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湖南學(xué)海文化傳播有限責(zé)任公司專(zhuān)題四解析幾何1知識(shí)梳理高考速遞典例精析圓錐曲線背景下的綜合問(wèn)題第十六課時(shí)22.解析幾何要求有較強(qiáng)的邏輯推理與運(yùn)算能力,綜合考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換等重要數(shù)學(xué)思想知識(shí)梳理1.解析幾何是代數(shù)與幾何的綜合,以圓錐曲線為載體綜合考查函數(shù)、方程、不等式、幾何、三角函數(shù)、數(shù)列、向量及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)是近幾年高考的基本模式;3αAPB1.(2008·浙江卷)如圖,AB是平面α的斜線段,A為斜足,若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng),使得△ABP的面積為定值,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(
)A.圓B.橢圓
C.一條直線D.兩條平行直線B高考速遞4B高考速遞2.(2008·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)a>1,則雙曲線的離心率e的取值范圍是(
)A.(,2)B.(,)C.(2,5)D.(2,)5CABFODxyl例1
如圖,已知橢圓(2≤m≤5),過(guò)其左焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右依次交于A、B、C、D,設(shè)=|AB|-|CD||.(1)求的解析式;(2)求的最值.典例精析6
【分析】先確定A、D的坐標(biāo),再確定B、C的坐標(biāo),進(jìn)而得|AB|CD|,然后建立函數(shù)關(guān)系.解析(1)由已知,焦點(diǎn)F(-1,0),直線l的方程為,準(zhǔn)線方程為,所以所以將代入橢圓方程得:即所以7【回顧與反思】本題綜合考查圓錐曲線與函數(shù)知識(shí),注意利用函數(shù)的單調(diào)性求值域和利用平面幾何知識(shí)簡(jiǎn)化運(yùn)算.(2)因?yàn)橛珊瘮?shù)單調(diào)性得即的最小值為,最大值為
.8例2(長(zhǎng)沙市一中月考卷)已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,是橢圓左焦點(diǎn).(1)△ABC中,若A(-4,0),B(0,-3),點(diǎn)C在拋物線上運(yùn)動(dòng),求△ABC的垂心G的軌跡方程;(2)若P是拋物線C1與橢圓C2的一個(gè)公共點(diǎn),且∠=α,∠
=β,求cosαcosβ的值及△的面積.典例精析9分析解析(1)利用坐標(biāo)代入法求解;(2)應(yīng)用拋物線定義及解三角形知識(shí)求解.又A(-4,0),B(0,-3),(1)設(shè)重心,
.由垂心公式有
.又因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上,得
整理得即為△ABC的重心G為軌跡方程.10【回顧與反思】本題考查直線與圓錐曲線之間的關(guān)系,同時(shí)綜合了函數(shù)與三角形的知識(shí).(2)拋物線焦點(diǎn)(1,0),所以=9-1=8,由,得交點(diǎn)P(
,
).tanα=
=
,tanβ=
=-
,所以cosα=
,cosβ=
,cosα·cosβ=
,11典例精析(2008·山東卷)如圖,設(shè)拋物線方程為(p>0),M是直線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A、B.(1)求證:A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;(2)令(O為原點(diǎn)),是否存在點(diǎn)M使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D在已知拋物線上?若存在,求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.ByA-2pxMO(1)借助導(dǎo)數(shù)確定切線斜率,求切線方程;(2)先求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D的坐標(biāo),再假設(shè)點(diǎn)M存在,解方程求點(diǎn)M的坐標(biāo).分析12(1)設(shè),由,得,設(shè)解析ByA-2pxMO所以即同理,有兩式相減,得因?yàn)?所以即A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.13(2)設(shè),所以
設(shè),直線AB的方程為因?yàn)镃D的中點(diǎn)在直線AB上,所以即(*)又因?yàn)辄c(diǎn)也在直線AB上,所以
,ByA-2pxMO14即,代入(*)式得若在拋物線上,所以,解得
=0或=
,即或.當(dāng)
=0時(shí),,點(diǎn)適合題意;當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以CD∥y軸,而,ByA-2pxMO所以AB與CD不垂直,與C、D關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)矛盾,故此時(shí)不存在符合條件的M點(diǎn).綜上所述,僅存在一點(diǎn)M(0,-2p)適合題意.【回顧與反思】此題綜合考查直線與拋物線的位置關(guān)系,對(duì)稱(chēng)性、存在性問(wèn)題在高考題中常以壓軸題的形式出現(xiàn).15
例3(2007·四川卷)如圖,設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).(1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值;(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,且∠AOB為銳角(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k的取值范圍.BAPO典例精析分析(1)將表示成關(guān)于點(diǎn)P(x,y)的函數(shù),再求最值;(2)將表示成斜率k的函數(shù),再解不等式.16(1)設(shè)P(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn),解析焦點(diǎn)而,所以的最大值為1,最小值為-2,BAPO17(2)設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程得
設(shè)交點(diǎn)所以解得或BAPO18又∠AOB為銳角,所以即所以
,即-2<k<2綜上所述,k的取值范圍為【回顧與反思
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