shù)集 Ｃ．有理數(shù)集 Ｄ．無理數(shù)集解：A中1－2＝－1不是自然數(shù)，即自然數(shù)集不滿足條件；B中12＝0.5不是整數(shù)，即整數(shù)集不滿足條件；C中有理數(shù)集滿足條件；D中不是無理數(shù)，即無理數(shù)集不滿足條件，故選擇答案C。9．的三內(nèi)角所對(duì)邊的長分別為．設(shè)向量，．若，則角的大小為（B）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解：，利用余弦定理可得，即，故選擇答案B。10．已知等腰的腰為底的2倍，則頂角的正切值是（D）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解：依題意，結(jié)合圖形可得，故，選D11．與方程的曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線的方程為（A）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．解：，，即：，所以，故選擇答案A。12．曲線與曲線的（B）Ａ．離心率相等 Ｂ．焦距相等 Ｃ．焦點(diǎn)相同 Ｄ．準(zhǔn)線相同解：由知該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，由知該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故只能選擇答案B。2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)（供文科考生使用）第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．13．方程的解為．解：ABCPDEABCPDEF14．設(shè)則．解：.15．如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是．解：顯然正六棱錐的底面的外接圓是球的一個(gè)大圓，于是可求得底面邊長為2，又正六棱錐的高依題意可得為2，依此可求得16．5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1，2，3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1，2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有48種．（以數(shù)作答）解：兩老一新時(shí),有種排法;兩新一老時(shí),有種排法,即共有48種排法.三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，求（1）函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．18．（本小題滿分12分）甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競賽，參賽同學(xué)成績及格的概率都為0.6，且參賽同學(xué)的成績相互之間沒有影響，求：（1）甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績及格的概率；（2）甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績及格的概率．19．（本小題滿分12分）已知正方形，分別是邊的中點(diǎn)，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為（）．（1）證明平面；（2）若為正三角形，試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上，證明你的結(jié)論，并求角的余弦值．ABABCDEF20．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求的值；（2）若與的等差中項(xiàng)為，滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，其中，設(shè)為的極小值點(diǎn)，為的極值點(diǎn)，，并且，將點(diǎn)依次記為．（1）求的值；（2）若四邊形為梯形且面積為1，求的值．22．（本小題滿分14分）已知點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，設(shè)圓的方程為．（1）證明線段是圓的直徑；（2）當(dāng)圓的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求的值．2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)(文史類)答案與評(píng)分參考說明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.二、對(duì)解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼續(xù)部分的解答嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.一．選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題分，滿分60分.（1）D（2）C（3）C（4）B（5）A（6）D（7）A（8）C（9）B（10）D（11）A（12）B二．填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分.（13）（14）（15）（16）48三、解答題（17）本小題考查三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及已知三角函數(shù)值求角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力.滿分12分（I）解法一：……4分當(dāng)，即時(shí)，取得最大值因此，取得最大值的自變量x的集合是.……8分解法二：……4分當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.因此，取得最大值的自變量x的集合是……8分（Ⅱ）解：由題意得，即.因此，的單調(diào)增區(qū)間是.…………12分（18）本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，滿分12分.（Ⅰ）解：甲班參賽同學(xué)恰有1名同學(xué)成績及格的概率為乙班參賽同學(xué)中恰有一名同學(xué)成績及格的概率為故甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績幾個(gè)的概率為…………6分（Ⅱ）解法一：甲、乙兩班4名參賽同學(xué)成績都不及格的概率為故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有一名同學(xué)成績都不及格的概率為…………12分解法二：甲、乙兩班參賽同學(xué)成績及格的概率為甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有2名同學(xué)成績及格的概率為甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有3名同學(xué)成績及格的概率為甲、乙兩班4同學(xué)參賽同學(xué)成績都及格的概率為故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績及格的概率為……12分（19）本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力.滿分12分（Ⅰ）證明：、分別是正方形的邊、的中點(diǎn).且四邊形是平行四邊形平面而平面平面（Ⅱ）解法一：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上，過點(diǎn)用平面垂足為連接為正三角形在的垂直平分線上。又是的垂直平分線點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上過作，垂足為，連接則是二面角的平面角，即設(shè)原正方形的邊長為，連接，在折后圖的中，為直角三角形，在中，解法二：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上，連結(jié)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為為正三角形，為的中點(diǎn)，又平面平面又，且，平面，平面，平面，為在平面內(nèi)的射影。點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上過作，垂足為，連結(jié)，則，是二面角的平面角，即設(shè)原正方形的邊長為。在折后圖的中，，為直角三角形，，，在中，，，解法三：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上連結(jié)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為為正三角形，為的中點(diǎn)又平面，平面，平面平面又平面平面，平面，即為在平面內(nèi)的射影，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上。過作，垂足為，連結(jié)，則是二面角的平面角，即設(shè)原正方形的邊長為在折后圖的中，.為直角三角形，..在中，,,,.············12分(20)本小題考查數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列，對(duì)數(shù)與指數(shù)互相轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)。考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。滿分12分.(Ⅰ)解法一：當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),.是等差數(shù)列,,············4分解法二：當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),..又,所以,得.············4分(Ⅱ)解：,.又,,············8分又得.,,即是等比數(shù)列.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.···········12分(21)本小題考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)極值的判定，二次函數(shù)與二次方程等基礎(chǔ)知識(shí)的的綜合運(yùn)用，考查用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題，解決問題的能力.滿分12分.(Ⅰ)解：,令，由得或.············2分.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),,所以