圓錐曲線中的求值、證明、探索性問(wèn)題講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第頁(yè)培優(yōu)課19圓錐曲線中的求值、證明、探索性問(wèn)題培優(yōu)點(diǎn)一求值問(wèn)題典例1[2024·廣東模擬]設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1a>b>0，A?2（1）求橢圓的方程.（2）若直線l與橢圓交于P，Q（異于A,B（審題③直線l①求直線BP與②若直線AP與BQ的斜率之和為?12（審題⑤由AP，BP解題觀摩[解析]（1）依題意可得a=2當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D?2,2時(shí)，代入x24+Δ=?122解得b2=1（2）①依題意可得直線l的斜率不為0如圖，設(shè)l：x=my+由x=my+6則kBPkBQ=32②因?yàn)閗APk又因?yàn)閗AP成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjs?uxue加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期+kBQ=?與x24+y2=1聯(lián)立得Q在解析幾何的學(xué)習(xí)中，離不開(kāi)求“角度、距離、面積、比值”等量，最直接的辦法就是把這些量表示出來(lái)，這就常常需要將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2，x1從求直線方程變到求角度[2024·成都模擬]已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；[解析]設(shè)Mx0,y0，x因?yàn)橹本€MA1與直線MA2的斜率之積為?34，所以y0x0+a?y0x（2）若直線A1M與直線x=a相交于點(diǎn)N，且E是線段A2[解析]設(shè)直線A1M的方程為y=由y=kx因?yàn)镋是線段A2N的中點(diǎn)，A22,又F1,0所以tan∠EFA2由y=12x+2,x24+y2由橢圓的對(duì)稱性可知，當(dāng)k<0時(shí)，也有故∠EFM培優(yōu)點(diǎn)二證明問(wèn)題典例2[2024·邯鄲模擬]已知雙曲線C：x2a2?y2b（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（審題②要討論直線l的斜率是否存在），且P1A解題觀摩[解析]（1）根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，P3?2所以P3,P4同時(shí)在雙曲線C上，而P2則雙曲線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)P12,0，則x2所以雙曲線C的方程為x（2）ⅰ當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立y=kx+由1?4且x1+x因?yàn)镻12,0，所以因?yàn)镻1即x1?2即1+所以1+化簡(jiǎn)得3m2+16km+所以m=?103當(dāng)m=?2k時(shí)，直線l的方程為直線l過(guò)定點(diǎn)2,0，即點(diǎn)當(dāng)m=?103k時(shí)，直線直線l過(guò)定點(diǎn)103（ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l的方程為x=nn>2因?yàn)镻1A⊥P1B，所以n24?解得n=2（舍去）或n=103，所以直線l的方程為x=103，直線l過(guò)點(diǎn)幾何證明問(wèn)題的解題策略1.圓錐曲線中的證明問(wèn)題,主要有兩類：一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系,如某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過(guò)某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等;二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系（相等或不相等）.2.解決證明問(wèn)題時(shí),主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì),直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,通過(guò)相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明.從證明過(guò)定點(diǎn)變?yōu)樽C明三點(diǎn)共線[2021·新高考Ⅱ卷]已知橢圓C的方程為x2a2+y（1）求橢圓C的方程.[解析]由題意知,橢圓的半焦距c=2,且e=ca=6（2）設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),直線MN與曲線x2+y2=b2x>[解析]由（1）得,曲線方程為x2當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),直線MN的方程為x=當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)Mx1,證必要性：若M,N,F三點(diǎn)共線,則可設(shè)直線MN的方程為y=kx由直線MN與曲線x2+y2=聯(lián)立y=±x?所以x1+x所以MN=證充分性：設(shè)直線MN的方程為y=kx+由直線MN與曲線x2+y所以m2聯(lián)立y=kx+所以x1+x所以MN==1化簡(jiǎn)得k2?12=0所以直線MN的方程為y=x?所以直線MN過(guò)點(diǎn)F2,0,即M,N故M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是MN=培優(yōu)點(diǎn)三探索性問(wèn)題典例3[2024·聊城模擬]已知M為雙曲線C：x2a2（1）求證：點(diǎn)M到C的兩條漸近線的距離之積為定值（審題②點(diǎn)（2）已知C的左頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F，直線AM與直線l:x=12相交于點(diǎn)N（審題③要討論N是否是AM的中點(diǎn)）.試問(wèn)是否存在常數(shù)解題觀摩[解析]（1）因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線與直線x+3y?則a2+2a=3，則設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x0,y0，則雙曲線的兩條漸近線l1，l2的方程分別為3x?y=0,則d1所以點(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為定值.（2）存在λ=2.①當(dāng)x0=2時(shí)，所以∠AFN=∠MFN=45②當(dāng)x0（?。┊?dāng)M在x軸上方時(shí)，由A?1,0,所以直線AM的方程為y=把x=12所以kNF=32由二倍角公式，可得tan2因?yàn)橹本€MF的斜率kMF=y所以tan∠AFM=y因?yàn)椤螦FM∈0,πⅱ當(dāng)M在x軸下方時(shí)，同理可得∠AFM=2∠AFN圓錐曲線中的探索性問(wèn)題1.圓錐曲線中的探索性問(wèn)題一般分為探索條件、探索結(jié)論兩種.若探索條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在;若探索結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再對(duì)其表達(dá)式解析討論，往往涉及對(duì)參數(shù)的討論.2.圓錐曲線的探索性問(wèn)題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①探索點(diǎn)是否存在;②探索曲線是否存在;③探索命題是否成立.解決此類問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）存在,否則元素（點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù)）不存在.反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法.3.解決探索性問(wèn)題的流程：從角度探究變?yōu)槎ㄖ堤骄縖2024·茂名模擬]已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線E：x2a2（1）求雙曲線E的離心率.[解析]由3PF1=7在△PF1所以F1即F1所以PF12所以在△OF2P(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中，PF2⊥（2）若雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)F2且斜率為k的直線l交雙曲線E的右支于不同的A，B兩點(diǎn)，Q為x軸上一點(diǎn)且滿足QA=QB[解析]由（1）可知在雙曲線E中有ba所以a=1，b=3,所以雙曲線由于F22,0，故設(shè)直線聯(lián)立y=kx因?yàn)橹本€l與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)，所