專題1.10 平行線章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（浙教版）（原卷版）

專題1.10平行線章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平行線在三角板中的運(yùn)用】 1【題型2平行線在折疊中的運(yùn)用】 3【題型3旋轉(zhuǎn)使平行】 4【題型4利用平行線求角度之間的關(guān)系】 5【題型5利用平行線解決角度定值問(wèn)題】 8【題型6平行線的閱讀理解類問(wèn)題】 10【題型7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】 12【題型8平行線與動(dòng)點(diǎn)的綜合應(yīng)用】 13【題型1平行線在三角板中的運(yùn)用】【例1】（2023下·浙江溫州·七年級(jí)?？计谥校⒁桓敝苯侨前迦鐖D1，擺放在直線MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不動(dòng)，將三角板ABC繞點(diǎn)C以每秒5°的速度，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)AC與射線CN重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖2，當(dāng)AC為∠DCE的角平分線時(shí)，直接寫出此時(shí)t(2)當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)至∠DCE的內(nèi)部時(shí)，求∠DCA與(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)三角板ABC的其中一邊與ED平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值．【變式1-1】（2023下·河南安陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起，其中∠A=30°，∠B(1)觀察猜想，∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系是________；∠BCE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系是________；(2)類比探究，若按住三角板ABC不動(dòng)，順時(shí)針繞直角頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)三角形DCE，試探究當(dāng)∠ACD等于多少度時(shí)CE//AB，畫出圖形并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；(3)拓展應(yīng)用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度數(shù)；并直接寫出此時(shí)DE與AC的位置關(guān)系．【變式1-2】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，兩個(gè)形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）①如圖1，∠DPC＝度．②我們規(guī)定，如果兩個(gè)三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個(gè)三角形為“孿生三角形”，如圖1，三角板BPD不動(dòng)，三角板PAC從圖示位置開(kāi)始每秒10°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（0°<旋轉(zhuǎn)<360°），問(wèn)旋轉(zhuǎn)時(shí)間t為多少時(shí)，這兩個(gè)三角形是“孿生三角形”．（2）如圖3，若三角板PAC的邊PA從PN處開(kāi)始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速3°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開(kāi)始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2°/秒，在兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)）．設(shè)兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，以下兩個(gè)結(jié)論：①∠CPD∠BPN為定值；②∠BPN【變式1-3】（2023上·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，將三角板(1)如圖2，當(dāng)邊AC落在∠DAE①∠CAD與∠②過(guò)點(diǎn)A作射線AF，AG，若∠CAF=13∠(2)設(shè)△ADE的旋轉(zhuǎn)速度為3°/秒，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t，若它的一邊與△ABC的某一邊平行（不含重合情況），試寫出所有符合條件的【題型2平行線在折疊中的運(yùn)用】【例2】（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點(diǎn)H和點(diǎn)G分別是邊AD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點(diǎn)N，M，P，K，若MN∥PK，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【變式2-1】（2023下·福建寧德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一條長(zhǎng)方形彩帶ABCD進(jìn)行兩次折疊，先沿折痕MN向上折疊，再沿折痕AM向背面折疊，若要使兩次折疊后彩帶的夾角∠2=26°，則第一次折疊時(shí)∠1應(yīng)等于°．

【變式2-2】（2023下·浙江溫州·七年級(jí)溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）已知M，N分別是長(zhǎng)方形紙條ABCD邊AB，CD上兩點(diǎn)（AM>DN），如圖1所示，沿M，N所在直線進(jìn)行第一次折疊，點(diǎn)A，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，EM交CD于點(diǎn)P；如圖2所示，繼續(xù)沿PM進(jìn)行第二次折疊，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G，H，若∠1=∠2，則∠CPM

A．74° B．72° C．70° D．68°【變式2-3】（2023下·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形紙片ABCD的邊AB∥CD，E是邊CD上任意一點(diǎn)，△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：∠C=60°，∠FED=45°(2)拓展探究：如圖②，點(diǎn)F落在四邊形ABCD的內(nèi)部，探究∠FED，∠ABF，(3)遷移應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)F落在邊CD的上方，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．【題型3旋轉(zhuǎn)使平行】【例3】（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次課外活動(dòng)中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC上，，，．小明將ADE從圖中位置開(kāi)始，繞點(diǎn)按每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，第秒時(shí)，邊與邊平行．【變式3-1】（2023下·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，分別將木條a，b與固定的木條c釘在一起，，，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)木條a，下列選項(xiàng)能使木條a與b平行的是（

）

A．旋轉(zhuǎn)30° B．旋轉(zhuǎn)50° C．旋轉(zhuǎn)80° D．旋轉(zhuǎn)130°【變式3-2】（2023下·安徽六安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，邊與邊重合，，接著如圖2保持三角板不動(dòng)，將三角板繞著點(diǎn)（點(diǎn)不動(dòng)）按順時(shí)針（如圖標(biāo)示方向）旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，逐漸增大，當(dāng)?shù)谝淮蔚扔跁r(shí)，停止旋轉(zhuǎn)，在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，時(shí)，三角板有一條邊與三角板的一條邊恰好平行．

【變式3-3】（2023下·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖（1），在三角形ABC中，，BC邊繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周回到原來(lái)的位置．在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中（圖（2），使，則（）A． B． C．或 D．或【題型4利用平行線求角度之間的關(guān)系】【例4】（2023下·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)A，C，E在直線l上，點(diǎn)B不在直線l上，把線段AB沿直線l向右平移得到線段CD．（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AC上，求證：∠B+∠D=∠BED；（2）若點(diǎn)E不在線段AC上，試猜想并證明∠B，∠D，∠BED之間的等量關(guān)系；（3）在（1）的條件下，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作PB//ED，在直線BP，ED之間有點(diǎn)M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同時(shí)點(diǎn)F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，設(shè)∠BMD=m，利用（1)中的結(jié)論求∠BFD的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示）．【變式4-1】（2023下·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）甲同學(xué)在學(xué)完《相交線與平行線》后，想通過(guò)折鐵絲的方式進(jìn)一步探索相交線與平行線的知識(shí)，他的具體操作步驟如下：第一步：將一根鐵絲AB在C，D，E處彎折得到如下圖①的形狀，其中AC∥DE，第二步：將DE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定角度，再將BE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定角度并在BE上某點(diǎn)F處彎折，得到如下圖②的形狀．第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成∠G，跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③請(qǐng)根據(jù)上面的操作步驟，解答下列問(wèn)題：(1)如圖①，若∠C=2∠D(2)如圖②，若AC∥BF，請(qǐng)判斷∠C，∠D，(3)在（2）的條件下，如圖③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，設(shè)∠D=x【變式4-2】（2023下·安徽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線m∥n，Rt△ABC中∠ACB=90°，Rt△ABC的邊AC、AB與直線

(1)將Rt△ABC如圖1位置擺放，如果∠ADE=46°，則(2)將Rt△ABC如圖2位置擺放，H為AC上一點(diǎn)，∠HFG+∠CFG(3)將Rt△ABC如圖3位置擺放，若∠EDC=140°，延長(zhǎng)AC交直線n于點(diǎn)K，點(diǎn)P是射線EG上一動(dòng)點(diǎn)，探究∠PDK，∠【變式4-3】（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題情境】如圖1，AB∥CD，直線EG交AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G，點(diǎn)F在直線AB上．直接寫出∠E

【實(shí)踐運(yùn)用】如圖2，AB∥CD，直線EG交AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G，點(diǎn)F在直線AB上．FT平分∠EFH，GM平分∠EGC，若

【拓廣探索】如圖3，AB∥CD，直線EG交AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G，點(diǎn)P為平面內(nèi)不在直線AB，CD，EG上的一點(diǎn)，若∠BHP=x，∠DGP=y

【題型5利用平行線解決角度定值問(wèn)題】【例5】（2023下·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，P是截線MN上的一點(diǎn)，MN與CD，AB分別交于E，

(1)如圖（1），P在AB、CD之間，若∠EFB=50°，∠EDP(2)如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，則(3)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，【變式5-1】（2023下·福建龍巖·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)A、D分別在射線BM、CN線上，BM∥CN，BM⊥BC于點(diǎn)B，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E

(1)求證：AE⊥(2)求證：DE平分∠ADC(3)如圖2，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，試猜想【變式5-2】（2023下·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知∠EFH=90°，點(diǎn)A，C分別在射線FE和FH上，在∠EFH內(nèi)部作射線AB，CD，使AB(1)如圖1，若FAB=150°，求∠(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在∠EFH內(nèi)部，無(wú)論FAB如何變化，∠FAB-∠(3)①如圖3，把圖1中的∠EFH=90°改為∠EFH=120°，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出②如圖4，已知∠EFG+∠FGC=α，點(diǎn)A，C分別在射線FE，GH上，在∠EFG與∠FGH內(nèi)部作射線AB，CD，使AB【變式5-3】（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A、B在直線l1上，點(diǎn)C、D在l2上，線段AD交線段(1)求證：∠ABE(2)如圖2，當(dāng)F、G分別在線段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，標(biāo)記∠BFE①若∠1-∠2=16°，求∠ADC②當(dāng)k=________時(shí)，k∠1+∠2為定值，此時(shí)定值為【題型6平行線的閱讀理解類問(wèn)題】【例6】（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)泰州市海軍中學(xué)校考階段練習(xí)）【注重閱讀理解】閱讀以下材料：已知點(diǎn)B，D分別在AK和CF上，且CF∥(1)如圖1，若∠CDE=22°，∠DEB=75°，則(2)如圖2，BG平分∠ABE，GB延長(zhǎng)線與∠EDF的平分線交于H點(diǎn)，若∠DEB比∠DHB大(3)保持（2）中所求的∠DEB的度數(shù)不變，如圖3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP【變式6-1】（2023下·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期末）[課題學(xué)習(xí)]：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．

[閱讀理解]：如圖1，已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn)，連接AB，AC，求∠BAC（1）閱讀并補(bǔ)充下面推理過(guò)程．解：過(guò)點(diǎn)A作ED∥BC，所以∠B=_________，又因?yàn)椤纤浴螧[解題反思]：從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC，∠B，∠C“[方法運(yùn)用]：（2）如圖2，已知AB∥ED，求[深化拓展]：（3）已知AB∥CD，點(diǎn)C在D的右側(cè)，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)①如圖3，若∠ABC=60°，則∠②如圖4，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，若∠ABC=n°，則∠【變式6-2】（2023下·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖，已知點(diǎn)A是BC外一點(diǎn)，連接AB、AC，求∠B

解：過(guò)點(diǎn)A作ED∥BC，所以∠B=又因?yàn)椤螮AB所以∠B

解題反思：從上面的推理過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“(2)方法運(yùn)用：如圖1，已知AB∥CD，求(3)深化拓展：已知直線AB∥CD，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、①如圖2，已知∠A=50°，∠D②如圖3，請(qǐng)判斷∠PAB、∠CDP、

【變式6-3】（2023下·河南商丘·七年級(jí)永城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）閱讀材料：如圖1，若AB//CD，則理由：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF//則∠B因?yàn)锳B//所以EF//所以∠D所以∠BED交流：（1）若將點(diǎn)E移至圖2所示的位置，AB//CD，此時(shí)∠B、∠探究：（2）在圖3中，AB//CD，∠E應(yīng)用：（3）在圖4中，若AB//【題型7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】【例7】（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺(tái)燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架AB、BC為固定支撐桿，支架OC可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角∠DOE=52°，頂角平分線OP始終與

(1)如圖2，當(dāng)支架OC旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，OD恰好與BC平行，求支架BC與水平方向的夾角∠θ(2)若將圖2中的OC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°到如圖3的位置，求此時(shí)OD與水平方向的夾角∠OQM【變式7-1】（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）光在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)光線從空氣射向水中時(shí)，會(huì)發(fā)生折射，如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的，若水面和杯底互相平行，且∠1=122°，則∠2=．

【變式7-2】（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，某工程隊(duì)從A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏西67°方向修一條公路AD，在BD路段出現(xiàn)塌陷區(qū)，就改變方向，在B點(diǎn)沿北偏東23°的方向繼續(xù)修建BC段，到達(dá)C點(diǎn)又改變方向，使所修路段CE//AB，求∠【變式7-3】（2023下·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）探照燈、汽車燈等很多燈具的光線都與平行線有關(guān)，如圖所示是一探照燈碗的剖面，從位于O點(diǎn)的燈泡發(fā)出的兩束光線OB，OC，經(jīng)燈碗反射以后平行射出，其中∠ABO=38°，∠DCO=78°，則【題型8平行線與動(dòng)點(diǎn)的綜合應(yīng)用】【例8】（2023下·北京通州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：直線，點(diǎn)G為直線CD上一定點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EG．在EG的左側(cè)分別作射線EM、GN，兩條射線相交于點(diǎn)F，設(shè)．(1)當(dāng)，時(shí)，如圖1位置所示，求的度數(shù)（用含有的式子