中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案等腰三角形

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必備：等腰三角形知識點(diǎn)回顧知識點(diǎn)一:等腰三角形的性質(zhì)——等邊對等角等腰三角形的兩個底角.例1：（貴州黔東南州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A等于（）A．30oB．40oC．45oD．36o分析：根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可知：∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠BAD＝∠ABD．因此就有∠ABC＝∠C＝∠BDC，因此若設(shè)∠A＝x，則有∠BAD＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠ABC＝∠C＝2x．所以可列方程：x+2x+2x＝180°可以解得x＝36°．同步檢測一：1.在△ABC中，AB＝AC，①若∠A＝70°，則∠B＝°，∠C＝°②若∠B＝40°，則∠A＝°2.（08嘉興）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為50°，則這個等腰三角形的頂角為（）Ａ．50°Ｂ．80°Ｃ．50°或80°Ｄ．40°或65°知識點(diǎn)二：等腰三角形的性質(zhì)——三線合一等腰三角形的、、互相重合。例2：如圖，在△ABC中，AD＝AE，BD＝CE，求證：AB＝ACABCDEF解：過點(diǎn)ABCDEF∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF∴AF垂直平分BC∴AB＝AC同步檢測二：ABCDE1.在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∠B＝70°，BC＝10㎝，則BD＝，ABCDE知識點(diǎn)三：等腰三角形的判定——等角對等邊在△ABC中，如果∠A＝∠B，則有＝例3：如圖，已知BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC交AB于E，求證：△BED是等腰三角形．解：∵BD是∠ABC的角平分線∴∠ABD＝∠CBD∵DE∥BC∴∠CBD＝∠BDE∴∠ABD＝∠BDE∴BE＝DE∴△BED是等腰三角形同步檢測三：1.在△ABC中∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝10㎝，則AB＝㎝知識點(diǎn)四：等邊三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形的三條邊都相等，三個角都相等且都等于°都相等的三角形是等邊三角形；都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是的等腰三角形是等邊三角形例4:如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，△ACD，△CBE是等邊三角形，AE與CD交于點(diǎn)M，BD與CE交于點(diǎn)N，AE交BD于點(diǎn)O．求證：⑴AE＝BD⑵∠AOB＝120°⑶△CMN是等邊三角形分析：⑴根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可用SAS證明△ACE≌△DCB，則得AE＝BD同時可得∠CEA＝∠CBD，⑵因此可由三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和得∠AOB＝∠AEB＋∠EBO＝∠AEC＋∠CEB＋∠EBO＝∠OBC＋∠CEB＋∠EBO＝∠BEC＋∠CBE＝60°＋60°＝120°⑶易知∠DCE＝60°，故只需證△MCE≌△NCB即可.同步檢測四：1．若△ABC是等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，則∠DBC＝°2．下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角為60°的等腰三角形；③三個外角（每個頂點(diǎn)處各取一個外角）均相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形。其中可以確定是等邊三角形的是。知識點(diǎn)五：含30°的直角三角形的性質(zhì)在Rt△中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的例5：如圖，有一塊形狀為等邊△ABC的空地，DE、EF為地塊中的兩條路，且D為AB的中點(diǎn)，DE⊥AC，EF∥AB，現(xiàn)已知AE＝5m，你能求出地塊△EFC的周長嗎？分析：易知△EFC為等邊三角形，則只需求出其邊長即可。而由含30°的直角三角形的性質(zhì)可求出AD＝10m，從而得AB為20m，進(jìn)而得CE為15m。同步檢測五：在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，若∠A＝30°，BC＝2㎝，則BD＝㎝，AD＝㎝隨堂檢測：1．等邊三角形ABC中，D為AC的中點(diǎn)，延長BC到E，使CE＝CD，若AB＝10，則BE＝2．如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3㎝，則CD＝㎝3．等腰三角形的一個外角為140°，則這個三角形的頂角為°．4．等腰三角形的兩邊長分別為9和4，它的周長為．5．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AB＝10㎝，則BC＝㎝．6．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，EF垂直平分AB如CF＝8，則BF＝．7．（09廣西河池）如圖７，在Rt△ABC中，，AB=AC＝，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在底邊BC上，且，則△的面積是（）CBFAE圖７A．16B．18C．CBFAE圖７第9第9題圖8．（09重慶）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30o，腰長為4cm，則其腰上的高為cm.9．（09重慶）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60o.(1)求證：AB⊥AC；(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面積.10.（09湖北宜昌）已知：如圖，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足為E，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對稱，PB分別與線段CF，AF相交于P，M．(1)求證：AB=CD；(2)若∠BAC=2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．參考答案：1．15；2．3；3．40°或100°；4．17或22；5.５；6．４：7．Ａ；8．；9．證明：(1)∵AD∥BC，AB=DC∠B=60° ∴∠DCB＝∠B＝60° ∠DAC＝∠ACB 又∵AD=DC ∴∠DAC＝∠DCA ∴∠DCA=∠ACB＝ ∴∠B+∠ACB＝90°∴AB⊥AC（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于E∵∠B＝60°∴∠BAE＝30°又∵AB=DC＝6∴BE=3∴∵∠ACB＝30°，AB⊥AC∴BC=2AB=12∴10．解：(1)證明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=∠BAC．∵D與A關(guān)于E對稱，∴E為AD中點(diǎn)．∵BC⊥AD，∴BC為AD的中垂線，∴AC=CD．在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：證全等也可得到AC=CD）∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB．∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB．（注：證全等也可得到AC=AB）∴AB=CD．(2)∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．∵AC=CD∴∠CAD=∠CDA∴∠MPC=∠CDA．∴∠MPF=∠CDM．∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．（注：證全等也可得到CE=BE）∴AM為BC的中垂線，∴CM=BM．（注：證全等也可得到CM=BM）∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三線合一)∴∠CME=∠BME．（注：證全等也可得到∠CME=∠BME）∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠CME，∴∠MCD=∠F(三角形內(nèi)角和)．注：證三角形相似也可得到∠MCD=∠F同步練習(xí)：1．如圖，已知△ABC是等邊三角形，AD∥BC，CD⊥AD，則∠ACD＝，若AD＝2㎝，則△ABC的周長為㎝2．等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于（）A．頂角B．頂角的一半C．頂角的兩倍D．底角的一半3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，則CD＝4．若等腰三角形的一個內(nèi)角為50°，則其底角為5．（09青海）方程的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（）A．12 B．12或15 ANCDBM6．（09包頭）如圖，在中，，與相切于點(diǎn)，且交于兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（保留）．ANCDBM7．（09呼和浩特）在等腰△ABC中，AB＝AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（）ABCDEA．7B．11C．7或11DABCDE8．（09湛江）如圖，在等邊中，分別是的中點(diǎn)，，則的周長是（）A．6B．9C．18D．ACBDE第題圖9．（09汕頭）如圖所示，是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長到，使，ACBDE第題圖（1）用尺規(guī)作圖的方法，過點(diǎn)作，垂足是（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求證：．10．（09廈門）已知：在△ABC中，AB＝AC．(1)設(shè)△ABC的周長為7，BC＝y(tǒng)，AB＝x(2≤x≤3)．寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并在直角坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象；(2)如圖，D是線段BC上一點(diǎn)，連接AD．若∠B＝∠BAD，ABDC求證：△ABCABDC11．如圖，已知正三角形ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，①求證∠APE＝60°②如EF⊥AD，則判斷PF與PE的大小關(guān)系，并給出證明。12．（09湖南常德）如圖9，若和為等邊三角形，M，N分別為EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE，是等邊三角形．（1）當(dāng)把繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（4分）（2）當(dāng)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時，是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當(dāng)AB=2AD時，與的面積之比；若不是，請說明理由．（6分）圖圖9 圖10圖11圖8同步練習(xí)參考答案：1．12；2．B；3．3；4．50°或65°；5．C；6．；7．C；8．18；答案圖ACBDE答案圖ACBDEM（2）是等邊三角形，是的中點(diǎn)，平分（三線合一），．，．又，．又，，，．又，．10．(1)解：y＝7－2x(2≤x≤3)畫圖象略(2)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠B＝∠BAD，∴∠BAD＝∠C.又∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△BDA.11．⑴證△ABD≌△BCE(SAS)；∴∠BAP＝∠EBC,∴∠APE＝∠ABE+∠BAP＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°⑵運(yùn)用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得PE＝2PF12．（1）CD=BE．理由如下:∵和為等邊三角形圖10CNDAMEB∴AB=AC，圖10CNDAMEB∵∠BAE=∠BAC－∠EAC=60o－∠EAC，∠DAC=∠DAE－∠EAC=60o－∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，∴∴CD=BE（2）是等邊三角形．理由如下：∵∴∠ABE=∠ACD．∵M(jìn)、N分別是BE、CD的中點(diǎn)，圖11CND圖11CNDABME∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∴．∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o∴是等邊三角形．設(shè)AD=a，則AB=2a．∵AD=AE=DE，AB=AC，∴CE=DE．∵為等邊三角形，∴∠DEC=120o，∠ADE=60o，∴∠EDC=∠ECD=30o，∴∠ADC=90o．∴在Rt