人教版八年級數(shù)學上冊專題06冪運算壓軸題的三種考法(原卷版+解析)

專題06冪運算壓軸題的三種考法類型一、比較大小例．已知，則a、b、c的大小關系為（）A． B． C． D．【變式訓練1】．已知均為負數(shù)，，，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．無法確定【變式訓練2】已知，，，則a、b、c的大小關系為（

）A． B． C． D．【變式訓練3】340430（填“＞”“＜”或“=”）【變式訓練4】比較與的大?。愋投?、化簡求值例．已知，，則的值是（

）A．0 B． C．3 D．【變式訓練1】．已知，則．【變式訓練2】．若，，ab=20，則=．【變式訓練3】．已知，判斷a＋b和ab的大小關系．類型三、新定義問題例．閱讀下列材料：一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，記為．如，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為（即）．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為（即．如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即）．(1)計算以下各對數(shù)的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)寫出（1）、、之間滿足的關系式______．(3)由（2）的結果，請你能歸納出一個一般性的結論：_____（且，，）．(4)設，，請根據(jù)冪的運算法則以及對數(shù)的定義說明上述結論的正確性．【變式訓練1】閱讀理解：規(guī)定兩數(shù)，之間的一種運算，記作；如果，那么．例如：因為，所以．(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：①______；②若，則______；③若，則______．(2)若，，．請?zhí)剿?，，之間的數(shù)量關系并說明理由．【變式訓練2】如果，那么我們規(guī)定．例如：因為，所以．(1)______；若，則______；(2)已知，，，若，求的值；(3)若，，令．①求的值；②求的值．課后訓練1．計算的結果是（

）A． B． C． D．2．已知，則=．3．已知，，，，則a、b、c、d的大小關系是（

）A． B． C． D．4．已知，，，現(xiàn)給出3個數(shù)a，b，c之間的四個關系式：①；②；③；④．其中，正確的關系式是（填序號）．5．已知，，則．6．比較大?。海ㄌ睢?gt;”“<”或“=”）．7．閱讀材料：的末尾數(shù)字是3，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是3，......，觀察規(guī)律，，∵的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是3，同理可知，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7．解答下列問題：(1)的末尾數(shù)字是，的末尾數(shù)字是；(2)求的末尾數(shù)字；(3)求證：能被5整除．8．已知：2x=3,2y=6,2z=12，試確定x，y，z之間的關系

專題06冪運算壓軸題的三種考法類型一、比較大小例．已知，則a、b、c的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆運用冪的乘方法則，把a、b、c都寫成一個數(shù)的8次方的形式，比較底數(shù)得結論．【詳解】解:,故選：B.【點睛】本題考查了整式的運算，掌握冪的乘方法則是解決本題的關鍵．【變式訓練1】．已知均為負數(shù)，，，則與的大小關系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)換元法將，設，，則，，作差即可求得大小關系.【詳解】設，，則，，由于均為負數(shù)所以為正數(shù)，則，.故選：B.【點睛】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是關鍵，解答時注意運用整體思想，屬難題.【變式訓練2】已知，，，則a、b、c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把a、b、c三個數(shù)變成指數(shù)相同的冪，通過底數(shù)可得出a、b、c的大小關系．【詳解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，又∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查了冪的乘方的逆運算，解答本題關鍵是掌握冪的乘方法則，把各數(shù)的指數(shù)變成相同．【變式訓練3】340430（填“＞”“＜”或“=”）【答案】＞【詳解】因340=（34）10=8110，430=（43）10=6410，81＞64，可得8110＞6410，所以340＞430．點睛：此題考查了冪的乘方．解此題的關鍵是將將340與430變形為同指數(shù)的冪．【變式訓練4】比較與的大?。敬鸢浮?2012>52012+62012．【分析】先比較52012+62012<62012+62012=2×62012，再比較72012>2×62012，即可得出結論.【詳解】∵52012+62012<62012+62012=2×62012=2×63×62009=432×62009=93312×62006，72012=73×72009=343×72009=117649×72006，∴72012>2×62012>52012+62012．【點睛】此題考查了有理數(shù)的大小比較，難點在于得出52012+62012<2×62012，72012>2×62012.類型二、化簡求值例．已知，，則的值是（

）A．0 B． C．3 D．【答案】A【分析】利用同底數(shù)冪乘法、冪的乘方等法則進行計算，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法、冪的乘方等知識點，熟練掌握相關運算法則以及逆運算是解本題的關鍵．【變式訓練1】．已知，則．【答案】1．【分析】利用冪的乘方與同底數(shù)冪相乘，得到2a+1＝2a×2＝6，3b+1＝3b×3＝6，進而得到，求出答案即可．【詳解】解：∵2a+1＝2a×2＝3×2＝6，3b+1＝3b×3＝2×3＝6，∴，，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查冪的乘方與同底數(shù)冪相乘，掌握冪的乘方與同底數(shù)冪相乘的運算法則是解題關鍵．【變式訓練2】．若，，ab=20，則=．【答案】1【分析】先根據(jù)可得，再結合可得，由此結合可得，由此可得，進而可求得答案．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了冪的運算，熟練掌握同底數(shù)冪的乘除法法則及冪的乘方法則是解決本題的關鍵．【變式訓練3】．已知，判斷a＋b和ab的大小關系．【答案】．【分析】利用冪的乘方和積的乘方將式子化簡得到：，，，即可求出a＋b和ab的大小關系．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查冪的乘方和積的乘方，解題的關鍵是熟練掌握冪的乘方和積的乘方，求出．類型三、新定義問題例．閱讀下列材料：一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，記為．如，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為（即）．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為（即．如，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為（即）．(1)計算以下各對數(shù)的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)寫出（1）、、之間滿足的關系式______．(3)由（2）的結果，請你能歸納出一個一般性的結論：_____（且，，）．(4)設，，請根據(jù)冪的運算法則以及對數(shù)的定義說明上述結論的正確性．【答案】(1)2，4，6(2)(3)(4)證明見解析【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；（2）認真觀察，即可找到規(guī)律：，；（3）由特殊到一般，得出結論：．（4）設，，根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則：和給出的材料證明結論．【詳解】（1）∵，，∴，故答案為：2，4，6；（2）∵，，，，∴，故答案為：；（3）由（2）的結果可得，故答案為：．（4）設，，則，∴，∴，∴．【點睛】本題是開放性的題目，難度較大．借考查同底數(shù)冪的乘法，對數(shù)，實際考查學生對指數(shù)的理解、掌握的程度；解題的關鍵是要求學生不但能靈活、準確的應用其運算法則，還要會類比、歸納，推測出對數(shù)應有的性質．【變式訓練1】閱讀理解：規(guī)定兩數(shù)，之間的一種運算，記作；如果，那么．例如：因為，所以．(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：①______；②若，則______；③若，則______．(2)若，，．請?zhí)剿鳎?，之間的數(shù)量關系并說明理由．【答案】(1)①2；②2；③81(2)【分析】（1）根據(jù)規(guī)定的運算法則結合有理數(shù)的乘方和負整數(shù)指數(shù)冪解答即可；（2）由題意可得出，，，結合，即得出，再根據(jù)冪的乘方及其逆用法則和同底數(shù)冪乘法的逆用法則計算即可求解．【詳解】（1）解：①∵，∴．故答案為：2；②∵，∴．故答案為：2；③∵，∴．故答案為：81．（2）解：∵，，，∴，，．∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方，負整數(shù)指數(shù)冪，冪的乘方及其逆用，同底數(shù)冪乘法的逆用．理解題意，掌握新規(guī)定的運算法則是解題關鍵．【變式訓練2】如果，那么我們規(guī)定．例如：因為，所以．(1)______；若，則______；(2)已知，，，若，求的值；(3)若，，令．①求的值；②求的值．【答案】(1)4，64(2)(3)①；②【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出；（2）由題意可得出，，．根據(jù)，得出，即，進而即可求出；（3）①由題意可得出，，再根據(jù)，，即可求出；②根據(jù)，即得出，結合題意可得出．由①知，即得出，進而得出，即說明，代入中求值即可．【詳解】（1）解：，；，且，．故答案為：，；（2）解：，，，若，，，．，，即，；（3）解：①，，，，，，；②，，．由①知：，，，，．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方，積的乘方與其逆用，冪的乘方與其逆用．熟練掌握各運算法則是解題關鍵．課后訓練1．計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將化為使兩個冪的指數(shù)相同，再利用積的乘方逆運算進行計算.【詳解】，故選：A.【點睛】此題考查冪的乘方逆運算，積的乘方逆運算，熟記公式是解題的關鍵.2．已知，則=．【答案】8．【分析】根據(jù)積的乘方和冪的乘方的逆運算，把等式變形，根據(jù)指數(shù)相同求解即可．【詳解】解：，根據(jù)積的乘方和冪的乘方，等式可變形為：，即，，解得，故答案為：8．【點睛】本題考查了冪的運算的逆運算，解題關鍵是把等式恰當變形，依據(jù)底數(shù)相同，指數(shù)也相同列方程．3．已知，，，，則a、b、c、d的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先變形化簡，，，，比較11次冪的底數(shù)大小即可．【詳解】因為，，，，因為，所以，所以，故即；同理可證所以，故選A．【點睛】本題考查了冪的乘方的逆運算，熟練掌握冪的乘方及其逆運算是解題的關鍵．4．已知，，，現(xiàn)給出3個數(shù)a，b，c之間的四個關系式：①；②；③；④．其中，正確的關系式是（填序號）．【答案】①②③【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求出a、b、c的關系，代入各式驗證即可．【詳解】解：∵，，．∴，，，∴a+2＝b+1＝c，即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，所以a+c＝2b，因此①正確；②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，所以a+b＝2c﹣3，因此②正確；③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正確；④b＝a+1，因此④不正確；綜上所述，正確的結論有：①②③三個，故選：C．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，解題的關鍵是熟練運用同底數(shù)冪的乘法法則，得出a、b、c的關系．5．已知，，則．【答案】1【分析】本題的思路是將等式兩邊化成同底數(shù)冪，推出指數(shù)相等．由于，因此對等式兩邊同時取y次方，可以得到，再把160換成得到，接著把換成（都等于160）得到，從而推出，最后對中的指數(shù)去括號，整體代入可得結果．【詳解】解：∵，∴，∴∵，,∴，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方，將等式兩邊化成同底數(shù)冪，推出指數(shù)相等是解題的關鍵．6．比較大小：（填“>”“<”或“=”）．【答案】<【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)大于1時，根據(jù)指數(shù)越大冪越大，可得答案．【詳解】解：，∵64<81，∴，即，故答案為：<．【點睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，利用冪的乘方化成同指數(shù)的冪是解題關鍵．7．閱讀材料：的末尾數(shù)字是3，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7，的末尾數(shù)字是1，的末尾數(shù)字是3，......，觀察規(guī)律，，∵的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是1，∴的末尾數(shù)字是3，同理可知，的末尾數(shù)字是9，的末尾數(shù)字是7．解答下列問題：(1)的末尾數(shù)字是，的末尾數(shù)字是；(2)求的末尾數(shù)字；(3)求證：能被5整除．【答案】(1)3，6；(2)4；(3)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的結論可知的末尾數(shù)字；根據(jù)閱讀材料中提供的方法，可得的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，于是得解；（2）先將化成，再利用的末尾數(shù)字是6，從而得出結論；（3）分別證明的末尾數(shù)字為6和的末尾數(shù)字9，則命題即可得證．【詳解】（1）解：，的末尾數(shù)字為3；的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是4，…的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是6；故答案為：3，6；（2）解：，∵的末尾數(shù)字是6，∴的末尾數(shù)字是4；（3）證明：∵的末尾數(shù)字是2，的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是8，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字是2，…的末尾數(shù)字是2，的末尾數(shù)字是4，的末尾數(shù)字是8，的末尾數(shù)字是6，的末尾數(shù)字為6；同理可得：的末尾數(shù)字7，的末尾數(shù)字9，的末尾數(shù)字3，的末尾數(shù)字1；的末尾數(shù)字9，∴的末尾數(shù)字是5，∴能被5整除．【點睛】此題是一道閱讀理解題，主要考查了冪的運算、數(shù)的整除，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方法則是解答此題的關鍵．8．已知：2x=3,2y=6,2z=12，試確定x，y，z之間的關系【答案】x＋