人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專題06圓中的重要模型-圓冪定理模型(原卷版+解析)

專題06圓中的重要模型--圓冪定理模型圓冪定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家施泰納（Steiner）或者法國數(shù)學(xué)家普朗克雷（Poncelet）提出的。圓冪定理的用法：可以利用圓冪定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問題。模型1.相交弦模型條件：在圓O中，弦AB與弦CD交于點E，點E在圓O內(nèi)。結(jié)論：。例1．（2023·廣東廣州·九年級?？计谥校┤鐖D，兩個同心圓，大圓的弦與小圓相切于點P，大圓的弦經(jīng)過點P，且，，兩圓組成的圓環(huán)的面積是．

例2．（2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級校考期末）如圖，PT是⊙O的切線，T為切點，PA是割線，交⊙O于A、B兩點，與直徑CT交于點D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝．例3．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．

(1)為了說明相交弦定理正確性，需要對其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖①，弦，交于點P，求證：______________．(2)如圖②，已知是的直徑，與弦交于點P，且于點P，過D作的切線，交的延長線于E，D為切點，若，的半徑為5，求的長．模型2.雙割線模型條件：如圖，割線CH與弦CF交圓O于點E和點G。結(jié)論：例1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖：、為⊙O的兩條割線，若，，則的長為（）

A．10 B．7 C． D．3例2．（2023·四川成都·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為的割線，且，交于點C，若，則的半徑的長為．例3．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．當(dāng)直線與圓有兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線．割線也有一些相關(guān)的定理．比如，割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證明一”，請補充完整．已知：如圖①，過外一點作的兩條割線，一條交于、點，另一條交于、點．求證：．證明一：連接、，∵和為所對的圓周角，∴______．又∵，∴______，∴______．即．研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接、，即可得到學(xué)習(xí)過的圓內(nèi)接四邊形．那么或許割線定理也可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明．請根據(jù)提示，獨立完成證明二．證明二：連接、，模型3.切割線模型條件：如圖，CB是圓O的切線，CA是圓O的割線。結(jié)論：例1．（2023·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，與切于點，是的割線，如果，那么的長為.例2．（2023·河南鄭州·一模）復(fù)習(xí)鞏固，切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點．割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線．切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長．閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作．它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題36﹣2圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．為了說明材料中定理的正確性，需要對其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖，A是⊙O外一點，．求證：．例3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點C、D在上，且平分，過點D作的垂線，與的延長線相交于E，與的延長線相交于點F，G為的下半圓弧的中點，交于H，連接(1)證明：是的切線；(2)若圓的半徑，求的長；(3)求證：．

模型4.弦切角模型條件：如圖，CB是圓O的切線，AB是圓O的直徑。結(jié)論：1）；2）；3）。例1．（2023·河南三門峽·統(tǒng)考二模）小銳同學(xué)是一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好者，他在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一個課本上沒有的與圓相關(guān)的角---弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫做弦切角），并嘗試用所學(xué)的知識研究弦切角的有關(guān)性質(zhì)．（1）如圖，直線與⊙O相切于點，，為⊙O上不同于的兩點，連接，，．請你寫出圖中的兩個弦切角______；（不添加新的字母和線段）（2）小銳目測和可能相等，并通過測量的方法驗證了他的結(jié)論，你能幫小銳用幾何推理的方法證明結(jié)論的正確性嗎？已知：如圖，直線與⊙O相切于點，，為圓上不同于的兩點，連接，，．求證：．（3）如果我們把上述結(jié)論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理______．例2．（2022·山西大同·九年級校聯(lián)考期中）閱讀與思考閱讀下面內(nèi)容并完成任務(wù)：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．如圖1，直線與相切于點，為的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夾的弧，是所對的圓周角，為直徑時，很容易證明．小華同學(xué)認(rèn)為這是一種特殊情況，若不是直徑會如何呢？即在圖2中嗎？她連接并延長，交于點，連接…問題得到了解決．小穎同學(xué)利用圖3證明了當(dāng)弦切角為直角時，弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．小亮積極思考，提出當(dāng)弦切角為鈍角時，能證明（如圖4）嗎？任務(wù)：(1)請按照小華的思路，利用圖2證明；(2)結(jié)合小華、小穎的思路或結(jié)論，利用圖4解答小亮提出的問題；(3)寫出在上面解決問題的過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：______（寫出兩種）；(4)解決問題：如圖5，點為的弦延長線上一點，切于點，連接，，，，則______°模型5.托勒密定理模型條件：如圖，AB、CD是圓O的兩條弦；結(jié)論：例1．（2022春·廣東九年級課時練習(xí)）閱讀與應(yīng)用請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：托勒密是“地心說”的集大成者，著名的天文學(xué)家、地理學(xué)家、占星學(xué)家和光學(xué)家．后人從托勒密的書中發(fā)現(xiàn)一個命題：圓內(nèi)接四邊形對邊乘積的和等于對角線的乘積．下面是對這個命題的證明過程．如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于．求證：．證明：如圖2，作交BD于點E．∵，∴．（依據(jù)）∴．∴．．…∴．∴．∴．∵，∴．∴．任務(wù)：(1)證明過程中的“依據(jù)”是______；(2)補全證明過程；(3)如圖3，的內(nèi)接五邊形ABCDE的邊長都為2，求對角線BD的長．例2．（2023·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內(nèi)接四邊形的對角.如圖①，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則.【問題創(chuàng)新】圓內(nèi)接四邊形的邊會有特殊性質(zhì)嗎？如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行深入研究發(fā)現(xiàn)：證明：如圖③，作，交于點.

∵，∴，∴

即

（請按他們的思路繼續(xù)完成證明）【應(yīng)用遷移】如圖④，已知等邊外接圓，點為上一點，且，，求的長.課后專項訓(xùn)練1．（2023·北京·九年級校考期中）如圖，點是外一點，為的一條割線，且，交于點，若，，則長為（

）A． B． C． D．2．（2023·山東九年級月考）如圖，過點作的兩條割線分別交于點、和點、，已知，，則的長是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.53．（2023·浙江·中考模擬）如圖,PT是外切兩圓的公切線,T為切點,PAB,PCD分別為這兩圓的割線,若PA=3,PB=6,PC=2,則PD等于(

)A．12 B．9 C．8 D．44．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，過點引圓的兩條割線和，分別交圓于點和，連結(jié)，則在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你認(rèn)為成立的比例式的序號都填上）．5．（2023·北京九年級月考）如圖，割線、分別交于和，若，，，則．6．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）四邊形內(nèi)接于圓，對角線交點為E，，若、都是整數(shù)，則的值為．7．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測）如圖1，內(nèi)接于，點D為圓外上方一點，連接，若．(1)求證：是的切線；(2)如圖2，連接．若，，，求的半徑．（注：本題不允許使用弦切角定理）8．（2022秋·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期中）定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖1，為的切線，點為切點，為內(nèi)一條弦，即為弦切角．(1)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5個公設(shè)和5個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定理的內(nèi)容是：“弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)．”如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，為的切線，點為切點，為內(nèi)一條弦，點在上，連接，，，．求證：．證明：(2)如圖3，為的切線，為切點，點是上一動點，過點作于點，交于，連接，，．若，，求弦的長．9．（2023秋·山西呂梁·九年級?？计谀╅喿x與思考：閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．米勒定理米勒（）是德國的數(shù)學(xué)家，是歐洲最有影響的數(shù)學(xué)家之一，米勒發(fā)表的《三角全書》，是使得三角學(xué)在歐洲取得獨立地位的第一部系統(tǒng)性著作．下面是米勒定理（又稱切割線定理）的證明過程已知：如圖1，與相切于點A，與相交于點B，C．求證：．證明：如圖2，連接．∵為的切線，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，……

任務(wù)：(1)請完成剩余的證明過程(2)應(yīng)用：如圖3，是的切線，經(jīng)過的圓心O，且，割線交于點D，E，，求的長．10．（2023·山西呂梁·?？寄M預(yù)測）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到與圓交點的兩條線段長的比例中項．證明過程如下：如圖1：已知：點P是外一點，是切線，F(xiàn)是切點，是割線，點A，B是它與的交點，求證：證明：連接并延長交于C，連接，∵是的切線，（依據(jù)________________________________)∵是的直徑，（依據(jù)_______________________________)

又∵（依據(jù)_____________________________________)......任務(wù)：(1)完成材料證明部分中的“依據(jù)”，填入空格．(2)把證明過程補充完整．(3)定理應(yīng)用：已知為的切線，T是切點，是的割線，交于D，為的直徑，，求的長．11．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：弗朗索瓦?韋達(dá)，法國杰出數(shù)學(xué)家．第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”．他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切割線定理）．如圖1，P是外一點，是的切線，是的一條割線，與的另一個交點為B，則．證明：如圖2，連接、，過點C作的直徑，連接．∵是的切線，∴，∴，即．……任務(wù)：(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分．(2)如圖3，與相切于點A，連接并延長與交于點B、C，，，，連接．①與的位置關(guān)系是．②求的長．12．（2022秋·山西·九年級校聯(lián)考期末）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時，切線與割線之間的關(guān)系．如圖1，是外一點，切于點，交于點（即是的割線），則．下面是切割線定理的證明過程：證明：如圖2，連接并延長，交于點，連接．切于點，．．是的直徑，……(1)根據(jù)前面的證明思路，補全剩余的證明過程；(2)在圖1中，已知，，則______，______．13．（2022·山西·三模）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．人們在研究圓與直線的位置和數(shù)量關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)存在這樣一個關(guān)系：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點構(gòu)成的兩條線段長的比例中項．這個幾何關(guān)系也叫圓的切割線定理．喜歡探究的小明嘗試給出了該定理的如下證明：已知：如圖1，P為⊙O外一點，切線PA與圓相切于點A，割線PBC與圓相交于點B，C．求證：．證明：如圖2，連接AB，AC，BO，AO．∵PA切⊙O于點A，∴，即．∵，∴．∵，∴．……任務(wù)：(1)請幫助小明補充完成以上證明過程．(2)如圖，割線PDE與圓交于點D，E，且，，連接BE，過點C向下作交PE的延長線于點F，求EF的長．14．（2022·河南商丘·統(tǒng)考二模）讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．下面是不完整的證明過程，請補充完整．已知：P為外一點，PA與交于A，B兩點，PM與相切于點M．求證：．證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長交于點C，連接BC．∵PM為的切線，∴_______，∴，∵CM為的直徑，∴_______，∴，∴_______，∵，∴．∵，∴_______．∴，∴．學(xué)習(xí)任務(wù)：如圖，若線段AB與相交于C，D兩點，且，射線AB，BF為的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，連接CF．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．15．（2023·河南周口·?？既＃╅喿x與思考學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)知識后，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們進(jìn)行了如下探究活動，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．割線定理如圖，A是外一點，過點A作直線分別交于點B，C，D，E，則有．

證明：如圖，連接．∵（依據(jù)：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任務(wù)：(1)上述閱讀材料中①處應(yīng)填的內(nèi)容是________，②處應(yīng)填的內(nèi)容是_______．(2)興趣小組的同學(xué)們繼續(xù)思考，當(dāng)直線AE與圓相切時，是否仍有類似的結(jié)論．請將下列已知、求證補充完整，并給出證明．已知：如圖，A是外一點，過點A的直線交于點B，C，__________．求證：___________．

16．（2022·山東九年級期中）如圖，為外接圓⊙O的直徑，交于點F，且．(1)求證：是⊙O的切線；(2)求證：；(3)若，，，求⊙O的半徑．17．（2022秋·廣東九年級期中）探究問題：

(1)閱讀理解：①如圖A，在所在平面上存在一點P，若它到三個頂點的距離之和最小，則稱點P為的費馬點，此時的值為的費馬距離．②如圖B，若四邊形的四個頂點在同一個圓上，則有，此為托勒密定理．知識遷移：①請你利用托勒密定理解決如下問題：如圖C，已知點P為等邊外接圓的上任意一點．求證：；②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋（其中均小于）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖D，在的外部以為一邊作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點，連接．易知________；第三步：請你根據(jù)（1）①中定義，在圖D中找出的費馬點P，則線段______的長度即為的費馬距離．(2)知識應(yīng)用：今年以來某市持續(xù)干旱，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難的問題，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到該市某地打井取水．已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖E所示的（其中，均小于），現(xiàn)選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．18．（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)托勒密，古希臘天問學(xué)家、地理學(xué)家和光學(xué)家，而他在數(shù)學(xué)方面也有重大貢獻(xiàn)，下面就是托勒密發(fā)現(xiàn)的一個定理，圓內(nèi)接四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩條對角線的乘積．下面是該定理的證明過程（部分）已知：如圖①四邊形是的內(nèi)接四邊形

求證：證明：以C頂點，為一邊作交于點E，使得又∵∴∴

∴，又，∴∴∴，∴∴

∴

即任務(wù)：(1)請將“托勒密”定理的證明過程補充完整；(2)當(dāng)圓內(nèi)接四邊形是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：．(3)如圖②若，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并利用托勒密定理證明這個結(jié)論．

19．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）請閱讀下列材料，解答問題：克羅狄斯·托勒密（約90年—168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于，，則對角線BD的長為．

專題06圓中的重要模型--圓冪定理模型圓冪定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家施泰納（Steiner）或者法國數(shù)學(xué)家普朗克雷（Poncelet）提出的。圓冪定理的用法：可以利用圓冪定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問題。模型1.相交弦模型條件：在圓O中，弦AB與弦CD交于點E，點E在圓O內(nèi)。結(jié)論：。例1．（2023·廣東廣州·九年級?？计谥校┤鐖D，兩個同心圓，大圓的弦與小圓相切于點P，大圓的弦經(jīng)過點P，且，，兩圓組成的圓環(huán)的面積是．

【答案】【分析】連接，，，，先根據(jù)切線的性質(zhì)定理和垂徑定理證出，再證明，得到，代入數(shù)據(jù)求得，最后根據(jù)圓環(huán)的面積公式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，，，

∵大圓的弦與小圓相切于點P，∴，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，即，解得：（負(fù)值舍去），∴圓環(huán)的面積為：，故答案為：．【點睛】此題綜合運用了切線的性質(zhì)定理、垂徑定理、勾股定理、圓周角定理、圓環(huán)的面積公式，分別求出大圓和小圓的半徑是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級校考期末）如圖，PT是⊙O的切線，T為切點，PA是割線，交⊙O于A、B兩點，與直徑CT交于點D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝．【答案】20.【分析】連接AC，BT，AT，易證?CAD~?BTD，得到TD=6，易證：?BTP~?TAP，得：，設(shè)PB=x，則AP=x+7，，PD=x+4，根據(jù)勾股定理，即可求解.【詳解】連接AC，BT，AT，∵∠CAD=∠BTD，∠ADC=∠TDB，∴?CAD~?BTD，∴，即：∴TD=6，∵PT是⊙O的切線，T為切點，∴∠BTP+∠BTD=90°，∵CT是直徑，∴∠CAD+∠TAP=90°∵∠CAD=∠BTD，∴∠BTP=∠TAP，∵∠P=∠P，∴?BTP~?TAP，∴，即：，設(shè)PB=x，則AP=x+7，，PD=x+4，∵在Rt?DPT中，，∴，解得：x=20，故答案是：20.【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理與圓的性質(zhì)的綜合，根據(jù)題意，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵.例3．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．

(1)為了說明相交弦定理正確性，需要對其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖①，弦，交于點P，求證：______________．(2)如圖②，已知是的直徑，與弦交于點P，且于點P，過D作的切線，交的延長線于E，D為切點，若，的半徑為5，求的長．【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）先證明，再利用相似的性質(zhì)即可；（2）利用（1）可知，求出，再證明，利用相似的性質(zhì)求出，求差即可得到的長．【詳解】（1）求證：．證明：連接AC、BD．如圖①．

∵，．∴．∴．∴．（2）解：∵，，．由（1）可知．∴．∵，是的直徑，，．連接OD．如圖②．∵為切線．∴．∵．．∴．∴．∵，∴．∴，．又∵．∴．【點睛】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，嚴(yán)格的邏輯思維和嚴(yán)密的書寫過程是解題的關(guān)鍵．模型2.雙割線模型條件：如圖，割線CH與弦CF交圓O于點E和點G。結(jié)論：例1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖：、為⊙O的兩條割線，若，，則的長為（）

A．10 B．7 C． D．3【答案】B【分析】如圖，連接，，可證，可得，從而可求得的長，進(jìn)而可得到的長．【詳解】解：如圖，連接，，

∵，∴又∴∴

∵，，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由相似三角形得到線段間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·四川成都·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為的割線，且，交于點C，若，則的半徑的長為．【答案】【分析】延長交圓于點D，連接、，由圓內(nèi)接四邊形內(nèi)對角互補性質(zhì)可得，結(jié)合鄰補角互補可得，繼而證明，由相似三角形對應(yīng)邊成比例解得，由此計算，最后根據(jù)線段的和差解題即可．【詳解】如圖，延長交圓于點D，連接、，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴半徑為，故答案為：．【點睛】本題考查圓的內(nèi)接四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．例3．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．當(dāng)直線與圓有兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線．割線也有一些相關(guān)的定理．比如，割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證明一”，請補充完整．已知：如圖①，過外一點作的兩條割線，一條交于、點，另一條交于、點．求證：．證明一：連接、，∵和為所對的圓周角，∴______．又∵，∴______，∴______．即．研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接、，即可得到學(xué)習(xí)過的圓內(nèi)接四邊形．那么或許割線定理也可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明．請根據(jù)提示，獨立完成證明二．證明二：連接、，【答案】證明一：，∽，；證明二見解析【分析】（1）證明∽即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步證明∽【詳解】解：證明一：連接、，∵和為所對的圓周角，∴．又∵，∴∽，∴．即．故答案為：，∽，，證明二：連接、，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，又∵，∴，又∵，∴∽，∴，即．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．模型3.切割線模型條件：如圖，CB是圓O的切線，CA是圓O的割線。結(jié)論：例1．（2023·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，與切于點，是的割線，如果，那么的長為.【答案】【分析】根據(jù)切割線定理得出PA2=PB?PC，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵PA為⊙O的切線，A為切點，PBC是⊙O的割線，∴PA2=PB?PC，∵PB=BC=2，∴PC=4，∴PA2=4×2，∴故答案為【點睛】本題考查了切割線定理，解題的關(guān)鍵是運用切割線定理列方程求解．例2．（2023·河南鄭州·一模）復(fù)習(xí)鞏固，切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點．割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線．切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長．閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作．它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題36﹣2圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．為了說明材料中定理的正確性，需要對其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖，A是⊙O外一點，．求證：．【答案】AB是⊙O的切線，直線ACD為⊙O的割線，AB2＝AC?AD，見解析【分析】按照題設(shè)要求，寫出“已知”和“求證”，然后證明△ABC∽△ADB，即可求解．【詳解】解：（已知：如圖，A是⊙O外一點，）AB是⊙O的切線，直線ACD為⊙O的割線．求證：AB2＝AC?AD．故答案為：AB是⊙O的切線，直線ACD為⊙O的割線，AB2＝AC?AD，證明：連接BD，連接BO并延長交⊙O于點E，連接CE，∵AB是⊙O的切線，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∵BE是圓的直徑，∴∠BCE＝90°＝∠E+∠CBE，∴∠ABC＝∠E，而∠E＝∠CDB，∴∠ABC＝∠BDC，∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴，∴AB2＝AC?AD．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．例3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖，是的直徑，點C、D在上，且平分，過點D作的垂線，與的延長線相交于E，與的延長線相交于點F，G為的下半圓弧的中點，交于H，連接(1)證明：是的切線；(2)若圓的半徑，求的長；(3)求證：．

【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）連接，證明即可由切線的判定定理得出結(jié)論；（2）連接，因為G是半圓弧中點，所以，在中，根據(jù)勾股定理求解即可；（3）證明，得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）連接，

，，又平分，，，，又，，∴是的切線；（2）連接，

∵G是半圓弧中點，，在中，，．∴．（3）∵是的直徑，，，由（1）得，是的切線，，，，，，又，，∴，．【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定定理．模型4.弦切角模型條件：如圖，CB是圓O的切線，AB是圓O的直徑。結(jié)論：1）；2）；3）。例1．（2023·河南三門峽·統(tǒng)考二模）小銳同學(xué)是一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好者，他在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一個課本上沒有的與圓相關(guān)的角---弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫做弦切角），并嘗試用所學(xué)的知識研究弦切角的有關(guān)性質(zhì)．（1）如圖，直線與⊙O相切于點，，為⊙O上不同于的兩點，連接，，．請你寫出圖中的兩個弦切角______；（不添加新的字母和線段）（2）小銳目測和可能相等，并通過測量的方法驗證了他的結(jié)論，你能幫小銳用幾何推理的方法證明結(jié)論的正確性嗎？已知：如圖，直線與⊙O相切于點，，為圓上不同于的兩點，連接，，．求證：．（3）如果我們把上述結(jié)論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理______．【答案】（1），，，（任意寫出兩個即可）；（2）見解析；（3）弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角【分析】（1）根據(jù)弦切角的定義加以識別即可；（2）過點C作直徑CF，連接DF，借助于同弧所對的圓周角相等，將∠DEC轉(zhuǎn)化為∠F，所以只需證∠DCB=∠F即可．（3）由題意可歸納：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．【詳解】解：（1）弦CD、CE分別與切線CB構(gòu)成的弦切角為：∠DCB，∠ECB；弦CD、CE分別與切線CA構(gòu)成的弦切角為：∠DCA，∠ECA．故答案為：，，，（任意寫2個即可）（2）證明：過作直徑，連接．∵是直徑，∴．∴．又∵與相切于點，∴．∴．∴．∴．∴．（3）弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理及推論、直角三角形的兩銳角互余等知識點，熟知上述圖形的相關(guān)性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，對新定義的理解及問題的概括能力是關(guān)鍵.例2．（2022·山西大同·九年級校聯(lián)考期中）閱讀與思考閱讀下面內(nèi)容并完成任務(wù)：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．如圖1，直線與相切于點，為的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夾的弧，是所對的圓周角，為直徑時，很容易證明．小華同學(xué)認(rèn)為這是一種特殊情況，若不是直徑會如何呢？即在圖2中嗎？她連接并延長，交于點，連接…問題得到了解決．小穎同學(xué)利用圖3證明了當(dāng)弦切角為直角時，弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．小亮積極思考，提出當(dāng)弦切角為鈍角時，能證明（如圖4）嗎？任務(wù)：(1)請按照小華的思路，利用圖2證明；(2)結(jié)合小華、小穎的思路或結(jié)論，利用圖4解答小亮提出的問題；(3)寫出在上面解決問題的過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：______（寫出兩種）；(4)解決問題：如圖5，點為的弦延長線上一點，切于點，連接，，，，則______°【答案】(1)見解析(2)見解析(3)轉(zhuǎn)化思想和類比思想(4)【分析】（1）連接并延長，交于點，連接，則，根據(jù)是的直徑，可得，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得，即可；（2）連接并延長，交于點，連接，根據(jù)是的直徑，可得，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得，從而得到，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得，即可；（3）上面解決問題的過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為：轉(zhuǎn)化思想和類比思想；（4）接并延長，交于點，連接，則，證明，即可．【詳解】（1）證明：連接并延長，交于點，連接，則，∵是的直徑，∴，∴，∵直線與相切于點，∴，∴，∴，∴；（2）證明：連接并延長，交于點，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵直線與相切于點，∴，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴；（3）解：上面解決問題的過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為：轉(zhuǎn)化思想和類比思想；故答案為：思想轉(zhuǎn)化思想和類比思想（4）解：如圖，接并延長，交于點，連接，則，∵是的直徑，∴，∴，∵直線與相切于點，∴，∴，∴，∴，∵，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型5.托勒密定理模型條件：如圖，AB、CD是圓O的兩條弦；結(jié)論：例1．（2022春·廣東九年級課時練習(xí)）閱讀與應(yīng)用請閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：托勒密是“地心說”的集大成者，著名的天文學(xué)家、地理學(xué)家、占星學(xué)家和光學(xué)家．后人從托勒密的書中發(fā)現(xiàn)一個命題：圓內(nèi)接四邊形對邊乘積的和等于對角線的乘積．下面是對這個命題的證明過程．如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于．求證：．證明：如圖2，作交BD于點E．∵，∴．（依據(jù)）∴．∴．．…∴．∴．∴．∵，∴．∴．任務(wù)：(1)證明過程中的“依據(jù)”是______；(2)補全證明過程；(3)如圖3，的內(nèi)接五邊形ABCDE的邊長都為2，求對角線BD的長．【答案】(1)同弧所對的圓周角相等；(2)見解析；(3)；【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得；（2）由可得，再由可得；（3）連接AD，BE，由可得，進(jìn)而，BE=AD=BD，再由解方程即可；【詳解】（1）解：∵同弧所對的圓周角相等，，∴；故答案為：同弧所對的圓周角相等；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖，連接AD，BE，∵，∴，∴，∴，∴BE=AD=BD，∵四邊形ABDE是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴對角線BD的長為；【點睛】本題考查了圓內(nèi)接多邊形，圓心角、弧、弦關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程等知識；掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等是解題關(guān)鍵．例2．（2023·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內(nèi)接四邊形的對角.如圖①，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則.【問題創(chuàng)新】圓內(nèi)接四邊形的邊會有特殊性質(zhì)嗎？如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行深入研究發(fā)現(xiàn)：證明：如圖③，作，交于點.

∵，∴，∴

即

（請按他們的思路繼續(xù)完成證明）【應(yīng)用遷移】如圖④，已知等邊外接圓，點為上一點，且，，求的長.【答案】【舊知再現(xiàn)】互補，

110；【問題創(chuàng)新】見解析；【應(yīng)用遷移】【分析】【重溫舊知】根據(jù)圓周角定理，得出，，化簡得出，利用等腰三角形的兩個底角相等和圓內(nèi)接四邊形對角互補，即可得；【提出問題】所得等式兩邊加上AD?BC，右邊變形后即可得證；【應(yīng)用遷移】由上題的結(jié)論，根據(jù)為等邊三角形，可得AB=AC=BC，代入化簡即可求出PA的長.【詳解】（1）如圖示：連接OA，OC，根據(jù)圓周角定理，則有：，∴∴圓內(nèi)接四邊形的對角互補；∵，∴在等腰三角形ABD中，∴（2）證明：如圖，∵∴，即，又∵，∴∴，即∴，∴，（3）由（2）可知∵是等邊三角形，∴，∴，∴即.【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023·北京·九年級校考期中）如圖，點是外一點，為的一條割線，且，交于點，若，，則長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)PA=AB=x，延長PO交圓于點D．證明得PA?PB=PC?PD即可求得PA的長，也就得到了AB的長．【詳解】解：設(shè)PA=AB=x，延長PO交圓于點D．連接BD，AC∵四邊形ABDC內(nèi)接于∴又∴∴∴PA?PB=PC?PD，∵OC=3，OP=5，∴PC=2，PD=5+3=8∴x?2x=16，∴x=∴．故選：B．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．2．（2023·山東九年級月考）如圖，過點作的兩條割線分別交于點、和點、，已知，，則的長是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.5【答案】B【分析】由已知可得PB的長，再根據(jù)割線定理得PA?PB=PC?PD即可求得PD的長.【詳解】解：∵PA=3，AB=PC=2，∴PB=5，∵PA?PB=PC?PD，∴PD=7.5，故選B.【點睛】主要是考查了割線定理的運用.3．（2023·浙江·中考模擬）如圖,PT是外切兩圓的公切線,T為切點,PAB,PCD分別為這兩圓的割線,若PA=3,PB=6,PC=2,則PD等于(

)A．12 B．9 C．8 D．4【答案】B【分析】根據(jù)切割線定理得PT2=PA?PB，PT2=PC?PD，所以PA?PB=PC?PD，從而可求得PD的長.【詳解】∵PT2=PA?PB，PT2=PC?PD，∴PA?PB=PC?PD，∵PA=3，PB=6，PC=2，∴PD=9．故選B．4．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，過點引圓的兩條割線和，分別交圓于點和，連結(jié)，則在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你認(rèn)為成立的比例式的序號都填上）．【答案】②③【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法得到，△PAD∽△PCB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等從而可得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴，∴①錯誤；②正確；③連接AC，BD，∵∠P=∠P，∠PBD=∠PCA，∴△PAC∽△PDB，∴，∴，正確；故答案為：②③．【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意到題目中的相似三角形是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023·北京九年級月考）如圖，割線、分別交于和，若，，，則．【答案】【分析】設(shè)PA=x，則PB=3x，由切割線定理得，2×（16+2）=x?3x，求解即可．【詳解】設(shè)PA=x，∵PA：AB=1：2，∴AB=2x，∴PB=3x，由切割線定理得，2×（16+2）=x?3x，解得x=2，∴AB=4．故答案為4．【點睛】本題考查了切割線定理和勾股定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．6．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）四邊形內(nèi)接于圓，對角線交點為E，，若、都是整數(shù)，則的值為．【答案】3或4【分析】證明△ABD∽△AEB，求出AD，從而得到DE，再證明△AEC∽△BED，得到BE·CE=12，根據(jù)BE，CE都是整數(shù)可得所有可能的取值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得BE，CE都是整數(shù)，從而得到DE的取值．【詳解】解：∵AB=AC=4，AE=2，∴∠ADB=∠ADC，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADB=∠ABC，又∠BAD=∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴，即，∴AD=8，∴DE=6，∵∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE，∴△AEC∽△BED，∴，即，∴BE·CE=12，∵BE，CE都是整數(shù)，則BE和CE可取的值為3，4或2，6或1，12；∵AB=AC=4，∴BC＜AB+AC=8，∴BC=3+4=7，∴BE的值為3或4，故答案為：3或4．【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出適當(dāng)?shù)南嗨迫切蔚玫骄€段關(guān)系．7．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測）如圖1，內(nèi)接于，點D為圓外上方一點，連接，若．(1)求證：是的切線；(2)如圖2，連接．若，，，求的半徑．（注：本題不允許使用弦切角定理）【答案】(1)見解析(2)R=【分析】(1)連接，根據(jù)圓周角定理，得到；根據(jù)，得到即，等量代換即可證明．(2)延長交于F，連接，過A作于E．先證明，再利用勾股定理，三角函數(shù)計算，的長度，再次運用勾股定理求解即可．【詳解】（1）如圖，連接，根據(jù)題意，得；∵，∴即，∵，∴，∴，∴是的切線．（2）如圖，延長交于F，連接，過A作于E．∵是的直徑，，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，解得（舍去），∴；∵；∴，∴，，∴，∴，故的半徑為．【點睛】本題考查了圓周角定理，正切函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，切線的判定，熟練掌握正切函數(shù)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期中）定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖1，為的切線，點為切點，為內(nèi)一條弦，即為弦切角．(1)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5個公設(shè)和5個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定理的內(nèi)容是：“弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)．”如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，為的切線，點為切點，為內(nèi)一條弦，點在上，連接，，，．求證：．證明：(2)如圖3，為的切線，為切點，點是上一動點，過點作于點，交于，連接，，．若，，求弦的長．【答案】(1)見解析(2)21【分析】（1）如圖2，延長交于，連接，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，于是得到結(jié)論；（2）如圖3，連接，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：求證：，證明：如圖2，延長交于，連接，是的直徑，，，為的切線，，，，，；即；（2）如圖3，連接，，，，為的切線，，，，，，．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·山西呂梁·九年級?？计谀╅喿x與思考：閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．米勒定理米勒（）是德國的數(shù)學(xué)家，是歐洲最有影響的數(shù)學(xué)家之一，米勒發(fā)表的《三角全書》，是使得三角學(xué)在歐洲取得獨立地位的第一部系統(tǒng)性著作．下面是米勒定理（又稱切割線定理）的證明過程已知：如圖1，與相切于點A，與相交于點B，C．求證：．證明：如圖2，連接．∵為的切線，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，……

任務(wù)：(1)請完成剩余的證明過程(2)應(yīng)用：如圖3，是的切線，經(jīng)過的圓心O，且，割線交于點D，E，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)提供的過程，繼而證明，可得，再轉(zhuǎn)化為；（2）連接，根據(jù)切割線定理得到，，將已知線段代入求出，再代入中，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：證明：如圖2，連接．∵為的切線，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：由（1）可知：，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，圓的性質(zhì)，根據(jù)題干中的材料，熟練掌握割線定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山西呂梁·校考模擬預(yù)測）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到與圓交點的兩條線段長的比例中項．證明過程如下：如圖1：已知：點P是外一點，是切線，F(xiàn)是切點，是割線，點A，B是它與的交點，求證：證明：連接并延長交于C，連接，∵是的切線，（依據(jù)________________________________)∵是的直徑，（依據(jù)_______________________________)

又∵（依據(jù)_____________________________________)......任務(wù)：(1)完成材料證明部分中的“依據(jù)”，填入空格．(2)把證明過程補充完整．(3)定理應(yīng)用：已知為的切線，T是切點，是的割線，交于D，為的直徑，，求的長．【答案】(1)切線的性質(zhì)定理；直徑所對的圓周角是直角；同弧所對的圓周角相等(2)見解析(3)【分析】（1）利用圓周角定理推論、切線性質(zhì)找等角即可解答；（2）先構(gòu)造相似三角形，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例解答即可；（3）設(shè)，如圖：連接，先證，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式求得x，然后再利用切割線定理求y長度即可．【詳解】（1）證明：連接并延長交與C，連接，∵是的切線，（依據(jù)：切線的性質(zhì)定理)∵是的直徑，（依據(jù)：直徑所對的圓周角是直角)

又∵（依據(jù)：同弧所對的圓周角相等)…………故答案為：切線的性質(zhì)定理；直徑所對的圓周角是直角；同弧所對的圓周角相等．（2）證明：連接并延長交與C，連接，∵是的切線，（依據(jù)：切線的性質(zhì)定理)∵是的直徑，（依據(jù)：直徑所對的圓周角是直角)

又∵（依據(jù)：同弧所對的圓周角相等)又∵∴

．（3）解：設(shè)，如圖：連接，∵∴，∴，即，解得：或（舍去）由切割線定理，由勾股定理可得：，解得，∴.【點睛】本題綜合考查了閱讀理解能力、圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、切線長定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，從閱讀材料中提取有用信息是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：弗朗索瓦?韋達(dá)，法國杰出數(shù)學(xué)家．第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”．他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切割線定理）．如圖1，P是外一點，是的切線，是的一條割線，與的另一個交點為B，則．證明：如圖2，連接、，過點C作的直徑，連接．∵是的切線，∴，∴，即．……任務(wù)：(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分．(2)如圖3，與相切于點A，連接并延長與交于點B、C，，，，連接．①與的位置關(guān)系是．②求的長．【答案】(1)見解析(2)①平行；②【分析】（1）先根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理證得，進(jìn)而證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)圓周角定理證得，根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論；（3）連接，根據(jù)已知和（1）中結(jié)論和求得，，再利用勾股定理求得，然后證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：如圖2，連接、，過點C作的直徑，連接．∵是的切線，∴，∴，即．∵是直徑，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：①∵，，∴，∴，故答案為：平行；②如圖3，連接，∵與相切，為割線，∴，∵，∴，∴，即，∴，由（1）可知，，∴，∴，在中，，由勾股定理可知，，∴，即，∴，由（1）中證明過程可知，又，∴，∴，即∴．【點睛】本題考查圓的切線和割線性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、平行線的判定、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，利用相似三角形的性質(zhì)探究線段間的數(shù)量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．12．（2022秋·山西·九年級校聯(lián)考期末）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時，切線與割線之間的關(guān)系．如圖1，是外一點，切于點，交于點（即是的割線），則．下面是切割線定理的證明過程：證明：如圖2，連接并延長，交于點，連接．切于點，．．是的直徑，……(1)根據(jù)前面的證明思路，補全剩余的證明過程；(2)在圖1中，已知，，則______，______．【答案】(1)見解析(2)，【分析】（1）先證明，再證明，即可補充完成證明過程；（2）根據(jù)可求出的值，根據(jù)可求出的值．【詳解】（1）證明：如圖2，連接并延長，交于點，連接．∵切于點，∴．∴．∵是的直徑，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：∵，，∴．∴，∴．∵，∴，∴．故答案為：，．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解答本題的關(guān)鍵．13．（2022·山西·三模）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．人們在研究圓與直線的位置和數(shù)量關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)存在這樣一個關(guān)系：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點構(gòu)成的兩條線段長的比例中項．這個幾何關(guān)系也叫圓的切割線定理．喜歡探究的小明嘗試給出了該定理的如下證明：已知：如圖1，P為⊙O外一點，切線PA與圓相切于點A，割線PBC與圓相交于點B，C．求證：．證明：如圖2，連接AB，AC，BO，AO．∵PA切⊙O于點A，∴，即．∵，∴．∵，∴．……任務(wù)：(1)請幫助小明補充完成以上證明過程．(2)如圖，割線PDE與圓交于點D，E，且，，連接BE，過點C向下作交PE的延長線于點F，求EF的長．【答案】(1)補充證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理確定∠O=2∠PCA，根據(jù)角的和差關(guān)系和等價代換思想確定∠APB=∠CPA，然后根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)即可證明．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論先求出PA2，然后求出PE的長度，最后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求出EF的長度．【詳解】（1）解：補充證明如下．∵∠PCA和∠O分別是所對的圓周角和圓心角，∴∠O=2∠PCA．∴2∠OAB+2∠PCA=180°．∴∠OAB+∠PCA=90°．∴∠PAB=∠PCA．∵∠APB=∠CPA，∴．∴．∴．（2）解：由（1）中結(jié)論可知，．∵PB=BC=4，∴PC=PB+BC=8．∴．∵PD=5，∴．∴．∵，∴．∴．【點睛】本題考查圓周角定理，角的和差關(guān)系，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正確應(yīng)用（1）中結(jié)論是解題關(guān)鍵．14．（2022·河南商丘·統(tǒng)考二模）讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．下面是不完整的證明過程，請補充完整．已知：P為外一點，PA與交于A，B兩點，PM與相切于點M．求證：．證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長交于點C，連接BC．∵PM為的切線，∴_______，∴，∵CM為的直徑，∴_______，∴，∴_______，∵，∴．∵，∴_______．∴，∴．學(xué)習(xí)任務(wù)：如圖，若線段AB與相交于C，D兩點，且，射線AB，BF為的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，連接CF．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)∠CMP；∠CBM；∠BMP；△PMA；見解析(2)27【分析】閱讀材料：連接AM，BM，連接MO并延長交于點C，連接BC，證△PMA即可得出結(jié)論；（1）由閱讀材料得，，再由AC=BD，證AD=BC，即可得出結(jié)論；（2）由閱讀材料得，從而求出，再過點F作于點G，解求出，最后利用計算即可求解．【詳解】（1）閱讀材料證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長交于點C，連接BC．∵PM為的切線，∴∠CMP，∴，∵CM為的直徑，∴∠CBM，∴，∴∠BMP，∵，∴．∵，∴△PMA．∴，∴．故答案為：∠CMP，∠CBM，∠BMP，△PMA．（1）證明：∵AE，BF為的兩條切線，∴，．∵，∴，即．∴，∴．（2）解：∵，設(shè)，則，，由由閱讀材料得，，即，解得，∴，如圖1，過點F作于點G，在中，，即，∴．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，本題屬閱讀材料題，通過閱讀，探究出一個結(jié)論，再運用結(jié)論解決其他問題，屬中考試常用考類型．15．（2023·河南周口·?？既＃╅喿x與思考學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)知識后，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們進(jìn)行了如下探究活動，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．割線定理如圖，A是外一點，過點A作直線分別交于點B，C，D，E，則有．

證明：如圖，連接．∵（依據(jù)：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任務(wù)：(1)上述閱讀材料中①處應(yīng)填的內(nèi)容是________，②處應(yīng)填的內(nèi)容是_______．(2)興趣小組的同學(xué)們繼續(xù)思考，當(dāng)直線AE與圓相切時，是否仍有類似的結(jié)論．請將下列已知、求證補充完整，并給出證明．已知：如圖，A是外一點，過點A的直線交于點B，C，__________．求證：___________．

【答案】(1)同弧所對的圓周角相等；；(2)與相切于點E．；證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得到結(jié)論即可；（2）如圖，連接，證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）如圖，連接．∵（依據(jù)：①__同弧所對的圓周角相等__），，∴．∴②_______．∴．故答案為：同弧所對的圓周角相等；；（2）已知：如圖，A是外一點，過點A的直線交于點B，C，與相切于點E．求證：．

證明：如圖，連接，連接并延長交于點D，連接．

∵為的切線