八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊專題12一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用壓軸(原卷版+解析)

專題12一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用壓軸題型1：利用一次函數(shù)解決方案問題題型2：利用一次函數(shù)解決銷售利潤問題題型3：利用一次函數(shù)解決行程問題題型4：利用一次函數(shù)解決運(yùn)輸問題題型1：利用一次函數(shù)解決方案問題【典例1】我校將舉辦一年一度的秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，需要采購一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍標(biāo)價(jià)80元，一盒球標(biāo)價(jià)25元．體育商店提供了兩種優(yōu)惠方案，具體如下：方案甲：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原價(jià)出售；方案乙：按購買金額打9折付款．學(xué)校欲購買這種乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．（1）請(qǐng)直接寫出兩種優(yōu)惠辦法實(shí)際付款金額y甲（元），y乙（元）與x（盒）之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）如果學(xué)校需要購買15盒乒乓球，哪種優(yōu)惠方案更省錢？（3）如果學(xué)校提供經(jīng)費(fèi)為1800元，選擇哪個(gè)方案能購買更多乒乓球？【變式1-1】已知用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸．某物流公司現(xiàn)有34噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型和B型車輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？（2）若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．共有幾種租車方案，哪種方案租車費(fèi)用最少？【變式1-2】2022年秋，鄭州新冠疫情牽動(dòng)全國，社會(huì)各界籌集的醫(yī)用，建設(shè)等物資不斷從各地向鄭州匯集．這期間，恰逢春節(jié)承運(yùn)資源短缺，緊急情況下，多家物流企業(yè)紛紛開通特別通道，馳援鄭州，為生產(chǎn)藥品，口罩，醫(yī)療器械等緊急物資的企業(yè)提供全方位支持．已知用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸，某物流公司計(jì)劃租用這兩種車輛運(yùn)輸物資．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？（2）若A型車每輛需租金90元/次，B型車每輛需租金110元/次．物流公司計(jì)劃共租用8輛車，請(qǐng)寫出總租車費(fèi)用w（元）與租用A型車數(shù)量a（輛）的函數(shù)關(guān)系式．（3）如果汽車租賃公司的A型車只剩了6輛，B型車還有很多．在（2）的條件下，請(qǐng)選出最省錢的租車車方案，并求出最少租車費(fèi)用．題型2：利用一次函數(shù)解決銷售利潤問題【典例2】2023年第一屆全國學(xué)生（青年）運(yùn)動(dòng)會(huì)在南寧市某中學(xué)初中部舉行火炬?zhèn)鬟f儀式，有幸參與該盛事的學(xué)校的九年級(jí)1000名學(xué)生將在火炬?zhèn)鬟f經(jīng)過的校道兩邊為火炬手搖旗吶喊，年級(jí)制定的活動(dòng)經(jīng)費(fèi)初步方案是采購一些手搖式小國旗，每面小國旗售價(jià)為0.8元．經(jīng)過進(jìn)一步商討之后，年級(jí)決定再補(bǔ)購印有運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物“壯壯”和“美美”的頭戴式小彩旗若干個(gè)．詢問甲、乙兩家吉祥物特許經(jīng)銷商，他們考慮到學(xué)校情況給出了不同的銷售方案．甲經(jīng)銷商的銷售方案是每個(gè)頭戴式小彩旗賣2.2元．乙經(jīng)銷商的方案是：購買不超過200個(gè)頭戴式小彩旗，每個(gè)售價(jià)2.5元；若超過200個(gè)，則超過部分每個(gè)售價(jià)2元．（1）設(shè)向乙經(jīng)銷商購買x個(gè)頭戴式小彩旗，所需費(fèi)用為y元，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）年級(jí)最終決定必須要買1000面小國旗及若干個(gè)頭戴式小彩旗，最終總費(fèi)用不低于1600元，不超過2000元．若向甲、乙兩家經(jīng)銷商中的一家購買頭戴式小彩旗，年級(jí)該向哪一家購買頭戴式小彩旗最合算？【變式2-1】“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國經(jīng)濟(jì)更具活力．牡丹花會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款花會(huì)紀(jì)念鑰匙扣進(jìn)行銷售，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：價(jià)格/類別A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價(jià)（元/件）2025銷售價(jià)（元/件）3037（1）網(wǎng)店第一次用1100元購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共50件，求兩款鑰匙扣分別購進(jìn)的件數(shù)；（2）第一次購進(jìn)的花會(huì)紀(jì)念鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共240件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且第二次進(jìn)貨總價(jià)不高于5800元．網(wǎng)店這次應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？【變式2-2】2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，吉祥物徽章受到了眾多人的喜愛．某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A款禮盒120盒，B款禮盒50盒，兩款禮盒全部售完．兩款禮盒的進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：類別A款禮盒B款禮盒進(jìn)貨價(jià)（元/盒）3025銷售價(jià)（元/盒）4533（1）求該網(wǎng)店銷售這兩款禮盒所獲得的總利潤．（2）網(wǎng)店計(jì)劃用第一次所獲的銷售利潤再次去購買A、B兩款禮盒共80盒．該如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，使網(wǎng)店獲得最大的銷售利潤？最大銷售利潤是多少？【變式2-3】“書香中國，讀領(lǐng)未來”，4月23日是世界讀書日，我市某書店同時(shí)購進(jìn)A，B兩類圖書，已知購進(jìn)3本A類圖書和4本B類圖書共需160元；購進(jìn)6本A類圖書和2本B類圖書共需170元．（1）A，B兩類圖書每本的進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）該書店計(jì)劃用2000元購進(jìn)這兩類圖書，設(shè)購進(jìn)A類x本，B類y本．①求y關(guān)于x的關(guān)系式；②進(jìn)貨時(shí)，A類圖書的購進(jìn)數(shù)量不少于50本，已知A類圖書每本的售價(jià)為28元，B類圖書每本的售價(jià)為40元，如何進(jìn)貨才能使書店所獲利潤最大？最大利潤為多少元？【變式2-4】為迎接新春佳節(jié)的到來，一水果店計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種新出產(chǎn)的水果共160千克，這兩種水果的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表所示：進(jìn)價(jià)（元/千克）售價(jià)（元/千克）甲種58乙種913（1）若該水果店預(yù)計(jì)進(jìn)貨款為1000元，則這兩種水果各購進(jìn)多少千克？（2）若該水果店決定乙種水果的進(jìn)貨量不超過甲種水果的進(jìn)貨量的3倍，應(yīng)怎樣安排進(jìn)貨才能使水果店在銷售完這批水果時(shí)獲利最多？此時(shí)利潤為多少元？【變式2-5】隨著“雙減”政策的逐步落實(shí)，其中增加中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間的政策引發(fā)社會(huì)的廣泛關(guān)注，體育用品需求增加，某商店決定購進(jìn)A、B兩種羽毛球拍進(jìn)行銷售，已知每副A種球拍的進(jìn)價(jià)比每副B種球拍貴20元，用2800元購進(jìn)A種球拍的數(shù)量與用2000元購進(jìn)B種球拍的數(shù)量相同．（1）求A、B兩種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)；（2）若該商店決定購進(jìn)這兩種羽毛球拍共100副，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100副羽毛球拍的資金不超過5900元，那么該商店最多可購進(jìn)A種羽毛球拍多少副？（3）若銷售A種羽毛球拍每副可獲利潤25元，B種羽毛球拍每副可獲利潤20元，在第（2）問條件下，如何進(jìn)貨獲利最大？最大利潤是多少元？【變式2-6】新春佳節(jié)來臨，某公司組織10輛汽車裝運(yùn)蘋果、蘆柑、香梨三種水果共60噸去外地銷售，要求10輛汽車全部裝滿，每輛汽車只能裝運(yùn)同一種水果，且裝運(yùn)每種水果的車輛都不少于2輛，根據(jù)下表提供的信息，解答以下問題：蘋果蘆柑香梨每輛汽車載貨量（噸）765每噸水果獲利（萬元）0.150.20.1（1）設(shè)裝運(yùn)蘋果的車輛為x輛，裝運(yùn)蘆柑的車輛為y輛，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍（2）用w來表示銷售獲得的利潤，那么怎樣安排車輛能使此次銷售獲利最大？并求出w的最大值．【變式2-7】商店銷售1臺(tái)A型和2臺(tái)B型電腦的利潤為400元，銷售2臺(tái)A型和1臺(tái)B型電腦的利潤為350元，該商店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的2倍，設(shè)購進(jìn)A型電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷售總利潤y元．（1）①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②該商店購進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤最大？（2）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)了m（0＜m≤50）元，且限定商店最多的進(jìn)A型電腦70臺(tái)，若商店保持同種電腦的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）中條件，設(shè)計(jì)出售這100臺(tái)電腦銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．【變式2-8】某水果種植基地為響應(yīng)政府號(hào)召，大力種植優(yōu)質(zhì)水果．某超市看好甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果的市場價(jià)值，決定開始銷售這兩種水果．已知該超市購進(jìn)甲種水果10千克和乙種水果3千克共需要197元；若購進(jìn)甲種水果15千克和乙種水果6千克，則共需要324元．（1）求甲、乙兩種水果每千克的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）該超市決定每天購進(jìn)甲、乙兩種水果共100千克進(jìn)行銷售，甲種水果的售價(jià)為20元/千克，乙種水果的售價(jià)為24元/千克．其中甲種水果的數(shù)量不少于20千克，但不超過60千克．若超市當(dāng)天購進(jìn)的水果當(dāng)天售完（運(yùn)輸和銷售過程中水果的損耗忽略不計(jì)），寫出每天銷售這兩種水果獲得的利潤w（元）與購進(jìn)甲種水果的數(shù)量a（千克）之間的關(guān)系式，并求出a為何值時(shí)能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？【變式2-9】某商店銷售A型和B型兩種型號(hào)的電腦，銷售一臺(tái)A型電腦可獲利120元，銷售一臺(tái)B型電腦可獲利140元．該商店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的3倍．設(shè)購進(jìn)A型電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷售總利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）該商店購進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái)，才能使銷售利潤最大？最大利潤是多少？【變式2-10】在近期“抗疫”期間，某藥店銷售A，B兩種型號(hào)的口罩，已知銷售80只A型和45只B型的利潤為21元，銷售40只A型和60只B型的利潤為18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤；（2）該藥店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號(hào)的口罩共2000只，其中B型口罩的進(jìn)貨量不少于A型口罩的進(jìn)貨量且不超過它的3倍，則該藥店購進(jìn)A型、B型口罩各多少只，才能使銷售總利潤y最大？最大值是多少？【變式2-11】第19屆亞運(yùn)會(huì)已于2023年9月23日至10月8日在中國浙江杭州成功舉行．這是黨的二十大勝利召開之后我國舉辦的規(guī)模最大、水平最高的國際綜合性體育賽事，舉國關(guān)注，舉世矚目．杭州亞運(yùn)會(huì)三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”．某專賣店購進(jìn)A，B兩種杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物禮盒進(jìn)行銷售．A種禮盒每個(gè)進(jìn)價(jià)160元，售價(jià)220元；B種禮盒每個(gè)進(jìn)價(jià)120元，售價(jià)160元．現(xiàn)計(jì)劃購進(jìn)兩種禮盒共100個(gè)，其中A種禮盒不少于60個(gè)．設(shè)購進(jìn)A種禮盒x個(gè)，兩種禮盒全部售完，該專賣店獲利y元．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若購進(jìn)100個(gè)禮盒的總費(fèi)用不超過15000元，求最大利潤為多少元？（3）在（2）的條件下，該專賣店對(duì)A種禮盒以每個(gè)優(yōu)惠m（0＜m＜20）元的價(jià)格進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，B種禮盒每個(gè)進(jìn)價(jià)減少n元，售價(jià)不變，且m﹣n＝4，若最大利潤為4900元，請(qǐng)直接寫出m的值．題型3：利用一次函數(shù)解決行程問題【典例3】2023年12月18日，甘肅積石山縣發(fā)生6.2級(jí)地震，全國各地連夜出發(fā)實(shí)施緊急救援．一輛貨車先從甲地出發(fā)運(yùn)送賑災(zāi)物資到災(zāi)區(qū)，稍后一輛轎車從甲地急送醫(yī)療團(tuán)隊(duì)到災(zāi)區(qū)，已知甲地與災(zāi)區(qū)的路程是330km，貨車行駛時(shí)的速度是60km/h．兩車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象如圖．（1）求出a的值；（2）求轎車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)表達(dá)式；（3）問轎車比貨車早多少時(shí)間到達(dá)災(zāi)區(qū)？【變式3-1】我市蓮池區(qū)開展了“陽光體育，強(qiáng)身健體”系列活動(dòng)，小明積極參與，他每周末和哥哥一起練習(xí)賽跑．哥哥先讓小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降為原來的一半，已知他們所跑的路程y（m）與哥哥跑步的時(shí)間x（s）之間的函數(shù)圖象如圖．（1）哥哥的速度是m/s，哥哥讓小明先跑了米，小明后來的速度為m/s．（2）哥哥跑幾秒時(shí)，哥哥追上小明？（3）求哥哥跑幾秒時(shí)，兩人相距10米？【變式3-2】一輛汽車和一輛摩托車分別從A，B兩地去同一城市C，它們離A地的路程隨時(shí)間變化的圖象如圖所示，已知汽車的速度為60km/h，摩托車比汽車晚1個(gè)小時(shí)到達(dá)城市C．（1）求摩托車到達(dá)城市C所用的時(shí)間；（2）求摩托車離A地的路程y（km）關(guān)于時(shí)間x（h）的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，摩托車和汽車相距30km．【變式3-3】已知A，B兩港口相距150海里，甲船從A港行駛到B港后，休息一段時(shí)間，速度不變，沿原航線返回，同時(shí)，乙船從A港出發(fā)駛向B港，甲、乙兩船離A港的距離s（海里）與甲船行駛時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)兩船相遇時(shí)，兩船到A港的距離為90海里，乙船在行駛過程中，速度不變．（假設(shè)甲、乙兩船沿同一航線航行）（1）直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分別求線段DM、EF的表達(dá)式；（3）甲船行駛多少小時(shí)后兩船在甲船返航過程中相距30海里？【變式3-4】甲、乙兩車早上從A城車站出發(fā)勻速前往B城車站，在整個(gè)行程中，兩車離開A城的距離s與時(shí)間t的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示．（1）A，B兩城之間距離是多少？（2）求甲、乙兩車的速度分別是多少？（3）乙車出發(fā)多長時(shí)間追上甲車？（4）從乙車出發(fā)后到甲車到達(dá)B城車站這一時(shí)間段，在何時(shí)間點(diǎn)兩車相距40km？【變式3-5】一輛客車從甲地開往乙地，到達(dá)乙地即停止．一輛出租車從乙地開往甲地，到達(dá)甲地即停止．兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)客車離甲地的距離為y1千米，出租車離甲地的距離為y2千米，兩車行駛的時(shí)間為x小時(shí)，y1、y2關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示：（1）根據(jù)圖象，直接分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）若兩車之間的距離為S千米，請(qǐng)寫出S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）在行駛過程中，經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距200千米．【變式3-6】甲車從A地出發(fā)勻速向B地行駛，同時(shí)乙車從B地出發(fā)勻速向A地行駛，甲車行駛速度比乙車快，甲、乙兩車距A地的路程y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲車速度為km/h，乙車速度為km/h；（2）求乙車行駛過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在行駛過程中，兩車出發(fā)多長時(shí)間，兩車相距80千米？題型4：利用一次函數(shù)解決運(yùn)輸問題【典例4】受氣候的影響，某超市蔬菜供應(yīng)緊張，需每天從外地調(diào)運(yùn)蔬菜1000斤．超市決定從甲、乙兩大型蔬菜棚調(diào)運(yùn)蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可調(diào)出800斤，乙蔬菜棚每天最多可調(diào)運(yùn)600斤，從兩蔬菜棚調(diào)運(yùn)蔬菜到超市的路程和運(yùn)費(fèi)如表：到超市的路程（千米）運(yùn)費(fèi)（元/斤?千米）甲蔬菜棚1200.03乙蔬菜棚800.05（1）若某天調(diào)運(yùn)蔬菜的總運(yùn)費(fèi)為3840元，則從甲、乙兩蔬菜棚各調(diào)運(yùn)了多少斤蔬菜？（2）設(shè)從甲蔬菜棚調(diào)運(yùn)蔬菜x斤，總運(yùn)費(fèi)為W元，試寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式，怎樣安排調(diào)運(yùn)方案才能使每天的總運(yùn)費(fèi)最??？【變式4-1】2023年12月18日甘肅積石山縣發(fā)生6.2級(jí)地震，造成嚴(yán)重的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失．為支援災(zāi)區(qū)的災(zāi)后重建，甲、乙兩縣分別籌集了水泥200噸和300噸支援災(zāi)區(qū)，現(xiàn)需要調(diào)往災(zāi)區(qū)A鎮(zhèn)100噸，調(diào)往災(zāi)區(qū)B鎮(zhèn)400噸．已知從甲縣調(diào)運(yùn)一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運(yùn)費(fèi)分別為40元和80元；從乙縣調(diào)運(yùn)一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運(yùn)費(fèi)分別為30元和50元．（1）設(shè)從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥x噸，求總運(yùn)費(fèi)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，最低運(yùn)費(fèi)是多少？【變式4-2】為了救援地震災(zāi)區(qū)，某市A、B兩廠共同承接了生產(chǎn)500噸救災(zāi)物資任務(wù)，A廠生產(chǎn)量是B廠生產(chǎn)量的2倍少100噸，這批救災(zāi)物資將運(yùn)往甲、乙兩地，其中甲地需要物資240噸，乙地需要物資260噸，運(yùn)費(fèi)如表：（單位：元/噸）目的地生產(chǎn)廠家甲乙A2025B1524（1）A廠生產(chǎn)了噸救災(zāi)物資、B廠生產(chǎn)了噸救災(zāi)物資；（2）設(shè)這批物資從B廠運(yùn)往甲地x噸，全部運(yùn)往甲、乙兩地的總運(yùn)費(fèi)為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)使總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)運(yùn)方案；（3）當(dāng)每噸運(yùn)費(fèi)降低a元，（0＜a≤15，且a為整數(shù)），若按照（2）中設(shè)計(jì)的調(diào)運(yùn)方案運(yùn)輸，且總運(yùn)費(fèi)不超過5400元，求a的最小值．【變式4-3】A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)，從A城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為20元/噸和25元/噸；從B城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為15元/噸和24元/噸．現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240噸，D鄉(xiāng)需要肥料260噸，設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的肥料為x噸，運(yùn)往C鄉(xiāng)肥料的總運(yùn)費(fèi)為y1，運(yùn)往D鄉(xiāng)肥料的總運(yùn)費(fèi)為y2．（1）寫出y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）怎樣調(diào)度總運(yùn)費(fèi)最少？求出最少的運(yùn)輸費(fèi)用．【變式4-4】列二元一次方程組解應(yīng)用題．2023年12月18日甘肅發(fā)生6.2級(jí)地震，遼寧省應(yīng)急、交通等部門給予大力幫助．針對(duì)災(zāi)區(qū)房屋安全、電力供應(yīng)、物資保障等方面進(jìn)行全方位排查，現(xiàn)安排甲、乙兩種貨車從某醫(yī)藥公司倉庫運(yùn)輸物資到地震災(zāi)區(qū)，兩種貨車的情況如表：甲種貨車/輛乙種貨車/輛總量/噸第一次3427第二次4535（1）甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨多少噸？（2）據(jù)了解，這次運(yùn)輸中，每輛車都裝滿，甲種貨車?yán)繃嵷浳锖馁M(fèi)100元，乙種貨車?yán)繃嵷浳锖馁M(fèi)150元，有5輛車參與運(yùn)貨，其中甲種貨車a輛．求貨車所需總費(fèi)用w與a之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，要使所需總費(fèi)用最低，該如何安排拉貨？最低總費(fèi)用是多少？【變式4-5】某公園將舉辦免費(fèi)冰燈游園會(huì)，目的是為公眾提供一個(gè)廣泛參與、歡樂共享的冰雪季活動(dòng)場所．該公園計(jì)劃分兩批運(yùn)進(jìn)冰塊用于制作冰燈，第一批運(yùn)進(jìn)1800立方米冰塊，比第二批運(yùn)進(jìn)冰塊少25%．（1）第二批運(yùn)進(jìn)多少立方米冰塊？（2）該公園運(yùn)進(jìn)每批冰塊時(shí)，都只能從甲、乙兩家運(yùn)輸公司中選擇其中一家運(yùn)輸公司運(yùn)進(jìn)．甲、乙兩家運(yùn)輸公司的相關(guān)信息如下表：項(xiàng)目公司運(yùn)載量（立方米/車）運(yùn)費(fèi)（元/車）優(yōu)惠條件甲家運(yùn)輸公司60600運(yùn)費(fèi)不超過5000元時(shí)，無優(yōu)惠；運(yùn)費(fèi)超過5000元時(shí)，超過5000元的部分打七五折乙家運(yùn)輸公司45420運(yùn)費(fèi)每滿2000元減300元，少于2000元的部分不享受優(yōu)惠①選擇哪家運(yùn)輸公司運(yùn)進(jìn)第一批冰塊的運(yùn)費(fèi)最低，最低運(yùn)費(fèi)是多少元？②選擇哪家運(yùn)輸公司運(yùn)進(jìn)第二批冰塊的運(yùn)費(fèi)最低，最低運(yùn)費(fèi)是多少元？【變式4-6】2022年春，新冠肺炎疫情再次爆發(fā)后，全國人民眾志成城抗擊疫情．某省A，B兩市成為疫情重災(zāi)區(qū)，抗疫物資一度嚴(yán)重緊缺，對(duì)口支援的C，D市獲知A，B兩市分別急需抗疫物資200噸和300噸的消息后，決定調(diào)運(yùn)物資支援災(zāi)區(qū)．已知C市有救災(zāi)物資240噸，D市有救災(zāi)物資260噸，現(xiàn)將這些抗疫物資全部調(diào)往A，B兩市．已知從C市運(yùn)往A，B兩市的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從D市運(yùn)往往A，B兩市的費(fèi)用別為每噸15元和30元，設(shè)從D市運(yùn)往B市的救災(zāi)物資為x噸，并繪制出表：A（噸）B（噸）合計(jì)（噸）C（噸）ab240D（噸）cx260總計(jì)（噸）200300500（1）a＝，b＝，c＝（用含x的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)C，D兩市的總運(yùn)費(fèi)為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）由于途經(jīng)地區(qū)的全力支持，D市到B市的運(yùn)輸路線得以改善和優(yōu)化，縮短了運(yùn)輸時(shí)間，運(yùn)費(fèi)每噸減少m元（m＞0），其余路線運(yùn)費(fèi)不變，若C，D兩市的總運(yùn)費(fèi)的最小值為10320元，求m的值．【變式4-7】某果品公司要請(qǐng)汽車運(yùn)輸公司或火車貨運(yùn)站將60噸水果從A地運(yùn)到B地．已知汽車和火車從A地到B地的運(yùn)輸路程都是x千米，兩家運(yùn)輸單位除都要收取運(yùn)輸途中每噸每小時(shí)5元的冷藏費(fèi)外，其他要收取的費(fèi)用和有關(guān)運(yùn)輸資料由下表列出：運(yùn)輸單位運(yùn)輸速度（千米/時(shí)）運(yùn)費(fèi)單價(jià)元/（噸?千米）運(yùn)輸途中冷藏元/（噸?時(shí)）裝卸總費(fèi)用（元）汽車貨運(yùn)公司751.554000火車貨運(yùn)站1001.356600（1）用含x的式子分別表示汽車貨運(yùn)公司和火車貨運(yùn)站運(yùn)送這批水果所要收取的總費(fèi)用（總運(yùn)費(fèi)＝運(yùn)費(fèi)+運(yùn)輸途中冷藏費(fèi)+裝卸總費(fèi)用）；（2）果品公司應(yīng)該選擇哪家運(yùn)輸單位運(yùn)送水果花費(fèi)少？【變式4-8】某運(yùn)輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運(yùn)往A，B兩地，兩種貨車載重量及到A，B兩地的運(yùn)輸成本如表：貨車類型載重量（噸/輛）運(yùn)往A地的成本（元/輛）運(yùn)往B地的成本（元/輛）甲種161200900乙種121000750（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運(yùn)往B地．設(shè)甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運(yùn)輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．①寫出w與t之間的函數(shù)解析式；②當(dāng)t為何值時(shí)，w最??？最小值是多少？【變式4-9】某企業(yè)下屬A、B兩廠向甲乙兩地運(yùn)送水泥共520噸，A廠比B廠少運(yùn)送20噸，從A廠運(yùn)往甲乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為40元/噸和35元/噸，從B廠運(yùn)往甲乙兩地的運(yùn)費(fèi)分別為28元/噸和25元/噸．（1）求A、B兩廠各運(yùn)送多少噸水泥；（2）現(xiàn)甲地需要水泥240噸，乙地需要水泥280噸．受條件限制，B廠運(yùn)往甲地的水泥最多150噸．設(shè)從A廠運(yùn)往甲地a噸水泥，A、B兩廠運(yùn)往甲乙兩地的總運(yùn)費(fèi)為w元．求w與a之間的函數(shù)關(guān)系式，請(qǐng)你為該企業(yè)設(shè)計(jì)一種總運(yùn)費(fèi)最低的運(yùn)輸方案，并說明理由．專題12一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用壓軸題型1：利用一次函數(shù)解決方案問題題型2：利用一次函數(shù)解決銷售利潤問題題型3：利用一次函數(shù)解決行程問題題型4：利用一次函數(shù)解決運(yùn)輸問題題型1：利用一次函數(shù)解決方案問題【典例1】我校將舉辦一年一度的秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，需要采購一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍標(biāo)價(jià)80元，一盒球標(biāo)價(jià)25元．體育商店提供了兩種優(yōu)惠方案，具體如下：方案甲：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原價(jià)出售；方案乙：按購買金額打9折付款．學(xué)校欲購買這種乒乓球拍10副，乒乓球x（x≥10）盒．（1）請(qǐng)直接寫出兩種優(yōu)惠辦法實(shí)際付款金額y甲（元），y乙（元）與x（盒）之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）如果學(xué)校需要購買15盒乒乓球，哪種優(yōu)惠方案更省錢？（3）如果學(xué)校提供經(jīng)費(fèi)為1800元，選擇哪個(gè)方案能購買更多乒乓球？【答案】（1）y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720；（2）方案甲更省錢；（3）學(xué)校提供經(jīng)費(fèi)為1800元，選擇方案甲能購買更多乒乓球．【解答】解：（1）由題意得：y甲＝10×80+25（x﹣10）＝25x+550，y乙＝25×0.9x+80×0.9×10＝22.5x+720，（2）根據(jù)（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720，當(dāng)x＝15時(shí)y甲＝25×15+550＝925（元），y乙＝22.5×15+720＝1057.5（元），∵925＜1057.5，∴方案甲更省錢；（3）根據(jù)（1）中解析式，y甲＝25x+550，y乙＝22.5x+720，當(dāng)y甲＝1800元時(shí)，1800＝25x+550，解得：x＝50，當(dāng)y乙＝1800元時(shí)，1800＝22.5x+720，解得：x＝48，∵50＞48，∴學(xué)校提供經(jīng)費(fèi)為1800元，選擇方案甲能購買更多乒乓球．【變式1-1】已知用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸．某物流公司現(xiàn)有34噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型和B型車輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？（2）若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．共有幾種租車方案，哪種方案租車費(fèi)用最少？【答案】（1）1輛A型車載滿貨物一次可運(yùn)貨3噸，1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨4噸；（2）該物流公司共有三種租車方案，方案1：租用A型車10輛，B型車1輛；方案2：租用A型車6輛，B型車4輛；方案3：租用A型車2輛，B型車7輛．方案3租用A型車2輛、B型車7輛最省錢，最少租車費(fèi)為1040元．【解答】解：（1）設(shè)1輛A型車載滿貨物一次可運(yùn)貨x噸，1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨y噸，依題意，得：，解得：．答：1輛A型車載滿貨物一次可運(yùn)貨3噸，1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨4噸．（2）設(shè)A型車租a輛，B型車租b輛，依題意，得：3a+4b＝34，∴a＝．∵a，b均為非負(fù)整數(shù)，∴，，，∴該物流公司共有三種租車方案，方案1：租用A型車10輛，B型車1輛；方案2：租用A型車6輛，B型車4輛；方案3：租用A型車2輛，B型車7輛．方案1所需租金：100×10+120×1＝1120（元），方案2所需租金：100×6+120×4＝1080（元），方案3所需租金：100×2+120×7＝1040（元）．∵1120＞1080＞1040，∴方案3租用A型車2輛、B型車7輛最省錢，最少租車費(fèi)為1040元．【變式1-2】2022年秋，鄭州新冠疫情牽動(dòng)全國，社會(huì)各界籌集的醫(yī)用，建設(shè)等物資不斷從各地向鄭州匯集．這期間，恰逢春節(jié)承運(yùn)資源短缺，緊急情況下，多家物流企業(yè)紛紛開通特別通道，馳援鄭州，為生產(chǎn)藥品，口罩，醫(yī)療器械等緊急物資的企業(yè)提供全方位支持．已知用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸，某物流公司計(jì)劃租用這兩種車輛運(yùn)輸物資．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛車B型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？（2）若A型車每輛需租金90元/次，B型車每輛需租金110元/次．物流公司計(jì)劃共租用8輛車，請(qǐng)寫出總租車費(fèi)用w（元）與租用A型車數(shù)量a（輛）的函數(shù)關(guān)系式．（3）如果汽車租賃公司的A型車只剩了6輛，B型車還有很多．在（2）的條件下，請(qǐng)選出最省錢的租車車方案，并求出最少租車費(fèi)用．【答案】（1）1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨3噸、4噸；（2）w＝﹣20a+880；（3）租6輛A型車，2輛B型車，租車費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為760元．【解答】解：（1）設(shè)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨x噸、y噸，由題意得：，解得，∴1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨3噸、4噸．（2）由題意可得：w＝90a+110（8﹣a）＝﹣20a+880；（3）在一次函數(shù)w＝﹣20a+880中，∵﹣20＜0，∴w隨a的增大而?。挥深}意知：a≤6，則當(dāng)a＝6時(shí)，總租車費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為：w＝﹣20×6+880＝760．8﹣6＝2．∴最省錢的租車方案為租6輛A型車，2輛B型車，租車費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為760元．題型2：利用一次函數(shù)解決銷售利潤問題【典例2】2023年第一屆全國學(xué)生（青年）運(yùn)動(dòng)會(huì)在南寧市某中學(xué)初中部舉行火炬?zhèn)鬟f儀式，有幸參與該盛事的學(xué)校的九年級(jí)1000名學(xué)生將在火炬?zhèn)鬟f經(jīng)過的校道兩邊為火炬手搖旗吶喊，年級(jí)制定的活動(dòng)經(jīng)費(fèi)初步方案是采購一些手搖式小國旗，每面小國旗售價(jià)為0.8元．經(jīng)過進(jìn)一步商討之后，年級(jí)決定再補(bǔ)購印有運(yùn)動(dòng)會(huì)吉祥物“壯壯”和“美美”的頭戴式小彩旗若干個(gè)．詢問甲、乙兩家吉祥物特許經(jīng)銷商，他們考慮到學(xué)校情況給出了不同的銷售方案．甲經(jīng)銷商的銷售方案是每個(gè)頭戴式小彩旗賣2.2元．乙經(jīng)銷商的方案是：購買不超過200個(gè)頭戴式小彩旗，每個(gè)售價(jià)2.5元；若超過200個(gè)，則超過部分每個(gè)售價(jià)2元．（1）設(shè)向乙經(jīng)銷商購買x個(gè)頭戴式小彩旗，所需費(fèi)用為y元，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）年級(jí)最終決定必須要買1000面小國旗及若干個(gè)頭戴式小彩旗，最終總費(fèi)用不低于1600元，不超過2000元．若向甲、乙兩家經(jīng)銷商中的一家購買頭戴式小彩旗，年級(jí)該向哪一家購買頭戴式小彩旗最合算？【答案】（1）y＝；（2）當(dāng)總費(fèi)用大于或等于1600而小于1900元時(shí)，向甲經(jīng)銷商購買最合算；當(dāng)購買小彩旗費(fèi)用為1900元時(shí)，兩家一樣合算；當(dāng)購買總費(fèi)用大于1900元而小于或等于2000元時(shí)，向乙經(jīng)銷商購買最合適．【解答】解：（1）當(dāng)0≤x≤200時(shí)，y＝2.5x；當(dāng)x＞200時(shí)，y＝200×2.5+2（x﹣200）＝2x+100；綜上，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝．（2）設(shè)在甲、乙兩家經(jīng)銷商購買x個(gè)頭戴式小彩旗所需費(fèi)用分別為y1元、y2元，則y1＝2.2x．由（1）得，y2＝．它們的函數(shù)圖象如圖所示：∵最終總費(fèi)用不低于1600元，不超過2000元，購買1000面小國旗的費(fèi)用是1000×0.8＝800（元），∴購買頭戴式小彩旗的費(fèi)用最少800元，最多1200元，即800≤y1≤1200，800≤y2≤1200．當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，2.2x＝2x+100，解得x＝500，此時(shí)y1＝y(tǒng)2＝1100．由圖象可知，當(dāng)購買頭戴式小彩旗的費(fèi)用低于1100元時(shí)，向甲經(jīng)銷商購買最合算；當(dāng)購買頭戴式小彩旗費(fèi)用為1100元時(shí)，兩家一樣合算；當(dāng)購買頭戴式小彩旗費(fèi)用大于1100元時(shí)，向乙經(jīng)銷商購買最合適．綜上，當(dāng)總費(fèi)用大于或等于1600而小于1900元時(shí)，向甲經(jīng)銷商購買最合算；當(dāng)購買小彩旗費(fèi)用為1900元時(shí)，兩家一樣合算；當(dāng)購買總費(fèi)用大于1900元而小于或等于2000元時(shí)，向乙經(jīng)銷商購買最合適．【變式2-1】“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國經(jīng)濟(jì)更具活力．牡丹花會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款花會(huì)紀(jì)念鑰匙扣進(jìn)行銷售，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：價(jià)格/類別A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價(jià)（元/件）2025銷售價(jià)（元/件）3037（1）網(wǎng)店第一次用1100元購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共50件，求兩款鑰匙扣分別購進(jìn)的件數(shù)；（2）第一次購進(jìn)的花會(huì)紀(jì)念鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共240件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且第二次進(jìn)貨總價(jià)不高于5800元．網(wǎng)店這次應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？【答案】（1）購進(jìn)A款鑰匙扣30件，B款鑰匙扣20件；（2）當(dāng)購進(jìn)40件A款鑰匙扣，200件B款鑰匙扣時(shí)，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是2800元．【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)A款鑰匙扣x件，B款鑰匙扣y件，根據(jù)題意得：，解得：．答：購進(jìn)A款鑰匙扣30件，B款鑰匙扣20件；（2）設(shè)購進(jìn)m件A款鑰匙扣，則購進(jìn)（240﹣m）件B款鑰匙扣，根據(jù)題意得：20m+25（240﹣m）≤5800，解得：m≥40．設(shè)再次購進(jìn)的A、B兩款鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤為w元，則w＝（30﹣20）m+（37﹣25）（240﹣m）＝﹣2m+2880．∵﹣2＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝40時(shí)，w取得最大值，最大值＝﹣2×40+2880＝2800（元），此時(shí)240﹣40＝200（元）．答：當(dāng)購進(jìn)40件A款鑰匙扣，200件B款鑰匙扣時(shí)，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是2800元．【變式2-2】2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，吉祥物徽章受到了眾多人的喜愛．某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A款禮盒120盒，B款禮盒50盒，兩款禮盒全部售完．兩款禮盒的進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：類別A款禮盒B款禮盒進(jìn)貨價(jià)（元/盒）3025銷售價(jià)（元/盒）4533（1）求該網(wǎng)店銷售這兩款禮盒所獲得的總利潤．（2）網(wǎng)店計(jì)劃用第一次所獲的銷售利潤再次去購買A、B兩款禮盒共80盒．該如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，使網(wǎng)店獲得最大的銷售利潤？最大銷售利潤是多少？【答案】（1）該網(wǎng)店銷售這兩款禮盒所獲得的總利潤為2200元；（2）該網(wǎng)店購進(jìn)A款禮盒和B款禮盒各40盒網(wǎng)店獲得最大的銷售利潤，最大利潤為920元．【解答】解：（1）120×（45﹣30）+50（33﹣25）＝1800+400＝2200（元），答：該網(wǎng)店銷售這兩款禮盒所獲得的總利潤為2200元；（2）設(shè)購進(jìn)x盒A款禮盒，則購進(jìn)（80﹣x）盒B款禮盒，網(wǎng)店所獲利潤為y元，根據(jù)題意得：y＝（45﹣30）x+（33﹣25）（80﹣x）＝7x+640，又∵30x+25（80﹣x）≤2200，∴x≤40，∵7＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝40時(shí)，y有最大值，最大值為920，∴該網(wǎng)店購進(jìn)A款禮盒和B款禮盒各40盒網(wǎng)店獲得最大的銷售利潤，最大利潤為920元．【變式2-3】“書香中國，讀領(lǐng)未來”，4月23日是世界讀書日，我市某書店同時(shí)購進(jìn)A，B兩類圖書，已知購進(jìn)3本A類圖書和4本B類圖書共需160元；購進(jìn)6本A類圖書和2本B類圖書共需170元．（1）A，B兩類圖書每本的進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）該書店計(jì)劃用2000元購進(jìn)這兩類圖書，設(shè)購進(jìn)A類x本，B類y本．①求y關(guān)于x的關(guān)系式；②進(jìn)貨時(shí)，A類圖書的購進(jìn)數(shù)量不少于50本，已知A類圖書每本的售價(jià)為28元，B類圖書每本的售價(jià)為40元，如何進(jìn)貨才能使書店所獲利潤最大？最大利潤為多少元？【答案】（1）A類圖書每本的進(jìn)價(jià)是20元，B類圖書每本的進(jìn)價(jià)是25元；（2）①；②購進(jìn)A類圖書50本，B類圖書40本時(shí)，才能使書店所獲利潤最大，最大利潤為1000元．【解答】解：（1）設(shè)A類圖書每本的進(jìn)價(jià)是a元，B類圖書每本的進(jìn)價(jià)是b元，根據(jù)題意得：，解得：，答：A類圖書每本的進(jìn)價(jià)是20元，B類圖書每本的進(jìn)價(jià)是25元；（2）①根據(jù)題意得：20x+25y＝2000，∴y關(guān)于x的關(guān)系式為；②設(shè)書店所獲利潤為w元，根據(jù)題意得：W＝（28﹣20）x+（40﹣25）y＝8x+15y＝＝﹣4x+1200∵﹣2＜0，∴W隨x的增大而減小，∵A類圖書的購進(jìn)數(shù)量不少于50本，∴x≥50，∴當(dāng)x＝50時(shí)，W由最大值，最大值為﹣4×50+1200＝1000，此時(shí)，答：購進(jìn)A類圖書50本，B類圖書40本時(shí)，才能使書店所獲利潤最大，最大利潤為1000元．【變式2-4】為迎接新春佳節(jié)的到來，一水果店計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種新出產(chǎn)的水果共160千克，這兩種水果的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表所示：進(jìn)價(jià)（元/千克）售價(jià)（元/千克）甲種58乙種913（1）若該水果店預(yù)計(jì)進(jìn)貨款為1000元，則這兩種水果各購進(jìn)多少千克？（2）若該水果店決定乙種水果的進(jìn)貨量不超過甲種水果的進(jìn)貨量的3倍，應(yīng)怎樣安排進(jìn)貨才能使水果店在銷售完這批水果時(shí)獲利最多？此時(shí)利潤為多少元？【答案】（1）甲種水果購進(jìn)110千克，則乙種水果購進(jìn)50千克；（2）安排購買甲種水果40kg，乙種水果120千克，才能使水果店在銷售完這批水果時(shí)獲利最多，此時(shí)利潤為600元．【解答】解：（1）設(shè)甲種水果購進(jìn)x千克，則乙種水果購進(jìn)（160﹣x）千克，由題意可得：5x+9（160﹣x）＝1000，解得x＝110，∴160﹣x＝50，答：甲種水果購進(jìn)110千克，則乙種水果購進(jìn)50千克；（2）設(shè)購進(jìn)甲種水果m千克，則乙種水果購進(jìn)（160﹣m）千克，獲得的利潤為w元，由題意可得：w＝（8﹣5）m+（13﹣9）（160﹣m）＝﹣m+640，∴w隨m的增大而減小，∵該水果店決定乙種水果的進(jìn)貨量不超過甲種水果的進(jìn)貨量的3倍，∴160﹣m≤3m，解得m≥40，∴當(dāng)m＝40時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝600，160﹣m＝120，答：安排購買甲種水果40kg，乙種水果120千克，才能使水果店在銷售完這批水果時(shí)獲利最多，此時(shí)利潤為600元．【變式2-5】隨著“雙減”政策的逐步落實(shí)，其中增加中學(xué)生體育鍛煉時(shí)間的政策引發(fā)社會(huì)的廣泛關(guān)注，體育用品需求增加，某商店決定購進(jìn)A、B兩種羽毛球拍進(jìn)行銷售，已知每副A種球拍的進(jìn)價(jià)比每副B種球拍貴20元，用2800元購進(jìn)A種球拍的數(shù)量與用2000元購進(jìn)B種球拍的數(shù)量相同．（1）求A、B兩種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)；（2）若該商店決定購進(jìn)這兩種羽毛球拍共100副，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100副羽毛球拍的資金不超過5900元，那么該商店最多可購進(jìn)A種羽毛球拍多少副？（3）若銷售A種羽毛球拍每副可獲利潤25元，B種羽毛球拍每副可獲利潤20元，在第（2）問條件下，如何進(jìn)貨獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)A種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)題意，得，解得x＝70，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝70是原分式方程的根，且符合題意，70﹣20＝50（元），答：A種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)為70元，B種羽毛球拍每副的進(jìn)價(jià)為50元；（2）設(shè)該商店購進(jìn)A種羽毛球拍m副，根據(jù)題意，得70m+50（100﹣m）≤5900，解得m≤45，m為正整數(shù)，答：該商店最多購進(jìn)A種羽毛球拍45副；（3）設(shè)總利潤為w元，w＝25m+20（100﹣m）＝5m+2000，∵5＞0，∴w隨著m的增大而增大，當(dāng)m＝45時(shí)，w取得最大值，最大利潤為5×45+2000＝2225（元），此時(shí)購進(jìn)A種羽毛球拍45副，B種羽毛球拍100﹣45＝55（副），答：購進(jìn)A種羽毛球拍45副，B種羽毛球拍55副時(shí)，總獲利最大，最大利潤為2225元．【變式2-6】新春佳節(jié)來臨，某公司組織10輛汽車裝運(yùn)蘋果、蘆柑、香梨三種水果共60噸去外地銷售，要求10輛汽車全部裝滿，每輛汽車只能裝運(yùn)同一種水果，且裝運(yùn)每種水果的車輛都不少于2輛，根據(jù)下表提供的信息，解答以下問題：蘋果蘆柑香梨每輛汽車載貨量（噸）765每噸水果獲利（萬元）0.150.20.1（1）設(shè)裝運(yùn)蘋果的車輛為x輛，裝運(yùn)蘆柑的車輛為y輛，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍（2）用w來表示銷售獲得的利潤，那么怎樣安排車輛能使此次銷售獲利最大？并求出w的最大值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)裝運(yùn)蘋果的車輛為x輛，裝運(yùn)蘆柑的車輛為y輛，則運(yùn)香梨的車輛（10﹣x﹣y）輛．7x+6y+5（10﹣x﹣y）＝60，∴y＝﹣2x+10（2≤x≤4）；（2）w＝7×0.15x+6×0.2（﹣2x+10）+5×0.1[10﹣x﹣（﹣2x+10）]，即w＝﹣0.85x+12，∵﹣0.85＜0，∴w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝2時(shí)，w有最大值10.3萬元，∴裝運(yùn)蘋果的車輛2輛，裝運(yùn)蘆柑的車輛6輛，運(yùn)香梨的車輛2輛時(shí)，此次銷售獲利最大，最大利潤為10.3萬元．【變式2-7】商店銷售1臺(tái)A型和2臺(tái)B型電腦的利潤為400元，銷售2臺(tái)A型和1臺(tái)B型電腦的利潤為350元，該商店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的2倍，設(shè)購進(jìn)A型電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷售總利潤y元．（1）①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②該商店購進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤最大？（2）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)了m（0＜m≤50）元，且限定商店最多的進(jìn)A型電腦70臺(tái)，若商店保持同種電腦的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）中條件，設(shè)計(jì)出售這100臺(tái)電腦銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．【答案】（1）①y＝﹣50x+15000，②商店購進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷售利潤最大．（2）①當(dāng)0＜m＜50時(shí)，商店購進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷售利潤最大．②m＝50時(shí)，商店購進(jìn)A型電腦數(shù)量滿足33≤x≤70的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤．【解答】解：（1）設(shè)每臺(tái)A型電腦銷售利潤為a元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤為b元；根據(jù)題意得解得∴y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，②據(jù)題意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y隨x的增大而減小，∵x為正整數(shù)，∴當(dāng)x＝34時(shí)，y取最大值，則100﹣x＝66，即商店購進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷售利潤最大．（2）據(jù)題意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，33≤x≤70①當(dāng)0＜m＜50時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝34時(shí)，y取最大值，即商店購進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦的銷售利潤最大．②m＝50時(shí)，m﹣50＝0，y＝15000，即商店購進(jìn)A型電腦數(shù)量滿足33≤x≤70的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤．【變式2-8】某水果種植基地為響應(yīng)政府號(hào)召，大力種植優(yōu)質(zhì)水果．某超市看好甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果的市場價(jià)值，決定開始銷售這兩種水果．已知該超市購進(jìn)甲種水果10千克和乙種水果3千克共需要197元；若購進(jìn)甲種水果15千克和乙種水果6千克，則共需要324元．（1）求甲、乙兩種水果每千克的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）該超市決定每天購進(jìn)甲、乙兩種水果共100千克進(jìn)行銷售，甲種水果的售價(jià)為20元/千克，乙種水果的售價(jià)為24元/千克．其中甲種水果的數(shù)量不少于20千克，但不超過60千克．若超市當(dāng)天購進(jìn)的水果當(dāng)天售完（運(yùn)輸和銷售過程中水果的損耗忽略不計(jì)），寫出每天銷售這兩種水果獲得的利潤w（元）與購進(jìn)甲種水果的數(shù)量a（千克）之間的關(guān)系式，并求出a為何值時(shí)能獲得最大利潤？最大利潤是多少元？【答案】（1）甲種水果每千克的進(jìn)價(jià)是14元，乙種水果每千克的進(jìn)價(jià)是19元；（2）每天銷售這兩種水果獲得的利潤w（元）與購進(jìn)甲種水果的數(shù)量a（千克）之間的關(guān)系式為w＝a+500；當(dāng)a＝60時(shí)，能獲得最大利潤，最大利潤是560元．【解答】解：（1）設(shè)甲種水果每千克的進(jìn)價(jià)是x元，乙種水果每千克的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)題意得：，解得，答：甲種水果每千克的進(jìn)價(jià)是14元，乙種水果每千克的進(jìn)價(jià)是19元；（2）由題意得：w＝（20﹣14）a+（24﹣19）（100﹣a）＝6a+5（100﹣a）＝a+500，∵1＞0，20≤a≤60，∴當(dāng)a＝60時(shí)，w最大，最大值為560，∴每天銷售這兩種水果獲得的利潤w（元）與購進(jìn)甲種水果的數(shù)量a（千克）之間的關(guān)系式為w＝a+500；當(dāng)a＝60時(shí)，能獲得最大利潤，最大利潤是560元．【變式2-9】某商店銷售A型和B型兩種型號(hào)的電腦，銷售一臺(tái)A型電腦可獲利120元，銷售一臺(tái)B型電腦可獲利140元．該商店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的3倍．設(shè)購進(jìn)A型電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷售總利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）該商店購進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái)，才能使銷售利潤最大？最大利潤是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意可得，A型電腦的總利潤為：120x，B型電腦的總利潤為：140（100﹣x），∴A、B電腦的總利潤：y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣20x+14000，又B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的3倍，∴100﹣x≤3x，解得：x≥25，∴自變量x的取值范圍為：25≤x≤100，且x為正整數(shù)，∴y＝﹣20x+14000（25≤x≤100，且x為正整數(shù)）；（2）∵y＝﹣20x+14000，且﹣20＜0，∴y隨x的增大而減小，∵25≤x≤100，且x為正整數(shù)，∴x＝25時(shí)，y有最大值為：﹣20×25+14000＝13500，∴A型電腦進(jìn)貨25臺(tái)，B型電腦進(jìn)貨75臺(tái)，銷售利潤最大為13500元．【變式2-10】在近期“抗疫”期間，某藥店銷售A，B兩種型號(hào)的口罩，已知銷售80只A型和45只B型的利潤為21元，銷售40只A型和60只B型的利潤為18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤；（2）該藥店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號(hào)的口罩共2000只，其中B型口罩的進(jìn)貨量不少于A型口罩的進(jìn)貨量且不超過它的3倍，則該藥店購進(jìn)A型、B型口罩各多少只，才能使銷售總利潤y最大？最大值是多少？【答案】（1）每只A型口罩銷售利潤為0.15元，每只B型口罩銷售利潤為0.2元；（2）藥店購進(jìn)A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使銷售總利潤最大，總利潤最大為375元．【解答】解：（1）設(shè)每只A型口罩銷售利潤為a元，每只B型口罩銷售利潤為b元，根據(jù)題意得：，解得，答：每只A型口罩銷售利潤為0.15元，每只B型口罩銷售利潤為0.2元；（2）根據(jù)題意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；根據(jù)題意得，，解得500≤x≤1000，∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000），∵﹣0.05＜0，∴y隨x的增大而減小，∵x為正整數(shù)，∴當(dāng)x＝500時(shí)，y取最大值為375元，則2000﹣x＝1500，即藥店購進(jìn)A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使銷售總利潤最大為375元．【變式2-11】第19屆亞運(yùn)會(huì)已于2023年9月23日至10月8日在中國浙江杭州成功舉行．這是黨的二十大勝利召開之后我國舉辦的規(guī)模最大、水平最高的國際綜合性體育賽事，舉國關(guān)注，舉世矚目．杭州亞運(yùn)會(huì)三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”．某專賣店購進(jìn)A，B兩種杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物禮盒進(jìn)行銷售．A種禮盒每個(gè)進(jìn)價(jià)160元，售價(jià)220元；B種禮盒每個(gè)進(jìn)價(jià)120元，售價(jià)160元．現(xiàn)計(jì)劃購進(jìn)兩種禮盒共100個(gè)，其中A種禮盒不少于60個(gè)．設(shè)購進(jìn)A種禮盒x個(gè)，兩種禮盒全部售完，該專賣店獲利y元．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若購進(jìn)100個(gè)禮盒的總費(fèi)用不超過15000元，求最大利潤為多少元？（3）在（2）的條件下，該專賣店對(duì)A種禮盒以每個(gè)優(yōu)惠m（0＜m＜20）元的價(jià)格進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，B種禮盒每個(gè)進(jìn)價(jià)減少n元，售價(jià)不變，且m﹣n＝4，若最大利潤為4900元，請(qǐng)直接寫出m的值．【答案】（1）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝20x+4000；（2）最大利潤為5500元；（3）m＝10．【解答】解：（1）由題意得：y＝（220﹣160）x+（160﹣120）×（100﹣x）＝20x+4000，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝20x+4000；（2）由題意得：，∴60≤x≤75，∵y＝20x+4000中，20＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝75時(shí)，y有最大值，最大值＝20×75+4000＝5500（元），∴最大利潤為5500元；（3）∵m﹣n＝4，∴n＝m﹣4，由題意得：y＝（220﹣160﹣m）x+（160﹣120+n）（100﹣x）＝（60﹣m）x+（40+n）×100﹣（40+n）x＝（24﹣2m）x+100m+3600．∵60≤x≤75，0＜m＜20，∴當(dāng)0＜m＜12時(shí)，24﹣2m＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝75時(shí)，y最大＝（24﹣2m）×75+100m+3600＝4900，∴m＝10，符合題意；當(dāng)m＝12時(shí)，y＝100×12+3600＝4800≠4950，不合題意；當(dāng)12＜m＜20時(shí)，24﹣2m＜0，∴y隨x的增大而減?。喈?dāng)x＝60時(shí)，y最大＝（24﹣2m）×60+100m+3600＝4900，∴m＝7，不合題意，舍去．綜上，m＝10．題型3：利用一次函數(shù)解決行程問題【典例3】2023年12月18日，甘肅積石山縣發(fā)生6.2級(jí)地震，全國各地連夜出發(fā)實(shí)施緊急救援．一輛貨車先從甲地出發(fā)運(yùn)送賑災(zāi)物資到災(zāi)區(qū)，稍后一輛轎車從甲地急送醫(yī)療團(tuán)隊(duì)到災(zāi)區(qū)，已知甲地與災(zāi)區(qū)的路程是330km，貨車行駛時(shí)的速度是60km/h．兩車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)圖象如圖．（1）求出a的值；（2）求轎車離甲地的路程s（km）與時(shí)間t（h）的函數(shù)表達(dá)式；（3）問轎車比貨車早多少時(shí)間到達(dá)災(zāi)區(qū)？【答案】（1）1.5h；（2）s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；（3）轎車比貨車早1.2h到達(dá)災(zāi)區(qū)．【解答】解：（1）∵貨車的速度是60km/h，∴a＝＝1.5（h）；（2）由圖象可得點(diǎn)（1.5，0），（3，150），設(shè)直線的表達(dá)式為s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：，解得，∴s＝100t﹣150（1.5≤t≤4.8）；（3）由圖象可得貨車走完全程需要+0.5＝6（h），∴貨車到達(dá)乙地需6h，∵s＝100t﹣150，s＝330，解得t＝4.8，∴兩車相差時(shí)間為6﹣4.8＝1.2（h），∴貨車還需要1.2h才能到達(dá)，即轎車比貨車早1.2h到達(dá)災(zāi)區(qū)．【變式3-1】我市蓮池區(qū)開展了“陽光體育，強(qiáng)身健體”系列活動(dòng)，小明積極參與，他每周末和哥哥一起練習(xí)賽跑．哥哥先讓小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降為原來的一半，已知他們所跑的路程y（m）與哥哥跑步的時(shí)間x（s）之間的函數(shù)圖象如圖．（1）哥哥的速度是8m/s，哥哥讓小明先跑了14米，小明后來的速度為3m/s．（2）哥哥跑幾秒時(shí)，哥哥追上小明？（3）求哥哥跑幾秒時(shí)，兩人相距10米？【答案】（1）8，14，3；（2）7；（3）2或9．【解答】解：（1）根據(jù)圖象可知，哥哥的速度是24÷3＝8（m/s），哥哥讓小明先跑了14m；在哥哥追上小明之前，小明的速度為（32﹣14）÷3＝6（m/s），∴在哥哥追上小明之后，小明的速度為6÷2＝3（m/s），故答案為：8，14，3．（2）設(shè)哥哥跑t秒時(shí)，哥哥追上小明．14+6t＝8t，解得t＝7，∴哥哥跑7秒時(shí)，哥哥追上小明．（3）設(shè)哥哥所跑的路程y與哥哥跑步的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx（k為常數(shù)，且k≠0）．將x＝3，y＝24代入y＝kx，得3k＝24，解得k＝8，∴y＝8x；小明所跑的路程y與哥哥跑步的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式：當(dāng)哥哥追上小明時(shí)，哥哥所跑的路程為8×7＝56（m），∴圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為（7，56）．當(dāng)0≤x＜7時(shí)，設(shè)y＝k1x+b1（k1、b1為常數(shù)，且k1≠0）．將x＝0，y＝14和x＝7，y＝56代入y＝k1x+b1，得，解得，∴y＝6x+14（0≤x＜7）；哥哥出發(fā)后8s時(shí)，小明跑的總路程為56+（8﹣7）×3＝59（m），∴坐標(biāo)（8，59）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圖象l3上．當(dāng)x≥7時(shí)，設(shè)y＝k2x+b2（k2、b2為常數(shù)，且k2≠0）．將x＝7，y＝56和x＝8，y＝59代入y＝k2x+b2，得，解得，∴y＝3x+35（x≥7）；綜上，y＝．兩人相距10米時(shí)：當(dāng)0≤x＜7時(shí)，|6x+14﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝5，解得x＝2或12（不符合題意，舍去）；當(dāng)x＞7時(shí)，|3x+35﹣8x|＝10，整理得|x﹣7|＝2，解得x＝5（不符合題意，舍去）或9；∴哥哥跑2秒或9秒時(shí)，兩人相距10米．【變式3-2】一輛汽車和一輛摩托車分別從A，B兩地去同一城市C，它們離A地的路程隨時(shí)間變化的圖象如圖所示，已知汽車的速度為60km/h，摩托車比汽車晚1個(gè)小時(shí)到達(dá)城市C．（1）求摩托車到達(dá)城市C所用的時(shí)間；（2）求摩托車離A地的路程y（km）關(guān)于時(shí)間x（h）的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，摩托車和汽車相距30km．【答案】（1）4小時(shí)；（2）y＝40x+20；（3）或小時(shí)．【解答】解：（1）根據(jù)圖象信息，得到A到C點(diǎn)的距離為180千米，∵汽車的速度為60km/h，∴汽車到達(dá)中點(diǎn)的用時(shí)，∵摩托車比汽車晚1個(gè)小時(shí)到達(dá)城市C，∴摩托車到達(dá)城市C的時(shí)間為4小時(shí)．（2）設(shè)解析式為y＝kx+b，把（0，20），（4，180）分別代入解析式得：，解得，故摩托車離A地的路程y（km）關(guān)于時(shí)間x（h）的函數(shù)表達(dá)式為y＝40x+20．（3）根據(jù)題意，得到汽車的函數(shù)解析式為y＝60x，根據(jù)題意，得：60x﹣（40x+20）＝30，解得，40x+20+30＝180，x＝，故經(jīng)過或小時(shí)，摩托車和汽車相距30km．【變式3-3】已知A，B兩港口相距150海里，甲船從A港行駛到B港后，休息一段時(shí)間，速度不變，沿原航線返回，同時(shí)，乙船從A港出發(fā)駛向B港，甲、乙兩船離A港的距離s（海里）與甲船行駛時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)兩船相遇時(shí)，兩船到A港的距離為90海里，乙船在行駛過程中，速度不變．（假設(shè)甲、乙兩船沿同一航線航行）（1）直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)（13，0）；（2）分別求線段DM、EF的表達(dá)式；（3）甲船行駛多少小時(shí)后兩船在甲船返航過程中相距30海里？【答案】（1）（13，0）；（2）s＝﹣30t+390（8≤t≤13），；（3）9.6小時(shí)或10.4小時(shí)．【解答】解：（1）∵甲船返回時(shí)速度不變，∴返回時(shí)間為5小時(shí)，8+5＝13，所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（13，0），故答案為：（13，0）；（2）由圖可知：點(diǎn)D（8，150），設(shè)DM所在直線的解析式為：s＝kt+b，把點(diǎn)D（8，150），點(diǎn)M（13，0）分別代入解析式，得，∴，故線段DM的表達(dá)式為：s＝﹣30t+390（8≤t≤13）；甲船的速度＝150÷5＝30（海里/時(shí)），到兩船相遇時(shí)乙船行駛的時(shí)間為：（150﹣90）÷30＝2（小時(shí)），∴乙船的速度為：90÷2＝45（海里/時(shí)），∴乙船行駛的時(shí)間為：（小時(shí)），此時(shí)，故點(diǎn)G（10，90），由圖可知：點(diǎn)E（8，0），設(shè)直線EF的表達(dá)式為s＝mt+n，把點(diǎn)G（10，90），點(diǎn)E（8，0）分別代入解析式，得，∴，故線段EF的表達(dá)式為：；（3）設(shè)甲船行駛x小時(shí)后兩船相距30海里，①若相遇前相距30海里，則（30+45）×（x﹣8）＝150﹣30，解得x＝9.6，②若相遇后再相距30海里，則（30+45）×（x﹣8）＝150+30，解得x＝10.4，所以，甲船行駛9.6小時(shí)或10.4小時(shí)后，兩船相距30海里．【變式3-4】甲、乙兩車早上從A城車站出發(fā)勻速前往B城車站，在整個(gè)行程中，兩車離開A城的距離s與時(shí)間t的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示．（1）A，B兩城之間距離是多少？（2）求甲、乙兩車的速度分別是多少？（3）乙車出發(fā)多長時(shí)間追上甲車？（4）從乙車出發(fā)后到甲車到達(dá)B城車站這一時(shí)間段，在何時(shí)間點(diǎn)兩車相距40km？【答案】（1）A、B兩城之間距離是300千米；（2）甲、乙兩車的速度分別是60千米/小時(shí)和100千米/小時(shí)；（3）乙車出發(fā)1.5小時(shí)追上甲車；（4）分別在上午6：30，8：30，9：20這三個(gè)時(shí)間點(diǎn)兩車相距40千米．【解答】解：（1）由圖象可知A、B兩城之間距離是300千米；（2）由圖象可知，甲的速度＝＝60（千米/小時(shí)），乙的速度＝＝100（千米/小時(shí)），∴甲、乙兩車的速度分別是60千米/小時(shí)和100千米/小時(shí)；（3）設(shè)乙車出發(fā)x小時(shí)追上甲車，由題意：60（x+1）＝100x，解得：x＝1.5，∴乙車出發(fā)1.5小時(shí)追上甲車；（4）設(shè)乙車出發(fā)后到甲車到達(dá)B城車站這一段時(shí)間內(nèi)，甲車與乙車相距40千米時(shí)甲車行駛了m小時(shí)，①當(dāng)甲車在乙車前時(shí)，得：60m﹣100（m﹣1）＝40，解得：m＝1.5，此時(shí)是上午6：30；②當(dāng)甲車在乙車后面時(shí)，100（m﹣1）﹣60m＝40，解得：m＝3.5，此時(shí)是上午8：30；③當(dāng)乙車到達(dá)B城后，300﹣60m＝40，解得：m＝，此時(shí)是上午9：20．∴分別在上午6：30，8：30，9：20這三個(gè)時(shí)間點(diǎn)兩車相距40千米．【變式3-5】一輛客車從甲地開往乙地，到達(dá)乙地即停止．一輛出租車從乙地開往甲地，到達(dá)甲地即停止．兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)客車離甲地的距離為y1千米，出租車離甲地的距離為y2千米，兩車行駛的時(shí)間為x小時(shí)，y1、y2關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示：（1）根據(jù)圖象，直接分別寫出y1、y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）若兩車之間的距離為S千米，請(qǐng)寫出S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（3）在行駛過程中，經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距200千米．【答案】（1）y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；（2）；（3）小時(shí)或5小時(shí)．【解答】解：（1）設(shè)y1＝k1x，由圖可知，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（10，600），∴10k1＝600，解得：k1＝60，∴y1＝60x（0≤x≤10），設(shè)y2＝k2x+b，由圖可知，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，600），（6，0），則，解得：，∴y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；（2）由題意，得60x＝﹣100x+600，，當(dāng)時(shí)，S＝y(tǒng)2﹣y1＝﹣160x+600；當(dāng)時(shí)，S＝y(tǒng)1﹣y2＝160x﹣600；當(dāng)6≤x≤10時(shí)，S＝60x；即，（3）由題意得①當(dāng)時(shí)（﹣100x+600）﹣60x＝200，解得，②當(dāng)時(shí)，60x﹣（﹣100x+600）＝200，解得x＝5，③當(dāng)6≤x≤10時(shí)，60x＝200，x在取值范圍內(nèi)無解．綜上所述，或x＝5．即經(jīng)過小時(shí)或5小時(shí)，兩車相距200千米．【變式3-6】甲車從A地出發(fā)勻速向B地行駛，同時(shí)乙車從B地出發(fā)勻速向A地行駛，甲車行駛速度比乙車快，甲、乙兩車距A地的路程y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲車速度為100km/h，乙車速度為60km/h；（2）求乙車行駛過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在行駛過程中，兩車出發(fā)多長時(shí)間，兩車相距80千米？【答案】（1）100，60；（2）y＝﹣60x+480（0≤x≤8）；（3）2.5小時(shí)或3.5小時(shí)．【解答】解：（1）由圖象可得，甲車速度為：480÷4.8＝100（km/h），乙車的速度為：480÷8＝60（km/h），故答案為：100，60；（2）設(shè)y與x的關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），∵點(diǎn)（0，480），（8，0）在該函數(shù)圖象上，∴，解得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣60x+480（0≤x≤8）；（3）由題意可得，當(dāng)兩車相距80千米時(shí)，則（100+60）x+80＝480或（100+60）x﹣80＝480，解得x＝2.5或x＝3.5，答：在行駛過程中，兩車出發(fā)2.5小時(shí)或3.5小時(shí)時(shí)，兩車相距80千米．題型4：利用一次函數(shù)解決運(yùn)輸問題【典例4】受氣候的影響，某超市蔬菜供應(yīng)緊張，需每天從外地調(diào)運(yùn)蔬菜1000斤．超市決定從甲、乙兩大型蔬菜棚調(diào)運(yùn)蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可調(diào)出800斤，乙蔬菜棚每天最多可調(diào)運(yùn)600斤，從兩蔬菜棚調(diào)運(yùn)蔬菜到超市的路程和運(yùn)費(fèi)如表：到超市的路程（千米）運(yùn)費(fèi)（元/斤?千米）甲蔬菜棚1200.03乙蔬菜棚800.05（1）若某天調(diào)運(yùn)蔬菜的總運(yùn)費(fèi)為3840元，則從甲、乙兩蔬菜棚各調(diào)運(yùn)了多少斤蔬菜？（2）設(shè)從甲蔬菜棚調(diào)運(yùn)蔬菜x斤，總運(yùn)費(fèi)為W元，試寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式，怎樣安排調(diào)運(yùn)方案才能使每天的總運(yùn)費(fèi)最省？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)從甲蔬菜棚調(diào)運(yùn)蔬菜x斤，則從乙蔬菜棚調(diào)運(yùn)蔬菜（1000﹣x）斤，得120×0.03x+80×0.05×（1000﹣x）＝3840，解得x＝400，乙蔬菜棚調(diào)運(yùn)蔬菜：1000﹣400＝600（斤），答：從甲蔬菜棚調(diào)運(yùn)了400斤、從乙蔬菜棚調(diào)運(yùn)了600斤蔬菜；（2）W＝120×0.03x+80×0.05×（1000﹣x），即W＝﹣0.4x+4000（400≤x≤800），∵﹣0.4＜0，∴W隨x的增大而減小，當(dāng)x＝800時(shí)，W最小，W最小值＝3680（元），答：從甲蔬菜棚調(diào)運(yùn)蔬菜800斤，從乙蔬菜棚調(diào)運(yùn)蔬菜200斤總費(fèi)用最?。咀兪?-1】2023年12月18日甘肅積石山縣發(fā)生6.2級(jí)地震，造成嚴(yán)重的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失．為支援災(zāi)區(qū)的災(zāi)后重建，甲、乙兩縣分別籌集了水泥200噸和300噸支援災(zāi)區(qū)，現(xiàn)需要調(diào)往災(zāi)區(qū)A鎮(zhèn)100噸，調(diào)往災(zāi)區(qū)B鎮(zhèn)400噸．已知從甲縣調(diào)運(yùn)一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運(yùn)費(fèi)分別為40元和80元；從乙縣調(diào)運(yùn)一噸水泥到A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)的運(yùn)費(fèi)分別為30元和50元．（1）設(shè)從甲縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥x噸，求總運(yùn)費(fèi)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，最低運(yùn)費(fèi)是多少？【答案】（1）y＝﹣20x+29000（0≤x≤100）；（2）從甲縣分別調(diào)往A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)水泥各100噸，從乙縣將300噸水泥全部調(diào)往B鎮(zhèn)，27000元．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，從甲縣調(diào)往B鎮(zhèn)水泥（200﹣x）噸，從乙縣調(diào)往A鎮(zhèn)水泥（100﹣x）噸、調(diào)往B鎮(zhèn)水泥（x+200）噸，∴y＝40x+80（200﹣x）+30（100﹣x）+50（x+200）＝﹣20x+29000，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣20x+29000（0≤x≤100）．（2）∵y＝﹣20x+29000（0≤x≤100），∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝100時(shí)，y取最小值，y的最小值為y＝﹣20×100+29000＝27000，∴從甲縣分別調(diào)往A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)水泥各100噸，從乙縣將300噸水泥全部調(diào)往B鎮(zhèn)，可使總運(yùn)費(fèi)最低，最低運(yùn)費(fèi)是27000元．【變式4-2】為了救援地震災(zāi)區(qū)，某市A、B兩廠共同承接了生產(chǎn)500噸救災(zāi)物資任務(wù)，A廠生產(chǎn)量是B廠生產(chǎn)量的2倍少100噸，這批救災(zāi)物資將運(yùn)往甲、乙兩地，其中甲地需要物資240噸，乙地需要物資260噸，運(yùn)費(fèi)如表：（單位：元/噸）目的地生產(chǎn)廠家甲乙A2025B1524（1）A廠生產(chǎn)了300噸救災(zāi)物資、B廠生產(chǎn)了200噸救災(zāi)物資；（2）設(shè)這批物資從B廠運(yùn)往甲地x噸，全部運(yùn)往甲、乙兩地的總運(yùn)費(fèi)為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)使總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)運(yùn)方案；（3）當(dāng)每噸運(yùn)費(fèi)降低a元，（0＜a≤15，且a為整數(shù)），若按照（2）中設(shè)計(jì)的調(diào)運(yùn)方案運(yùn)輸，且總運(yùn)費(fèi)不超過5400元，求a的最小值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)A、B兩廠分別生產(chǎn)了x噸和y噸救災(zāi)物資．根據(jù)題意，得，解得，∴A、B兩廠分別生產(chǎn)了300噸和200噸救災(zāi)物資，故答案為：300，200．（2）根據(jù)題意，得這批物資從B廠運(yùn)往乙地（200﹣x）噸，從A廠運(yùn)往甲地（240﹣x）噸、運(yùn)往乙地260﹣（200﹣x）＝60+x（噸），∴w＝15x+24（200﹣x）+20（240﹣x）+25（60+x）＝﹣4x+11100（0≤x≤200），∴w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w＝﹣4x+11100（0≤x≤200）；∵﹣4＜0，∴w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝200時(shí)，w的值最小，∴A廠運(yùn)往甲地40噸、運(yùn)往乙地260噸，B廠200噸全部運(yùn)往甲地時(shí)費(fèi)用最少．（3）由題意，得w＝﹣4x+11100﹣500a．當(dāng)x＝200時(shí)，w的最小值為10300﹣500a，∴10300﹣500a≤5400，解得a≥，∵0＜a≤15，且a為整數(shù)，∴a的最小值為10．【變式4-3】A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)，從A城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為20元/噸和25元/噸；從B城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)用分別為15元/噸和24元/噸．現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240噸，D鄉(xiāng)需要肥料260噸，設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的肥料為x噸，運(yùn)往C鄉(xiāng)肥料的總運(yùn)費(fèi)為y1，運(yùn)往D鄉(xiāng)肥料的總運(yùn)費(fèi)為y2．（1）寫出y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）怎樣調(diào)度總運(yùn)費(fèi)最少？求出最少的運(yùn)輸費(fèi)用．【答案】（1）y1＝5x+3600（0≤x≤200），y2＝﹣x+6440（0≤x≤200）；（2）從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)0噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)200噸，從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)240噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)60噸，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少，最少的運(yùn)輸費(fèi)用是10040元．【解答】解：（1）根據(jù)題意得y1＝20x+15（240﹣x）＝5x+3600（0≤x≤200），y2＝25（200﹣x）+24（x+60）＝﹣x+6440（0≤x≤200）；（2）∵從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)肥料x噸，∴從A城運(yùn)往D鄉(xiāng)（200﹣x）噸，從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)肥料（240﹣x）噸，則從B城運(yùn)往D鄉(xiāng)（60+x）噸．∵200﹣x≥0，∴0≤x≤200，∴根據(jù)題意，得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x），＝4x+10040．∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝4x+10040（0≤x≤200），∴從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)0噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)200噸，從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)240噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)60噸，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少，最少的運(yùn)輸費(fèi)用是10040元．【變式4-4】列二元一次方程組解應(yīng)用題．2023年12月18日甘肅發(fā)生6.2級(jí)地震，遼寧省應(yīng)急、交通等部門給予大力幫助．針對(duì)災(zāi)區(qū)房屋安全、電力供應(yīng)、物資保障等方面進(jìn)行全方位排查，現(xiàn)安排甲、乙兩種貨車從某醫(yī)藥公司倉庫運(yùn)輸物資到地震災(zāi)區(qū)，兩種貨車的情況如表：甲種貨車/輛乙種貨車/輛總量/噸第一次3427第二次4535（1）甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨多少噸？（2）據(jù)了解，這次運(yùn)輸中，每輛車都裝滿，甲種貨車?yán)繃嵷浳锖馁M(fèi)100元，乙種貨車?yán)繃嵷浳锖馁M(fèi)150元，有5輛車參與運(yùn)貨，其中甲種貨車a輛．求貨車所需總費(fèi)用w與a之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，要使所需總費(fèi)用最低，該如何安排拉貨？最低總費(fèi)用是多少？【答案】（1）甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨5噸、3噸；（2）w＝50a+2250；（3）要使所需總費(fèi)用最低，安排5輛乙種貨車?yán)?，最低總費(fèi)用是2250元．【解答】解：（1）設(shè)甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨m噸、n噸，由表格可得：，解得．答：甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨5噸、3噸．（2）設(shè)甲種貨車a輛，則乙種貨車（5﹣a）輛，由題意可得：w＝100a×5+150（5﹣a）×3＝50a+2250，即貨車所需總費(fèi)用w與a之間的函數(shù)關(guān)系是w＝50a+2250：（3）∵w＝50a+2250，∴w隨a的增大而增大，∵0≤a≤5，∴當(dāng)a＝0時(shí)，y取得最小值，此時(shí)w＝2250，答：要使所需總費(fèi)用最低，安排5輛乙種貨車?yán)洠畹涂傎M(fèi)用是2250元．【變式4-5】某公園將舉辦免費(fèi)冰燈游園會(huì)，目的是為公眾提供一個(gè)廣泛參與、歡樂共享的冰雪季活動(dòng)場所．該公園計(jì)劃分兩批運(yùn)進(jìn)冰塊用于制作冰燈，第一批運(yùn)進(jìn)1800立方米冰塊，比第二批運(yùn)進(jìn)冰塊少25%．（1）第二批運(yùn)進(jìn)多少立方米冰塊？（2）該公園運(yùn)進(jìn)每批冰塊時(shí)，都只能從甲、乙兩家運(yùn)輸公司中選擇其中一家運(yùn)輸公司運(yùn)進(jìn)．甲、乙兩家運(yùn)輸公司的相關(guān)信息如下表：項(xiàng)目公司運(yùn)載量（立方米/車）運(yùn)費(fèi)（元/車）優(yōu)惠條件甲家運(yùn)輸公司60600運(yùn)費(fèi)不超過5000元時(shí)，無優(yōu)惠；運(yùn)費(fèi)超過5000元時(shí)，超過5000元的部分打七五折乙家運(yùn)輸公司45420運(yùn)費(fèi)每滿2000元減300元，少于2000元的部分不享受優(yōu)惠①選擇哪家運(yùn)輸公司運(yùn)進(jìn)第一批冰塊的運(yùn)費(fèi)最低，最低運(yùn)費(fèi)是多少元？②選擇哪家運(yùn)輸公司運(yùn)進(jìn)第二批冰塊的運(yùn)費(fèi)最低，最低運(yùn)費(fèi)是多少元？【答案】（1）第二批運(yùn)進(jìn)2400立方米冰塊；（2）①選擇乙家運(yùn)輸公司運(yùn)進(jìn)第一批冰塊的運(yùn)費(fèi)最低，最低運(yùn)費(fèi)是14400元；②選擇甲家運(yùn)輸公司運(yùn)進(jìn)第二批冰塊的運(yùn)費(fèi)最低，最低運(yùn)費(fèi)是19250元．【解答】解：（1）1800÷（1﹣25%）＝2400（立方米），答：第二批運(yùn)進(jìn)2400立方米冰塊；（2）①運(yùn)進(jìn)第一批冰塊，選擇甲家運(yùn)輸公司：1800÷60×600＝18000（元），運(yùn)費(fèi)為：5000+（18000﹣5000）×75%＝14750（元），選擇乙家運(yùn)輸公司：1800÷45×420＝16800（元），16800＝2000×8+800，運(yùn)費(fèi)為：16800﹣8×300＝14400（元），因?yàn)?4750＞14400，所以選擇乙家運(yùn)輸公司運(yùn)進(jìn)第一批冰塊的運(yùn)費(fèi)最低，最低運(yùn)費(fèi)是14400元；②運(yùn)進(jìn)第二批冰塊，選擇甲家運(yùn)輸公司：2400÷60×60