八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)試題 第13章《軸對(duì)稱》單元測(cè)試卷-人教版（含答案）

第13章《軸對(duì)稱》單元測(cè)試卷一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．學(xué)校為慶祝國(guó)慶，在校內(nèi)張貼了“愛(ài)我中華”四字標(biāo)語(yǔ)，這些漢字中是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD∥BC，將長(zhǎng)方形紙片沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，DE交邊BC于點(diǎn)F，若∠ADB＝20°，則∠DFC等于（）A．30° B．60° C．50° D．40°3．如圖，在中，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，．作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，，則的周長(zhǎng)為（

）A．25 B．22 C．19 D．184．如圖，在中，點(diǎn)P在邊BC上方，連接PB，PC，，當(dāng)取得最小值時(shí)，的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點(diǎn)D，則以下推斷錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．6．在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明進(jìn)行了如下操作：將一張四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點(diǎn)A恰巧落在BC上，已知∠C＝90°，AB＝6dm，BC＝9dm，CD＝4dm，則四邊形ABCD的面積是（）A．24dm2 B．30dm2 C．36dm2 D．42dm27．如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連接，，若，，周長(zhǎng)最小時(shí)，，之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．8．在等腰三角形ABC中，，過(guò)點(diǎn)A作的高AD．若，則這個(gè)三角形的底角與頂角的度數(shù)比為（

）A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:109．如圖，等邊△ABC中，D是邊BC上不與兩端點(diǎn)重合的點(diǎn)，線段AD的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接ED，F(xiàn)D，則下列選項(xiàng)中不一定正確的是（）A．EA=ED B．∠EDF=60° C．DF⊥AC D．∠2=2∠110．在△ABC中，CD平分∠BCA，與AB交于點(diǎn)D．若BD＝3，AD＝4，∠A＝30°，△ABC中BC邊上的高為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．如圖，將△ABC沿BC翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，過(guò)點(diǎn)B作BDAC交A'C于點(diǎn)D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，則∠A的度數(shù)為．12．如圖，和關(guān)于直線AB對(duì)稱，和關(guān)于直線AC對(duì)稱，CD與AE交于點(diǎn)F，若，，則的度數(shù)為．13．如圖所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，點(diǎn)E、N在BC上，則∠EAN=．14．如圖，在中，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，以直線為對(duì)稱軸，作的對(duì)稱圖形，以直線為對(duì)稱軸，作的對(duì)稱圖形，連接．（1）若，則；（2）若，，的面積為14，則面積的最小值為．15．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝．（用α含的式子表示）16．如圖，在中，，M、N為邊AB、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿MN翻折，翻折后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在直線BC上方，連接CD，，且，則當(dāng)是等腰三角形時(shí)，度．17．如圖1，將一張直角三角形紙片（已知，）折疊，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．將紙片展平后，再沿著將紙片按著如圖2方式折疊，邊交于點(diǎn)．若是等腰三角形，則的度數(shù)可能是．18．如圖，，在直線上方作等腰，，，連接，當(dāng)最大時(shí)，．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）如圖所示，如果將軍從馬棚M出發(fā)，先趕到河上的某一位置P，再馬上趕到河上的某一位置Q，然后立即返回校場(chǎng)N．請(qǐng)為將軍重新設(shè)計(jì)一條路線（即選擇點(diǎn)P和Q），使得總路程最短．20．（8分）如圖，已知△ACM是等邊三角形，點(diǎn)E在邊CM上，以CE為邊作等邊△CEF，聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)MF并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，聯(lián)結(jié)BN．（1）說(shuō)明△ACE≌△MCF的理由；（2）說(shuō)明△CNB為等邊三角形的理由．21．（10分）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)N，使CN=AM，連接MN交AC于點(diǎn)P，MH⊥AC于點(diǎn)H．（1）求證：MP=NP；（2）若AB＝a，求線段PH的長(zhǎng)（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．22．（10分）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上，以DC為邊在BC的上方作等邊（點(diǎn)E與點(diǎn)B在DC的兩側(cè)）．（1）求證：；（2）點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于直線DC對(duì)稱，連接，試探究與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你探究的結(jié)論．23．（10分）已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC，交直線AB于點(diǎn)G．（1）如圖1，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC＝45°．求證：①△BDF≌△ADC；②FG＋DC＝AD；（2）如圖2，若∠ABC＝135°，直接寫(xiě)出FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系．24．（12分）【學(xué)習(xí)新知】等邊對(duì)等角是等腰三角形的性質(zhì)定理，如圖1，可以表述為∵∴【新知應(yīng)用】已知：在中，，若，則______；若，則______．【嘗試探究】如圖2，四邊形中，，，若連接，則平分．某數(shù)學(xué)小組成員通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下想法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性質(zhì)可以證明．請(qǐng)你參考他們的想法，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．【拓展應(yīng)用】借助上一問(wèn)的嘗試，繼續(xù)探究：如圖3所示，在五邊形中，，，，連接，平分嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．答案一、單選題1．C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：A、“愛(ài)”不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；B、“我”不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；C、“中”是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)符合題意；D、“華”不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：C2．D【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠ADB＝∠EDB，解得∠ADF的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等解答．【詳解】由折疊的性質(zhì)得∠ADB＝∠EDB，∴∠ADF＝2∠ADB，∵∠ADB＝20°，∴∠ADF＝2×20°＝40°，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠ADF＝40°，故選：D．3．C【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得BD＝CD，由△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．【詳解】解：由作圖的過(guò)程可知，DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD，∵，，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故選：C4．B【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出輔助線，再根據(jù)三角形的面積和最短路徑得出與三角形的高之間的關(guān)系，進(jìn)而得出的度數(shù)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，∴，∴的最小值為：，∴，，∵，∴，∴，∴，∵∴，∴，即故選．5．D【分析】根據(jù)作圖過(guò)程可得BD平分∠ABC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，根據(jù)作圖過(guò)程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故選項(xiàng)C成立；∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故選項(xiàng)A成立；∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故選項(xiàng)B成立；沒(méi)有條件能證明CD=AD，故選項(xiàng)D不成立；故選：D．6．B【分析】由折疊的性質(zhì)得到BE=BA=6，∠ABD=∠EBD，利用角平分線的性質(zhì)以及三角形公式即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，將一張四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點(diǎn)A恰巧落在BC上的E處，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BA并交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖：∴BE=BA=6，∠ABD=∠EBD，∵∠C=90°，DF⊥BA，∴DF=DC=4，∴四邊形ABCD的面積=BCCD+ABDF=94+64=30(dm2)．故選：B．7．C【分析】連接AP，根據(jù)線段垂直垂直平分線的性質(zhì)可知PA=PC，．由，即得出，由此可知當(dāng)A、P、D在同一直線上時(shí)，最?。俑鶕?jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知AD為的平分線，即．最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)即得出，由此即可判斷．【詳解】如圖，連接AP，∵直線MN是線段AC的垂直平分線，且P在線段MN上，∴PA=PC，．∵,∴．由圖可知CD為定值，當(dāng)A、P、D在同一直線上時(shí)，最小，即為的長(zhǎng)，∴此時(shí)最?。逥是邊BC的中點(diǎn)，AB=AC，∴AD為的平分線，∴．∵，即，∴．故選C．8．D【分析】分等腰三角形頂角是鈍角和銳角兩種情況討論即可.【詳解】解：情況1：如圖：∵，∴，∵CA=CB，∴∠B=∠CAB=15o，底角與頂角的度數(shù)比為：15o:150o=1:10；情況2：如圖：∵，CA=CB，∴∠B=∠CAB=，底角與頂角的度數(shù)比為：75o:30o=5:2，綜上，這個(gè)三角形的底角與頂角的度數(shù)比為5:2或1:10，故選：D.9．C【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EA=ED，F(xiàn)A=FD，選項(xiàng)A正確；由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠B=60°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠EDA=∠1，∠FAD=∠FDA，得出∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠BAC=60°，選項(xiàng)B正確；由三角形的外角性質(zhì)得出∠BED=∠1+∠EDA=2∠1，再由∠EDC=∠EDF+∠2=∠B+∠BED，得出∠2=2∠1，選項(xiàng)D正確；即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵EF是AD的垂直平分線，∴EA=ED，F(xiàn)A=FD，選項(xiàng)A正確；∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=60°，∵EA=ED，F(xiàn)A=FD，∴∠EDA=∠1，∠FAD=∠FDA，∴∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠BAC=60°，選項(xiàng)B正確；∵∠BED=∠1+∠EDA=2∠1，∠EDC=∠EDF+∠2=∠B+∠BED∴60°+∠2=60°+2∠1，∴∠2=2∠1，選項(xiàng)D正確；已知條件不能推出DF與AC是否垂直故選：C．10．D【分析】過(guò)點(diǎn)作垂足為，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得到，根據(jù)等面積求得，設(shè)，由，得出，根據(jù)等面積法求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作垂足為，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵CD平分∠BCA，∴，在與中∴∴∵∴設(shè)∵∴∴又∴故選D二、填空題11．130°12．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出角的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形外角的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵△ABC和△ABE關(guān)于直線AB對(duì)稱，△ABC和△ADC關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，故答案為：118°．13．32°【分析】先由∠BAC＝106°及三角形內(nèi)角和定理求出∠B＋∠C的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC?（∠BAE＋∠CAN）解答即可．【詳解】解：在△ABC中，∠BAC＝106°，∴∠B＋∠C＝180°?∠BAC＝180°?106°＝74°，∵EF、MN分別是AB、AC的中垂線，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°，∴∠EAN＝∠BAC?（∠BAE＋∠CAN）＝106°?74°＝32°．故答案為32°．14．4【分析】（1）先由平行線的性質(zhì)得到，再由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算即可；（2）先由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，再由30度角的性質(zhì)得到，求出，最后根據(jù)垂線段最短作答即可．【詳解】（1）．，由題意知，，，故答案為．（2）過(guò)點(diǎn)E作，交FA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，．，，，，∵，，易知當(dāng)時(shí)，AD最短，此時(shí)，，故答案為4．15．180°﹣α．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF＝FM，F(xiàn)B＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)AE至M，使EM＝AE，連接AF，F(xiàn)M，DM，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△AEC與△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∴FB＝FD，在△MDF與△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案為：180°﹣α．16．40【分析】連接BD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，得，再分DN=DC，DN=NC，NC=DC三種情況討論可得結(jié)果．【詳解】解：連接BD，如圖，由折疊可得，MB=MD，BN=DN，∴，∵∴∴∵∴∵是等腰三角形，∴分三種情況討論：①當(dāng)NC=DC時(shí)，又∴整理得，故此種情況不存在；②當(dāng)DN=DC時(shí)，∴解得，∴；∵∠AMD＞20°，∴此種情況須舍去；③當(dāng)DN=NC時(shí)，∵∴解得，∴綜上，的度數(shù)為故答案為：17．＃?！痉治觥坑煞劭傻肁D=BD=B′D，∠BDC=∠B′DC，所以∠BDB′=4∠A，所以∠ADF=180°-4∠A，∠AFD=∠DCF+∠CDF=3∠A，若∠ADF是等腰三角形，有三種情況：①當(dāng)AD=AF時(shí)，∠ADF=∠AFD，②當(dāng)AD=DF時(shí)，∠AFD=∠A，③當(dāng)DF=AF時(shí)，∠ADF=∠A，然后分別列式計(jì)算即可解決問(wèn)題．【詳解】由翻折可知：，，，，，，，，，若是等腰三角形，有三種情況：①當(dāng)時(shí)，，，解得；②當(dāng)時(shí)，，，（不符合題意舍去）；③當(dāng)時(shí)，，，解得．綜上所述：的度數(shù)可能是或．故答案為：或．18．【分析】構(gòu)造等腰，如圖1，使，，則，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最大，然后根據(jù)已知角及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖1，構(gòu)造等腰，使，，則，，∴當(dāng)、、共線時(shí)，最大，此時(shí)，如圖2所示，，，則，∴，∵，，∴，∴．故答案為：45°．三、解答題19．解：如圖：作點(diǎn)M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于P、交于Q，則M→P→Q→N為最短路線．20．（1）證明：△ACM和△CEF是等邊三角形，∴CA=CM，CE=CF，∠ACM=∠ECF=60°，在△ACE和△MCF中，，∴△ACE≌△MCF（SAS）；（2）解：∵△ACE≌△MCF（SAS），∴∠CAE=∠CMF，∵∠ACN=∠ACM+∠ECF=120°，∠MCB=180°-∠ACM=120°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN與△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（ASA），∴CN=CB，∵∠BCN=180°-∠ACM-∠ECF=60°，∴△CNB是等邊三角形．21．（1）如下圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MQCN，∵為等邊三角形，MQCN，∴，則AM=AQ，且∠A=60°，∴為等邊三角形，則MQ=AM