小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)方法觀察法第二講

小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)方法觀察法第二講

在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，第一步是觀察。觀察是基礎(chǔ)，是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的首

要步驟。小學(xué)數(shù)學(xué)教材，特別重視培養(yǎng)觀察力，把培養(yǎng)觀察力作為開發(fā)與培養(yǎng)學(xué)

生智力的第一步。

觀察法，是通過觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點(diǎn)，條件與結(jié)論之間的

關(guān)系，題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，把題目解答

出來的一種解題方法。

觀察要有次序，要看得仔細(xì)、看得真切，在觀察中要動腦，要想出道理、找

出規(guī)律。

例5甲、乙兩個(gè)人面對面地坐著，兩個(gè)人中間放著一個(gè)三位數(shù)。這個(gè)三位

數(shù)的每個(gè)數(shù)字都相同，并且兩人中一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)比另一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)

大一半，這個(gè)數(shù)是多少？（適于三年級程度）

解：首先要確定這個(gè)三位數(shù)一定是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示的，不然就沒法考慮了。

甲看到的數(shù)與乙看到的數(shù)不同，這就是說，這個(gè)三位數(shù)正看、倒看都表示數(shù)。

在阿拉伯?dāng)?shù)字中，只有0、1、6、8、9這五個(gè)數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。

這個(gè)三位數(shù)在正看、倒看時(shí)，表示的數(shù)值不同，顯然這個(gè)三位數(shù)不能是000,

也不能是111和888,只可能是666或999。

如果這個(gè)數(shù)是666,當(dāng)其中一個(gè)人看到的是666時(shí)，另一個(gè)人看到的一定是

999,999-666=333,333正好是666的一半。所以這個(gè)數(shù)是666,也可以是999。

*例61966、1976、1986、1996、2006這五個(gè)數(shù)的總和是多少？（適于三年

級程度）

解：這道題可以有多種解法，把五個(gè)數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，

但因數(shù)字大，計(jì)算起來容易出錯(cuò)。

如果仔細(xì)觀察這五個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)是1966,第二個(gè)數(shù)比它大10,第

三個(gè)數(shù)比它大20,第四個(gè)數(shù)比它大30,第五個(gè)數(shù)比它大40。因此，這道題可以

用下面的方法計(jì)算：

1966+1976+1986+1996+2006

=1966X5+10X（1+2+3+4）

=9830+100

=9930

這五個(gè)數(shù)還有另一個(gè)特點(diǎn)：中間的數(shù)是1986,第一個(gè)數(shù)1966比中間的數(shù)1986

小20,最后一個(gè)數(shù)2006比中間的數(shù)1986大20,1966和2006這兩個(gè)數(shù)的平均

數(shù)是1986o1976和1996的平均數(shù)也是1986。這樣，中間的數(shù)1986是這五個(gè)數(shù)

的平均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方法計(jì)算：

1966+1976+1986+1996+2006

=1986X5

=9930

例7你能從400+25=(400X4)4-(25X4)=400X4+100=16中得到啟發(fā),

很快算出(1)6004-25(2)9004-25(3)14004-25(4)18004-25(5)72504-25

的得數(shù)嗎？(適于四年級程度)

解：我們仔細(xì)觀察一下算式：

4004-25=(400X4)4-(25X4)=400X44-100=16

不難看出，原來的被除數(shù)和除數(shù)都乘以4,目的是將除數(shù)變成1后面帶有0

的整百數(shù)。這樣做的根據(jù)是“被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個(gè)相同的數(shù)(零除外)，商

不變”。

進(jìn)行這種變化的好處就是當(dāng)除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以

很快求出商。按照這個(gè)規(guī)律，可迅速算出下列除法的商。

(1)6004-25(2)9004-25

=(600X4)+(25X4)=(900X4)+(25X4)

=600X44-100=900X44-100

=24=36

(3)14004-25(4)18004-25

=(1400X4)4-(25X4)=(1800X4)4-(25X4)

=1400X44-100=1800X44-100

=56=72

(5)72504-25

=(7250X4)4-(25X4)

=290004-100

=290

*例8把1-1000的數(shù)字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個(gè)長方形

框框出六個(gè)數(shù)，這六個(gè)數(shù)的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個(gè)數(shù)，豎著兩

個(gè)數(shù)）框出的六個(gè)數(shù)的和是837,這六個(gè)數(shù)都是多少？（適于五年級程度）

解：（1）觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大1,第三個(gè)數(shù)比

第一個(gè)數(shù)大2,第四個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大7,第五個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大8,第六個(gè)數(shù)

比第一個(gè)數(shù)大9。

假定不知道這幾個(gè)數(shù)，而知道上面觀察的結(jié)果，以及框內(nèi)六個(gè)數(shù)的和是87,

要求出這幾個(gè)數(shù)，就要先求出六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)：

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

...................9991000

圖1-11

(87-1-2-7-8-9)4-6

=604-6

=10

求出第一個(gè)數(shù)是10,往下的各數(shù)也就不難求了。

因?yàn)橛猛瑯拥姆椒虺龅牧鶄€(gè)數(shù)之和是837,這六個(gè)數(shù)之中后面的五個(gè)數(shù)也

一定分別比第一個(gè)數(shù)大1、2、7、8、9,所以，這六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是：

（837-1-2-7-8-9）4-6

=8104-6

=135

第二個(gè)數(shù)是：135+1=136

第三個(gè)數(shù)是：135+2=137

第四個(gè)數(shù)是：135+7=142

第五個(gè)數(shù)是：135+8=143

第六個(gè)數(shù)是：135+9=144

答略。

(2)觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：①上、下兩數(shù)之差都是7；②方框中間堅(jiān)行

的11和18,分別是上橫行與下橫行三個(gè)數(shù)的中間數(shù)。

11=(10+11+12)4-3

18=(17+18+19)4-3

所以上橫行與下橫行兩個(gè)中間數(shù)的和是：

874-3=29

由此可得，和是837的六個(gè)數(shù)中，橫向排列的上、下兩行兩個(gè)中間數(shù)的和是:

8374-3=279

因?yàn)樯?、下兩個(gè)數(shù)之差是7,所以假定上面的數(shù)是x,則下面的數(shù)是x+7。

x+(x+7)=279

2x+7=279

2x=279-7

=272

x=272-?2

=136

x+7=136+7

=143

因?yàn)樯弦粰M行中間的數(shù)是136,所以，第一個(gè)數(shù)是：136-1=135

第三個(gè)數(shù)是：135+2=137

因?yàn)橄乱粰M行中間的數(shù)是143,所以，

第四個(gè)數(shù)是：143-1=142

第六個(gè)數(shù)是：142+2=144

答略。

*例9有一個(gè)長方體木塊，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有幾個(gè)頂點(diǎn)？（適于五年級程

度）

解：（1）鋸去一個(gè)頂點(diǎn)（圖1T2）,因?yàn)檎襟w原來有8個(gè)頂點(diǎn)，鋸去一

個(gè)頂點(diǎn)后，增加了三個(gè)頂點(diǎn)，所以，

8-1+3=10

即鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有10個(gè)頂點(diǎn)。

圖1-13

（2）如果鋸開的截面通過長方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1+2=9（個(gè)）

（圖1-13）o

（3）如果鋸開的截面通過長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1+1=8（個(gè)）

（圖1-14）o

圖1-14圖1-15

（4）如果鋸開的截面通過長方體的三個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1=7（個(gè)）

（圖1-15）o

例10將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組

成一個(gè)物體（圖1T6）,求這個(gè)物體的表面積S。（適于六年級程度）

解：我們知道，底面半徑為Y，高為h的圓柱體的表面積是2“y+2nyh0

圖1-16圖1-17

本題的物體由三個(gè)圓柱組成。如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再把三個(gè)圓

柱的表面積加在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個(gè)物體的表面積，

這種計(jì)算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。

如果我們改變觀察的方法，從這個(gè)物體的正上方向下俯視這個(gè)物體，會看到

這個(gè)物體上面的面積就像圖1-17那樣。這三個(gè)圓的面積，就是底面半徑是1.5

米的那個(gè)圓柱的底面積。所以，這個(gè)物體的表面積，就等于一個(gè)大圓柱的表面積

加上中、小圓柱的側(cè)面積。

(2nXL5葉2nXI.5X1)+(2nX1X1)+(2"X0.5X1)

=(4.5n+3JT)+2n+n

=7.5n+3n

=10.5n

=10.5X3.14

=32.97(平方米)

答略。

*例11如圖1T8所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角

是72°,鑄件長20厘米。求它的表面積和體積。(適于六年級程度)

圖1-18

解：遇到這樣的題目，不但要注意計(jì)算的技巧，還要注意觀察的全面性，不

可漏掉某一側(cè)面。圖1T8表面積中的一個(gè)長方形和一個(gè)扇形就容易被漏掉，因

而在解題時(shí)要仔細(xì)。

求表面積的方法1：

兩個(gè)扇形面積+兩個(gè)長方形面積+圓柱側(cè)面積X=

314x15272

———X72X2+20X15X2+15X2X3,14X20X—

360360

3.14x22518

X72X2+300X2+30X3.14X20X—

36090

3.14x225,

——-——X2+600+30X3.14X4

=3.14X45X2+600+120X3.14

=3.14X90+3.14X120+600

=3.14X(90+120)+600

=659.4+600

=1259.4(平方厘米)

求表面積的方法2：