天線原理與技術(shù) 課件 第1章 天線的理論基礎(chǔ)

第1章天線的理論基礎(chǔ)1.1電磁場方程及其解1.2電流元的場及其分析1.3對稱振子的輻射場1.4電磁場的對偶原理1.5磁流元和小電流環(huán)的場

1.1電磁場方程及其解

電磁場方程是電磁場理論的核心，它描述了空間中場與場之間以及場與源之間相互關(guān)系的普遍規(guī)律。電磁場基本方程包括麥克斯韋方程、邊界條件方程、電流連續(xù)性方程、媒質(zhì)特性方程以及由它們推導出來的電磁場的矢量波動方程。

1.1.1麥克斯韋方程

麥克斯韋方程的數(shù)學表達形式包括微分形式和積分形式兩種。

麥克斯韋方程的微分形式如下：

麥克斯韋方程的積分形式如下：

式中，E為電場強度矢量（單位為V/m），H為磁場強度矢量（單位為A/m），D為電感應強度矢量（單位為C/m2），B為磁感應強度矢量（單位為T），J為體電流密度矢量（單位為A/m3），ρ為體電荷密度（單位為C/m3），Q為電荷量（單位為C）。

電場強度與磁場強度是時間t和空間坐標r的函數(shù)，若場源ρ（t）、J（t）隨時間按正弦以角頻率ω變化，則電場強度E（r，t）和磁場強度H（r，t）也隨時間按正弦變化，這樣的電磁場稱為時諧場，可表示如下：

式中，矢量E（r）、H（r）僅是空間坐標的復量函數(shù)，稱為復矢量。

麥克斯韋方程中，將對時間的微分因子用jω因子代替，并消去兩邊出現(xiàn)的時間因子（ejωt），各時變量都由相應的復矢量代替，可得到麥克斯韋方程的時諧形式：

其中，電流密度J由外加電流（源電流）J0和傳導電流σE組成，即

對于均勻、線性、各向同性的媒質(zhì)，復場量之間有以下本構(gòu)關(guān)系：

將式（1.1.6）和式（1.1.7）代入式（1.1.5）中的第二式，可得

因此，給定媒質(zhì)時麥克斯韋方程及電流連續(xù)性方程如下：

1.1.2邊界條件方程

媒質(zhì)特性參數(shù)在經(jīng)過兩種媒質(zhì)（媒質(zhì)1和媒質(zhì)2）的分界面時會發(fā)生突變，因此會引起某些場分量的不連續(xù)，如圖1.1.1（a）所示。媒質(zhì)分界面上的邊界條件可由麥克斯韋方程的積分形式導出，表示如下：

對于時諧場，一組充分的邊界條件為

或

式中，下標t表示切向分量，Et和Ht分別為電場強度和磁場強度的切向分量。

若媒質(zhì)1為理想導體，如圖1.1.1（b）所示，在理想導體表面，電導率σ=∞，則邊界條件為圖1.1.1邊界條件

1.1.3能量守恒方程——坡印廷定理

設(shè)空間有任一封閉面S，其所包圍的體積為V，從麥克斯韋旋度方程出發(fā)，利用矢量公式

和散度定理

可以導出：

1.1.4波動方程

為了求解麥克斯韋方程，對式（1.1.10）的第一式和第二式取旋度，考慮到該式的第三式和第四式，利用矢量公式?×（?×A）=?（?·A）-?2A和J=J0+σE，可以得到電磁場的矢量波動方程：

給定電流密度J0和電荷密度ρ，求解矢量波動方程便可得到麥克斯韋方程的解。

1.1.5麥克斯韋方程的解

1.直接法

直接求解矢量波動方程可得到電磁場的解，這就是所謂的直接法。但要指出，滿足麥克斯韋方程的場量必然滿足矢量波動方程，反之則并不成立。因此，通常是先求解一個場

量的矢量波動方程，再利用麥克斯韋方程求解第二個場量，這樣得到的結(jié)果既滿足波動方程，又滿足麥克斯韋方程。

2.間接法

所謂間接法，就是指不直接求解麥克斯韋方程或場量的矢量波動方程，而是通過求解輔助函數(shù)以得到電磁場的解，因此也稱為輔助函數(shù)法。通過引入磁矢位（矢量磁位）A和電

標位（標量電位）φ作為輔助函數(shù)，求解麥克斯韋方程的方法稱為矢位法，它通過應用矢量恒等式引入輔助函數(shù)，從而簡化求解。

圖1.1.2場源J分布于有限區(qū)域V內(nèi)

求得磁矢位A后，磁場強度H可由式（1.1.25）求出，電場強度E也可通過A求出，即

電場強度E也可應用麥克斯韋方程?×H=J+jωεE通過磁場強度H求出。若天線的場點處為自由空間（無源區(qū)），即J=0，則可更簡便地求出電場強度E：

1.2電流元的場及其分析

所謂電流元（也稱電基本振子或電偶極子），是指一段載有高頻電流的兩端帶有等值異號電荷的短導線，導線直徑d?l（l為導線長度），l?λ（λ為電流元工作頻率所對應的波長），線上電流沿軸線流動，沿線等幅同相，電荷與電流的關(guān)系滿足連續(xù)性方程。

1.2.1電流元的場

設(shè)電流元位于坐標原點，軸線沿z

軸，長為l，如圖1.2.1所示。作封閉面S包圍電流元，由于S外無場源，因此亥姆霍茲積分的面積分項等于零。場點P（r，θ，φ）的矢位A（P）由式（1.1.34）計算。由于電流元為線電流，因此積分中J（r'）dV可用I（z）dz=z^Idz代替。

圖1.2.1電流元

電流元的復坡印廷矢量為

可見，電流元所輻射的實功率只有r方向，虛功率有r方向和θ方向。

1.2.2場的分析

根據(jù)式（1.2.4），電流元所產(chǎn)生的電場與磁場具有以下特性：

（1）電場包括Er和Eθ兩個分量，磁場僅有Hφ分量，三個場分量相互垂直。

（2）電力線在含z軸的平面內(nèi)，磁力線在垂直于z軸的平面內(nèi)。

（3）電磁場的各分量均隨r的增大而減小，而且不同的分量隨r的增大而減小的速率不同。

1.近區(qū)

kr?1的空間場區(qū)域稱為近區(qū)。在近區(qū)內(nèi)，由于kr-3?kr-2?kr-1，因此可忽略小項。又因為kr?1，所以e-jkr≈1。將以上近似應用于式（1.2.4），得到近區(qū)場如下：

由式（1.2.8）可知電流元的近區(qū)場有如下特點：

（1）Er和Eθ與靜電場問題中電偶極子的電場相似，而Hφ與恒定電流元的磁場相似，近區(qū)場又稱為似穩(wěn)場。

（2）電場相位滯后于磁場相位90°，因而坡印廷矢量是純虛數(shù)，表示沒有能量向外輻射。該區(qū)內(nèi)能量的振蕩占了絕對優(yōu)勢，這種似穩(wěn)場又稱感應場。

（3）近區(qū)場與r2、r3呈反比，因而隨距離r的增大而迅速減小，在距天線較遠的地方，近區(qū)場衰減很快。

2.遠區(qū)

kr?1的空間場區(qū)域稱為遠區(qū)。此區(qū)域內(nèi)，（kr）-3?（kr）-2?（kr）-1，電磁場主要由（kr）-1項決定，（kr）-2和（kr）-3項可忽略。由此可將式（1.2.4）化簡為

其復坡印廷矢量為

3.中間區(qū)

在近區(qū)和遠區(qū)之間的區(qū)域稱為中間區(qū)。在該區(qū)內(nèi)感應場和輻射場的大小量級相當，都不占絕對優(yōu)勢，場的結(jié)構(gòu)相對復雜，見式（1.2.4）。

1.3對稱振子的輻射場

對稱振子可以看成是將終端開路的平行雙導線（其間距為s）自終端長度l處彎折90°而成，假設(shè)彎折部分電流分布不變，如圖1.3.1所示，則振子上的電流分布為正弦分布。振子與原傳輸線垂直，對稱振子也稱為雙極天線或偶極天線，是經(jīng)常使用的一種線天線類型。

圖1.3.1平行雙導線和對稱振子上的電流分布

1.3.1電流分布

假設(shè)對稱振子天線兩臂的電流分布為正弦分布：

其中，Im為振子上波腹點的電流幅度；β為振子上電流的相移常數(shù)，如不計入衰減，則β≈k=2π/λ。

根據(jù)式（1.3.1），不同臂長對稱振子上的電流分布如圖1.3.2所示。

圖1.3.2不同臂長對稱振子的電流分布

當振子直徑遠小于其長度時，天線上的電流分布可以用正弦曲線良好近似。然而，在全波振子的電流分布中，電流的波節(jié)點在天線的輸入端，天線輸入電流的誤差很大，因而計算的天線輸入阻抗的誤差很大，必須對正弦近似做適當修正。引起誤差的原因在于：傳輸線是能量的傳輸系統(tǒng)，而天線是輻射系統(tǒng)。圖1.3.3所示為傳輸線和對稱振子的等效電路，在傳輸線上沿線的分布參數(shù)是均勻的，而對稱振子上對應小單元之間的分布參數(shù)是不均勻的。

圖1.3.3傳輸線和對稱振子的等效電路

1.3.2輻射場

如圖1.3.4所示，將臂長為l的對稱振子沿z軸放置。將整個對稱振子看成是由無窮多個首尾相接的電流元組成的，則空間中任一點的場為這些基本振子輻射場的疊加。通過對電基本振子所產(chǎn)生的場在對稱振子長度上進行積分，可得到對稱振子在空間的輻射場。圖1.3.4沿z軸放置的對稱振子

綜上，振子的輻射電場強度為

輻射磁場強度為

對稱振子輻射場的等相位面是以振子中心為球心的球面，即r

=常數(shù)。對稱振子輻射的是球面波，相位中心在坐標原點（即對稱振子的幾何中心）。

1.4電磁場的對偶原理

1.4.1磁流與磁荷如圖1.4.1（a）所示，電基本振子的表面電流密度可以根據(jù)邊界條件求得，設(shè)振子電流為I，振子的截面周長為L。

與之對應，我們來研究載電流螺線管附近的場分布，如圖1.4.1（b）所示。如果螺距充分小，螺線管上每一匝線圈都可用具有同樣強度的電流代替。也就是說，螺線管也可以等效為一個基本表面F，在F上存在著電場的切向分量Et，方向如圖中所示，F(xiàn)上磁場的切向分量為零。

圖1.4.1電基本振子與磁基本振子的對比

對比上述兩種情況，載電流細螺線管的電場對應于電基本振子的磁場，螺線管的磁場對應于電基本振子的電場，前兩者方向相反，后兩者方向相同。對于電基本振子來說，內(nèi)部有傳導電流I，兩端有自由電荷+q和-q，電流、電荷交變時產(chǎn)生交變電磁場，相應地產(chǎn)生位移電流，位移電流密度Jem=?D/?t。對于載交變電流的細螺線管來說，在其外部產(chǎn)生電磁場，磁場的交變產(chǎn)生位移磁流，位移磁流密度

Jmem

=?B/?t。

1.4.2對偶關(guān)系

自然界并不存在任何單獨的磁流及磁荷，因此麥克斯韋方程在形式上是不對稱的。但人們在研究某些電磁場問題的過程中，引入假想的磁流及磁荷作為等效源，得到對稱的麥克斯韋方程組，可使問題便于處理。引入假想的磁流Jm和磁荷ρm后所得的對稱形式的麥克斯韋方程如下：

根據(jù)線性媒質(zhì)中的電磁場疊加定理，電流、電荷和磁流、磁荷共同產(chǎn)生的場E和H可以分解為當電流、電荷單獨存在時產(chǎn)生的場Ee、He和當磁流、磁荷單獨存在時產(chǎn)生的場

Em、Hm之和，即總場為

當qm=0，Jm=0且q≠0，J≠0時，空間場只有電流和電荷產(chǎn)生的場Ee、He，其滿足的麥克斯韋方程式（1.4.1）變?yōu)?/p>

當q=0，J=0且qm≠0，Jm≠0時，空間場只有磁流和磁荷產(chǎn)生的場Em、Hm，其滿足的麥克斯韋方程式（1.4.1）變?yōu)?/p>

比較式（1.4.3）和式（1.4.4）所示的兩組方程組，可以看出，二者在數(shù)學形式上完全相同，因此它們的解也具有相同的數(shù)學形式。所以，可由一種場源（電流源）下電磁問題的解導出另一種場源（磁流源）下對應電磁問題的解，這就是對偶原理。在對偶方程中占據(jù)同樣位置的量為對偶量。表1.4.1列出了電流源和磁流源的一組對偶量，按對偶量互換，可將一種場源的方程換為另一種場源的方程。

根據(jù)對偶原理，由電流、電荷產(chǎn)生的場的邊界條件可得到由磁流、磁荷產(chǎn)生的場的邊界條件。電流、電荷產(chǎn)生的場的邊界條件為

對偶量進行替換后，可得磁流、磁荷產(chǎn)生的場滿足的邊界條件為

若空間總場為電流、電荷和磁流、磁荷共同產(chǎn)生的，則空間的總場為

由式（1.4.5）和式（1.4.6）可得總場滿足的邊界條件為

這些式中，Js為面電流密度，Jms為面磁流密度，ρs為面電荷密度，ρms為面磁荷密度。

當電流源和磁流源共存時，空間總場的計算公式為

1.5磁流元和小電流環(huán)的場

1.5.1磁流元的場磁流元是一段長度為l（遠小于波長）、沿線磁流強度為Im的直線磁流，沿z軸放置于坐標原點，如圖1.5.1所示。

圖1.5.1磁流元

根據(jù)對偶原理，由長度為l、沿線電流強度為I的直線電流元在空間產(chǎn)生的電磁場（如式（1.2.4）所示），對偶得到該磁流元的空間電磁場為

該磁流元的遠區(qū)輻射場為

此結(jié)果與電流元的遠區(qū)輻射場結(jié)果形成對偶。

磁流元的復坡印廷矢量為

可見磁流元有沿r方向輻射的實功率，以及沿r方向和θ方向的虛功率。在遠區(qū)，其在r方向的實功率通量密度為

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