指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

基礎(chǔ)課10指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算掌握2022年浙江卷T2021年天津卷T★☆☆數(shù)學(xué)運(yùn)算★☆☆數(shù)學(xué)運(yùn)算指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用掌握2023年新高考Ⅰ卷T2022年北京卷T★★☆數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模命題分析預(yù)測從近幾年高考的情況來看，指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算會(huì)出現(xiàn)在關(guān)于函數(shù)模型及其應(yīng)用的題型中，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).預(yù)計(jì)2025年高考命題以對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)為重點(diǎn)一、根式的概念及性質(zhì)1.概念：式子na叫作①根式，其中n叫作根指數(shù)，a2.（1）負(fù)數(shù)沒有偶次方根.（2）0的任何次方根都是0，記作n0（3）nan=②a(n∈（4）nan=（5）nan=二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是amn=④nam(2.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a?mn=⑤1na3.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0.4.0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.三、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras=⑥ar+s；ars=⑦四、對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫作以五、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式1.對(duì)數(shù)的性質(zhì)：（1）alog（2）logaa2.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，（1）logaMN=（2）logaMN（3）logaMn3.換底公式：logab=?logcblogca(換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論（1）loga（2）loga（3）loga其中a,b,c,d>0,且a,b,c,d≠1,題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”）（1）?42=?（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪amn可以理解為mn個(gè)a（3）log2x2（4）若MN>0，則loga2.（易錯(cuò)題）已知x∈[1,2【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視限制條件x∈[[解析]因?yàn)閤∈[1,題組2走進(jìn)教材3.（人教A版必修①P110?T7（1）改編）已知5m=2,[解析]因?yàn)?m=2,54.（人教A版必修①P126?練習(xí)T3（2）改編）[解析]根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),化簡可得2log題組3走向高考5.[2022·浙江卷改編]已知2a=5，log[解析]由2a=5，log83考點(diǎn)一指數(shù)冪的化簡與求值［自主練透］1.計(jì)算：14?[解析]1=22.化簡：a3[解析]原式=a3.若x12+[解析]由x12+再平方得x2+xx32+1.當(dāng)進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,以便利用法則計(jì)算,但應(yīng)注意：（1）必須同底數(shù)冪相乘,指數(shù)才能相加；（2）運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí),先確定符號(hào),再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).考點(diǎn)二對(duì)數(shù)式的化簡與求值［自主練透］1.若ea=4，eA.a+b=100 B.b?a[解析]對(duì)于A，由ea=4，eb=25，得a=ln對(duì)于B，b?a=ln對(duì)于C，ab=ln4對(duì)于D，b?a=ln252.[2022·天津卷改編]2log4[解析]原式=23.3log3[解析]原式=2對(duì)數(shù)式化簡與求值的基本原則和常用方法1.基本原則：對(duì)數(shù)式的化簡與求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡，取決于問題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進(jìn)行.2.兩種常用的方法（1）“收”：將同底的兩對(duì)數(shù)的和（差）收成積（商）的對(duì)數(shù)；（2）“拆”：將積（商）的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和（差）.考點(diǎn)三指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用［多維探究］指數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用典例11947年，生物學(xué)家MaxKleiber發(fā)表了一篇題為《bodysizeandmetabolicrate》的論文，在論文中提出了一個(gè)克萊伯定律：對(duì)于哺乳動(dòng)物，其基礎(chǔ)代謝率與體重的34A.5.4倍 B.5.5倍 C.5.6倍 D.5.7倍[解析]設(shè)該哺乳動(dòng)物的原體重為M1，基礎(chǔ)代謝率為F1，則經(jīng)過一段時(shí)間生長，其體重為10M1，基礎(chǔ)代謝率為F2，則F2=對(duì)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用典例2[2023·新高考Ⅰ卷]（多選題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp=20×lg聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060混合動(dòng)力汽車1050電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測得的實(shí)際聲壓分別為p1,p2,A.p1≥p2 B.p2>[解析]由題意可知，Lp1∈[60,對(duì)于A，Lp1?Lp2=20×lgp1p0?20×lg對(duì)于B，Lp2?Lp3=20×lgp2p0?20×lgp對(duì)于C，因?yàn)長p3=20×lgp3p對(duì)于D，由A可知，Lp1?Lp2=20×lgp1p2，且Lp1?解決指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用問題的兩個(gè)步驟1.理解題意，弄清楚條件和所求之間的關(guān)系；2.運(yùn)用指數(shù)或?qū)?shù)的運(yùn)算公式、性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，把題目條件轉(zhuǎn)化為所求.1.某種熱飲需用開水沖泡，其基本操作流程如下：①先將水加熱到100℃，水溫y（單位：℃）與時(shí)間t（單位：min）近似滿足一次函數(shù)關(guān)系；②用開水將熱飲沖泡后在室溫下放置，溫度y（單位：℃）與時(shí)間t（單位：min）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=80×12t?a10A.35min B.30min C.[解析]由題意得，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，函數(shù)圖象是一條線段，當(dāng)t≥5時(shí)，函數(shù)的解析式為y=80×12t?a10+b，將點(diǎn)5,1002.[2022·北京卷節(jié)選]在一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系如圖所示，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下